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专题复习《圆》提高测试


专题复习《圆》提高测试
(一)选择题: (每题 2 分,共 20 分) 1.有 4 个命题: ①直径相等的两个圆是等圆;②长度相等的两条弧是等弧; ③圆中最大的弧是过圆心的弧; ④一条弦把圆分为两条弧, 这两条弧不可 能是等弧. 其 中 真 命 题 是………………………………………………………………………( ) (A)①③ (B)①③④ (C)①④ (D)① 【提示】长

度相等的两弧不一定是等弧,故②不对;当弦是直径时,直径把 圆分为两个半圆,它们是等弧,故④不对. 【答案】A. 【点评】本题考查等圆、等弧、直线与弦的概念.注意:等弧是 能互相重合的两条弧,直径是圆中最大的弦. 2.如图,点 I 为△ABC 的内心,点 O 为△ABC 的外心,∠O=140°,则∠ I 为( ) (A)140° (B)125° (C)130° (D) 110° 【提示】因点 O 为△ABC 的外心,则∠BOC、∠A 分别 是 所对的圆心角、圆周角,所以∠O=2∠A,故∠A 1 = ?140°=70°.又因为 I 为△ABC 的内心,所以 2 1 1 ∠I=90°+ ∠A=90°+ ?70°=125°. 2 2 【答案】B. 【点评】本题考查圆心角与圆周角的关系,内心、外心的概念.注意三角形 的内心与两顶点组成的角与另一角的关系式. 3 . 如 果 正 多 边 形 的 一 个 外 角 等 于 60 ° , 那 么 它 的 边 数 为……………………………( ) (A)4 (B)5 (C)6 (D)7 360 ? 【提示】正多边形的外角等于它的中心角,所以 =60°,故 n=6. n 【答案】C. 【点评】此题考查正多边形的外角与中心角的关系.注意:正 n 边形的中心 360 ? 角为 ,且等于它的一个外角. n 4.如图,AB 是⊙O 的弦,点 C 是弦 AB 上一点,且 BC︰CA=2︰1,连结 OC 并延长 交⊙O 于 D,又 DC=2 厘米,OC=3 厘米,则圆心 O 到 AB 的距离 为…………( ) (A) 6 厘米 (B) 7 厘米 (C)2 厘米 (D)3 厘米 【提示】延长 DO 交⊙O 于 E,过点 O 作 OF⊥AB 于 F,则 CE=8 厘米.

由相交弦定理,得 DC?CE=AC· CB, 所以 AC· AC=2?8, 2 故 AC=2 2 (厘米) , 从而 BC=4 2 厘米. 由垂径定理,得 AF=FB=(2+4)=3(厘米) . 所以 CF=3-2=(厘米) . 在 Rt△COF 中, OF===(厘米) . 【答案】C. 【点评】本题考查相交弦定理、垂径定理.注意:在圆中求线段的长,往往 利用相交弦定理、垂径定理进行线段的转换,再结合勾股定理建立等式. 5 . 等 边 三 角 形 的 周 长 为 18 , 则 它 的 内 切 圆 半 径 是……………………………………( ) (A)6 (B)3 (C) (D) 【提示】等边三角形的边长为 6,则它的面积为?62=9.又因为三角形的面 积等于内切圆的半径与三角形的周长的积的一半,所以 9=r?18(r 为内切 圆半径) . 解此方程,得 r=. 【答案】C. 【点评】本题考查等边三角形的面积的求法、内切圆半径的求法.注意:求 三角形的内切圆的半径,通常用面积法. 6.如图,⊙O 的弦 AB、CD 相交于点 P,PA=4 厘米,PB=3 厘米,PC=6 厘米,EA 切⊙O 于点 A,AE 与 CD 的延长线交于点 E,AE=2 厘米,则 PE 的长为( ) (A)4 厘米 (B)3 厘米 (C)厘米 (D)厘米

【提示】由相交弦定理,得 PA?PB=PD?PC. ∴ 4?3=PD?6. ∴ PD=2(厘米) . 由切割线定理,得 AE2=ED?EC. ∴ (2)2=ED · (ED+2+6) .解此方程得 ED=2 或 ED=-10(舍去) . ∴ PE=2+2=4(厘米) . 【答案】A. 【点评】本题考查相交弦定理、切割线定理.注意:应用相交弦定理、切割 线定理往往建立方程,通过解方程求解. 7.一个扇形的弧长为 20??厘米,面积是 240??厘米 2 ,则扇形的圆心角 是……………( ) (A)120° (B)150° (C)210° (D)240°

