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【名师A计划】(全国通用)2017高考数学一轮复习 第九章 计数原理、概率与统计 第一节 计数原理习题 理


第一节
[基础达标] 一、选择题(每小题 5 分,共 25 分)

计数原理

1.将 3 封信投入 2 个不同的邮筒,则不同的投法有 A.5 种 B.6 种 C.8 种 D.9 种

(

)

1.C 【解析】分三步完成这件事:第一步,投第 1 封信,有 2 种投法;

第二步,投第 2 封信,有 2 种投法;第三步,投第 3 封信,有 2 种投法,故共有 2×2×2=8 种投法. 2.5 位来自不同省份参加数学竞赛辅导的同学和 3 位辅导老师站成一排拍照留念,如果 5 位 同学的顺序先确定,那么这 8 个人的站法总数为 A.256 B.288 C.312 D.336 ( )

2.D 【解析】将 3 位老师分 3 步插入队伍中,第一位老师有 6 种插法,第二位老师有 7 种插 法,第三位老师有 8 种插法,故共有 6×7×8=336 种站法. 3.同室的 4 个人各写了一张贺卡,先集中起来,然后每人从中拿一张别人送出的贺卡,则 4 张 贺卡不同的分配方式有 A.6 种 B.9 种 C.12 种 D.16 种 ( )

3.B 【解析】按甲拿其他三人的情况可分三类:第一类,甲拿乙的,则有三种情况,分别为乙 拿甲、丙拿丁、丁拿丙;乙拿丙、丙拿丁、丁拿甲;乙拿丁、丙拿甲、丁拿丙.同理,其他两类 情况甲拿丙和甲拿丁也分别有三种情况,由分类计数原理可知不同的分配方式共有 3+3+3=9 种. 4.一花坛如图,现有 5 种不同的花供选种,要求在每块地里种 1 种花,且相邻的 2 块种不同的 花,则不同的种法为 ( )

A.320

B.120

C.20

D.625

4.A 【解析】分四步完成这件事:第一步,在 A 中种花,有 5 种种法;第二步,在 B 中种花,有 4 种种法;第三步,在 C 中种花,有 4 种种法;第四步,在 D 中种花,有 4 种种法,根据分步计数 原理得共有 5×4×4×4=320 种种法. 5.将甲、乙、丙、丁四名学生分到两个不同的班,每个班至少分到一名学生,且甲、乙两名学 生不能分到同一个班,则不同的分法种数为 A.16 B.12 C.8 D.6
1

(

)

5.C 【解析】(解法 1)根据分类加法计数原理分类讨论:第一类,一组 1 人,一组 3 人,有甲 丙丁、乙和甲、乙丙丁两种情况,分到两个班级,有 4 种分法;第二类,每组 2 人,有甲丙、乙 丁和甲丁、 乙丙两种情况,分到两个班级,有 4 种分法,所以不同的分法种数共有 4+4=8 种.(解 法 2)由学生选班级:第一步,甲有 2 种选法;第二步,乙有 1 种选法;第三步,丙有 2 种选法;第 四步,丁有 2 种选法,由分步计数原理可得不同的分法种数共有 2×2×2=8 种. 二、填空题(每小题 5 分,共 30 分) 6.设集合 A 中有 3 个元素,集合 B 中有 2 个元素,可建立 A→B 的映射个数为

.

6.8 【解析】分三步,每一步都有 2 种方法,故可建立 A→B 的映射个数为 2×2×2=8. 7. (2015·宣城调研) 甲、乙、丙三位同学彼此独立地从 A,B,C,D,E 五所高校中,任选 2 所高 校参加自主招生考试(并且只能选 2 所高校),同学甲特别喜欢 A 高校,他除了选 A 校外,在

B,C,D,E 中再随机选一所,同学乙和丙对 5 所高校没有偏爱,都在 5 所高校中随机选 2 所,则
甲同学未选中 B 高校且乙、丙都选中 B 高校的种数为

.

