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《三维设计》2014新课标高考物理一轮总复习课件 第四章第3单元 圆周运动(66张ppt)


描述圆周运动的物理量及相互关系

[想一想]
甲、乙两物体都做匀速圆周运动,且r甲>r乙,试比较以 下几种情况下甲、乙两物体的向心加速度大小。 ①线速度相等 ②角速度相等 ③周期相等 v2 4π2 提示:由 a= r =ω2r= T2 · 可知,线速度相等时,a 甲 r
<a 乙,角速度和周期相等,均有 a 甲>a 乙。<

br />
[记一记]
描述圆周运动的物理量主要有线速度、角速度、周期、

转速、向心加速度、向心力等,现比较如下表:
定义、意义 公式、单位

①描述做圆周运动的物体运动 Δs 2πr 线 快慢 的物理量(v) ①v=Δt = T 速 m/s ②是矢量,方向和半径垂直,和 ②单位:____ 度 相切 圆周_____
角 ①描述物体绕圆心 转动快慢 速 物理量(ω) 度 ②中学不研究其方向 的

Δθ 2π ①ω=Δt = T
rad/s ②单位:_____

定义、意义

公式、单位

①周期是物体沿圆周运动 一圈
周期 _______的时间(T)

①T=
__

;单位:

2πr s v 和转 ②转速是物体在单位时间内转过 ②n 的 单 位 r/s 、 1 速 的______(n),也叫频率(f) r/min Hz 圈数 T ③f的单位: f=

向心 ①描述速度 方向 加速 理量(an) 度

变化快慢的物

v2 ①an= =ω2r r

圆心 ②方向指向_______

m/s2 ②单位:________

定义、意义 向 心 力 ①作用效果是产生向心加速度,只 改变线速度的 方向 ,不改变线速 度的大小 ②方向指向 圆心

公式、单位 v2 ①Fn =mω2r=m r = 4π2 m T2 r ②单位:N

2πr 相 ①v=rω= T =2πr f 互 v2 4π2r ②an= r =rω2=ωv= T2 =4π2f2r 关 v2 4π2r 2 系 ③Fn=m =mrω =m 2 =mωv=m4π2f2r r T

[试一试] 1.关于质点做匀速圆周运动的下列说法正确的是(
v2 A.由 a= r 知,a 与 r 成反比

)

B.由 a=ω2r 知,a 与 r 成正比 v C.由 ω= r 知,ω 与 r 成反比 D.由 ω=2πn 知, ω 与转速 n 成正比 v2 解析:由 a= r 知,只有在 v 一定时,a 才与 r 成反比,如果

v 不一定,则 a 与 r 不成反比,同理,只有当 ω 一定时,a 才与 r 成正比;v 一定时,ω 与 r 成反比;因 2π 是定值,故 ω 与 n 成正比,D 正确。

答案:D

匀速圆周运动和非匀速圆周运动

[想一想] 在圆周运动中,向心力一定指向圆心吗?合外 力一定指向圆心吗? 提示:无论匀速圆周运动,还是非匀速圆周运 动,向心力一定指向圆心,匀速圆周运动的合外力提 供向心力,一定指向圆心,非匀速圆周运动的合外力 不一定指向圆心。

[记一记]

1.匀速圆周运动

(1)定义:物体沿着圆周运动,并且线速度的 大小 处
处相等,这种运动叫做匀速圆周运动。 (2)性质:向心加速度大小 不变 ,方向总是指向

圆心 的变加速曲线运动。
(3)质点做匀速圆周运动的条件: 合力 大小 不变,方向始终与速度方向 垂直 且指向 圆心 。

2.非匀速圆周运动 (1)定义:线速度大小、方向均 发生变化 的圆周运 动。 (2)合力的作用: ①合力沿速度方向的分量Ft产生切向加速度,Ft=

mat,它只改变速度的 大小 。
②合力沿半径方向的分量Fn产生向心加速度,Fn= man,它只改变速度的 方向 。

[试一试]
2.如图4-3-1所示,一小球用细绳悬挂于O 点,将其拉离竖直位置一个角度后释放, 则小球以O点为圆心做圆周运动,运动中 小球所需向心力是
图4-3-1

(

)