【提示】设扇形的圆心角为 n 度,半径为 R,则解方程组得 【答案】B. 【点评】本题考查扇形的弧长、面积公式.注意:应熟记扇形的弧长公式、 扇形的面积公式. 8.两圆半径之比为 2︰3,当两圆内切时,圆心距是 4 厘米,当两圆外切时, 圆心距为( ) (A)5 厘米 (B)11 厘米 (C)14 厘米 (D)20 厘米 【提示】设两圆半径分别为 2 x、3 x 厘米,则内切时有 3 x-2 x=4,所以 x =4.于是两圆半径分别为 8 厘米、12 厘米.故外切时圆心距为 20 厘米. 【答案】D. 【点评】本题考查两圆内切、外切时,圆心距与两圆半径的关系.注意:要 理解并记忆两圆的五种位置关系及圆心距与半径的关系. 9.一个圆锥的侧面积是底面积的 2 倍,则这个圆锥的侧面展开图的圆周角 是……( ) (A)60° (B)90° (C)120° (D)180° 【提示】设圆锥的母线长为 a,圆心角度数为 n,底面圆的半径为 r,则 解此方程组,得 n=180. 【答案】D. 【点评】此题考查圆锥的侧面展开图的概念.注意理解圆柱、圆柱的侧面展 开图的有关概念. 10.如图,等腰直角三角形 AOB 的面积为 S1,以点 O 为圆心,OA 为半径的 弧与以 AB 为 直 径 的 半 圆 围 成 的 图 形 的 面 积 为 S2 , 则 S1 与 S2 的 关 系 是………………………( ) (A)S1>S2 (B)S1<S2 (C)S1=S2 (D)S1≥S2

【提示】设 OA=a,则 S1=a2,弓形 ACB 的面积=?a2-a2. 在 Rt△AOB 中,AB=a,则以 AB 为直径的半圆面积为 · ()2=?· ?· (a)2=?a2.则 S2=?a2-(?a2-a2)=a2. 【答案】C. 【点评】本题考查三角形、圆、弓形的面积计算.注意:弓形的面积计算方 法. (二)填空题(每题 2 分,共 20 分) 11.已知⊙O1 和⊙O2 的半径分别为 2 和 3,两圆相交于点 A、B,且 AB=2, 则 O1O2=______.

【提示】当两圆在 AB 的两侧时,设 O1O2 交 AB 于 C,则 O1O2⊥AB,且 AC =BC, ∴ AC=1. 在 Rt△AO2C 中,O2C===2; 在 Rt△AO1C 中,O1C===. ∴ O1O2=2+. 当两圆在 AB 的同侧时,同理可求 O1O2=2-. 【答案】2±. 【点评】此题考查“两圆相交时,连心线垂直于公共弦”的应用.注意:在 圆中不要漏解,因为圆是轴对称图形,符合本题条件的两圆有两种情形. 12.已知四边形 ABCD 是⊙O 的外切等腰梯形,其周长为 20,则梯形的中位 线长为_____. 【提示】圆外切四边形的两组对边之和相等,则上、下底之和为 10,故中位 线长为 5. 【答案】5. 【点评】本题考查圆外切四边形的性质.注意:本题还可求得圆外切等腰梯 形的腰长也为 5,即等于中位线长. 13.如图,在△ABC 中,AB=AC,∠C=72°,⊙O 过 A、B 两点,且与 BC 切于点 B, 与 AC 交于 D,连结 BD,若 BC=-1,则 AC=______. 【提示】在△ABC 中,AB=AC, 则 ∠ABC=∠ACB=72°, ∴ ∠BAC=36°. 又 BC 切⊙O 于 B, ∴ ∠A=∠DBC=36°. ∴ ∠BDC=72°. ∴ ∠ABD=72°-36°=36°. ∴ AD=BD=BC. 易证△CBD∽△CAB, ∴ BC 2=CD?CA. ∵ AD=BD=BC, ∴ CD=AC-AD=AC-BC. ∴ BC2=(AC-BC)· CA. 解关于 AC 的方程,得 AC=BC. ∴ AC=· (-1)=2. 【答案】2. 【点评】本题考查弦切角定理、等腰三角形的性质、相似三角形的性质.注意 底角为 72°的等腰三角形的特殊性,底角的平分线把对边分成的两线段的比

