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2011年天津市滨海新区五所重点学校高三毕业班联考数学理科


2011 年天津市滨海新区五所重点学校高三毕业班联考

数学试卷(理科)
本试卷分第 I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 150 分,考试时间 120 分钟。 第Ⅰ卷 1 至 2 页,第Ⅱ卷 3 至 8 页。考试结束后,将 II 卷和答题卡一并交回。

第 I 卷(选择题,共 40 分)
一. 选择题(本题共

8 个小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题给出的四个选项中,有 1 个是 正确的) 1、若 i 是虚数单位,复数 A. ?

(1 ? i ) 2 1 ? 2i

?
C.





4 5

?

2 5

i

B.

4 5

?

2 5

i

4 5

?

2 5

i

D.

4 5

?

2 5

i


2、设函数 f ( x ) ? x ? a , 则“ a ? ?1 ”是“函数 f ( x )在?1,2 ? 上有零点”的 ( A.充分不必要条件 C.充要条件 3、已知双曲线 C :
2

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要

y2 a2

?

x2 b2

? 1( a ? 0, b ? 0) 的一条渐近线方程为 y ?


5 x ,它的一个焦点在

抛物线 x ? ?24 y 的准线上,则双曲线的方程为 (

A.

y2 30

?

x2 6 x2 30

?1

B.

x2 30

?

y2 6 y2 30

?1

C.

y2 6

?

?1

D.

x2 6

?

?1

4、阅读右面的程序框图,则输出 S = A. 50 B. 72 C. 200

( ) D. 30

数学(理科)试卷

第 1 页 共 15 页

5、 函数 f ( x ) ? A sin(? x ? ? )(其中 A ? 0,| ? |? 的图象,则只要将 f ( x ) 的图象 A.向右平移

?
2


) 的图象如图所示, 为了得到 g ( x ) ? sin 2 x )

? 个单位长度 6 ? C.向左平移 个单位长度 6

? 个单位长度 12 ? D.向左平移 个单位长度 12
B.向右平移
an ?1 S 2 n ? 5n ? 102

6、已知数列 {an } 满足 a1 ? 1, an?1 ? an ? 1( n ? N * ) , S n 是其前 n 项和,记 M n ?
M p 是数列 {M n } 的最大项,则正整数 p 的值等于

,若





A. 3

B. 4

C. 5

D. 6
/

2 7、已知函数 f ( x ) ? x ? 3 x ? a ( a ? 3) ,集合 M ? {x | f ( x ) ? 0} , N ? { x | f ( x ) ? 1}

( f ( x ) 为 f ( x ) 的导函数),若 N ? M ? N ,则实数 a 的取值范围是
/





A. ( ??, ?2] ? [ ?1, ?? ) C. ( ??, ?2) ? ( ?1, ?? ) 8、已知函数 f ( x ) ? ? 解集为( A. ?10 ,?? ? ) B. ?1? ? ?10, ?? ?

B. ( ??, ?5] ? [2, ?? ) D. ( ??, ?5) ? (2, ?? )

? lg x ?

(0 ? x ? 10)

? ? x ? 10 ( x ? 10) ?

,若 a ? b, 且 f ( a ) ? f (b) ,则 f ( x ) ? f ( ab) 的

C. ?1? ? ?10, ?? ?

D.以上答案均不对

数学(理科)试卷

第 2 页 共 15 页

2011 年天津市滨海新区五所重点学校高三毕业班联考

数学试卷(理科)
第Ⅱ卷
得分 评卷人 (非选择题,共 110 分)

二.填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.把答案填在答题卷中相 应的横线上. 9、 已知⊙ O 的割线 PAB 交⊙ O 于 A, B 两点,

割线 PCD 经过圆心 O , 已知 PA ? 9 ,AB ? 11 ,PO ? 18 , 则⊙ O 的半径是 .

10、一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示,则这 个几何体的表面积是 ___. 11、从某小学随机抽取 m 名同学,将他们的身高(单位:厘米) 数据绘制成频率分布直方图(如图) .若要从身高在[ 120 , 130) ,[130 ,140) , [140 , 150]三组内的学生中,用分 层抽样的方法选取 20 人参加一项活动,则从身高在 [120 ,130]内的学生中选取的人数应为 .

