当前位置:首页 >> 数学 >>

考点20 对数与对数函数考点解读


考点 20 对数与对数函数考点解读 1.对数的概念 (1)对数的定义 一般地,对于指数式 ab=N,我们把“以 a 为底 N 的对数 b”记作 loga,即 b=loga N(a>0,且 a≠1).其 中 a 叫做对数的底数,N 叫做真数. (2)几种常见对数 对数形式 特点 记法 logaN 一般对数 底数为 a(a>0 且 a≠1) lg N 常用对数 底数为 10 ln_N

自然对数 底数为 e 2.对数的性质与运算法则 (1)对数的性质 ①alogaN=N;②logaaN=N(a>0 且 a≠1). (2)对数的重要公式 logaN ①换底公式:logbN= (a,b 均大于零且不等于 1); logab 1 ②logab= ,推广 logab· logbc· logcd=logad. logba (3)对数的运算法则 如果 a>0 且 a≠1,M>0,N>0,那么 M ①loga(MN)=logaM+logaN;②loga =logaM-logaN; N n ③logaMn=nlogaM(n∈R);④log amMn= logaM. m 3.对数函数的图象与性质 a>1 0<a<1 图象 定义域:(0,+∞) 值域:R 过点(1,0) 当 x>1 时,y>0 当 0<x<1,y<0 是(0,+∞)上的增函数

性质

当 x>1 时,y<0 当 0<x<1 时,y>0 是(0,+∞)上的减函数

4.反函数 指数函数 y=ax 与对数函数 y=logax 互为反函数,它们的图象关于直线 y=x 对称. 一种思想 对数源于指数,指数式和对数式可以互化,对数的性质和运算法则都可以通过对数式与指数式的互化进行 证明. 两个防范 解决与对数有关的问题时,(1)务必先研究函数的定义域;(2)注意对数底数的取值范围. 三个关键点 1 ? 画对数函数的图象应抓住三个关键点:(a,1),(1,0),? ?a,-1?. 四种方法 对数值的大小比较方法 (1)化同底后利用函数的单调性.(2)作差或作商法.(3)利用中间量(0 或 1).(4)化同真数后利用图象比较.

考法一 对数式的化简与求值 log89 2 求值:(1) = . (2) (lg 5)2+lg 50· lg 2=1 log23 3 1 32 4 1 (3) lg - lg 8+lg 245= . 2 49 3 2 1 1 a b 【训练 1】 (1)若 2 =5 =10,求 + 的值. a b - (2)若 xlog34=1,求 4x+4 x 的值. 解 (1)由已知 a=log210,b=log510, 1 1 则 + =lg 2+lg 5=lg 10=1. a b (2)由已知 x=log43, 1 10 - 则 4x+4 x=4log43+4-log43=3+ = . 3 3 考法二 对数值的大小比较 【例 2】?已知 f(x)是定义在(-∞,+∞)上的偶函数,且在(-∞,0]上是增函数,设 a=f(log47),b= 1 - f(log 3),c=f(0.2 0.6),则 a,b,c 的大小关系是( ). 2 A.c<a<b B.c<b<a C.b<c<a D.a<b<c [审题视点] 利用函数单调性或插入中间值比较大小. 1? 3 5 1 1 解析 log 3=-log23=-log49, b=f(log 3)=f(-log49)=f(log49), log47<log49,0.2-0.6=? ?5?-5= 125 2 2 5 > 32=2>log49, 又 f(x)是定义在(-∞,+∞)上的偶函数,且在(-∞,0]上是增函数,故 f(x)在[0,+∞)上是单调递减 的, 1 ∴f(0.2-0.6)<f(log 3)<f(log47),即 c<b<a,故选 B. 2 答案 B 一般是同底问题利用单调性处理,不同底问题的处理,一般是利用中间值来比较大小,同 指(同真)数问题有时也可借助指数函数、对数函数的图象来解决. 【训练 2】 (2010· 全国)设 a=log32,b=ln 2,c=5 2,则(


1

).

A.a<b<c B.b<c<a C.c<a<b D.c<b<a 1 1 1 1 法一 a=log32= , b=ln 2= , 而 log23>log2e>1, 所以 a<b, c=5- = , 而 5>2=log24 log23 log2e 2 5 >log23,所以 c<a,综上 c<a<b,故选 C. 1 1 1 1 1 1 1 1 法二 a=log32= ,b=ln 2= ,1<log2e<log23<2,∴ < < <1;c=5- = < log23 log2e 2 log23 log2e 2 5 4 1 = ,所以 c<a<b,故选 C. 2 答案 C 考法三 对数函数性质的应用 【例 3】?已知函数 f(x)=loga(2-ax),是否存在实数 a,使函数 f(x)在[0,1]上是关于 x 的减函数,若存 在,求 a 的取值范围.