为,即成黄金比. 14.用铁皮制造一个圆柱形的油桶,上面有盖,它的高为 80 厘米,底面圆 的直径为 50 厘米, 那么这个油桶需要铁皮 (不计接缝) 厘米 2 (不 取近似值) . 【提示】 铁皮的面积即圆柱的侧面积与两底的面积的和. 底面圆面积为?· 2=625? 50 2 (厘米 ) ,底面圆周长为??50=50?(厘米) ,则铁皮的面积为 2?625?+80?50? 2 =5250?(厘米 ) . 【答案】5250?厘米 2. 【点评】本题考查圆柱的侧面展开图的面积及圆柱的表面积.注意:圆柱的 表面积等于侧面积与两底面积之和. 5. 已知两圆的半径分别为 3 和 7, 圆心距为 5, 则这两个圆的公切线有_____ 条. 【提示】∵ 7-3<5<7+3, ∴ 两圆相交, ∴ 外公切线有 2 条,内公切线有 0 条. 【答案】2. 【点评】 本题考查两圆的位置关系及对应的圆心距与两圆半径的关系. 注意: 仅仅从 5<7+3 并不能断定两圆相交,还要看 5 与 7-3 的大小关系. 16.如图,以 AB 为直径的⊙O 与直线 CD 相切于点 E,且 AC⊥CD,BD⊥ CD, AC=8 cm,BD=2 cm,则四边形 ACDB 的面积为______. 【提示】设 AC 交⊙O 于 F,连结 BF. ∵ AB 为⊙O 的直径, ∴ ∠AFB=90°. 连结 OE,则 OE⊥CD, ∴ AC∥OE∥BD. ∵ 点 O 为 AB 的中点, ∴ E 为 CD 的中点. ∴ OE=(BD+AC)=(8+2)=5(cm) . ∴ AB=2?5=10(cm) . 在 Rt△BFA 中,AF=CA-BD=8-2=6(cm) ,AB =10 cm, ∴ BF==8(cm) . ∴ 四边形 ACDB 的面积为 (2+8)· 8=40(cm2) . 2 【答案】40 cm . 【点评】本题考查直径的性质、中位线的判定与性质、切线的性质.注意: 在圆中不要忽视直径这一隐含条件. 17.如图,PA、PB、DE 分别切⊙O 于 A、B、C,⊙O 的半径长为 6 cm,PO =10 cm, 则△PDE 的周长是______. 图中知,CM=R+8,MD=R-8,

【提示】连结 OA,则 OA⊥AP. 在 Rt△POA 中,PA===8(cm) . 由切线长定理,得 EA=EC,CD=BD,PA= PB, ∴ △PDE 的周长为 PE+DE+PD =PE+EC+DC+PD, =PE+EA+PD+DB =PA+PB=16(cm) . 【答案】16 cm. 【点评】本题考查切线长定理、切线的性质、勾股定理.注意:在有关圆的 切线长的计算中,往往利用切线长定理进行线段的转换. 18.一个正方形和一个正六边形的外接圆半径相等,则此正方形与正六边形 的面积之比为_______. 【提示】设两正多边形的外接圆半径为 R,则正方形面积为 4?· 2=2 R2, R 2 2 2 2 正六边形的面积为 6?R =R ,所以它们的比为 2 R :R =4︰9. 【答案】4︰9. 【点评】本题考查正方形、正六边形的面积与外接圆的半径之间的关系.注 意:正多边形的面积通常化为 n 个三角形的面积和. 19.如图,已知 PA 与圆相切于点 A,过点 P 的割线与弦 AC 交于点 B,与圆 相交于点 D、 E,且 PA=PB=BC,又 PD=4,DE=21,则 AB=______.

【提示】由切割线定理,得 PA2=PD?PE. ∴ PA==10. ∴ PB=BC=10. ∵ PE=PD+DE=25, ∴ BE=25-10=15. ∴ DB=21-15=6. 由相交弦定理,得 AB· BC=BE· BD. ∴ AB?10=15?6. ∴ AB=9. 【答案】9. 【点评】本题考查切割线定理与相交弦定理的应用,要观察图形,适当地进 行线段间的转化. 20.如图,在□ABCD 中,AB=4,AD=2,BD⊥AD,以 BD 为直径的⊙O 交 AB 于 E,交 CD 于 F,则□ABCD 被⊙O 截得的阴影部分的面积为 _______. 【提示】连结 OE、DE. ∵ AD⊥BD,且 AB=4,AD=2,

