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广东省中山一中2014届高三上学期第二次统测数学理试题


中山一中 2014 届高三级第二次统测 理科数学试题
本试卷共 4 页,20 小题,满分 150 分。考试用时 120 分钟。 注意事项: 1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自已的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答 题卡上。用 2B 铅笔把答题卡上考生号信息点涂黑。 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑,如需改动

, 用橡皮擦干净后,再选涂其它答案。答案不能答在试卷上。 3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须填写在答题卡各题目指定区域内相应位置 上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求 作答的答案无效。

一、选择题: (本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的) 1.已知集合 M ? ?1, 2,3? , N ? x ? Z 1 ? x ? 4 ,则 ( A. M ? N B. N ? M C. M ? N ? {2,3} )

?

?

) D. M ? N ? (1, 4)

2.等差数列 ? an ? 中,“ a1 ? a3 ”是“ an ? an ?1 ”的 ( A.充分而不必要条件 C.充分必要条件

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

sin 2 350 ?
3.化简

sin 200

1 2?
1 2

A.

1 2

B. ?

C. ?1

D.

1

4.已知等比数列 ? an ? 的首项 a1 ? 1, 公比 q ? 2 ,则 log 2 a1 ? log 2 a2 ? ? ? log 2 a11 ? A. 50 B. 35 C. 55 D. 46 )

5.已知平面向量 a ? ?1, ?2 ? , b ? ? 4, m ? ,且 a ? b ,则向量 5a ? 3b ? ( A. (?7, ?16) B. (?7, ?34) C. (?7, ?4) D. (?7,14)

?

?

?

?

?

?

6. 命题, p : ?? , ? ? R ,使 tan(? ? ? ) ? tan ? ? tan ? ; 命题 ?q : ?x ? R , x ? x ? 1 ? 0 .则下列命题中真命题为(
2



·1·

A. p ? q

B. p ? ? ?q ?

C. ??p ? ? (?q)

D. ??p ? ? q

7.奇函数 f ( x) 满足对任意 x ? R 都有 f ( x ? 2) ? ? f ( x) 成立,且 f (1) ? 8 , 则 f (2012) ? f (2013) ? f (2014) 的值为 A. 2 B. 4 ( C. 6 ) D. 8

8.如右图所示, A, B, C 是圆 O 上的三点, CO 的延长线与线段 AB 交于圆内一点 D ,若 OC ? xOA ? yOB ,则 A. 0 ? x ? y ? 1 C. x ? y ? ?1 B. x ? y ? 1 D. ?1 ? x ? y ? 0

????

??? ?

??? ?

(

)

二、填空题: (本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.把答案填在答题卡的相应位置. ) 9.已知等差数列 ? an ? ,满足 a3 ? 1, a8 ? 6 ,则此数列的前 10 项的和 S10 ?
0 10.在 ?ABC 中, AB =2 3 , AC =2 , C =60 ,则 BC ?

11.已知向量 a ? (3,1) , b ? (1,3) , c ? (k , 7) ,若 (a ? c) ∥ b ,则 k =___ 12.若函数 f ? x ? 的导函数 f ??x ? ? x ? 4 x ? 3 ,则函数 f ?1 ? x ? 的单调减区间是 _____
2

?

?

?

? ?

?

13.一物体在力 F ( x ) ? ?

0 ? x ? 2, ?5, (单位: N )的作用下沿与力 F 相同的方向, ?3x ? 4, x ? 2
焦.

从 x ? 0 处运动到 x ? 4 (单位: m )处,则力 F ( x) 做的功为 14.下面有四个命题: ①函数 y ? sin x ? cos x 的最小正周期是 ? ;
4 4

②函数 y ? 3sin x ? 4 cos x 的最大值是 5; ③把函数 y ? 3 sin(2 x ? ④函数 y ? sin(x ?

?
3

) 的图象向右平移

? 得 y ? 3 sin 2 x 的图象; 6

?
2

) 在 (0, ? ) 上是减函数.

其中真命题的序号是 三、解答题(共 80 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. ) 15. (本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中,角 A 、 B 、 C 对的边分别为 a 、 b 、 c ,且 c ? 2, C ? 60?
·2·

(1)求

a?b 的值; sin A ? sin B

(2)若 a ? b ? ab ,求 ?ABC 的面积 S ?ABC .