7.48 【解析】甲同学有 3 种选法,乙、丙同学都分别有 4 种选法,由分步乘法计数原理可得 共有 3×4×4=48 种不同选法. 8. (2015·上海模拟) 由包含甲乙在内的 4 名运动员组成接力队,参加 4×100 米接力赛,那么 甲乙两人都不跑中间两棒的种数为

.

8.4 【解析】 分两步:第一步,安排中间 2 个位置有 2 种,第二步,安排首尾 2 个位置有 2 种, 由分步乘法计数原理可得共有 2×2=4 种不同方法. 9.在小语种自主招生考试中,某学校获得 5 个推荐名额,其中韩语 2 名,日语 2 名,俄语 1 名. 并且日语和韩语都要求必须有女生参加.学校通过选拔定下 3 女 2 男共 5 个推荐对象,则不同 的推荐方法共有 种.

9.24 【解析】分三类:第一类,参加韩语、日语的女生人数分别是 2,1,有 3×2=6 种不同的 推荐方法;第二类,参加韩语、日语的女生人数分别是 1,2,有 3×2=6 种不同的推荐方法;第 三类,参加韩语、日语的女生人数分别是 1,1,有 3×2×2=12 种不同的推荐方法,由分类加法 计数原理可得共有 6+6+12=24 种不同的推荐方法. 10. (2015·郑州模拟) 用数字 2,3 组成四位数,且数字 2,3 至少都出现一次,这样的四位数共 有 个.(用数字作答)

10.14 【解析】 若四位数中有 1 个 2,3 个 3 时,有 4 个这样的四位数;若四位数中有 2 个 2,2 个 3 时,有 6 个这样的四位数;若四位数中有 3 个 2,1 个 3 时,有 4 个这样的四位数,由分类加 法计数原理可得这样的四位数共有 4+6+4=14 个.
2

11. (2015·南昌十校二模) 某同学有同样的画册 2 本,同样的集邮册 3 本,从中取出 4 本赠送 给 4 位朋友,每位朋友 1 本,则不同的赠送方法共有 种.

11.10 【解析】分两类:第一类,取出 2 本画册,2 本集邮册,共 4 本赠送给 4 位朋友,每位朋 友 1 本,则不同的赠送方法有 6 种;第二类,取出 1 本画册,3 本集邮册,共 4 本赠送给 4 位朋 友,每位朋友 1 本,则不同的赠送方法有 4 种,由分类加法计数原理可得不同的赠送方法共有 6+4=10 种.

[高考冲关] 1.(5 分) (2015·河南实验中学期中考试) 已知集合 A={1,2,3,4},B={a,b,c},f:A→B 为集合

A 到集合 B 的一个函数,那么该函数的值域 C 的不同情况有
A.7 种 B.4 种 C.8 种 D.12 种

(

)

1.A 【解析】分三类:第一类,值域 C 只含有一个元素时,有{a},{b},{c}3 种情况;第二类, 值域 C 有两个元素时,有{a,b},{a,c},{b,c}3 种情况;第三类,值域 C 有三个元素时,有 {a,b,c}1 种情况,由分类加法计数原理可得值域 C 的不同情况有 3+3+1=7 种. 2.(5 分) (2015·天津南开中学模拟) 有 10 件不同的电子产品,其中有 2 件产品运行不稳定. 技术人员对它们进行一一测试,直到 2 件不稳定的产品全部找出后测试结束,则恰好 3 次就结 束测试的方法种数是 A.16 B.24 C.32 D.48 ( )

2.C 【解析】分两类:第一类,第 1 次测试的产品稳定,第 2,3 次测试产品不稳定,有 8×2×1=16 种;第二类,第 2 次测试的产品稳定,第 1,3 次测试产品不稳定,有 2×8×1=16 种, 由分类加法计数原理得共有 16+16=32 种种法. 3.(5 分) (2015·赣州测试) 从某班成员分别为 3 人,3 人和 4 人的三个学习小组中选派 4 人 组成一个环保宣传小组,则每个学习小组都至少有 1 人的选派方法种数是 A.130 B.128 C.126 D.124 ( )