∠DBA=30°,且 BD=6. BD 为直径, ∠DEB=90°. DE=BD?sin 30°=6?=3,BE=6?=3. S△DEB=?3?3=. O 为 BD 的中点, S△BOE=S△DEB=. DO=BD=3,∠DOE=2?30°=60°, S 阴影=2(S△ADB-S 扇形 DOE-S△EOB)=2(?2?6-?·2-) 3 . =-3?. 【答案】 . 【点评】本题考查了勾股定理、扇形面积公式、解直角三角形等知识.注意:求 不规则图形面积,往往转化为规则图形的面积的和或差的形式. (三)判断题(每题 2 分,共 10 分) 21. A、 是半径为 r 的圆 O 上不同的两点, 点 B 则有 0<AB≤2 r?????? ( ) 【答案】√. 【点评】因为直径是圆中最大的弦,则判断正确. 22 . 等 腰 三 角 形 顶 角 平 分 线 所 在 直 线 必 过 其 外 接 圆 的 圆 心??????????( ) 【答案】√. 【点评】因为等腰三角形的顶角平分线垂直平分底边,根据垂 径定理的推论知,顶角平分线所在直线必过圆心. 23 . 直 角 梯 形 的 四 个 顶 点 不 在 同 一 个 圆 上?????????????????( ) 【答案】√. 【点评】若在同一个圆上,则对角互补,故四个角全为直角.所以假设不成 立,原命题成立. 24 . 等 边 三 角 形 的 内 心 与 外 心 重 合????????????????????( ) 【答案】√. 【点评】等腰三角形的顶角的平分线也是对边的中线与高,因此等边三角形 的内心与外心重合. 25 . 两 圆 没 有 公 共 点 时 , 这 两 个 圆 外 离?????????????????( ) 【答案】?. 【点评】两圆没有公共点时,既可以是外离,也可以是内含, 所以原命题不成立. (四)解答题与证明题(共 50 分) 26. 分)如图,△ABC 内接于⊙O,AB 的延长线与过 C 点的切线 GC 相 (8 交于点 D, BE 与 AC 相交于点 F,且 CB=CE,求证: (1)BE∥DG; (2)CB2-CF2 =BF?FE. 【提示】 (1)证明利用弦切角定理进行角之间的转化可证∠E=∠GCE;把 (2)变形为 CB2=CF2+BF· FE. ∵ BF?FE=CF· AF, ∴ CF2+BF?FE=CF2+CF· AF

∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴

=CF(CF+AF) =CF?CA. 2 即只要证 CB =CF? 即可, CA 只需证△CBF ∽ △CAB. 【略证】 (1)∵ CG 为⊙O 的切线, ∴ ∠EBC=∠GCE. ∵ CB=CE,∴ . ∴ ∠ EBC = ∠ E . ∴ ∠E=∠ GCE.∴ GC∥EB. (2) ∵ ∠EBC=∠E=∠A, ∠FCBO 为公 共 角, ∴ △CBF∽△CAB. ∴ CB2=CF?CA=CF· (CF+AF)=CF2+CF· AF. 由相交弦定理,得 CF?FA=BF· FE, 2 2 2 ∴ CB =CF +BF· FE.即 CB -CF2=BF?FE. 2 【点评】对于形如 a =cd+ef 的等式的证明较困难,因不易找到突破口.一 般先把待证明的等式进行变形,以便于看出等式中线段之间的联系.如本题 中,先把 CF2 移到等式的右边去,再结合相交弦定理找出了思路. 27. 分)如图,⊙O 表示一个圆形工件,图中标注了有关尺寸,且 MB︰ (8 MA=1︰4, 求工件半径的长. 【提示】把 OM 向两方延长,交⊙O 于点 C、D.设⊙O 的半径为 R,则可 用相交弦定理求半径长. 【略解】把 OM 向两方延长,分别交⊙O 于 C、D 两点.设⊙O 的半径为 R. 从图中知,AB=15 cm. 又 MB︰MA=1︰4, ∴ MB=?15=3(cm) ,MA=12 cm. 从图中知,CM=R+8,MD=R-8, 由相交弦定理,得 AM?BM=CM· MD. ∴ 12?3=(R+8) (R-8) . 解此方程,得 R=10 或 R=-10(舍去) . 故工件的半径长为 10 cm. 【点评】此题是一道实际问题,要善于把实际问 题 转 化为数学问题,因在圆中,OM 与 AB 相交,故 向 相 交弦定理转化. 28. 分)已知:如图(1) (8 ,⊙O1 与⊙O2 相交于 A、B 两点,经过 A 点的 直线分别交⊙O1、⊙O2 于 C、D 两点(C、D 不与 B 重合) ,连结 BD, 过点 C 作 BD 的平行线交⊙O1 于点 E,连 BE. (1)求证:BE 是⊙O2 的切线; (2)如图(2) ,若两圆圆心在公共弦 AB 的同侧,其他条件不变,判断 BE 和⊙O2 的位置关系(不要求证明) . 【提示】 (1)过 B 作⊙O2 的直径 BH,连结 AB、AH,证∠EBH=90°. (2) 用类似的方法去探求.