16. (本小题满分 12 分) 已知向量 a ? (cos x,sin x), b ? (? cos x, cos x), c ? ( ?1, 0) (1)若 x ?

?

??

?

?
6

? ? , 求向量a , c 的夹角; , ] 时,求函数 f (x ) = 2a ? b +1 的最大值.

(2)当 x ? [

? 9?
2 8

17. (本小题满分 14 分) 已知单调递增的等比数列 ? an ? 满足: a2 ? a3 ? a4 ? 28 (I)求数列 ? an ? 的通项公式; (II)设 bn ? an log 2 an ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 S n , 且 a3 ? 2 是 a2 , a4 的等差中项

18. (本小题满分 14 分) 为了降低能源损耗,某体育馆的外墙需要建造隔热层.体育馆要建造可使用 20 年的隔热层,每 厘米厚的隔热层建造成本为 6 万元.该建筑物每年的能源消耗费用 C(单位:万元)与隔热层厚度 x (单位:cm)满足关系: C ? x ? ? 用为 8 万元.
·3·

k ( 0 ? x ? 10 , k 为常数),若不建隔热层,每年能源消耗费 3x ? 5

设 f ? x ? 为隔热层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和. (1)求 k 的值及 f ? x ? 的表达式; (2)隔热层修建多厚时,总费用 f ? x ? 达到最小,并求最小值.

19.(本小题满分 14 分)已知 f ( x) ? ? 4 ? 点 Pn (an , ?

1 数列 {a n } 的前 n 项和为 S n , x2 ,

1 ) 在曲线 y ? f (x) 上 (n ? N * ) ,且 a1 ? 1 , an ? 0 an ?1 (1)求数列 {a n } 的通项公式; T T 2 (2)数列 {bn } 的前 n 项和为 Tn 且满足 n ?21 ? n 2 ? 16n ? 8n ? 3 , b1 ? 1 , , an an ?1 求数列 {bn } 的通项公式;
(3)求证: S n ?

1 4n ? 1 ? 1, n ? N * . 2

20. (本小题满分14分) 已知函数 f ( x) ? (2 ? a)( x ? 1) ? 2ln x , g ( x) ? xe (1)当 a ? 1 时,求 f ( x) 的单调区间; (2)对任意的 x ? (0, ), f ( x) ? 0 恒成立,求 a 的最小值; (3)若对任意给定的 x0 ? ? 0, e? , 在 ? 0, e? 上总存在两个不同的xi (i ? 1, 2) , 使得 f ( xi ) ? g ( x0 ) 成立,求 a 的取值范围。 理科数学第三次统测参考答案 一、选择题:CCBC
1? x

( a ? R, e 为自然对数的底数)

1 2

ABDC
10. 4 , 11. 5 ,

二、填空题: 9. 35 ,

·4·

12.

? 0, 2 ?

13.

36 ,

14. ① ② ③

三、解答题(共 70 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. ) 15.解: (1)由正弦定理可得:

a b c 2 2 4 3 , ? ? ? ? ? sin A sin B sin C sin 60? 3 3 2

所以 a ?

4 3 4 3 sin A, b ? sin B , 3 3

4 3 (sin A ? sin B) a?b 4 3 所以 …………………6 分 ? 3 ? sin A ? sin B sin A ? sin B 3 2 2 2 2 2 2 (2)由余弦定理得 c ? a ? b ? 2ab cos C ,即 4 ? a ? b ? ab ? (a ? b) ? 3ab ,
又 a ? b ? ab ,所以 (ab) ? 3ab ? 4 ? 0 ,解得 ab ? 4 或 ab ? ?1 (舍去) ,
2

所以 S?ABC ?

1 1 3 ab sin C ? ? 4 ? ? 3 2 2 2

…………………12 分

? 3 1 , ) 16.解: (1)当 x ? 时 , a ? ( 2 2 6
? ? ? 0 ?? a, c ?? ? ? ?
2

?

? ? ? ? a ?c 3 c o s a c, ? ? ? ? ? ? ? 2 | a ?c | | |

? ? 5? ?? a, c ? 的夹角为 …………5 分 6
2

b (2) f ( x) ? 2a? ? 1 ? 2(? cos x ? sin x cos x) ? 1 ? 2sin x cos? (2cos x ? 1)

? sin 2 x ? cos 2 x ? 2 sin(2 x ? ). 4

?