? ?a>1 [审题视点] a>0 且 a≠1,问题等价于在[0,1]上恒有? . 2 - ax > 0 ? ?
解 ∵a>0,且 a≠1, ∴u=2-ax 在[0,1]上是关于 x 的减函数. 又 f(x)=loga(2-ax)在[0,1]上是关于 x 的减函数, ∴函数 y=logau 是关于 u 的增函数,且对 x∈[0,1]时,u=2-ax 恒为正数. ? ?a>1 其充要条件是? ,即 1<a<2. ?2-a>0 ? ∴a 的取值范围是(1,2).

研究函数问题,首先考虑定义域,即定义域优先的原则.研究复合函数的单调性,一定要 注意内层与外层的单调性问题.复合函数的单调性的法则是“同增异减”.本题的易错点为:易忽略 2- ax>0 在[0,1]上恒成立,即 2-a>0.实质上是忽略了真数大于 0 的条件. 【训练 3】 已知 f(x)=log4(4x-1) (1)求 f(x)的定义域; (2)讨论 f(x)的单调性; 1 ? (3)求 f(x)在区间? ?2,2?上的值域. 解 (1)由 4x-1>0 解得 x>0, 因此 f(x)的定义域为(0,+∞). (2)设 0<x1<x2,则 0<4x1-1<4x2-1, 因此 log4(4x1-1)<log4(4x2-1),即 f(x1)<f(x2),f(x)在(0,+∞)上递增. 1 ? (3)f(x)在区间? ?2,2?上递增, 1? 又 f? ?2?=0,f(2)=log415, 1 ? 因此 f(x)在? ?2,2?上的值域为[0,log415].

考法 4、与对数函数有关的求值问题 ?lg x,x>0, 【示例】? (2011· 陕西)设 f(x)=? x 则 f(f(-2))=______. ?10 ,x≤0,

考法 5 与对数函数有关的解不等式问题
1-x ?2 ,x≤1, 【示例】 ? (2011· 辽宁改编)设函数 f(x)=? 则满足 f(x)≤2 的 x 范围________. ?1-log2x,x>1,

考点 20 对数与对数函数 练习 1.(2010· 四川)2 log510+log50.25=( C). A.0 B.1 C.2 D.4 2.(人教 B 版教材习题改编)已知 a=log0.70.8,b=log1.10.9,c=1.10.9,则 a,b,c 的大小关系是(C ). A.a<b<c B.a<c<b C.b<a<c D.c<a<b 3.(2012· 黄冈中学月考)函数 f(x)=log2(3x+1)的值域为( A). A.(0,+∞) B.[0,+∞) C.(1,+∞) D.[1,+∞) 4.(2012· 汕尾模拟)下列区间中,函数 f(x)=|ln(2-x)|在其上为增函数的是( ). 4 ? A.(-∞,1] B.? ?-1,3? 3? C.? D.[1,2) ?0,2? 解析 法一 当 2-x≥1,即 x≤1 时,f(x)=|ln(2-x)|=ln(2-x),此时函数 f(x)在(-∞,1]上单调递减.当 0<2-x≤1,即 1≤x<2 时,f(x)=|ln(2-x)|=-ln(2-x),此时函数 f(x)在[1,2)上单调递增,故选 D. 法二 f(x)=|ln(2-x)|的图象如图所示.

由图象可得,函数 f(x)在区间[1,2)上为增函数,故选 D. 答案 D 对数与对数的运算 2 ? 2 5.若 loga >1,则 a 的取值范围是___ ? ?3,1?_____. 3 6. (2013 陕西)设 a,b,c 均为不等于 1 的正实数,则下列等式中恒成立的是( A.logab· logcb=logca B.logab· logca=logcb C.loga(bc)=logab· logac D.loga(b+c)=logab+logac 7. (2012 安徽) ( log2 9 ) · ( log3 4)=D ( A)

).