【证明】 (1)连结 AB,作⊙O2 的直径 BH,连结 AH. 则 ∠ABH+∠H=90°,∠H=∠ADB,∠EBA=∠ECA. ∵ EC∥BD, ∴ ∠ADB=∠ACE=∠EBA. ∴ ∠EBA+∠ABH=90°. 即 ∠EBH=90°. ∴ BE 是⊙O2 的切线. (2)同理可知,BE 仍是⊙O2 的切线.

【点评】证明一与圆有公共点的直线是圆的切线的一般方法是过公共点作半 径(或直径) ,再证直径与半径垂直,但此题已知条件中无 90°的角,故作 直径构造 90°的角, 再进行角的转换. 同时两圆相交, 通常作它们的公共弦, 这样把两圆中的角都联系起来了.另外,当问题进行了变式时,要学会借鉴 已有的思路解题. 29. (12 分)如图,已知 CP 为⊙O 的直径,AC 切⊙O 于点 C,AB 切⊙O 于点 D,并 与 CP 的延长线相交于点 B,又 BD=2 BP. 求证: (1)PC=3 PB; (2)AC=PC. 【提示】 (1)因为 BC=BP+PC,所以要证 PC=3 BP,即要证 BC=4 BP, 用切割线定理进行转化. (2)要证 AC 等于⊙O 的直径,即要证 AC=2?半 径.只要连结 OD,易证△BOD∽△BAC.可利用相似三角形的性质证明结 论. 【略证】 (1)∵ BD 是⊙O 的切线,BPC 是⊙O 的割线, ∴ BD2=BP?BC. ∵ BD=2 BP, ∴ 4 BD2=BP? BC. ∴ 4 BP=BC.∵ BC=BP+PC, ∴ 4 BP=BP+PC. ∴ PC=3 BP. (2)连结 DO. ∵ AB 切⊙O 于点 D,AC 切⊙O 于 点 C, ∴ ∠ODB=∠ACB=90°. ∵ ∠ B = ∠ B , ∴ △ ODB ∽ △ ACB. ∴ ===. ∴ AC=2 DO.∴ PC=2 DO.∴ AC=PC. 【点评】此题体现了圆幂定理和切线性质定理的应用,解题的关键是善于转 化. 30. (14 分)如图,已知 O 是线段 AB 上一点,以 OB 为半径的⊙O 交线段 AB 于点 C, 以线段 OA 为直径的半圆交⊙O 于点 D,过点 B 作 AB 垂线与 AD 的延长

线交于点 E, 连结 CD.若 AC=2,且 AC、AD 的长是关于 x 的方程 x2-kx+4=0 的两 个根. (1)证明 AE 切⊙O 于点 D; (2)求线段 EB 的长; (3)求 tan ∠ADC 的值. 【提示】连结 OD、BD. (1)证∠ODA=90°即可; (2)利用切割线定理, 结合一元二次方程根与系数的关系求 BE 的长; (3)利用相似三角形的比进 行转化. (1) 【略证】连结 OD. ∵ OA 是半圆的直径,∴ ∠ADO=90°.∴ AE 切⊙O 于点 D. (2) 【略解】∵ AC、AD 的长是关于 x 的方程 x2-kx+4=0 的两个根,且 AC=2,AC?AD=2, ∴ AD=4.∵ AD 是⊙O 的切线,ACB 为割线, 2 ∴ AD =AC? 又 AD=2, AB. AC=2, ∴ AB = 10. 则 BC=8,OB=4.∵ BE⊥AB, ∴ BE 切⊙O 于 B. 又 AE 切⊙O 于点 D,∴ ED=EB. 在 Rt△ABE 中, BE=x, 设 由勾股定理, 得 2 2 2 (x+2) =x +10 . 解此方程,得 x=4. 即 BE 的长为 4. (3)连结 BD,有∠CDB=90°. ∵ AD 切⊙O 于 D, ∴ ∠ADC=∠ABD,且 tan ∠ADC=tan ∠ABD=. 在△ADC 和△ABD 中,∠A=∠A,∠ADC=∠ABD, ∴ △ADC∽△ABD. ∴ ===. ∴ tan ∠ADC=.


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