A.绳的拉力
B.重力和绳拉力的合力 C.重力和绳拉力的合力沿绳方向的分力 D.绳的拉力和重力沿绳方向分力的合力

解析:分析向心力来源时就沿着半径方向求合力即可, 注意作出正确的受力分析图。如图所示,对小球进行受 力分析,它受到重力和绳子的拉力作用,向心力是指向 圆心方向的合力。因此,它可以是小球所受合力沿绳方

向的分力,也可以是各力沿绳方向的分力的合力。
答案:CD

离心现象 [想一想]
超链 接

如图4-3-2所示,游乐场的旋转飞椅非常刺激 有趣,当转速逐渐增大时,飞椅会飘得越来越高, 请思考其中的道理。

图4-3-2

提示:如图所示为飞椅受力图,由 Fcos θ=mg Fsin θ=mω2L · θ sin g 可得:cos θ=ω2L 可见,飞椅转速增大时,ω 增大,θ 增大,飞椅飘得 越来越高。

[记一记]

1.离心运动
(1)定义:做 圆周运动 的物体,在所受合外力突然 消失或不足以提供圆周运动所需 向心力 的情况下,所 做的逐渐远离圆心的运动。 (2)本质:做圆周运动的物体,由于本身的 惯性 ,

总有沿着圆周 切线方向 飞出去的倾向。

(3)受力特点:
①当F=mω2r时,物体做 匀速圆周 运动; ②当F=0时,物体沿 切线 方向飞出;
图4-3-3

③当F<mω2r时,物体逐渐 远离 圆心,做离心运 动。

2.近心运动
当提供向心力的合外力大于做圆周运动所需向心力 时,即F>mω2r,物体将逐渐 靠近 圆心,做近心运动。

[试一试]
3.下列关于离心现象的说法正确的是 ( )

A.当物体所受的离心力大于向心力时产生离心现象 B.做匀速圆周运动的物体,当它所受的一切力都消 失时,它将做背离圆心的圆周运动

C.做匀速圆周运动的物体,当它所受的一切力都突
然消失时,它将沿切线做直线运动 D.做匀速圆周运动的物体,当它所受的一切力都突 然消失时,它将做曲线运动

解析:物体做匀速圆周运动时,合外力必须满足物体所 需要的向心力F=mω2r。若F=0,物体由于惯性而沿切 线飞出,若F<mω2r,物体由于惯性而远离圆心,并不

是受到离心力作用。所以A、B、D均错,C正确。
答案:C

传动装置问题

1.同轴转动 各点共轴转动时,角速度相同,因此周期也相同。由 于各点半径不一定相同,线速度、向心加速度大小一般不同。

2.皮带传动
当皮带不打滑时,两轮边缘各点线速度大小相等。由于 各点半径不同,角速度、周期、向心加速度等都不相同。

3.在传动装置中各物理量的关系

在分析传动装置的物理量时,要抓住不等量和相
等量的关系,表现为:
(1)同一转轴的各点角速度 ω 相同,而线速度 v=ωr 与半径 r 成正比,向心加速度大小 a=rω2 与半径 r 成正 比。 (2)当皮带不打滑时,传动皮带、用皮带连接的两轮

边缘上各点的线速度大小相等,两皮带轮上各点的角速 v v2 度、向心加速度关系可根据 ω= r 、a= r 确定。

[例1]

如图4-3-4所示,一种向自行车车灯供电的小

发电机的上端有一半径r0=1.0 cm的摩擦小轮,小轮与自行 车车轮的边沿接触。当车轮转动时,因摩擦而带动小轮转动, 从而为发电机提供动力。自行车车轮的半径R1=35 cm,小

齿轮的半径R2=4.0 cm,大齿轮的半径R3=10.0 cm。求大齿
轮的转速n1和摩擦小轮的转速n2之比。(假定摩擦小轮与自行 车车轮之间无相对滑动)

图4-3-4

[尝试解题] 大、小齿轮间、摩擦小轮和车轮之间和皮带传动原理 相同,两轮边沿各点的线速度大小相等,由v=2πnr可知 转速n和半径r成反比;小齿轮和车轮同轴转动,两轮上各 点的转速相同。大齿轮与小齿轮转速之间的关系为: n1∶n小=R2∶R3。车轮与小齿轮之间的转速关系为:n车 =n小。车轮与摩擦小轮之间的关系为:n车∶n2=r0∶R1。 由以上各式可解出大齿轮和摩擦小轮之间的转速之比为: n1∶n2=2∶175。 [答案] 2∶175 解答传动装置问题时,关键是分析传动过程的不变量。

