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北师大版高一数学上学期期末测试卷1


高一必修 1+必修 2 数学检测试题 一、选择题(60 分) 1 设集合

A ? ? x | lg( x ? 1) ? 0? , B ? ? y | y ? 2 x , x ? R?

,则 A ? B ? (



A. (0,??) B(-1,0) C(0,1) D ? 2. 设集合 A 和集合 B 都是自然数集 N ,映射 f : A ? B 把集合 A 中的元素 n 映射到集合 B 中的元素

n2 ? n ,则在映射 f 下,像 20 的原像是(



A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 3. 直线 L1:ax+3y+1=0, L2:2x+(a+1)y+1=0, 若 L1∥L2,则 a 的值为( ) A.-3 B.2 C.-3 或 2 D.3 或-2

2 4.函数f(x)=lnx- 的零点所在的大致区间是( x A.(1,2) B.? 2,e? C. ? e,3? D. ? e, ?? ?
2 0.3

)

5、三个数 a ? 0.3 , b ? log2 0.3 , c ? 2 之间的大小关系是( ) A.a < c < b B.a < b < c C. b < a < c D. b < c < a A.若 m ? ?,? ? ? ,则 m ? ?

,n 是两条不同的直线, ?,?,? 是三个不同的平面,则下列说法正确的是( 6. 若 m
C.若 m ? ? , m ∥ ? ,则 ? ? ? D.若 ? ? ? , ? ⊥ ? ,则 ? ? ? 7.右图是一个几何体的三视图,根据图中数据,可得该几何体的表面积是 (
1 2

B.若 ? ? ? ? m ? ? ? ? n , m ∥ n ,则 ? ∥ ? )



A. (2 ?

5)?

B. 4? D.

主视图

左视图

C. (2 ? 2 2)?

6?
2 俯视图

8.已知定义在 R 上的奇函数 f(x)和偶函数 g(x)满足 f(x)+g(x)=ax-a-x+2(a>0,且 a≠1).若 g(2)=a,则 f(2)=( A.2 15 B. 4 ) 17 C. 4 D.a2

9.函数 f ( x) ?

x x ? 2 的图像大致形状是 x

10.正四棱台的上、下两底面边长分别为 3 和 6,其侧面积等于两底面积之和,则四棱台的高为( ) (A)2

5 (B) 2

(C)3

7 (D) 2

11、设函数 f(x)是 R 上的偶函数,且在 ?0,??? 上是减函数,若 x1 ? 0, 且 x1 ? x2 ? 0 ,则 A、 f ( x1 ) ? f (? x2 ) B、 f (? x1 ) ? f (? x2 ) C、 f (? x1 ) ? f (? x2 ) D、不能确定

12. 两圆相交于点 A(1,3) 、B(m,-1) ,两圆的圆心均在直线 x-y+c=0 上,则 m+c 的值为( ) A.-1 B.2 C .3 D.0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

二、填空题(共 16 分) 13.若直线 y=x+m 和曲线 y= 1-x 有两个不同的交点,则 m 的取值范围是________.
?x ? ?2 , x ? ? ??,1? , 1 f ( x) ? ? f ( x) ? log x , x ? (1, ?? ). ? ? 81 4 的 x 值为________; 14.设函数 则满足 15 一个正四面体的顶点都在一个球面上,已知这个球的表面积为 3? ,则正四面体的边长_______。

2

f ?x ? ? lg
16.关于函数

x2 ?1 ( x ? 0, x ? R) x

有下列命题,其中正确命题_______

①函数 y ? f ( x ) 的图象关于 y 轴对称;②在区间 ( ?? ,0) 上,函数 y ? f ( x ) 是减函数; ③函数 f ( x) 的最小值为 lg 2 ;④在区间 (1, ?) 上,函数 f ( x) 是增函数. 三、解答题(本大题 6 小题,共 74 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.已知集合

P ? ? x a ? 1 ? x ? 2a ? 1? Q ? ? x ? 2 ? x ? 5?
(2)若 P ? Q, 求 a 的取值范围. ,

(1)若 a ? 3 ,求 P ? Q .

18.如图,已知三角形的顶点为 A(2,4), B(0,?2), C ? 2,3) 求: (Ⅰ)AB 边上的中线 CM 所在直线的方程; (Ⅱ)求△ABC 的面积.

19.如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是正方形,侧棱 PD⊥底面 ABCD,PD=DC=2, E 是 PC 的中点,作 EF⊥PB 交 PB 于点 F. (1)证明 PA//平面 EDB; P (2)证明 PB⊥平面 EFD; (3)求

VB ? EFD .
E F

D

C

O A B

20.(2010· 广东湛江)已知圆 C:x2+y2+2x-4y+3=0. (1)若圆 C 的切线在 x 轴和 y 轴上的截距相等,求此切线的方程. (2)从圆 C 外一点 P(x1, y1)向该圆引一条切线, 切点为 M, O 为坐标原点, 且有|PM|=|PO|, 求使得|PM|取得最小值的点 P 的坐标.

