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中考数学压轴题解题策略(2)相似三角形的存在性问题


相似三角形的存在性问题解题策略 专题攻略
相似三角形的判定定理有 3 个,其中判定定理 1 和判定定理 2 都有对应角相等的条件, 因此探求两个三角形相似的动态问题,一般情况下首先寻找一组对应角相等. 判定定理 2 是最常用的解题依据, 一般分三步: 寻找一组等角, 分两种情况列比例方程, 解方程并检验,如例题 1、2、3、4. 应用判定定理 1 解题,先寻找一组等角,

再分两种情况讨论另外两组对应角相等,如例 题 6. 应用判定定理 3 解题不多见,如例题 5,根据三边对应成比例列连比式解方程(组) .

例题解析
例? 如图 1-1,抛物线 y ?

1 2 3 ,与 x ? x ? 4 与 x 轴交于 A、B 两点(A 点在 B 点左侧) 8 2

y 轴交于点 C.动直线 EF(EF//x 轴)从点 C 开始,以每秒 1 个单位的速度沿 y 轴负方向平 移,且分别交 y 轴、线段 BC 于 E、F 两点,动点 P 同时从点 B 出发,在线段 OB 上以每秒 2 个单位的速度向原点 O 运动.是否存在 t,使得△BPF 与△ABC 相似.若存在,试求出 t 的值;若不存在,请说明理由.

图 1-1 【解析】△BPF 与△ABC 有公共角∠B,那么我们梳理两个三角形中夹∠B 的两条边.

1 2 3 x ? x ? 4 ,可得 A(4, 0)、B(8, 0)、C(0, 4). 8 2 CE CO 1 于是得到 BA=4,BC= 4 5 .还可得到 ? ? . EF OB 2
△ABC 是确定的.由 y ? △BPF 中,BP=2t,那么 BF 的长用含 t 的式子表示出来,问题就解决了. 在 Rt△EFC 中,CE=t,EF=2t,所以 CF ? 5t . 因此 BF ? 4 5 ? 5t ? 5(4 ? t ) . 于是根据两边对应成比例,分两种情况列方程: ①当

4 BA BP 4 2t 时, .解得 t ? (如图 1-2) . ? ? 3 BC BF 4 5 5(4 ? t )
BA BF 20 4 5(4 ? t ) 时, .解得 t ? (如图 1-3) . ? ? BC BP 7 2t 4 5

②当

图 1-2 A 和 x 轴正半轴上的点 B, AO=BO=2,∠AOB=120°. (1)求这条抛物线的解析式; (2)连结 OM,求∠AOM 的大小; (3)如果点 C 在 x 轴上,且△ABC 与△AOM 相似, 求点 C 的坐标.

图 1-3

例? 如图 2-1,在平面直角坐标系中,顶点为 M 的抛物线 y=ax2+bx(a>0)经过点

图 2-1 【解析】△ABC 与△AOM 中相等的一组角在哪里呢? 本题由简到难,层层深入.第(1)题求出抛物线的解析式,得到顶点 M 的坐标,为第 (2)题求∠AOM 的大小作铺垫;求得了∠AOM 的大小,第(3)题暗示了要在△ABC 中寻 找与∠AOM 相等的角. (1)如图 2-2,过点 A 作 AH⊥y 轴,垂足为 H.容易得到 A (?1, 3) . 再由 A (?1, 3) 、B(2,0)两点,可求得抛物线的解析式为 y ?

3 2 2 3 x ? x. 3 3

(2)由 y ?

3 2 2 3 3 3 3 ,得顶点 M (1, ? x ? x? ( x ? 1)2 ? ). 3 3 3 3 3 3 .所以∠BOM=30°.所以∠AOM=150°. 3

所以 tan ?BOM ?

