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2013高考文科数学函数压轴题


盘点 2013 让理科生汗颜的文科压轴题
例证 1.2013 全国新课标 2 文科 (Ⅰ)求 f ( x) 的极小值和极大值; (Ⅱ)当曲线 y ? f ( x) 的切线 l 的斜率为负数时,求 l 在 x 轴上截距的取值范围。 解(Ⅰ).此题送分 易得 f(x)’=e^(-x)*x*(2-x)从而知道 f(x)极小值在 x=0 时取到,为 0.极大 值在 x=2 时取到,为 4e^(-2) (Ⅱ).此处第一步很关键,本人选用了令切点为(t,t^2*e^(-t))的做法,并通过求导得斜率, 列出直线方程。此法可解,但繁琐。正解中的答案更巧妙。如下 令切点为(t,f(t)). Y=f(t)’(x-t)+f(t) when Y=0 then x=t-f(t)/f(t)’ If m(t)=t-f(t)/f(t)’=t-t/(2-t)=t-2+2/(t-2)+3 According to (Ⅰ),t∈(-∞,0)∪(2,+∞) M(t)∈(-∞,0)∪【3+2√2,+∞) 例证 2.2013 广东高考文科 已知函数 f ( x) ? x e 。
2 ?x

设函数 f(x)=x^3-kx^2+x

(1).当 k=1 时,求 f(x)

得单调区间(2)当 K<0 时,求函数 f(x)在[k,-k]上的最小值 m 和最大值 n

解(1)易证得在 R 上单调递增 (2)1.当△=4k2-12=4(k+3)(k-3)≤0,即-3≤k<0 时,f′(x)≥0,f(x) 在[k,-k]上单调递增, 从而当 x=k 时,f(x)取得最小值 m=f(k)=k, 当 x=-k 时,f(x)取得最大值 M=f(-k)=-k3-k3-k=-2k3-k. 2..当△=4k2-12=4(k+3)(k-3)>0,即 k<-3 时,令 f′(x)=3x2-2kx+1=0 做到此处,相信广东数万文科考生无从下手了,笔者也是如此。解出 X1.X2 后的 形式是非常复杂的,跟别说还要比较大小了。因此,我们可以大胆地猜测,最大 值就在看,k,-k 时取到!接下来便是证明。

此处对相减后的式子进行化简是关键,如何去化非常重要,此处我体会也不深, 若各位道友有高见,不妨联系我,共同探讨。

例证 3.2013 湖北文科

解:本题第一小题与第二小题第一问,相信只要稍好的同学都可以解出

当拿到第二小问的时候,我怔住了,我不知道什么是几何平均数!这导致了我最 终答案只对了一半。遗憾!

由于一小问的惯性思维,致使本人此处未讨论 a=b,失败!

例证 4.2013 陕西数学文

一二两小问都较易,涉及反函数和构造新函数,反函数在浙江是个冷考点,要求 不高,但有此题看来,陕西对反函数要求也不高。 笔者建议读者看下今年陕西理科,与此题大同小异,前两题中理科略难,涉及分 类讨论,但最后一题竟然相同,打破本人文科第二题是理科第一题的想法。

(Ⅲ)做到此处,较易,因此内心较为放松,但看到 3,毫无头绪,我的想法如 下:首先,因为 f(a+b/2)我想到了凹凸函数,不知能否有所突破?但马上放弃。 因为后者与此无关。其次主元思想,并令 B-A=T.最后提取了公因式道也可行。 正解如下,其比我更巧,因为他把两元化成一元。

至此,2013 导数文科压轴题盘点结束,其余导数题难度不大,相信理科生大多 可解,文科生嘛,呵呵,我就不知道了。嘻嘻。欢迎志同道合的道友讨论各类学 科问题,加 Q1741269125. 杭州高级中学高三(11)班 邵旭东 以上摘自本人自编《高三题典.数学篇》


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