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第6章第2课时课件


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第6章

不等式与推理证明
双 基 研 习 · 面 对 高 考 考 点 探 究 · 挑 战 高 考 考 向 瞭 望 · 把 脉 高 考

第2课时 一元二次不等式及其解法

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第6章

不等式与推理证明
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第 2 课 时 一 元 二 次 不 等 式 及 其 解 法

双基研习·面对高考

考点探究·挑战高考

考向瞭望·把脉高考

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第6章

不等式与推理证明
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双基研习·面对高考

基础梳理 1.一元二次不等式与相应的二次函数及一元 二次方程的关系如下表:
判别式 Δ>0 Δ=0 Δ<0 2-4ac Δ=b 二次函数 y=ax2+bx+c (a>0)的图象 一元二次方程 有两相异实 有两相等实根 2+bx+c=0 ax 根 b 没有实数根 x1=x2=-2a (a>0)的根 x1,x2(x1<x2)
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不等式与推理证明
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ax2+bx+ {x|x<x1或 _________ {x|x≠x } {x|x∈R} c>0 (a>0)的 __________ _______ 1 x>x2} ____ 解集 ax2+bx+ c<0 (a>0)的 {x|x1<x<x2} _________ ___ ___ ? ? 解集

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不等式与推理证明
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思考感悟 当a<0时,ax2+bx+c>0与ax2+bx+c<0的解集如 何? 提示:当a<0时,可利用不等式的性质将二次项 系数化为正数,注意不等号的变化,而后求得方 程两根,再利用“大于号取两边,小于号取中间 ”求解.

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2.用程序框图来描述一元二次不等式ax2+bx +c>0(a>0)的求解的算法过程为:

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不等式与推理证明
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课前热身 1.若集合A={x|(2x+1)(x-3)<0}, B={x∈N*|x≤5},则A∩B是( A.{1,2,3} C.{4,5} 答案:B )

B.{1,2} D.{1,2,3,4,5}

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?x -1<0 ? 2.不等式组? 2 的解集为( ?x -3x<0 ?

2

)

A.{x|-1<x<1} C.{x|0<x<1}

B.{x|0<x<3} D.{x|-1<x<3}

答案:C

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3.若a<0,则关于x的不等式x2-4ax-5a2>0的 解是( ) B.x>-a或x<5a

A.x>5a或x<-a

C.5a<x<-a
答案:B

D.-a<x<5a

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不等式与推理证明
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4.(教材习题改编)已知函数f(x)=-3x2+5x-2 ,则使函数值大于0的x的取值范围是________. 2 答案:{x| <x<1} 3 5.已知(ax-1)(x-1)>0的解集是{x|x<1或x>2}, 则实数a的值为________.

1 答案: 2

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考点探究·挑战高考

考点突破
一元二次不等式的解法

解一元二次不等式的一般步骤 (1)对不等式变形,使一端为0且二次项系数大于0, 即ax2+bx+c>0(a>0),ax2+bx+c<0(a>0). (2)计算相应的判别式. (3)当Δ≥0时,求出相应的一元二次方程的根. (4)根据对应二次函数的图象,写出不等式的解集.
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不等式与推理证明
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解下列不等式. (1)2x2+4x+3>0; (2)-3x2-2x+8≥0; (3)12x2-ax>a2(a∈R). 【思路分析】 首先将二次项系数转化为正数, 再看二次三项式能否因式分解,若能,则可得方 程的两根,大于号取两边,小于号取中间;若不 能,则再看“Δ”,利用求根公式求解方程的根,而 后写出解集,(3)小题中对a要分类讨论.

例1

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不等式与推理证明
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【解】

(1) ∵Δ=42-4×2×3<0,

∴方程2x2+4x+3=0没有实根, 二次函数y=2x2+4x+3的图象开口向上,与x

轴没有交点,即2x2+4x+3>0恒成立,
所以不等式2x2+4x+3>0的解集为R.

(2)原不等式可化为3x2+2x-8≤0,
∵Δ=100>0,
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4 ∴方程 3x +2x-8=0 的两根为-2, , 3 2 结合二次函数 y=3x +2x-8 的图象可知原不等式 4 的解集为{x|-2≤x≤ }. 3 (3)由 12x2-ax-a2>0? (4x+a)(3x-a)>0 a a ? (x+ )(x- )>0, 4 3 a a ①a>0 时,- < , 4 3
2

a a 解集为{x|x<- 或 x> }; 4 3
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②a=0 时,x2>0,解集为{x|x? R 且 x ? 0}; a a a a ③a<0 时,- > ,解集为{x|x< 或 x>- }. 4 3 3 4 【规律方法】 解含参数的一元二次不等式的步骤: (1)二次项若含有参数应讨论是等于0,小于0,还是 大于0,然后将不等式转化为二次项系数为正的形 式. (2)判断方程的根的个数,讨论判别式Δ与0的关系. (3)确定无根时可直接写出解集,确定方程有两个根 时,要讨论两根的大小关系,从而确定解集形式.