图 2-2 (3)由 A (?1, 3) 、B(2,0),可得∠ABO=30°. 因此当点 C 在点 B 右侧时,∠ABC=∠AOM=150°. 所以△ABC 与△AOM 相似,存在两种情况:

①当

BA OA BA 2 3 . ? ? 3 时, BC ? ? ? 2 .此时 C(4,0)(如图 2-3) BC OM 3 3

②当

BC OA . ? ? 3 时, BC ? 3BA ? 3 ? 2 3 ? 6 .此时 C(8,0)(如图 2-4) BA OM

图 2-3
2

图 2-4

例? 如图 3-1, 抛物线 y=ax +bx-3 与 x 轴交于 A(1, 0)、 B(3, 0)两点, 与 y 轴交于点 D, 顶点为 C. (1)求此抛物线的解析式; (2)在 x 轴下方的抛物线上是否存在点 M,过 M 作 MN⊥x 轴于点 N,使以 A、M、N 为顶点的三角形与△BCD 相似?若存在,求出点 M 的坐标;若不存在,请说明理由.

图 3-1 【解析】△AMN 是直角三角形,因此必须先证明△BCD 是直角三角形.一般情况下, 根据直角边对应成比例分两种情况列方程. (1)抛物线的解析式为 y=-x2+4x-3. (2)由 y=-x2+4x-3=-(x-2)2+1,得 D(0,-3),C(2, 1). 如图 3-2,由 B(3, 0)、D(0,-3)、C(2, 1),可知∠CBO=45°,∠DBO=45°. 所以∠CBD=90°,且
BC 2 1 ? ? . BD 3 2 3

图 3-2 情况,因此列方程要“两次分类” :

图 3-3

图 3-4

设点 M、N 的横坐标为 x,那么 NM=-yM,而 NA 的长要分 N 在 A 的右边或左边两种

当 N 在 A 右侧时,NA=x-1,分两种情况列方程:
x ?1 10 NA BD 10 7 ? 3 .解得 x ? .此时 M ( , ? ) (如图 3-3) . ? ? 3 时, ( x ? 1)( x ? 3) 3 NM BC 3 9 x ?1 1 NA BC 1 ? .解得 x=6.此时 M(6,-15)(如图 3-5) ②当 . ? ? 时, ( x ? 1)( x ? 3) 3 NM BD 3

①当

当 N 在 A 左侧时,NA=1-x,也要分两种情况列方程:
1? x NA BD 8 ? 3 .解得 x ? >1,不符合题意(如图 3-4) . ? ? 3 时, ( x ? 1)( x ? 3) NM BC 3 1? x 1 NA BC 1 ? .解得 x=0,此时 M(0,-3)(如图 3-6) ②当 . ? ? 时, ( x ? 1)( x ? 3) 3 NM BD 3

①当

图 3-5

图 3-6

例? 如图 4-1, 在平面直角坐标系中, A(8,0), B(0,6), 点 C 在 x 轴上, BC 平分∠OBA. 点 P 在直线 AB 上,直线 CP 与 y 轴交于点 F,如果△ACP 与△BPF 相似,求直线 CP 的解析 式.

图 4-1 【解析】首先求得点 C(3,0).△ACP 与△BPF 中,相等的角在哪里啊? ①如图 4-2,当点 P 在线段 AB 上时,△ACP 与△BPF 中,∠APC 与∠BPF 是邻补角, 如果这两个邻补角一个是锐角,一个是钝角,两个三角形怎么可能相似呢?因此 CP 与 AB 是垂直的.可以求得 F(0,-4),于是直线 CF(CP)为 y ?

4 x ?4. 3
4 x ? 4. 3

②如图 4-3,当点 P 在 AB 的延长线上时,△ACP 与△BPF 有公共角∠P.于是∠OFC =∠PFB=∠A,可以求得 F(0, 4),因此直线 CF(CP)为 y ? ?

③如图 4-4,当点 P 在 BA 的延长线上时,∠B 与∠PCA 不可能相等.在△AOB 中,根 据大边对大角,∠B>∠BAO;∠BAO 又是△PCA 的一个外角,∠BAO>∠PCA.