12、在平行四边形 ABCD 中 M , N 分别是 CD, BC 的中 点, AM ? ?1, 2 ? , AN ? ? 3,1? ,则 AB ? AM ?

???? ?

????

??? ???? ? ?



13、直线 x ? y ? a ? 0( a ? 0) 与圆 x 2 ? y 2 ? 4 交于 A, B 两点,O 为 坐标原点,若 S ?OAB ? 3 ,则 a ? .

14、由 1、2、3、4、5、6 组成没有重复数字且 1、3 都不与 2 相邻的六位偶数的个数是______.

数学(理科)试卷

第 3 页 共 15 页

三.解答题:本大题 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 得分 评卷人 15、 (本题满分 13 分)设 f ( x ) ? sin(2 x ?

?
6

) ? 2sin 2 x .

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的最小正周期、最大值及取得最大值时的 x 集合; (Ⅱ)设 ?ABC 的三个内角 A, B , C 所对的边分别为 a , b, c ,若 ,求 b . ,

得分

评卷人

16、 (本题满分 13 分)某大学 4 名同学去参加上海世博会志愿者服务,每名 同学都是从甲、乙、丙三个场馆中随机选择一个,且每人的选择相互独立. (Ⅰ)设 4 名同学中选择甲场馆的人数为 ? ,试求 ? 的分布列及期望.

(Ⅱ)求恰有一个场馆没被任何一名同学选中的概率.

数学(理科)试卷

第 4 页 共 15 页

得分

评卷人

17、 (本小题满分 13 分)已知如图三棱柱

的各棱长为 2,侧棱

BB1 与底面 ABC 所成的角为 60 0 ,且侧面 ABB1 A1 ? 底面 ABC , P 、 Q 、

O 分别为 AA1、A1 B1 、 AB 的中点.
(Ⅰ)求证: CO ? BA1 ; (Ⅱ)求异面直线 PQ 与 B1C 所成角的余弦值; (Ⅲ)求二面角 B1 ? BC ? A 所成角的余弦值.

数学(理科)试卷

第 5 页 共 15 页

得分

评卷人

18、 (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x ) ?

1 2

ax 2 ? b ln( x ? 2), 其中 a , b ? R ,

(Ⅰ)当 a ? 0 时, y ? f (x ) 在 x ? ?1 处的切线与直线 y ? 2 x ? 1 垂直,求 b 的值; (Ⅱ)当 b ? ?3a , 且 a ? 0 时,讨论函数 y ? f (x ) 的单调性; (Ⅲ)若 a ? 0 ,对于任意 b ? [ ?1, 0] ,不等式 f ( x ) ? 1 在[ ?

3 2

, 0] 上恒成立,求 a 的范围;

数学(理科)试卷

第 6 页 共 15 页

19、 (本小题满分 14 分)已知椭圆的中心在坐标原点 O ,焦点在 x 轴上,短 . 得分 评卷人 轴长为 2, 且两个焦点和短轴的两个端点恰为一个正方形的顶点. 过右焦点 F .. 与 x 轴不垂直的直线 l 交椭圆于 P , Q 两点. (Ⅰ)求椭圆的方程;

(Ⅱ)当直线 l 的斜率为 1 时,求 ?POQ 的面积; (Ⅲ) 在线段 OF 上是否存在点 M ( m, 0) ,使得 | MP |?| MQ | ?若存在, 求出 m 的取值范围; 若不存在,请说明理由.