? 9? ? x ?[ , ] 2 8
当 2x ?

? 2x ?

?

? 2 3? ] ?[ , ? , ? sin(2 x ? ) ? [?1, 2 ] 4 2 4 4
.…………………12 分

?
4

?

3? ? ,即 x ? 时, f ( x) max ? 1 4 2
3

17 解: (1)由题意知: 2(a3 ? 2) ? a2 ? a4 ,即 a1q ? a1q ? 2a1q ? 4
2

又 a2 ? a3 ? a4 ? 28 ,即 a1q ? a1q ? a1q ? 28
2 3

所以 q ?

1 n (不合题意)或 q ? 2 ,? a1 ? 2 , 故 an ? 2 ……………………7 分 2
n
n

(2)由(1)知 an ? 2 , ? bn ? n ? 2

·5·

? Sn ? 1? 2 ? 2 ? 22 ? 3 ? 23 ? ? ? n ? 2n

? 2Sn ?

1? 22 ? 2 ? 23 ? ? ? (n ? 1) ? 2n ? n ? 2n ?1

? Sn ? 2Sn ? 2 ? 22 ? 23 ? ? ? 2n ? n ? 2n?1 ? (1 ? n) ? 2n?1 ? 2 ? Sn ? 2 ? (n ? 1) ? 2n ?1
…………………………………………14 分

18.解: (1)当 x ? 0 时, c ? 8 ,?k ? 40 ,? C ( x) ?

20 ? 40 800 …………………6 分 ? 6x ? (0 ? x ? 10) 3x ? 5 3x ? 5 800 (2) f ( x) ? 2(3x ? 5) ? ? 10 , 3x ? 5 800 800 ? 10 ? 2 2t ? ? 10 ? 70 . 设 3x ? 5 ? t , t ? [5,35] ,? y ? 2t ? t t 800 当且仅当 2t ? 这时 ,即t ? 20时等号成立。 x ? 5 ,因此 f ( x)最小值为70 t 即隔热层修建 5cm 厚时,总费用 f ? x ? 达到最小,最小值为 70 万元.………14 分 ? f ( x) ? 6 x ?
19 解: (1) ?

40 3x ? 5

1 a n ?1

? f (a n ) ? ? 4 ?

1 an
2

且a n ? 0

∴ ,

1 a n ?1
2

?

1 an
2

? 4(n ? N *)


∴数列 {

1 an
2

} 是等差数列,首项

1 1 ,公差 d=4 ∴ 2 ? 1 ? 4( n ? 1) 2 a1 an

∴ an ?
2

1 4n ? 3 ,

∴ an ?

1 (n ? N *) 4n ? 3

……………………5 分 (2)由 an ?

T T 1 2 (n ? N *) , n ?21 ? n 2 ? 16n ? 8n ? 3 an an ?1 4n ? 3

得 (4n ? 3)Tn?1 ? (4n ? 1)Tn ? (4n ? 3)( 4n ? 1)

? ∴ , 4n ? 1

Tn ?1

Tn ?1 4n ? 3

∴数列 ? ∴

T1 ? Tn ? ? 1 ,公差为 1 ? 是等差数列,首项为 4?3 ? 4n ? 3 ?
当 n ? 2时,b n ? Tn ? Tn ?1 ? 8n ? 7
·6·

Tn ? n, ?Tn ? 4n2 ? 3n , 4n ? 3

b1 ? 1也满足上式
(3)? an ?

∴ bn ? 8n ? 7

n? N *

…………………11 分

1 2 2 1 ? ? ? ( 4n ? 1 ? 4n ? 3) 4n ? 3 2 4n ? 3 4n ? 3 ? 4n ? 1 2

1? ( 5 ? 1) ? ( 9 ? 5) ? ? ? ( 4n ? 1 ? 4n ? 3) ? ? 2? 1 1 1 ……………14 分 ? 4n ? 1 ? ? 4n ? 1 ? 1 2 2 2 2 20.解: (1)当 a ? 1 时, f ( x) ? x ? 1 ? 2ln x, f ?( x) ? 1 ? , x ? Sn ? a1 ? a2 ? ? ? an ?
由 f ?( x) ? 0, x ? 2 ,由 f ?( x) ? 0,0 ? x ? 2. 故 f ( x) 的单调减区间为 ? 0, 2? , 单调增区间为 ? 2, ?? ? . (2)即对 x ? (0, ), a ? 2 ? …………3 分

