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合情推理-归纳推理与类比推理.ppt


已知的判断

确定

新的判断

根据一个或几个已知的判断来确定一个 新的判断的思维过程就叫推理.

数学皇冠上璀璨的明珠——哥德巴赫猜想
3+7=10 3+17=20 13+17=30

10= 3+7 20= 3+17 30= 13+17
一个规律:

偶数=奇质数+奇质数

6=3+3, 8=3+5, 10=5+5, ?? 1000=29+971, 1002=139+863, ??

猜想任何一个不小于6的 偶数都等于两个奇质数的和.

归纳推理的过程: 哥德巴赫猜想的过程:
具体的材料 观察分析 猜想出一般性的结论

由某类事物的部分对象具有某些特征, 推出该类事物的 全部对象都具有这些特征 的推理,或者由个别事实概括出 一般结论 的推理,称为归纳推理(简称归纳).

归纳推理的一般模式:

S1具有P,
S2具有P, ?? Sn具有P, (S1,S2,?,Sn是A类事物的对象) 所以A类事物具有P

归纳推理的几个特点;

1.归纳是依据特殊现象推断一般现象,因而, 由归纳所得的结论超越了前提所包容的范围.
2.归纳是依据若干已知的、没有穷尽的现象 推断尚属未知的现象,因而结论具有猜测性. 3.归纳的前提是特殊的情况,因而归纳是立 足于观察、经验和实验的基础之上. 归纳是立足于观察、经验、实验和对有限资 料分析的基础上.提出带有规律性的结论. 需证明

归纳推理 归纳推理的基础 归纳推理的作用 注意

由部分到整体、 个别到一般的推理 观察、分析 发现新事实、 获得新结论

归纳推理的结论不一定成立

除了归纳,在人们的创造发明活动中, 还常常应用类比。例如:

1.古代工匠鲁班类比带齿的草叶
和蝗虫的牙齿,发明了锯.

2.人们仿照鱼类的外型和它们在 水中沉浮的原理,发明了潜水艇.

3、火星上是否存在生命?

地球

火星

行星、围绕太阳运行、绕 行星、围绕太阳运行、绕 轴自转 轴自转 有大气层 有大气层 一年中有四季的变更 一年中有四季的变更 大部分时间的温度适合地 球上某些已知生物的生存

温度适合生物的生存

有生命存在

可能有生命存在

火星与地球类比的思维过程:
存在类似特征

地球

火星

地球上有生命存在

猜测火星上也可能有生命存在

试将平面上的圆与空间的球进行类比

.

.

圆的定义:平面内到一个定点的距离等于定 长的点的集合. 球的定义:到一个定点的距离等于定长的点 的集合.


弦 直径 周长 面积

截面圆 大圆 表面积 体积



圆的概念和性质

球的类似概念和性质

圆心与弦(非直径)中点连线垂直 球心与截面圆(不经过球心的截面圆) 圆心连线垂直于截面圆. 于弦. 与圆心距离相等的两弦相等;与圆 与球心距离相等的两截面圆面 心距离不等的两弦不等,距圆心较 积相等;与球心距离不等的两 截面圆面积不等,距球心较近 近的弦较长. 的截面圆面积较大. 以点P(x0,y0)为圆心,r为半径的圆 以点P(x0,y0,z0)为球心,r为半径 的球的方程为 的方程为(x-x0)2+(y-y0)2=r2. (x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=r2.

由 两类对象具有 某些类似特征 ,在此 基础上,根据 一类对象的某些已知特征 , 推出 另一类对象也 具有这些特征 ,我们把 这种的推理称为类比推理.

1、进行类比推理的步骤: (1)找出两类对象之间可以确切表述的相似特征; (2)用一类对象的已知特征去猜测另一类对象 的特征,从而得出一个猜想; (3)检验这个猜想. 观察、比较 联想、类推 猜想新结论 2、类比推理的一般模式: A类事物具有性质a,b,c,d, B类事物具有性质a’,b’,c’, (a,b,c与a’,b’,c’相似或相同) ’ 所以B类事物可能具有性质d .

类比推理

由特殊到特殊的推理

类比推理

注意

以旧的知识为基础,推测新的 结果,具有发现的功能,启 发思路、提供线索、举一反 三、触类旁通的作用。 类比推理的结论不一定成立

? 1.下面几种推理是类比推理的是(

)

? A .因为三角形的内角和是 180°×(3 - 2) ,四边形的内角和

是180°×(4-2),?,所以n边形的内角和是180°×(n-2)
? B.由平面三角形的性质,推测空间四边形的性质 ? C.某校高二年级有20个班,1班有51位团员,2班有53位团员 ,3班有52位团员,由此可以推测各班都超过50位团员 ? D.4能被2整除,6能被2整除,8能被2整除,所以偶数能被2

整除
? 答案: B

? 2.已知{bn}为等比数列,b5=2,则b1b2b3?b8b9=29,若{an} 为等差数列,a5=2,则{an}类似的结论为( )
A.a1a2a3?a9=29 B.a1+a2+?+a9=29 C.a1a2a3?a9=2×9 D.a1+a2+?+a9=2×9

解析:

在等差数列中“积”变“和”得a1+a2+?+a9=2×9.

答案: D

1 3.已知正三角形内切圆的半径是高的 ,把这个结论推 3 广到空间正四面体,类似的结论是________.