数学(理科)试卷

第 7 页 共 15 页

得分

评卷人

20、 (本小题满分 14 分)在数列 ? a n ? 与 ?bn ? 中,a1 ? 1, 数列 ?a n ? 的前 n 项和

S n 满足 na n ?1 ? 3S n , bn ? n ( n ? 1) .
(Ⅰ)求数列 {

1 bn

} 的前 n 项和 B n ;

(Ⅱ)求数列 ?a n ? 的通项公式; (Ⅲ)设令 cn ? an Bn cos

2 n? 3

, n ? N . 求 {cn } 的前 n 项和 Tn .
*

数学(理科)试卷

第 8 页 共 15 页

2011 年天津市滨海新区五所重点学校高三毕业班联考 数学试卷(理科) 评分标准
一、选择题:在每小题列出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1、A 2.B 3.A 4.B 5.A 6.D 7.A 8.C 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分,把答案填在题中横线上. 9.12 12. 10. 3 ? 4 3 13.
6或 2

11.10

10 3

14.144

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 13 分) 解: 解: (Ⅰ)由 f ( x ) ? cos

?
6

sin 2 x ? sin

?
6

cos 2 x ? 1 ? cos 2 x

?

3 2

sin 2 x ?

1 2

cos 2 x ? 1
………………2 分

? sin(2 x ?

?
6

) ?1
……………4 分

故函数 f ( x ) 的最小正周期 T ? ? ; 由 2x ?

………………5 分

?
6

?

?
2

? 2 k? ( k ? Z ) ? x ?

?
3

? k?

所以当 x ? { x | x ? (Ⅱ)因为 f (

?
3

? k? , k ? Z } 时取得最大值为 2;………………7 分

C 2

) ? sin(C ?
1 3

?
6

) ? 1 ? 1 ,由于 C 为三角形的内角, C ?
2 2 3

?
6

;……………9 分

而 cos B ?

? sin B ? 1 ? sin 2 B ?

………………10 分

所以由

b sin B

?

c sin C

? b ? sin B ?

c sin C

?

2 2 3

?

6 8 3 ? ;………………13 分 1 3 2

数学(理科)试卷

第 9 页 共 15 页

16. (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)由题意可知: ? 可取 0,1, 2,3, 4 则有: …………………………….1 分

P (? ? 0 ) ?

24 3
4

?

16



81 8 81


P (? ? 1) ?

1 C 4 23

3

4

?

32 81

; P (? ? 2) ?

2 C4 22

3

4

?

24 81

P (? ? 3) ?

3 C4 2

3

4

?

P (? ? 4) ?

1 3
4

?

1 81



……….6 分

故 ? 的分布列如下:

?

0

1

2

3

4

P
得 到 :

16 81

32 81

24 81

8 81

1 81

E? ? 0

8 1 4 ; 4 ? ? ……………….8 分 ? ? 8 1 8 1 8 1 8 1 (Ⅱ)设恰有一个场馆没被任何同学选中的事件为 B ,则: ? 1? ? ? 3
P( B) ?
1 3 1 2 C 4 ? C3 ? A32 ? C3 ? C 4

1

6

3

2 ? 2 8 1

2

4

?

3

3

4

?

14 27

……………….13 分

答:选择甲场馆的志愿者人数的期望为

4 3

;恰有一个场馆没被任何同学选中的概率为

14 27

.

17. (本小题满分 13 分) 证明: (Ⅰ)?在正三角形 ABC 中, O 为 AB 的中点

? CO ? AB

………………1 分

?面 ABB1 A1 ? 面 ABC , AB ? 面 ABB1 A1 ? 面 ABC
? CO ? 面 ABB1 A1
又? BA1 ? 面 ABB1 A1
数学(理科)试卷

………………3 分

? CO ? BA1 ;
第 10 页 共 15 页

……………….4 分

(Ⅱ)同理可证证: B1O ? 平 ABC ,又 CO ? BA 面 故可以 OC 、 OA 、 OB 1 所在直线分别为 x、y、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系 ………………5 分

? BB1 与底面 ABC 所成的角为 60 0
? ?BB1 A ? 60 0
………………6 分

?三棱柱 ABC ? A1 B1C1 各棱长为 2

? B1 ( 0,0, 3 ) 、 C ( 3 ,0,0) 、 B (0,?1,0) 、 A(0,1,0) 、 A1 ( 0, 2, 3 )
3 3 ) 、 Q ( 0,1, 3 ) ? P ( 0, , 2 2
??? ? 1 3 ? PQ ? (0, ? , ) 、 B1C ? ( 3 ,0,? 3 ) 2 2
………………7 分