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不等式与推理证明
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互动探究

本例中(3)若变为ax2-(2a+1)x+

2<0,试解该不等式.

解:①当 a=0 时,原不等式可化为-x+2<0, 解集为{x|x>2}. ②当 a>0 时, 原不等式可化为(ax-1)(x-2)<0, 即 1 (x- )(x-2)<0. a 1 1 1 若 <2,即 a> 时,解得 <x<2; 2 a a

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1 1 若 =2,即 a= 时,解集为?; 2 a 1 1 1 若 >2,即 0<a< 时,解得 2<x< . 2 a a 1 ③当 a<0 时,原不等式可化为(x- )(x-2)>0. a 1 1 ∵ <2,∴不等式的解集为{x|x< 或 x>2}. a a 综上所述,不等式的解集为:

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1 1 a=0 时,{x|x>2};0<a< 时,{x|2<x< }; 2 a 1 1 1 a= 时,解集为?;a> 时,{x| <x<2}; 2 2 a 1 a<0 时,{x|x< 或 x>2}. a

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一元二次不等式恒成立问题 (1)解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量,谁是
参数,一般地,知道谁的范围,谁就是变量,求

谁的范围,谁就是参数.
(2)对于二次不等式恒成立问题,恒大于0就是相 应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴 上方,恒小于0就是相应的二次函数的图象在给 定的区间上全部在x轴下方.
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例2 设函数f(x)=mx2-mx-1.

(1)若对于一切实数x,f(x)<0恒成立,求m的取值 范围; (2)若对于x∈[1,3],f(x)<-m+5恒成立,求m的 取值范围. 【思路分析】 本题(1)可讨论m的取值,利用判 别式来解决.对于(2)含参数的一元二次不等式在 某区间内恒成立问题,常有两种处理方法:法一 是利用二次函数区间上的最值来处理.法二是先 分离出参数,再去求函数的最值来处理,一般法 二比较简单.
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不等式与推理证明
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【解】 (1)要使 mx -mx-1<0 恒成立, 若 m=0,显然-1<0; 若 m ? 0, ?m<0 ? ? -4<m<0. 则? 2 ?Δ=m +4m<0 ? 所以-4<m≤0. (2)要使 f(x)<-m+5 在[1,3]上恒成立, 就是要使 m(x 12 3 - ) + m-6<0 在 x? [1,3]上恒成立. 2 4

2

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有以下两种方法: 12 3 法一:令 g(x)=m(x- ) + m-6,x ? [1,3]. 2 4 当 m>0 时,g(x)在[1,3]上是增函数, 所以 g(x)max=g(3)=7m-6<0, 6 6 所以 m< ,则 0<m< ; 7 7 当 m=0 时,-6<0 恒成立; 当 m<0 时,g(x)在[1,3]上是减函数, 所以 g(x)max=g(1)=m-6<0,

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所以 m<6,所以 m<0. 6 综上所述:m 的取值范围是{m|m< }. 7 12 3 2 法二:因为 x -x+1=(x- ) + >0, 2 4 6 又因为 m(x -x+1)-6<0,所以 m< 2 . x -x+1 6 6 因为函数 y= 2 = 在[1,3]上的 1 2 3 x -x+1 ?( x- ? ) + 2 4 6 6 最小值为 ,所以只需 m< 即可. 7 7
2

6 所以,m 的取值范围是{m|m< }. 7
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不等式与推理证明
双 基 研 习 · 面 对 高 考

【误区警示】

本题中易出现漏“m=0”

的情况,原因是对于二次项系数为参数的
函数直觉上认定其为二次函数.

考 点 探 究 · 挑 战 高 考 考 向 瞭 望 · 把 脉 高 考

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一元二次不等式的实际应用

实际应用问题是新课标中考查的重点,突出了
对应用能力的考查,在不等式应用题中常以函

数模型出现.解题时要理清题意,准确找出其
中的不等关系再利用不等式的解法求解.