竖直平面内的圆周运动问题

对于物体在竖直面内做的圆周运动是一种典型的变速
曲线运动,该类运动常见两种模型——轻绳模型和轻杆模 型,分析比较如下: 轻绳模型 轻杆模型

常见类型 均是没有支撑的小球 过最高点的

均是有支撑的小球

由小球能运动即可得 v2 由 mg=m r 得 v 临= gr 临界条件 v临=0

轻绳模型
(1)过最高点时, v≥ gr,FN+mg= v2 m r ,绳、轨道对球 产生弹力 FN

轻杆模型

讨论 分析

(1)当 v=0 时,FN=mg,FN 为支 持力,沿半径背离圆心 (2)当 0<v< gr时,-FN+mg= v2 m r ,FN 背向圆心,随 v 的增大而 减小 (2)不能过最高点 v< (3)当 v= gr时,FN=0 gr,在到达最高点 v2 (4)当 v> gr时,FN+mg=m r , 前小球已经脱离了圆

轨道

FN 指向圆心并随 v 的增大而增大

在最 高点 的FN 图线 取竖直向下为正方向

取竖直向下为正方向

[例2]长L=0.5 m质量可忽略的细杆,其
一端可绕O点在竖直平面内无摩擦地转动, 另一端固定着一个小球A。A的质量为m=2 kg,

如图4-3-5所示,求在下列两种情况下,球
在最高点时杆对小球的作用力: (1)A 在最低点的速率为 21 m/s; (2)A在最低点的速率为6 m/s。 [审题指导]

图4-3-5

(1)小球由最低点到最高点的过程中,机械能守恒。

(2)细杆对小球作用力的方向可竖直向上,也可竖直
向下。

[尝试解题] 设小球在最高点速度为v,对小球A由最低点到最高点过 程,取圆周的最低点为参考平面,由机械能守恒定律得, 1 mv +mg· 2L= mv02① 2
2

1 2

在最高点,假设细杆对A的弹力F向下,则A的受力图如 图所示。 以A为研究对象,由牛顿第二定律得 v2 mg+F=m L ② v2 所以F=m( L -g)③

(1)当v0= 21 m/s时,由①式得v=1 m/s,④ 12 F=2×( -10) N=-16 N,⑤ 0.5 负值说明F的实际方向与假设向下的方向相反,即杆给A 向上16 N的支持力。

(2)当v0=6 m/s时,由①式得v=4 m/s;⑥ 42 F=2×( -10) N=44 N。 0.5 正值说明杆对A施加的是向下44 N的拉力。

[答案] (1)16 N

方向向上

(2)44 N

方向向下

求解竖直平面内圆周运动问题的思路
(1)定模型:首先判断是轻绳模型还是轻杆模型。

(2)确定临界点:v 临= gr,对轻绳模型来说是能否通过最高点的 临界点,而对轻杆模型来说是 FN 表现为支持力还是拉力的临界点。

(3)研究状态:通常情况下竖直平面内的圆周运动只涉及最高点和 最低点的运动情况。

(4)受力分析:对物体在最高点或最低点时进行受力分析,根据牛 顿第二定律列出方程,F 合=F 向。
(5)过程分析:应用动能定理或机械能守恒定律将初、末两个状态 联系起来列方程。

圆周运动中的临界问题

[例3]如图4-3-6所示,细绳一端系
着质量M=0.6 kg的物体A,静止于水平面, 另一端通过光滑小孔吊着质量m=0.3 kg的 物体B,A的中点与圆孔距离为0.2 m,且A 和水平面间的最大静摩擦力为2 N,现使此 平面绕中心轴线转动,问角速度ω满足什么条件时,物 体B会处于静止状态?(g=10 m/s2)
图4-3-6

[审题指导]

第一步:抓关键点
关键点 光滑小孔 最大静摩擦力为2 N 物体B处于静止状态 第二步:找突破口 物体A刚好不向里滑和刚好不向外滑,分别对应平面 转动的角速度的最小值和最大值。 为2 N 细绳中拉力大小为mg=3 N 获取信息 细绳各处张力大小相等

