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一元多项式和高次方程


一元多项式和高次方程

一元多项式
一般地,以x为元的一元n次多项式的一般形式可以写成 an x n ? an ?1 x n ?1 ? an ? 2 x n ? 2 ? ? ? a1 x ? a0 这里n是确定的自然数,an ? 0. 复系数一元n次多项式:系数都是复数 类似的:实系数、有理系数、整系数一元n次多项式 单独的一个非零数a0 : 零次

多项式 零多项式:系数都是零,零多项式没有确定的项数与次数

多项式的四则运算
一元多项式相加(包括相减)、相乘的结果仍是一元多项式, 并且加乘运算满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律。

一个一元多项式除以另一个一元多项式,并不是总 能整除,当被除式f ?x ?除以除式g ?x ? (不是零多项式), 得商式q? x ?及余式r ?x ?时,就有下列等式: f ? x ? ? g ? x ?q? x ? ? r ? x ?,

当r ? x ?是零多项式时,就是f ? x ?能被g ?x ?整除。

其中r ?x ?的次数小于g ? x ?的次数,或者r ? x ?是零多项式。

综合除法
综合除法:一个一元多 项式除以一个一元一次 式
先用一般的除法计算a3 x3 ? a2 x 2 ? a1 x ? a0除以x ? b :

商式中各项的系数及余数分别是 a3 , a2 ? a3b, a1 ? ?a2 ? a3b ?b; a0 ? ?a1 ? ?a2 ? a3b ?b?b
其中第一个数就是被除式中第一项的系数,把这个数乘以b再 加上被除式中下一项的系数就得到第二个数,以此类推,最后 得到余数。

用这种算式进行除法叫做综合除法。

例:用综合除法计算下列各式,并把结果写成f ? x ? ? g ? x ?q ? x ? ? r ? x ?的形式:

(1) ?x 3 ? 8 x 2 ? 2 x ? 14 ? ? ? x ? 1?; (2) ?2 x ? 5 x ? 24 x ? 15 ? ? ? x ? 2 ?;
4 3 2

?6 (3) x 4 ? 5 x 3 ? 3 x 2 ? x ? 4 ? ? ?2 x ? 1?.

余数定理:多项式f ?x ?除以x ? b所得的余数等于f ?b ?. 此定理又叫余式定理、剩余定理、裴蜀定理
证明:设多项式f ?x ?除以x ? b所得的商式为q? x ?, 余数为r, 则有 f ? x ? ? ? x ? b ?q? x ? ? r. 用x ? b代入等式的两边,得 由此即得余数r ? f ?b ?. f ?b ? ? ?b ? b ?q?b ? ? r.

余数定理

例:)设f ?x ? ? x 3 ? 3, 求f ?x ?除以x ? 1所得的余数. (1

(2)设f ?x ? ? x 5 ? 12 x 3 ? 15 x ? 8, 求f ?6?.

因式定理
因式定理:多项式f ?x ?有一个因式x ? b的充要条件是f ?b? ? 0.

证明:( )充分性:设f ?b ? ? 0, 则根据余数定理,f ?x ?除以 1 x ? b所得的余数也等于0,因此f ?x ?有一个因式x ? b.

余数等于0,根据余数定理,有f ?b ? ? 0.

(2)必要性:设f ?x ?有一个因式x ? b,则f ?x ?除以x ? b所得的

例:求证n为任何正整数时,x n ? a n都有因式x ? a.
设f ? x ? ? x n ? a n , 那么f ?a ? ? a n ? a n ? 0, 根据因式定理, x n ? a n有因式x ? a.
例:m为何值时,多项式f ?x ? ? x 5 ? 3x 4 ? 8 x 3 ? 11x ? m能 被x ? 1整除?
充要条件是f ?1? ? 0,即1 ? 3 ? 8 ? 11 ? m ? 0,由此可得m ? ?17 . f ? x ?能被x ? 1整除,就是f ?x ?有因式x ? 1,根据因式定理,

利用综合除法、因式定理来分解因式
关于复系数一元n次多项式的因式分解,有下面的定理: 定理1 任何一个复系数一元n次多项式f ? x ?有且仅有n个 一次因式x ? xi ?i ? 1,2, ? , n ?, 把其中相同的因式的积用 幂表示后,f ? x ?就具有唯一确定的因式分解形式: f ? x ? ? an ? x ? x1 ? ? x ? x2 ? ? ? x ? xm ? ,
k1 k2 km

(*)

其中k1 , k 2 , ? , k m ? N , 且k1 ? k 2 ? ? ? k m ? n, 复数x1 , x2 , ? , xm两两不等.

把分解结果(*)中的x ? xi ?i ? 1,2, ? , m ?叫做多项式 f ? x ?的ki 重一次因式.