8.(2011 安徽) 若点(a,b)在 y ? lg x 图像上, a ? ? ,则下列点也在此图像上的是 D ( A) (

1 4

(B)

1 2

(C) 2

(D) 4

? ,b) (B ) (10a,1 ? b) a
, (B)
5 b

(C) (

?? ,b+1) a

(D)(a2,2b)

9.(2011 重庆)设 (A)

, (C)

,则 , , 的大小关系是 (D)

10.(2010 辽宁)设 2 ? 5 ? m ,且

1 1 ? ? 2 ,则 m ? a b

(A) 10

(B)10

(C)20
2 2

(D)100

11. 已知函数 f ( x) ? lg x ,若 f (ab) ? 1 ,则 f (a ) ? f (b ) ? __2_____。

对数函数的图像和性质 12. (2013 湖南)函数 f(x)=ln x 的图象与函数 g(x)=x2-4x+4 的图象的交点个数为(
A.0 B.1 C.2 13(2012 天津). 已知 a=21.2,b=

).

??
1 2

D.3
-0.2

,c=2log52,则 a,b,c 的大小关系为

(A)c<b<a

(B)c<a<b

C)b<a<c

(D)b<c<a ,c=log32,则 a,b,c 的大小关系是 (D)a>b>c

14. (2012 重庆)已知 a= ,b= (A)a=b<c (B)a=b>c (C)a<b<c 15.(2012 全国)已知 x=lnπ ,y=log52 ,z= ,则 A x<y<z Bz<x<y Cz<y<x Dy<z<x 16. (2011 北京)如果 log1 x ? log1 y ? 0, 那么
2 2

A.y< x<1

B.x< y<1

17.(2010 山东)函数 f ? x ? ? log 2 3 ? 1 的值域为 A
x

?

?

C.1< x<y

D.1<y<x D. ? ?1, ?? ?

A.

?0, ???

B.

? ?0, ?? ?

C.

?1, ???


相关文章:
考点20 对数与对数函数考点解读
考点20 对数与对数函数考点解读 1.对数的概念 (1)对数的定义 一般地,对于指数式 ab=N,我们把“以 a 为底 N 的对数 b”记作 loga,即 b=loga N(a>0,...
对数与对数函数考点解读
对数与对数函数考点解读_高三数学_数学_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档对数与对数函数考点解读_高三数学_数学_高中教育_教育专区。基础梳理 ...
对数与对数函数考点解读
对数与对数函数考点解读_数学_高中教育_教育专区。基础梳理 1.对数的概念 (1)...基础梳理 1.对数的概念 (1)对数的定义 一般地,对于指数式 ab=N,我们把“以...
对数与对数函数 知识点与题型归纳
对数与对数函数 知识点与题型归纳_数学_高中教育_教育专区。●高考明方向 1....? ? ? 20 1? ? 解析: 由题意得, 当 0<a<1 时, 要使得 4x<logax?...
对数函数考点题型探析
对数函数考点题型探析上海市三林中学考点 1 对数式的运算 [例 1]、已知 a 3 = 2 汤靓 4 ( a > 0 ) ,则 log 2 a =___ 9 3 4 4 2 2 2 2 ...
对数运算与对数函数考点通关
对数运算与对数函数考点通关 隐藏>> 第四讲班级: 对数运算与对数函数性质考点大通关姓名: 座号: 考点一:利用对数恒等式化简求值 (1) log 3? 2 (5 ? 2 6 ...
对数函数知识点
对数函数知识点_数学_高中教育_教育专区。对数函数 1、对数的概念 如果 a x ...对数函数 1、对数的概念 如果 a x =N(a>0 且 a ? 1),那么 x 叫做以...
高中数学对数与对数函数知识点及例题讲解
对数与对数函数 1.对数 (1)对数的定义: 如果 ab=N(a>0,a≠1) ,那么 b 叫做以 a 为底 N 的对数,记作 logaN=b. (2)指数式与对数式的关系:ab=N ...
2015-2016学年度对数与对数函数月考卷
(Ⅰ)比较 log20.6 与 2 哪一个远离 0; (Ⅱ)已知函数 f(x)的定义域 ,...A. 考点:对数函数的图象与性质. 3.B 【解析】 试题分析:利用指数式和对数式...
高考学生指数与对数函数知识点小结及典型例题
高考学生指数与对数函数知识点小结及典型例题_数学_高中教育_教育专区。学而通 ...( ) ? 1 的图象关于直线 y=x 对称的图象像大致是( x 1 2 ) 20、 (...
更多相关标签:
考点同步解读 | 考点同步解读怎么样 | 考点同步解读电子版 | 考点同步解读好不好 | 王后雄考点同步解读 | 考点同步解读和重难点 | 考点同步解读八上 | 高中化学高考考点解读 |