物体A刚要滑动时的摩擦力大小

[尝试解题] 要使B静止,A应与水平面相对静止,考虑A能与水平面相

对静止的两个极限状态:
当ω为所求范围的最小值时,A有向圆心运动的趋势,水 平面对A的静摩擦力方向背离圆心,大小等于最大静摩擦力2

N,此时对A有:FT-Ffm=Mω12r,B静止时受力平衡,FT=
mg=3 N,解得ω1≈2.9 rad/s 当ω为所求范围的最大值时,A有远离圆心运动的趋势,

水平面对A的摩擦力方向指向圆心,且大小也为2 N,此时对A
有:FT+Ffm=Mω22r 解得ω2≈6.5 rad/s 故ω的范围为:2.9 rad/s≤ω≤6.5 rad/s [答案] 2.9 rad/s≤ω≤6.5 rad/s

处理临界问题的解题步骤

(1)判断临界状态:有些题目中有“刚好”“恰好”“正
好”等字眼,明显表明题述的过程存在着临界点;若题 目中有“取值范围”“多长时间”“多大距离”等词语,表明 题述的过程存在着“起止点”,而这些起止点往往就是临 界状态;若题目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼,

表明题述的过程存在着极值,这个极值点也往往是临界
状态。

(2)确定临界条件:判断题述的过程存在临界状态之
后,要通过分析弄清临界状态出现的条件,并以数学形 式表达出来。 (3)选择物理规律:当确定了物体运动的临界状态和 临界条件后,要分别对于不同的运动过程或现象,选择

相对应的物理规律,然后再列方程求解。

超链 接

分析计算圆周运动问题时,常会遇到由重力和弹力 (可以是支持力,也可以是绳子的拉力)的合力提供向心

力,而在水平面上做匀速圆周运动的一类问题——圆锥
摆运动。因此,掌握圆锥摆运动特征可以快速解决这一 类圆周运动问题。

下面为两个常用的圆锥摆运动规律:

1.圆锥摆的向心加速度α=gtan α 设摆球质量为m,摆线长为L,摆线与竖直方向夹角 为α,由图可知,F合=mgtan α 又F合=ma向, 故a向=gtan α 可见摆球的向心加速度完全由α
图4-3-7

决定,与摆线长无关,即与运动的半径无关。

2.圆锥摆的周期T=2π

h g

4π2 由F合=m 2 · Lsin α和F合=mgtan α可推理得圆锥摆的 T 周期T=2π Lcos α g

设摆球圆周运动的平面到悬点的距离为h,则h=Lcos α, 故T=2π h g

由此可见,圆锥摆的周期完全由悬点到运动平面的距 离决定,与小球的质量、摆线长度无关。

[典例]

如图 4-3-8 所示,一个内壁光

滑的圆锥筒的轴线垂直于水平面,圆锥筒固定 不动, 有两个质量相同的小球 A 和 B 紧贴着内 壁分别在图中所示的水平面内做匀速圆周运 图4-3-8 动,则下列说法正确的是 ( )

A.球 A 的线速度必定大于球 B 的线速度 B.球 A 的角速度必定小于球 B 的角速度 C.球 A 的运动周期必定小于球 B 的运动周期 D.球 A 对筒壁的压力必定大于球 B 对筒壁的压力

[解析]

根据上述规律可知,此题中的 A、B 两小球实

v2 4π2R 际上是具有相同的向心加速度,根据 a= R =Rω2= T2 可 知,加速度相同时,半径越大,线速度越大,角速度越小, 周期越大,即由 RA>RB,可知 vA>vB,ωA<ωB,TA>TB,则 选项 A、B 正确,C 错误。由于 A、B 质量相同,在相同的 倾斜面上,则向心力相等,进一步可知两球所受的弹力相 等,故可知选项 D 错误。

[答案] AB

[题后悟道]

比较两个圆周运动的各物理量之间关

系时,实际上就是找出两个圆周运动之间存在的隐含的 相同因素,然后用控制变量法即可判断各物理量的关系。

而上述两类特殊规律正是反映了不同圆周运动之间的相
同因素,是分析圆周运动问题经常遇到的类型,希望同 学们能够掌握。若例题中两小球质量不相等,则上述运

动量仍然符合规律,只是弹力和向心力发生变化而已,
这是在分析问题时要注意的一个细节问题。

长度不同的两根细绳悬于同一点,另一 端各系一个质量相同的小球,使它们在同一 水平面内做圆锥摆运动,如图4-3-9所示,
图4-3-9

则有关两个圆锥摆的物理量相同的是(
A.周期 C.向心力

)

