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2.3.1双曲线及其标准方程 导学案


2.3.1 双曲线及其标准方程
学习目标: 1. 掌握双曲线的定义及其标准方程; 2. 学会根据已知条件求双曲线的标准方程; 3. 理解双曲线的简单应用; 4. 预习 P52-55,完成导学案。 温故知新: 1、 椭圆的定义: 平面内与两定点 F1、 F2 的距离的 等于 ( |F1F2|) 的点的轨迹叫做椭圆。 Y F1、F2 叫做椭圆的 ,|F1F2|叫做椭圆的 。 M x, y 2、椭圆的标准方程: O 焦点在 x 轴上: (a b 0) F1 ?? c, 0 ? F2 ? c, 0 ? 焦点在 y 轴上: (a b 0)

?

?
X

3、a,b,c 关系: 。 思考:平面内与两定点 F1、F2 的距离的差等于常数的点的轨迹是什么呢? 新课知识梳理: 1、 双曲线的定义: 平面内与两定点 F1、 F2 的距离的 等于 ( 的点的轨迹叫做双曲线。 F1、F2 叫做椭圆的 ,|F1F2|叫做椭圆的 。 2、双曲线的标准方程: (1)推导: 建系:以 F1,F2 所在的直线为 x 轴,线段 F1F2 的中点为原点建立直角坐标系 设点:设 M(x , y) 。设双曲线的焦距(|F1F2|)为 2c,则 F1( ,0),F2( ,0) 为研究问题方便,设点 M 与 F1,F2 的距离的 的绝对值等于常数 2a. 列式:|MF1| |MF2|=±2a 即 =±2a
2 2 2

|F1F2|)

化简: (提示:可以参考椭圆标准方程的推导,最后可令c ? a ? b ?b ? 0? )

(2)双曲线的标准方程:

焦点在 x 轴上: a,b,c 的关系: 如果 x2 的系数是正的,则焦点在

焦点在 y 轴上:

轴上;如果 y2 的系数是正的,则焦点在

轴上。

初试身手: 判断下列方程是否表示双曲线?若是,求出 a,b,c 及焦点坐标。

例题精析: 例 1:已知双曲线的两个焦点分别为 F1(-5,0), F2(5,0),双曲线上一点 P 到 F1 ,F2 的距离差 的绝对值等于 6,求双曲线的标准方程。 解: ∵焦点为 F ( ?5,0), F (5,0) ,双曲线的焦点在 x 轴上
1 2
2 2 ∴可设所求方程为: x2 ? y2 ? 1 (a>0,b>0).

a

b

∵2a=6,2c=10,∴a=3,c=5,∴b =c -a =25-9=16
2 2 ∴点 P 的轨迹方程为 x ? y ? 1 .

2

2

2

9

16

例 2: 已知 A,B 两地相距 800m,在 A 地听到炮弹爆炸声比在 B 地晚 2s,且声速为 340m/s,求炮 弹爆炸点的轨迹方程.

练一练: 求适合下列条件的双曲线的标准方程。 ①焦点在在轴 x 上, a ? 4, b ? 3;

②焦点在在轴 x 上,经过点 (? 2 ,? 3 ), (

15 , 2) 3



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