3.C 【解析】分三类:第一类,选派人数分别为 2,1,1,有 3×3×4=36 种;第二类,选派人数 分别为 1,2,1,有 3×3×4=36 种;第三类,选派人数分别为 1,1,2,有 3×3×6=54 种,由分类加 法计数原理可得共有 36+36+54=126 种不同选派方法. 4.(5 分) (2015·潍坊二模) 某公司新招聘 5 名员工,分给下属的甲、 乙两个部门,其中两名英 语翻译人员不能分给同一部门;另三名电脑编程人员不能都分给同一个部门,则不同的分配 方案种数是 ( )
3

A.6

B.12

C.24

D.36

4.B 【解析】分两步:第一步,将两名英语翻译人员分给甲、乙两个部门,每个部门 1 个,有 2 种方法;第二步,将三名电脑编程人员分给甲、乙两个部门,有两类,一是甲部门 1 名,乙部 门 2 名,有 3 种方法,二是甲部门 2 名,乙部门 1 名,有 3 种方法,则这一步有 6 种方法,由分步 乘法计数原理得共有 2×6=12 种不同的分配方案. 5.(5 分) (2015·西安八校联考) 现有 12 件商品摆放在货架上,摆成上层 4 件下层 8 件,现要 从下层 8 件中取 2 件调整到上层,若其他商品的相对顺序不变,则不同调整方法的种数是( A.420 B.560 C.840 D.20 160 )

5.C 【解析】分三步:第一步,从 8 件商品中取 2 件,有 8×7÷2=28 种取法;第二步,将取出 的第一件商品放入上层,有 5 种放 法;第三步,将取出的第二件商品放入上层,有 6 种放法,由分步乘法计数原理可得共有 28×5×6=840 种不同的调整方法. 6.(5 分)如果一条直线与一个平面平行,那么称此直线与平面构成一个“平行线面组”.在 一个长方体中,由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行线面组”的个数 是 A.60 B.48 C.36 D.24 ( )

6.B 【解析】长方体的 6 个表面构成的“平行线面组”有 6×6=36 个;另含 4 个顶点的 6 个对角面构成的“平行线面组”有 6×2=12 个,故共有 36+12=48 个. 7.(5 分)(2015·黄山二模) 某人设计一项单人游戏,规则如下:先将一棋子放在如图所示正 方形 ABCD(边长为 3 个单位)的顶点 A 处,然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针 方向行走的单位,如果掷出的点数为 i(i=1,2,?,6),则棋子就按逆时针方向行走 i 个单位, 一直循环下去.则某人抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点 A 处的所有不同走法共有 ( )

A.22 种

B.24 种

C.25 种

D.36 种

7.C 【解析】由题意知正方形 ABCD(边长为 3 个单位)的周长是 12,抛掷三次骰子后棋子恰 好又回到点 A 处表示三次骰子的点数之和是 12,列举出在点数中三个数字能够使得和为 12 的有 1,5,6;2,4,6;3,4,5;3,3,6;5,5,2;4,4,4;共有 6 种组合,前三种组合又分别有 6 种结果, 第四、五种组合分别有 3 种结果,最后一种有 1 种结果.根据分类计数原理知共有 3×6+2×3+1=25 种结果.
4

8.(5 分)用红、黄、蓝、白、橙五种不同颜色的鲜花布置如图所示的花圃,要求同一区域用 同一种颜色鲜花,相邻区域使用不同颜色鲜花,且恰有两个区域用红色鲜花,问共有 种不同的摆放方案.

8.72 【解析】如图,当区域 A,D 同为红色时,共有 4×3×3=36 种;当区域 B,E 同为红色时, 共有 4×3×3=36 种;因此,适合题意的摆放方案有 36+36=72 种.

5


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