B.线速度的大小 D.绳的拉力

解析:设 O 到小球所在水平面的距离为 h,对球进行受力 4π2 分析如图所示,得 F 向=F 合=mg· α=m T2 · tan α,解 tan h· 得 T= 4π2h g ,故周期与 α 角无关,则选项 A 对,B、C

mg 错。又知 F 拉=cos α,故绳的拉力不同,选项 D 错。

答案:A

[随堂巩固落实]
1.全国铁路大面积提速后,京哈、京沪、京广、胶济

等提速干线的部分区段时速可达300公里,我们从济南
到青岛乘“和谐号”列车就可以体验时速300公里的追风 感觉。火车转弯可以看成是在水平面内做匀速圆周运动,

火车速度提高会使外轨受损。为解决火车高速转弯时外
轨受损这一难题,以下措施可行的是 A.适当减小内外轨的高度差 B.适当增加内外轨的高度差 C.适当减小弯道半径 D.适当增大弯道半径 ( )

解析:设火车轨道平面的倾角为 α 时,火车转弯时内、外 v2 轨均不受损,根据牛顿第二定律有 mgtan α=m r ,解得 v = grtan α,所以为解决火车高速转弯时外轨受损这一难 题, 可行的措施是适当增大角 α(即适当增加内外轨的高度 差)和适当增大弯道半径 r。

答案:BD

2.在光滑的水平桌面上,有两个小球固

定在一根长为L的杆的两端,绕杆上
的O点做圆周运动,如图4-3-10所 示。当小球1的速度为v1时,小球2的 速度为v2,则转轴O到小球2的距离是
Lv1 A. ?v1+v2? L?v1+v2? C. v1 Lv2 B. ?v1+v2? L?v1+v2? D. v
2

图4-3-10

(

)

解析:设杆转动的角速度为 ω,转轴 O 到小球 2 的距离为 r2, 则有:v1=ω(L-r2) v2=ωr2 Lv2 解得:r2= ,故 B 正确。 v1+v2

答案:B

3.(2012· 上海期末)如图4-3-11所示,倾角30°的斜面 连接水平面,在水平面上安装半径为R的半圆竖直挡 板,质量为m的小球从斜面上高为R/2处静止释放, 到达水平面恰能贴着挡板内侧运动。不计小球体积,

不计摩擦和机械能损失。则小球沿挡板运动时对挡板
的力是 ( )

图4-3-11

A.0.5mg C.1.5mg

B.mg D.2mg

解析:质量m的小球从斜面上高为R/2处静止释放,由
机械能守恒定律可得,到达水平面时速度的二次方v2 =gR,小球在挡板弹力作用下做匀速圆周运动,F= mv2/R,由牛顿第三定律,小球沿挡板运动时对挡板的 力F′=F,联立解得F′=mg,选项B正确。

答案:B

4.如图4-3-12所示,靠摩擦传动做匀速转动的大、小

两轮接触面互不打滑,大轮半径是小轮半径的2倍,
A、B分别为大、小轮边缘上的点,C为大轮上一条半 径的中点,则 A.两轮转动的角速度相等 B.小轮转动的角速度是大轮的2倍 C.质点加速度aA=2aB D.质点加速度aB=2aC
图4-3-12

(

)

解析:两轮不打滑,边缘质点线速度大小相等,vA= 1 vB,而 rA=2rB,故 ωA=2ωB,A 错误,B 正确;由 a v2 aA rB 1 aA rA 2 = r 得a =r =2,C 错误;由 a=ω r,得a =r =2, B A C C aB 则a =4,D 错误。 C

答案:B

5.如图4-3-13所示,半径为R的光滑圆形轨道竖

直固定放置,小球m在圆形轨道内侧做圆周运
动,对于半径R不同的圆形轨道,小球m通过 轨道最高点时都恰好与轨道间没有相互作用
图4-3-13

力。下列说法中正确的是

(

)

A.半径R越大,小球通过轨道最高点时的速度越大 B.半径R越大,小球通过轨道最高点时的速度越小 C.半径R越大,小球通过轨道最低点时的角速度越大 D.半径R越大,小球通过轨道最低点时的角速度越小