例如:多项式x 2 ? 6 x ? 9有2重一次因式x ? 3; 多项式? x ? 4 ?? x ? 2 ? ? x ? 5? 有1重一次因式x ? 4,
2 3

2重一次因式x ? 2, 3重一次因式x ? 5.

定理1的推论:如果x ? a, x ? b?a ? b ?都是复系数 一元n次多项式f ? x ?的因式,那么他们的积

?x ? a ??x ? b ?也是f ?x ?的因式.

证明:因为f ?x ?的分解结果?*?是唯一确定的, 所以a一定等于某个xi,b一定等于某个 x j ?i ? 1,2, ?, m, j ? 1,2, ?, m, 且i ? j ?,由此可见,

?x ? xi ??x ? x j ?是f ?x ?的因式.

因式,没有一般的方法,但是,如果f ?x ?是整系数多项式, q 那么进一步运用下列定理,就能较快地求出它的形如x ? p (其中p, q是互质的整数)的因式,或者确定它没有这种形式 的因式.

对于一个任意的复系数一元n次多项式f ?x ?, 要求出它的一次

定理2 如果整系数多项式f ? x ? ? an x n ? an ?1 x n ?1 ? ? ? a1 x ? a0 q 有因式x ? ?其中p, q是互质的整数?,那么p一定是首项 p an的约数,q一定是末项系数a0的约数.

证明 : 因为f ? x ?有因式x ?
n n ?1

?q? q , 所以f ? ? ? 0,即 ? p? p ? ?

?q? ?q? ?q? an ? ? ? an ?1 ? ? ? ? ? a1 ? ? ? a0 ? 0. ? p? ? p? ? p? ? ? ? ? ? ? 把第二项起的各项移到右边,并将两边都乘以p n ?1 , 得 an q n ? ? an ?1q n ?1 ? ? ? a1qpn ? 2 ? a0 p n ?1 . p

?

?

an q n 等式的右边是一个整数,所以 也是一个整数,即p能整除 p an q n .但因p, q互质,所以p的任何一个质因数都不是q的约数, 从而也不是q n的约数.由此可知,p一定是an的约数.

同理,把上面的等式写成 a0 p n ? ? an q n ?1 ? an ?1q n ? 2 p ? ? ? a1 p n ?1 , q 可以证明q一定是a0的约数.

?

?

推论 如果首项系数为1的整系数多项式f ? x ? ? x n ? an ?1 x n ?1 ? ? ? a1 x ? a0有因式x ? q,其中q ? Z , 那么q一定是常系数a0的约数.
利用定理2及其推论,可以较快地确定一个整系数一元一次式 是不是某整系数一元n次多项式的因式.

例1 把f ?x ? ? x3 ? x 2 ? 10 x ? 6分解因式.
例2 把f ?x ? ? 2 x 4 ? x3 ? 13 x 2 ? x ? 15分解因式.

一元n次方程的根的个数
如果 是复系数一元n次多项式,那么方程f ?x ? ? 0,即 an x n ? an ?1 x n ?1 ? ? ? a1 x ? a0 ? 0, 叫做复系数一元n次方程.当n ? 2时,通常也叫 做复系数高次方程. f ? x ? ? an x n ? an ?1 x n ?1 ? ? ? a1 x ? a0 ?an ? 0 ?

复系数一元n次方程f ?x ? ? 0的根与多项式f ?x ?的一次因式 之间有着极为密切的关系.

多项式f ?x ?有一个一次因式x ? b.

定理1 一元n次方程f ?x ? ? 0有一个根x ? b的充要条件是

根据前面内容可知,任何一个复系数一元n次多项式 f ? x ?具有唯一确定的因式分解形式: f ? x ? ? an ? x ? x1 ? 1 ? x ? x2 ? 2 ?? x ? xm ? m ,
k k k

其中k1 , k2 ,?, km ? N , 且k1 ? k2 ? ? ? km ? n, 复数x1 , x2 ,?,

且f ? x ? ? 0没有其他的根.由于x ? xi ?i ? 1,2,?, m ?是多项式

xm两两不等.由定理1可知x1 , x2 ,?, xm都是方程f ? x ? ? 0的根, f ? x ?的ki重一次因式,则相应地把xi叫做方程f ? x ? ? 0的ki重根.

定理2 复系数一元n次方程在复数集C中有且仅有n 个根(k重根算作k个根) .
例 求方程f ?x ? ? x 4 ? 3x 3 ? 2 x 2 ? 9 x ? 7 ? 0在复数集C中的解集.

q 定理3 如果既约分数 是整系数一元n次方程 p an x n ? an ?1 x n ?1 ? ? ? a1 x ? a0 ? 0 的根,那么p一定是an的约数,q一定是a0的约数.
推论1 如果整系数一元n次方程的首项系数是 ,那么 1 这个方程的有理数根只可能是整数.
推论2 如果整系数一元n次方程有整数根,那么它一定是 常数项的约数.