1 ? ax 2 x ? 1 为奇函数,为 a 常数. 21、设 ?1, ??? 内单调递增; (1)求 a 的值; (2)证明 f ( x ) 在区间 f ( x) ? log 1
(3)若对于区间

?3, 4?

1 f ( x) ? ( ) x ? m 2 上的每一个 x 值,不等式 恒成立,求实数 m 的取值范围.

? ? 1? ? log y ?1 ? ? ? 1? ?? ? ?log ( x ?3) y ? ? ?1 ? x? ? 22.已知正实数 x, y 满足等式 ?
(2)是否存在实数 m ,使得函数 存在,请说明理由。

(1)试将 y 表示为 x 的函数 y ? f ?x ? ,并求出定义域和值域。

g( x) ? mf ?x? ? f ?x? ? 1 有零点?若存在,求出 m 的取值范围;若不

高一必修 1+必修 2 数学检测试题答案 一 DCABC CABBA AC 二 13)[1, 2 ) 15) 三 17.解: (1) 14) 3

2

16)(1) (3) (4)

P? Q ? {x ?2 ? x ? 7}

(2)当 P

? ? 时: a ? 0.……7 分

。……4 分

?a ? 1 ? 2. ? ?2a ? 1 ? 5. ?2a ? 1 ? a ? 1. 当 P ? ? 时: ?
18.解: (1) 2 x ? 3 y ? 5 ? 0

? a ? 2.……12 分

解得: 0 ? a ? 2.……10 分

……6 分

(2) ?ABC ……12 分 19.解: (1) 证明: 连结 AC, AC 交 BD 于 O. 连结 EO. ∵ 底面 ABCD 是正方形, ∴ 点 O 是 AC 的中点. 在 △PAC 中,EO 是中位线,∴ PA//EO.而 EO ? 平面 EDB,且 PA ? 平面 EDB,所以,PA//平面 EDB.……

S

? 11

4分

(2)证明:∵ PD⊥底面 ABCD,且 DC ? 底面 ABCD, ∴ PD⊥DC. ∵ 底面 ABCD 是正方形, 有 DC⊥BC, ∴ BC⊥平面 PDC. 而 DE ? 平面 PDC, ∴ BC⊥DE.又∵PD=DC, E 是 PC 的中点,∴ DE⊥PC. ∴ DE⊥平面 PBC. 而 PB ? 平面 PBC,∴ DE⊥PB.又 EF⊥PB,且 DE ? EF ?E , 所以 PB ⊥平面 EFD.……8 分

4 (3) VB ? EFD = 9 ……12 分

20. 解析] (1)将圆 C 配方得(x+1)2+(y-2)2=2. ①当直线在两坐标轴上的截距为零时,设直线方程为 y=kx,由直线与圆相切得 2± 6,从而切线方程为 y=(2± 6)x. ②当直线在两坐标轴上的截距不为零时,设直线方程为 x+y-a=0, 由直线与圆相切得 x+y+1=0,或 x+y-3=0. ∴所求切线的方程为 y=(2± 6)x x+y+1=0 或 x+y-3=0 (2)由|PO|=|PM|得,x12+y12=(x1+1)2+(y1-2)2-2?2x1-4y1+3=0. 即点 P 在直线 l:2x-4y+3=0 上,|PM|取最小值时即 |OP|取得最小值,直线 OP⊥l, ∴直线 OP 的方程为 2x+y=0.
?2x+y=0 ? 3 3 - , ?. 解方程组? 得 P 点坐标为? 10 5? ? ?2x-4y+3=0 ?

|-k-2| = 2,即 k= k2+1

21、

(1) a ? ?1 (2)略

m??
(3)

9 8

? 1? ? 1? y ?1 ? ? ? x ? 3 log y y?1 ? ? ? log y ?x ? 3? x? ? x? 22. 解: (1)由等式的 ,则 ? x ? x ? 3? y? x ?1 即 …2 分

? ?x ? 0 ? ? y ? 0且y ? 1, 解得x ? 1 ? 1 x ? x ? 3? ?1 ? ? 0 f ( x) ? x x ? 1 的定义域是 ?1,??? …4 分 由题意知 ? ,? 令 x ? 1 ? t , 则 x ? t ? 1, 且 t ? 0
y?

?t ? 1??t ? 4? ? t ? 4 ? 5
t t

易得函数 f ? x ? 的值域是 ?9,??? ……7 分

mf ?x? ? (2)若存在满足题意的实数 m ,则关于 x 的方程 解 ……8 分


f ?x ? ? 1 ? 0 在 区 间

?1,??? 上 有 实

f ?x? ? u ,则由(1)知 u ? ?3,??? 2 问题转化为关于 u 的方程 m u ? u ? 1 ? 0 在区间 ?3,??? 上有实解,……10 分
1 1 ? 1 1 ? 1 1 ? 1? ? ? 0, m ? ? 2 ? ? ?? ? ? ? u 4 又 u ? 3? u ? ?u 2? 化为: ? 2? m ? ? 0, ? ? 9? 所以 ……14 分
? 2? ? 0, ? m 即存在满足题意的实数 ,其取值范围是 ? 9 ?
2


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