解析:小球通过最高点时都恰好与轨道间没有相互作用 mv02 力,则在最高点 mg= R ,即 v0= gR,选项 A 正确 而 B 错误;由动能定理得,小球在最低点的速度为 v= v 5gR,则最低点时的角速度 ω=R= 确而 C 错误。 5g R ,选项 D 正

答案:AD

6.(2012· 福建高考)如图4-3-14,置

于圆形水平转台边缘的小物块随转
台加速转动,当转速达到某一数值 时,物块恰好滑离转台开始做平抛
图4-3-14

运动。现测得转台半径R=0.5 m,离水平地面的高 度H=0.8 m,物块平抛落地过程水平位移的大小x=

0.4 m。设物块所受的最大静摩擦力等于滑动摩擦力,
取重力加速度g=10 m/s2。求: (1)物块做平抛运动的初速度大小v0; (2)物块与转台间的动摩擦因数μ。

解析:(1)物块做平抛运动,在竖直方向上有 1 2 H=2gt ① 在水平方向上有 x=v0t② g 由①②式解得 v0=x 2H=1 m/s③ (2)物块离开转台时,最大静摩擦力提供向心力,有

v02 Ffm=m R ④ Ffm=μFN=μmg⑤ 由③④⑤式解得 μ=0.2 v02 μ=gR

答案:(1)1 m/s

(2)0.2

(给有能力的学生加餐)

1.如图1所示,质量为m的小球在竖直平面 内的光滑圆环轨道上做圆周运动。圆环 半径为R,小球经过圆环最高点时刚好
图1

不脱离圆环,则其通过最高点时( A.小球对圆环的压力大小等于 mg
B.小球受到的向心力等于 0 C.小球的线速度大小等于 gR D.小球的向心加速度大小等于 g

)

解析: 小球在最高点时刚好不脱离圆环, 则圆环刚好对小 球没有作用力, 小球只受重力, 重力竖直向下提供向心力, mg 根据牛顿第二定律得小球的向心加速度大小为 a= m = v2 g,再根据圆周运动规律得 a= R =g,解得 v= gR。

答案:CD

2.一般的曲线运动可以分成很多小段, 每小段都可以看成圆周运动的一部 分,即把整条曲线用一系列不同半 径的小圆弧来代替。如图2甲所示, 曲线上A点的曲率圆定义为:通过
图2

A点和曲线上紧邻A点两侧的两点作一圆,在极限情 况下,这个圆就叫做A点的曲率圆,其半径ρ叫做A点 的曲率半径。现将一物体沿与水平面成α角的方向以 速度v0抛出,如图乙所示。则在其轨迹最高点P处的

曲率半径是

(

)

v02 A. g v02cos2α C. g

v02sin 2α B. g v02cos2α D. gsin α

解析:根据运动的分解,物体在最高点的速度等于水平分 速度, 即为 v0cos α, 在最高点看成是向心力为重力的圆周 ?v0cos α?2 ?v0cos α?2 运动的一部分,则 mg=m ,ρ= ,C 项 ρ g 正确。

答案:C

3.如图3所示,某同学用硬塑料管和一个质量
为m的铁质螺丝帽研究匀速圆周运动,将螺 丝帽套在塑料管上,手握塑料管使其保持竖 直并沿水平方向做半径为r的匀速圆周运动, 则只要运动角速度大小合适,螺丝帽恰好 图3

不下滑。假设螺丝帽与塑料管间的动摩擦因数为μ,
认为最大静摩擦力近似等于滑动摩擦力。则在该同 学手转动塑料管使螺丝帽恰好不下滑时,下述分析 正确的是 ( )

A.螺丝帽受的重力与最大静摩擦力平衡 B.螺丝帽受到杆的弹力方向水平向外,背离圆心 C.此时手转动塑料管的角速度 ω= mg μr

D.若杆的转动加快,螺丝帽有可能相对杆发生运动

解析:由于螺丝帽做圆周运动过程中恰好不下滑,则竖直方向 上重力与最大静摩擦力平衡,杆对螺丝帽的弹力提供其做匀速 圆周运动的向心力,有 mg=Ff=μFN=μmω2r,得 ω= g μr,