3 | 2 ? 6 cos ? ? ? 4 1? 6 |?
? PQ 与 B1C 所 角 余 值 成 的 弦 为 6 4
……………….9 分 (Ⅲ)易求得面 ABC 的法向量 n ? ( 0,0,1) 设平面 B1 BC 的法向量为 m ? ( x , y , z ) ………………10 分 ;

? BB1 ? (0,1, 3 )、BC ? ( 3 ,1,0)

? y ? 3z ? 0 ? ?? , 令y ? 3 , 则x ? ?1, z ? ?1 ? 3x ? y ? 0 ?
? m ? ( ?1, 3 , ?1)
………………12 分

数学(理科)试卷

第 11 页 共 15 页

? cos ? ?

1 1? 5

?

5 5

二面角 B1 ? BC ? A 为锐角,故其余弦值为

5 5



………………13 分

18. (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)函数 f ( x ) 的定义域为 ( ?2,?? ) ………………1 分

当a ? 0时, f ( x ) ? b? l n (x? 2 )

f ' ( x) ?

b x?2

………………2 分

? 在x ? ?1 处的切线斜率 k ? b

?b ? ?

1 2 1 2 ax 2 ? 3a ln( x ? 2)
x2 ? 2x ? 3 x?2 ?a ( x ? 3)( x ? 1) x?2

……………….4 分

(Ⅱ)当 b ? ?3a时, f ( x ) ?

? f ' ( x ) ? ax ?

3a x?2

?a

………………6 分

' 当 a ? 0时, x ? (1, ?? ), f ( x ) ? 0 恒成立, f ( x )在 ?1, ?? ? 为增函数

x ? ( ?2,1), f ' ( x ) ? 0 恒成立, f ( x )在 ? ?2,1? 为减函数………………8 分
' 当 a ? 0时 , x ? (1, ?? ), f ( x ) ? 0 恒成立, f ( x )在 ?1, ?? ? 为减函数

x ? ( ?2,1), f ' ( x ) ? 0 恒成立, f ( x )在 ? ?2,1? 为增函数……………….9 分
(Ⅲ) f ( x ) ? ax ?
'

b x?2
2

?

ax 2 ? 2 ax ? b x?2

判断函数 y ? ax ? 2 ax ? b 在 [ ? , 0] 的符号

3 2

? a ? 0 ,对称轴 x ? ?1
当 x ? 0时, y ? b ? 0
数学(理科)试卷 第 12 页 共 15 页

当x ? ?

3 2

时, y ? ?

3a 4

?b ?0
……………11 分

3 3 ? y ? 0在[ ? , 0] 上恒成立,故 f (x )在 [ ? , 0] 上是减函数 2 2 3 1 9 1 ? f ( x ) max ? f ( ? ) ? ? a ? ? b ? ln ? 1 成立 2 2 4 2 8 则 a ? (1 ? b ? ln 2) 9
对于函数 g (b) ? 1 ? b ? ln 2 为增函数

? g (b ) min ? g ( ?1) ? 1 ? ln 2

因此, a ? (0,

8

8 ? ln 2] ; 9 9

……………….13 分

19. (本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ)因为椭圆的短轴长: 2b ? 2 ? b ? 1 , 又因为两个焦点和短轴的两个端点恰为一个正方形的顶点,所以:

b ? c ? a2 ? b2 ? c2 ? 2 ;
故椭圆的方程为:

………………1 分

x2 2

? y2 ? 1 ;

………………3 分 ………………4 分

(Ⅱ)易得: F (1, 0) ,故直线 l 的方程为: y ? x ? 1

? x2 ? 2 y2 ? 2 ? ( y ? 1) 2 ? 2 y 2 ? 2 ? 0 ? 3 y 2 ? 2 y ? 1 ? 0 ? 所以: ? ?y ? x ?1

2 ? ? y1 ? y 2 ? ? 3 ? ? ?y y ? ?1 ? 1 2 3 ?

………………6 分 故: | y1 ? y2 |?

( y1 ? y2 ) 2 ? 4 y1 y2 ? 1 2

4 3

(或直接解出 y1 ? ?1, y 2 ?

1 3

也可)

显然由图可知 S ?POQ ?