例 求方程f ?x ? ? 2 x 6 ? x 5 ? 16 x 4 ? 6 x 3 ? 25 x 2 ? 20 x ? 4 ? 0在 复数集C中的解集.

例 求最简整系数方程(就是求一个整系数方程, 并使最高次项系数取尽可能小的自然数)f ? x ? ? 0, ?1 ? 已知它在复数集C中的解集为? ,i, i ?. ? ? 2 ?2 ? ?

一元n次方程根与系数的关系
定理(韦达定理)如果一元n次方程 an x n ? an ?1 x n ?1 ? ? ? a1 x ? a0 ? 0 在复数集C中的根是x1 , x2 , ? , xn , 那么 an ?1 ? ? x1 ? x2 ? ? ? xn ? ? a , n ? ? x x ? x x ? ? ? x x ? an ? 2 , n ?1 n ? 1 2 1 3 an ? ? x x x ? x x x ? ? ? x x x ? ? an ?3 , n ? 2 n ?1 n ? 1 2 3 1 2 4 an ? ??? ? ? x x ? x ? ?? 1?n a0 . n ? 1 2 an ?

?*?

例如,当n ? 3时,有 ? a2 ? x1 ? x 2 ? x3 ? ? , a3 ? a1 ? ? x1 x 2 ? x1 x3 ? x 2 x3 ? , a3 ? a0 ? x1 x 2 x3 ? ? . ? a3 ?

由上节定理1,可以把f ? x ? ? an x n ? an ?1 x n ?1 ? ? ? a1 x ? a0 分解成n个一次因式与an的积: ? an ? x ? x1 ?? x ? x2 ?? ? x ? xn ?. 因为 an x n ? an ?1 x n ?1 ? ? ? a1 x ? a0

证明:因为方程an x n ? an ?1 x n ?1 ? ? ? a1 x ? a0 ? 0的根是x1 , x2 , ? , xn ,

?x ? x1 ??x ? x2 ?? ?x ? xn ? ? x n ? ? x1 ? x2 ? ? ? xn ?x n ?1 ? ? x1 x2 ? x1 x3 ? ? ? xn ?1 xn ?x n ? 2 n ? ? ? ?? 1? x1 x2 ? xn ,
代入上式后,把每一项与an相乘 .现将等号左边 的多项式减去等号右边的多项式,所得的 差F ? x ?是一个零多项式.对F ? x ?进行整理,可知

F ? x ? ? ?an ?1 ? an ? x1 ? x2 ? ? ? xn ??x n ?1 ? ? ? a0 ? ?? 1? an x1 x2 ? xn .
n

? ?an ? 2 ? an ? x1 x2 ? x1 x3 ? ? ? xn ?1 xn ??x

n?2

根据零多项式的定义,F ? x ?的系数都是0,所以 ? an ?1 ? an ? x1 ? x2 ? ? ? xn ? ? 0, ? a ? a ? x x ? x x ? ? ? x x ? ? 0, ? n?2 n 1 2 1 3 n ?1 n ? ??? ? ?a0 ? ?? 1?n an x1 x2 ? xn ? 0. ?

?

?

即证.

这个定理的逆命题也成立,即对于任何一元n次方程 如果有n个数x1 , x2 ,?, xn满足?*?式,那么x1 , x2 ,?, xn一定 是方程f ?x ? ? 0的根. f ?x ? ? an x n ? an ?1 x n ?1 ? ? ? a1 x ? a 0 ? 0,

例 已知方程2 x ? 5 x ? 4 x ? 12 ? 0有2重根,
3 2

利用一元n次方程的根与系数的关系,求这 个方程在复数集C中的解集.
例 当且仅当k是什么数时,方程x 3 ? 6 x 2 ? 3x ? k ? 0 的三个根成等差数列?

实系数方程虚根成对定理
如果? ? b 2 ? 4ac ? 0, 那么实系数一元二次方程 ax 2 ? bx ? c ? 0有一对虚数根,它们互为共轭虚数,即 ? b ? 4ac ? b 2 i x? . 2a
关于实系数一元n次方程的虚数根,有下面性质: 定理 如果虚数a ? bi是实系数一元n次方程f ? x ? ? 0的根, 那么a ? bi也是这个方程的根,并且它们的重数相等.

例 求方程2 x 4 ? 6 x 3 ? 21x 2 ? 14 x ? 39 ? 0在复数集 C中的解集,已知它的根中有一个是2 ? 3i.

例 求次数最低的实系数方程f ?x ? ? 0,已知它在复数 集C中的解集含有i, ? 1 ? i, 0这三个数.


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