选项 A 正确,B、C 错误;杆的转动速度增大时,杆对螺丝帽 的弹力增大,最大静摩擦力也增大,螺丝帽不可能相对杆发生 运动,故选项 D 错误。

答案:A

4.如图4所示,在倾角为α=30°的光滑斜面上,

有一根长为L=0.8 m的细绳,一端固定在O点,
另一端系一质量为m=0.2 kg的小球,沿斜面做 圆周运动,若要小球能通过最高点A,则小球在

图4

最低点B的最小速度是

(

)

A.2 m/s C.2 5 m/s

B.2 10 m/s D.2 2 m/s

解析:通过 A 点的最小速度为:vA= gL· α=2 m/s,则根 sin 1 1 据机械能守恒定律得:2mvB2=2mvA2+2mgLsin α,解得 vB =2 5 m/s,即 C 选项正确。

答案:C

5.如图 5 所示,长为 r 的细杆一端固定一个 质量为 m 的小球,使之绕另一端 O 在竖 直面内做圆周运动,小球运动到最高点 时的速度 v= gr/2,物体在这点时( A.小球对细杆的拉力是 mg/2
mg B.小球对杆的压力是 2 3 C.小球对杆的拉力是2mg D.小球对杆的压力是 mg
图5

)

解析:设在最高点,小球受杆的支持力 FN,方向向上, v2 1 则由牛顿第二定律得:mg-FN=m r ,得出 FN=2mg, 1 故杆对小球的支持力为 2mg,由牛顿第三定律知,小球 1 对杆的压力为2mg,B 正确。 答案:B

6.(2013 · 江西模拟)用一根细线一端系一小球(可视为质 点),另一端固定在一光滑锥顶上,如图6所示, 设小球在水平面内做匀速圆周运动的 角速度为ω,细线的张力为FT,则FT随
图6

ω2变化的图象是图7中的

(

)

图7

解析:小球角速度ω较小,未离开锥面时,如图所示。
设细线的张力为FT,线的长度为L,锥面对小球的支持 力为FN,则有FTcos θ+FNsin θ=mg,FTsin θ-FNcos θ =mω2Lsin θ,可得出:FT=mgcos θ +mω2Lsin 2θ,可见随ω由0开始增加, FT由mgcos θ开始随ω2的增大线性增大, 当角速度增大到小球飘离锥面时,FT· α=mω2Lsin α, sin 得FT=mω2L,可见FT随ω2的增大仍线性增大,但图线

斜率增大了,综上所述,只有C正确。
答案:C

7.小明站在水平地面上,手握不可 伸长的轻绳一端,绳的另一端系有质量 为 m 的小球,甩动手腕,使球在竖直平 面内做圆周运动。当球某次运动到最低 点时,绳突然断掉,球飞行水
图8

平距离 d 后落地,如图 8 所示。已知握绳的手离地面高 3 度为 d,手与球之间的绳长为4d,重力加速度为 g,忽略 手的运动半径和空气阻力。

(1)求绳断时球的速度大小v1和球落地时的速度大小v2。

(2)问绳能承受的最大拉力多大?
(3)改变绳长,使球重复上述运动,若绳仍在球运动到 最低点时断掉,要使球抛出的水平距离最大,绳长应为 多少?最大水平距离为多少?
解析:(1)设绳断后球飞行时间为 t,由平抛运动规律, 1 1 2 有竖直方向4d=2gt ,水平方向 d=v1t

得 v1= 2gd 由机械能守恒定律,有 1 1 3 2 2 2mv2 =2mv1 +mg(d-4d) 得 v2= 5 2gd

(2)设绳能承受的最大拉力大小为 FT, 这也是球受到绳的最大拉 力大小。 3 球做圆周运动的半径为 R=4d mv12 11 由圆周运动向心力公式,有 FT-mg= R 得 FT= 3 mg。

(3)设绳长为 l,绳断时球的速度大小为 v3,绳承受的最大拉力 v32 不变,有 FT-mg=m l 得 v3= 为 t1, 1 有 d-l=2gt12 x=v3t1 得 x=4 l?d-l? 3 8 3gl

绳断后球做平抛运动,竖直位移为 d-l,水平位移为 x,时间

d 2 3 当 l=2时,x 有极大值 xmax= 3 d。
答案:(1) 2gd 5 2gd 11 (2) 3 mg

d 2 3 (3)绳长为2时,最大水平距离为 3 d


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