1 2

2 ln x 恒成立。 x ?1

2 2 ( x ? 1) ? 2 ln x 2 ln x ? ? 2 2 ln x 1 x 令 l ( x) ? 2 ? ? , , x ? (0, ) ,则 l ' ( x) ? ? x 2 x ?1 2 ( x ? 1) ( x ? 1) 2

2 1 2 2 ?2(1 ? x) ? 2, x ? (0, ), m?( x) ? ? 2 ? ? ? 0, x 2 x x x2 1 1 m ? x ? 在 (0, ) 上为减函数,于是 m( x) ? m( ) ? 2 ? 2ln 2 ? 0, 2 2 1 1 ' 从而, l ( x) ? 0 ,于是 l ( x ) 在 (0, ) 上为增函数 , l ( x) ? l ( ) ? 2 ? 4 ln 2, 2 2 2ln x 故要 a ? 2 ? 恒成立,只要 a ? ? 2 ? 4ln 2, ?? ? , 即 a 的最小值为 2 ? 4ln 2 x ?1
再令 m( x) ? 2ln x ? (3) g ?( x) ? e
1? x

…7 分

? xe1? x ? (1 ? x)e1? x , 当 x ? (0,1) 时, g ?( x) ? 0, 函数 g ( x) 单调递增;
1?e

当 x ? ?1, e ? 时, g ?( x) ? 0 ,函数 g ( x) 单调递减?g(0)=0,g(1)=1,g(e)=e ? e 所以,函数 g ( x)在 ? 0, e? 上的值域为? 0,1?. 当 a ? 2 时,不合题意;

? 0,

2 (2 ? a) x ? 2 当 a ? 2 时, f ?( x) ? 2 ? a ? ? ? x x 2 2 故0 ? ① ? e, a ? 2 ? 2?a e

(2 ? a)( x ? x

2 ) 2 ? a , x ? ? 0, e?

·7·

此时,当 x 变化时 , f ?( x), f ( x) 的变化情况如下:

x
f ?( x)

(0,

2 ) 2?a


2 2?a
0 最小值

? 2 ? , e? ? ?2?a ?
+ 单调增

f ( x)

单调减

?, x ? 0, f ( x) ? ??, f( 2 2 ) ? a ? 2 ln , f (e) ? (2 ? a)(e ? 1) ? 2 2?a 2?a

?,对任意给定的 x0 ? ? 0, e? ,在区间 ? 0, e ? 上总存在两个不同的 xi (i ? 1, 2),
使得 f ( xi ) ? g ( x0 ) 成立,当且仅当 a 满足下列条件

2 2 ? ? ) ? 0, ?a ? 2 ln ? 0, ?f( 即? 2?a ? 2?a ? f (e) ? 1, ?(2 ? a)(e ? 1) ? 2 ? 1. ? ?
令 h(a) ? a ? 2ln

② ③

2 2 , a ? (??, 2 ? ), 2?a e 2 a h?(a) ? 1 ? 2[ln 2 ? ln(2 ? a)]? ? 1 ? ? , 令 h?(a) ? 0 ,得 a ? 0,a ? 2, 2?a a?2

当 a ? (??, 0) 时, h?(a) ? 0, 函数 h( a ) 单调递增 当 a ? (0, 2 ? ) 时, h?(a) ? 0, 函数 h( a ) 单调递减

2 e

所以,对任意 a ? (??, 2 ? ), 有 h(a) ? h(0) ? 0,

2 e

2 e 3 由③式解得: a ? 2 ? . e ?1
? ?

即②对任意 a ? (??, 2 ? ) 恒成立。 ④

综合①④可知,当 a ? ? ??, 2 ?

3 ? 时, 对任意给定的x0 ? ? 0, e? , e ? 1? ?

在 ? 0, e? 上总存在两个不同的xi (i ? 1, 2), 使 f ( xi ) ? g ( x0 ) 成立。…………14 分
·8·


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