1 1 解析: 原问题的解法为等面积法,即 S= ah=3× ar 2 2 1 1 1 ?r= h,类比问题的解法应为等体积法, V= Sh=4× Sr 3 3 3 1 1 ?r= h,即正四面体的内切球的半径是高的 . 4 4

1 答案: 正四面体的内切球半径是高的4

例题:类比平面内直角三角形的勾股定理, 试给出空间中四面体性质的猜想。
B

P S1 S2 D S3 F

C

A

E

例题:类比平面内直角三角形的勾股定理,

B

P
c

试给出空间中四面体性质的猜想。

a
C
分析:

c
b
A

s1 a

D s3

s2
M

E

b

△PEF的面积为S
2 2 ? 1 2 2

F
2 3

c2=a2+b2
直角三角形
∠C=90° 2条直角边a,b和1条斜 边c

s ?s ?s ?s

3个面两两垂直的四面体
∠PDF=∠PDE=∠EDF=90° 三个两两垂直的面S1,S2,S3和 1个“斜面” S

c
S1

P
S2

下面证明猜想是否成立:

a SD
3

b

s ?s ?s ?s
2

E

M

证明:设ED ? a, DF ? b, DP ? c,
2 2

F

△PEF的面积为S

2 1

2 2

2 3

1 1 1 2 2 由题知, EF ? a ? c ,? s3 ? ac ? EF ? DM ? a ? c ? DM 2 2 2 ac ? DM ? , ? PM ? DM 2 ? PD 2 ? ( ac )2 ? b 2 a2 ? c2 2 a2 ? c2 1 2 2 ac ?1 ? 2 S ? ? EF ? PM ? ? (a ? c ) ? [( )2 ? b 2 ] 4 ?2 ? a2 ? c2 1 2 2 a 2c 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 2 ? (a ? c ) ? ( 2 2 ? b ) ? a c ? a b ? b c ? s 2 ? s 2 ? s 2 1 2 3 4 a ?c 4 4 4

过D点作DM⊥EF,垂足为M,连接PM,则PM⊥EF

?s ? s ? s ? s
2 2 1 2 2

2 3

变式练习:在三角形ABC中有结论: AB+BC>AC,类似地在四面体P-ABC中 有 . P B C S1 C S2 S3 △PAB的面积为S

A





S1 ? S2 ? S3 ? S

几何中常见的类比对象 平面图形(二维) 立体图形(三维) 点或线


线

线或面
空间直角坐标系

平面直角坐标系

几何中常见的类比对象


三角形 四边形


四面体(各面均为三角形) 六面体(各面均为四边形) 代数中常见的类比对象 复数 向量

方程

函数

不等式 且,或,非运算

交集,并集,补集

几何中常见的类比对象
平面几何 点 线 圆 三角形

立体几何
线 面 球 四面体(各面均为三角形)

代数中常见的类比对象
向量 无限 不等


有限

相等

例题解析:

例1、试根据等式的性质猜想不等式的性质。

等式的性质:
(1) a=b?a+c=b+c;

猜想不等式的性质:
(1) a>b?a+c>b+c;

(2) a=b? ac=bc;
(3) a=b?a2=b2;

(2) a>b? ac>bc;
(3) a>b?a2>b2;

问:这样猜想出的结论是否一定正确?

例2 类比实数的加法和乘法,列出它们相似的运算性质.
类比角度 运算结果 实数的加法 若a,b∈R,则a+b∈R 实数的乘法 若a,b∈R,则ab∈R ab=ba (ab)c=a(bc) 乘法的逆运算是除法, 使得ax=1有唯一解 x=1/a a· 1=a

a+b=b+a 运算律 (交换律和 (a+b)+c=a+(b+c) 结合律) 逆运算 加法的逆运算是减法,使得 方程a+x=0有唯一解x=-a

单位元

a+0=a

利用圆的性质类比得出球的性质 圆的概念和性质
圆的周长 S = 2πR 圆的面积 S =πR 2 圆心与弦(非直径)中点的连线 垂直于弦

球的概念和性质
球的表面积 S = 4πR 2 球的体积 V = πR 3 球心与不过球心的截面(圆面) 的圆心的连线垂直于截面
4 3

与圆心距离相等的两弦相等 与球心距离相等的两截面面积相等 与圆心距离不相等的两弦不相 与球心距离不相等的两截面面积 等,距圆心较近的弦较长 不相等,距球心较近的面积较大 以点(x0,y0)为圆心, r为半径 的圆的方程为(x-x0)2+(yy0 )2 = r2 以点(x0,y0,z0)为球心, r为半 径的球的方程为(x-x0)2+(yy0)2+(z-z0)2 = r2

练习. 在平面上,设ha,hb,hc是三角形ABC三条边上的 高.P为三角形内任一点,P到相应三边的距离分别为 pb pc pa,pb,pc,我们可以得到结论: pa

ha
平面上 图 形 结 论
B P pb pc pa A

?

hb
A

?

hc

?1

试通过类比,写出在空间中的类似结论.
空间中
P C B C D

pa pb pc ? ? ?1 ha hb hc

pa pb pc pd ? ? ? ?1 ha hb hc hd

小结

?
观察、分析、 比较、联想 归纳、 类比 提出 猜想

归纳推理和类比推理的过程
从具体问 题出发

归纳推理 合情推理 类比推理
通俗地说,合情推理是指“合乎情理”的推理.

比较两个推理: 1、归纳推理

合 情 推 理

由部分到整体、特殊到一般的推理; 以观察分析为基础,推测新的结论; 具有发现的功能; 结论不一定成立.

2、类比推理
由特殊到特殊的推理; 以旧的知识为基础,推测新的结果; 具有发现的功能; 结论不一定成立.


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