? | OF | ? | y1 ? y2 |?

1 2

?

4 3

?

2 3

……………….8 分

(Ⅲ) (1)若 l 与 x 轴重合时,显然 M 与原点重合, m ? 0 ; (2)若直线 l 的斜率 k ? 0 ,则可设 l : y ? k ( x ? 1) ,设 P ( x1 , y1 ), Q ( x2 , y2 ) 则:

? y ? k ( x ? 1) ? x 2 ? 2 k 2 ( x 2 ? 2 x ? 1) ? 2 ? 0 ? 2 2 ?x ? 2 y ? 2 ? 0
数学(理科)试卷 第 13 页 共 15 页

所以化简得: (1 ? 2 k ) x ? 4 k x ? 2 k ? 2 ? 0 ;
2 2 2 2

………………9 分 ,代入 l : y ? k ( x ? 1) 可得:

x1 ? x2 ?

4k 2 1 ? 2k 2

? PQ 的中点横坐标为: 2k 2 1 ? 2k
2

2k 2 1 ? 2k 2

PQ 的中点为 N (
由于 | MP |?| MQ |

,

?k 1 ? 2k 2

) ,………………11 分

得到 k MN

k 2 1 k2 k2 ………13 分 ? 1 ? 2k ? ? ? ?1? m ? 2k 2 k 2 k 2 ? (1 ? 2 k 2 ) m 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 ?
k2 1 ? 2k
2

所以: m ?

?

1 1 ?2 k2

1 ? (0, ) 2

综合(1) (2)得到: m ? [0, ) ;……………….14 分

1

2

20. (本小题满分 14 分) 解: (1)由已知

1 bn

?

1 n ( n ? 1)

?

1 n

?

1 n ?1

(n ? N * )

? Bn ? 1 ?

1 2

?

1 2

?

1 3

?

1 3

?

1 4

???

1 n

?

1 n ?1

?

n n ?1

………………4 分

(2)? na n ?1 ? 3S n

? 当 n ? 2时 , n ? 1) a n ? 3S n ?1 (
………………5 分

两式相减得: na n ?1 ? ( n ? 2) a n 即

a n ?1 an

?

n?2 n an a2 ?

于是

a3 a2

?

4 2



a4 a3

?

5 3



a5 a4

?

6 4



an a n ?1

?

n ?1 n ?1
……………7 分

各式累乘得

n ( n ? 1) 6

又? a 2 ? 3

? an ?

n ( n ? 1) 2

( n ? 2)

当 n ? 1 时,仍适合上式

? an ?

n ( n ? 1) 2

( n ? N * ) ……………….9 分

数学(理科)试卷

第 14 页 共 15 页

(3)因为 cn ? an Bn ?

n ( n ? 1) 2

?

n n ?1

cos

2n? 3

?

1 2

n 2 cos

2 n? 3
(3k ? 2) 2 ? (3k ? 1) 2 2

T3 k ? ( c1 ? c2 ? c3 ) ? (c4 ? c5 ? c6 ) ? ? ? (c3 k ? 2 ? c3 k ?1 ? c3 k ) ? 1 2 (? 12 ? 2 2 2 ? 32 ) ? 1 2 (? 4 2 ? 52 2 ? 62 ) ? ? ?


1 2

(?

? (3k ) 2 ))

?

13 4

?

31 4

?? ?

18k ? 5

T3 k ?1 ? T3 k ? c3 k ?

4 k (4 ? 9 k )
4

?
,

k (9 k ? 4) 4

…………….11 分

T3 k ? 2 ? T3 k ?1 ? c3 k ?1 ?

k (4 ? 9 k ) 4

?

(3k ? 1) 2 4

?

1 4

?

k 2

??

3k ? 2 6

?

1 12

,



n 1 ? , n? 3 ? 2 k ? ?6 ? 12 ? 1 ? ( n ? 1 ) (? n 3 ) Tn ? ? , n? 3 ? 1 k 12 ? ? n (3n ? 4) , n ? 3k ? 12 ?

(k ? N )
*

………………14 分

数学(理科)试卷

第 15 页 共 15 页


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