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某产品按质量可分成6种不同的档次,若工 时不变,每天可生产最低档次的产品40件,如果每 提高一个档次,每件利润可增加1元,但每天要少 生产2件产品. (1)若最低档次的产品每件利润为16元,则生产哪 种档次的产品所得到的利润最大? (2)若最低档次的产品每件利润为22元,则生产哪 种档次的产品所得到的利润最大? 【思路分析】 生产第x档次产品时,产品的利润 =生产数量×每件利润,表示出产品利润后求利润 最大时对应的x值.
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例3

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【解】

(1)设生产第x档次产品时,所获利润最大

,则生产第x档次产品时,每件利润为16+(x- 1)×1(元), 生产第x档次产品时,每天生产[40-2(x-1)]件, 所以生产第x档次产品时,每天所获利润为: y=[40-2(x-1)][16+(x-1)]

=-2(x-3)2+648(元).
当x=3时,y最大,即生产第三档次产品利润最大.
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(2)若最低档次产品每件利润为22元, 则生产第x档次产品时,每天所获利润为: y=[40-2(x-1)][22+(x-1)]=-2x2+882. 因为x ?[1,6],且x ? N, 所以当x=1时,y最大,即生产第一档次产品利 润最大. 【规律方法】 不等式应用题一般可按如下四 步进行: (1)认真审题、把握关键量,找准不等关系; (2)引进数学符号,用不等式表示不等关系; (3)解不等式; (4)回归实际问题.
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方法感悟

方法技巧
1.解一元二次不等式时,首先要将一元二次不 等式化成标准型,即ax2+bx+c>0或ax2+bx+ c<0的形式,其中a>0.(如例1(2)). 2.一元二次不等式ax2+bx+c>0或ax2+bx+ c<0(其中a>0)与一元二次方程ax2+bx+c=0的 关系. (1)知道一元二次方程ax2+bx+c=0的根可以写 出对应不等式的解集;
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(2)知道一元二次不等式ax2+bx+c>0或ax2+ bx+c<0的解集也可以写出对应方程的根. 3.数形结合:利用二次函数y=ax2+bx+c 的图象可以一目了然地写出一元二次不等式 ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0的解集.

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失误防范 1.一元二次不等式的界定.对于貌似一元 二次不等式的形式要认真鉴别.如:解不等 式(x-a)(ax-1)>0,如果a=0它实际上是一 个一元一次不等式; 只有当a≠0时它才是一个一元二次不等式. 2.当判别式Δ<0时,ax2+bx+c>0(a>0)的 解集为R;ax2+bx+c<0(a>0)的解集为?.二 者不要混为一谈.

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考向瞭望·把脉高考

考情分析 从近几年高考试题分析,不等式的解法是每 年高考的必考内容,特别是一元二次不等式, 它与一元二次方程、二次函数相联系,三者 构成一个统一的整体,贯穿于高中数学的始 终.解不等式的题目,有时会单独出现在选 择题或填空题中,以求定义域或考查集合间 关系或直接求解不等式的形式出现,难度不 大,属于中低档题,有时会与函数、三角、
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解析几何、向量等知识相交汇,作为解题工
具出现在解答题中. 预测2012年高考,不等式仍将与其他知识交 汇进行考查,重点考查学生的计算能力

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真题透析 (2009年高考山东卷)在R上定义运算⊙: a⊙b=ab+2a+b,则满足x⊙(x-2)<0的实数x 的取值范围为( ) A.(0,2) B.(-2,1) C.(-∞,-2)∪(1,+∞) D.(-1,2) 【解析】∵ x ⊙(x-2)=x(x-2)+2x+x-2<0, ∴ x2+x-2<0. ∴ -2<x<1. 【答案】 B 【名师点评】 对于这类问题,应紧抓“定 义”,转化为一般关系式,从而进行求解.


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名师预测

1.不等式x(x-a+1)>a的解集是{x|x<-1或
x>a},则( )

A.a≥1
C.a>-1

B.a<-1
D.a∈R

解析:选C.∵解集为{x|x<-1或x>a},
∴a>-1.
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2.已知集合M={x|x2-2010x-2011>0},N= {x|x2+ax+b≤0},若M∪N=R,M∩N= (2011,2012],则( ) A.a=2011,b=-2012 B.a=-2011,b=2012 C.a=2011,b=2012 D.a=-2011,b=-2012 解析:选D.化简得M={x|x<-1或x>2011}, 由M∪N=R,M∩N=(2011,2012]可知N={x|- 1≤x≤2012,即-1,2012是方程x2+ax+b=0的两 个根. 所以b=-1×2012=-2012,-a=-1+2012, 即a=-2011.
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3.若不等式-4<2x-3<4 与不等式 x2+px+q<0 p 的解集相同,则 =________. q 1 7 解析:由-4<2x-3<4 得- <x< , 2 2 7 1 由题意得 - =-p, 2 2

1 7 p 12 (- )× =q,∴ = . 2 2 q 7 12 答案: 7
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4.当x∈(1,2)时,不等式x2+mx+4<0恒成立, 则m的取值范围是________.
?f?1?≤0, ? 解析:设 f(x)=x +mx+4,由题意得? ? ?f?2?≤0,
2

?5+m≤0, ? 即? ∴m≤-5. ?8+2m≤0. ?

答案:m≤-5

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