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2011年安徽省优质课课件马鞍山中加双语学校袁辉(圆与圆的位置关系)


4.2.2 圆与圆的位置关系

马鞍山中加双语学校 袁辉

圆与圆有哪几种位置关系?

无公共点 4条公切线
R r O1 O2 外离 |O1O2|>|R+r|

无公共点 无公切线
R

唯一公共点 3条公切线
R O1

r
O2

O1 O2

r

内含 0≤|O1O2|<|R-r| 唯一公共点 1条公切线
R

圆与圆 的位置 关系

外切 |O1O2|=|R+r|

两个公共点 2条公切线
R O1 r O2

O1 O2

r

内切 |O1O2|=|R-r|

相交 |R-r|<|O1O2|<|R+r|

例1 设圆C1:x2+y2+2x+8y-8=0,圆C2:x2+y2-4x-4y-2=0, 试判断圆C1与圆C2的关系.
y C2

(-1,1) A

. (2,2)

O
. (-1,-4)

x

B (3,-1)
x+2y-1=0

C1

解法一:圆C1与圆C2的方程联立,得到方程组 ? x 2 ? y 2 ? 2 x ? 8 y ? 8 ? 0, ? ? 2 2 ? x ? y ? 4 x ? 4 y ? 2 ? 0, ? ①-②,得 x+2y-1=0, 由③,得
y? 1? x 2,
2



② ③

把上式代入①,并整理,得 x2 ? 2 x ? 3 ? 0.

方程④的判别式 ? ? ? ?2 ? ? 4 ?1? ? ?3? ? 16 ? 0,
所以,方程④有两个不相等的实数根x1,x2分别代入方程 ③,得到y1,y2. 因此圆C1与圆C2有两个不同的公共点A(x1,y1),B(x2,y2). 所以圆C1与圆C2相交

解法二: 把圆C1的方程化为标准方程,得

? x ? 1?

2

? ? y ? 4 ? ? 25.
2

圆C1的圆心是点(-1,-4),半径长r1=5. 把圆C2的方程化为标准方程,得

? x ? 2 ? ? ? y ? 2 ? ? 10.
2 2

圆C1的圆心是点(2,2),半径长r2= 10 . 圆C1与圆C2的连心线长为 ? ?1 ? 2?2 ? ? ?4 ? 2?2 ? 3 圆C1与圆C2的半径之和是
r1 ? r2 ? 5 ? 10, 两半径之差是 r1 ? r2 ? 5 ? 10,

5,

而5 ? 10 ? 3 5 ? 5 ? 10, 即r1 ? r2 ? 3 5 ? r1 ? r2,

所以圆C1与圆C2相交

变式1 求圆C1:x2+y2+2x+8y-8=0,圆C2:x2+y2-4x-4y2=0相交弦长.
y C2
(2,2)
x

A (-1,1) O

.

B
. (-1,-4)

直线AB:x+2y-1=0 (3,-1)

C1

变式2点A在圆C1:x2+y2+2x+8y-8=0上,点B在圆 C2:x2+y2-4x-4y-2=0圆上,求|AB|的最大值.
y

.

B

. (2,2)

C2

.
. .
A (-1,-4)

O B

x

C1

变式3 两点A(2,2)B(-1,-4)到直线L的距离分别 是. 10 和5,满足条件的直线共有多少条?
y

(2,2)

.A
O

B

.

x

(-1,-4)

巩固练习
过两圆x2 + y2 + 6x –4 = 0 和 x2 + y2 + 6y –28 = 0的交点且圆心在直线x-y-4=0 上的圆方程是( C ) A.x2+y2-x-5y+2=0

B.x2+y2-x-5y-2=0
C.x2+y2-x+7y-32=0 D.x2+y2+x+7y+32=0

拓展练习:
c1 : x 2 ? y 2 ? 4 x ? 6 y ? 12 ? 0

? 实数K为何值时,圆
2 2

c2 : x ? y ? 2 x ? 14 y ? k ? 0

相切 相交 相离

小结:
研究两圆的位置关系可以有两种方法:
1 圆心距与r1 ? r2与 r1 ? r2 的关系 2 两圆方程组成的方程组解的组数

数学思想方法:数形结合

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