图 4-2
2

图 4-3

图 4-4

例? 如图 5-1,二次函数 y=x +3x 的图象经过点 A(1,a),线段 AD 平行于 x 轴,交抛 物线于点 D. 在 y 轴上取一点 C(0, 2), 直线 AC 交抛物线于点 B, 连结 OA、 OB、 OD、 BD. 求 坐标平面内使△EOD∽△AOB 的点 E 的坐标;

图 5-1 【解法一】点 A、D、B 都是确定的,可以求得 A(1, 4),D(-4, 4),B(-2,-2). 所以 AO ? 17 , BO ? 2 2 , AB ? 3 5 , DO ? 4 2 . △EOD∽△AOB,对应边已经确定,因此我们可以根据判定定理 3 列方程. 由
EO 4 2 DE EO OD DE ? ? ,得 .所以 EO ? 2 17 , DE ? 6 5 . ? ? AO OB BA 17 2 2 3 5

2 2 ? ? x ? y ? 68, 设点 E 的坐标为(x, y),根据 EO2=68,DE2=180,列方程组 ? 解 2 2 ? ?( x ? 4) ? ( y ? 4) ? 180.

? x ? 8, ? x2 ? 2, 得? 1 ? ? y1 ? ?2, ? y2 ? ?8,

所以点 E 的坐标为(8,-2)或(-2, 8). 上面的解题过程是“盲解” ,我们并不明白两个三角形的位置关系. 【解法二】 如图 5-2, △AOB 是确定的, △AOB 与△EOD 有公共点 O, OB∶OD=1∶2, ∠BOD=90°. 如果△EOD∽△AOB,我们可以把△AOB 绕着点 O 顺时针旋转,使得点 B′落在 OD 上, 此时旋转角为 90°,点 B′恰好落在 OD 的中点. 按照这个运动规则,点 A(1, 4) 绕着点 O 顺时针旋转 90°,得到点 A′(4,-1),点 A′是 线段 OE 的中点,因此点 E 的坐标为(8,-2).

如图 5-3,点 E(8,-2)关于直线 OD(即直线 y=-x)对称的点为 E′(2,-8).

图 5-2

图 5-3

例? 如图 6-1,在△ABC 中,AB=AC=4 2 ,BC=8.⊙A 的半径为 2,动点 P 从点 B 出发沿 BC 方向以每秒 1 个单位的速度向点 C 运动.延长 BA 交⊙A 于点 D,连结 AP 交 ⊙A 于点 E,连结 DE 并延长交 BC 于点 F.设点 P 运动的时间为 t 秒,当△ABP 与△FBD 相似时,求 t 的值.

图 6-1 【解析】△ABC 是等腰直角三角形,⊙A 是确定的,先按照题意把图形补充完整. 如图 6-2 ,容易发现△ ABP 与△ FBD 有公共角∠ B ,如果根据对应边成比例列方程
BA BD BA BF 或 ,其中 BA=4 2 ,BP=t,BD=4 2 +2,但是用含 t 的式子表示 BF ? ? BP BF BP BD

困难重重啊!

图 6-2

图 6-3

图 6-4

我们另起炉灶,按照判定定理 1 来解决. △ABP 与△FBD 有公共角∠B,我们以∠D 为分类标准,分两种情况讨论它们相似: 第一种情况,如图 6-3,∠BAP=∠D 是不可能的,这是因为∠BAP 是等腰三角形 ADE 的外角,∠BAP=2∠D. 第二种情况,如图 6-4,当∠BPA=∠D 时,在△ABP 中,由于∠BAP=2∠D=2∠BPA, 因此 45°+3∠BPA=180°.解得∠BPA=45°. 此时△ABP 是等腰直角三角形,P 与 C 重合,所以 t=8. 解答这道题目,如果选取点 P 的 3 个不同位置,按照题意画图,可以帮助我们探究.在 讨论第二种情况∠BPA=∠D 时,我们容易被已知图 6-1 给定的点 P 的位置所误导,以为图

6-2 中“锐角∠D”与“钝角∠BPA”不可能相等. 更多、更详细内容,请查看华东师大出版社《挑战中考数学压轴题》 。


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