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模具CAD技术——实体的表示


实体造型的概念尽管早在 20 世纪 60 年代初就已提出, 但直到 20 世纪 70 年代初才出现简 单有一定实用意义的实体造型系统。1973 年,英国剑桥大学的 1 . C . Braid 曾提出采用 6 种 基本体素作为构造机械零件的积木块.后来的实践又使人们认识到,对于几何模型只用几何信息 表示是不充分的,还需要表示形体之间相互关系的拓扑信息。到 20 世纪 70 年代后期

,实体造 型技术在理论/算法和应用方面逐渐成熟。但因为涉及到大量的面与面之间的交贯运算,难免出 现奇异情况。有时,计算精度的有限带来的几何数据的误差还会造成拓扑关系的紊乱,从而使布 尔运算不能进行下去或者产生错误的结果。因此,如何进一步提高实体造型系统的可靠性,仍然 是一个有待解决的问题。采用推理技术,从整体上判断拓扑关系的一致性并加以调整,无疑有助 于这一问题的解决。实体造型包括两部分内容:即体素(长方体、圆柱体、球体、锥体等)的定义 和描述,以及体素之间的集合运算(并、交、差)。目前常用的实体造型方法有:

1 )边界表示法(Boundary representation , B 一 rep ) ;

2 )构造实体几何法(Constructive Solid Geometry , CSG ) ;

3 )扫描法(Sweeping ) ;

4 )分解表示法(oecomposition representation , D 一 rep )。

其实,不同的造型算法并不控制实际的形体,而是控制表示形休的数据结构。

4 . 3 . 1 边界衰示法

边界表示法是以物体边界为基础的定义和描述几何形体的方法, 并能给出完整的、 显式的界 面描述,如图 4 一 30 所示。在这里,每个物体都由有限个面构成,每个面(平面或曲面)可以由 有限条边围成的有限个封闭域定义。因此用 B 一 rep 描述实体,其表面必须满足一定的条件: 封闭、有向、不自交、有限和相连接,并能区分实体边界内、外、上的点。

边界表示法在数据结构上可用体、面、环、边、顶点五个层次来描述:

1 )体实体包含的基本体素名称以及它

们的相互定位和集合运算关系。

2 )面实体包含的各个面、面的数学方程、内外轮廓边界和标示符等。

3 )环实体有向、有序边组成的封闭边界。每个面有且仅有一个外环.若面内有孔,则还有内 环.

4 )边环的组成元素。由端点或曲线方程定义,如直线边、二次曲线边、三次样条曲线以及 各种面交贯后产生的高次曲线边等。

5 )顶点边的端点或曲线的型值点。不允许孤立地存在于实体的内部或外部,只能存在于实 体的边界上。

边界表示法强调物体的外表细节。它建立了有效的数据结构,把面、边、顶点的信息分层记 录,并建立了层与层之间的关系。层状结构的信息记录包括相互联系的两部分:一部分为几何信 息, 另一部分为拓扑信息。 几何信息是指欧氏空间中的位置和大小, 包括点(point )、 曲线(curve ) 和曲面(surface )的数学方程等。拓扑信息是指实体的面(face )、边(edge )、顶点(vertex ) 的数目、类型以及相互间的连接关系。

复杂的几何形体是由简单的规则几何形体(即体素)经集合运算而成。 由于边界表示法在数据 管理上将几何信息和拓扑信息分开,因此集合运算也分成几何信息处理和拓扑信息处理两部分。

边界表示法的最大优点是:允许绝大多数有关的几何结构的运算直接用几何体的面、边、顶 点定义的数据实现。这有利于生成和绘制线框图、投影图、有限网格的划分和几何特性计算,容 易与二维绘图软件衔接绘制工程图。它的缺点是:数据结构复杂,存储量大,集合运算时间长, 对实体的整体描述能力弱,无法记录组成实体体素的原始特征,输人不方便,并且把一些明显的 几何特征隐含了(如长方体的长、宽、高和圆柱体的半径等)。

目前比较成功的 B 一 rep 方法是采用多面体逼近法,但其缺点是数据量迅速膨胀,并增大 了模型误差,当应用领域要求精度时,会遇到许多困难.

4 . 3 . 2 构造实体几何法构造实体几何法

用系统定义的简单几何形体(即体素,Primitive ) ,经并、交、差的集合运算,构造出所 需要的复杂实体,如图 4 一 31 所示。有的系统还可以进行胶合(glue )运算,但往往生成一些 不规则物体。

在 CSG 中,实体的定义是以集合论为基础的。首先是集合本身的定义,其次是集合之间的 运算。因此,CSG 是建立在两级模式的基础之上。第一级以半空间( Ha " SPace )为基础,定义 有界体素。第二级对这些体素进行并、交、差运算,生成一个二叉树结构。树上的节点是体素或 变换参数,非叶节点是集合运算符号 U (并)、门(交)、一(差),树根是生成的几何实体。

现有造型系统中一般已为用户准备了一些形式简洁、 数目有限的基本体素。 这些体素的形状、 尺寸、位置、方向由用户通过输人较少的参数值来确定,系统可以检查这些参数的正确性和有效 性。当然,体素的类型和数目的多少并不表示一个造型系统的功能强弱。

用 CSG 描述复杂实体是十分简洁的,而且生成速度很快。对于同一个实体而言,CSG 的数 据量只有 B 一 rep 的 1 /10 左右,程序量大约为 B 一 rep 的 1 / 3 。另外,构成几何体的原 始特征和全部定义参数可以被详细地记录, 必要时可以附加几何体和体素的各种属性, 如加工信 息等。需要特别强调的是,CSG 表示的实体具有唯一性和明确性;但同一实体,其 CSG 表示和描 述方式并不唯一, 即可以用几种不同的 CSG 树来表示。 由于 CSG 表示法来建立完整的边界信息, 不具备面、环、边和点的拓扑关系,故既不可能向线框模型转换,也不可能用来显示工程图。而 且.因为修改的最小单元是体素,所以对 CSG 模型不能做局部修改.因此许多造型系统采用 CSG 为外部模型、B 一 reP 为内部模型的综合表示法。也就是,按 CSG 模型输入数据,在计算机内 部转换为 B 一 rep 模型的内部数据。这样,当面对一个复杂的工程问题时,各应用程序可并行 运行,时间和空间的利用都大大提高。同时,CSG 信息和 B 一 rep 信息可以互补,以确保几何 模型信息的完整和精确。

4 . 3 . 3 扫描法

扫描造型法的基本思想十分简单,一个在空间移动的几何集合,可扫描出一个实体,如图 4 一 32 所示。因此,扫描造型法可表示为“运动的物体”加上“轨迹”。仅当二维的几何集合表 示正确时,才能得到正确扫描体。不同的系统有不同的要求,一般需封闭、非多义等。简单的扫 描方式有两种,即平移和旋转。

l )平移扫描法 若扫描是沿垂直于二维的集合进行的,即为平移扫描。它的适用范围只限于 具有“平移对称性”的一些实体。但平移扫描法常常是不唯一的,例如,可以分别用三种平移扫 描生成同一平行六面体。

2 )旋转扫描法 旋转扫描是绕某一轴线旋转某一角度,即为旋转扫描。它只限于具有“旋转 对称性”的实体。

3 )复合扫描法 如果使二维几何集合沿一条空间曲线的集合扫描, 则可以形成更复杂的几何 体。

但有些几何形体难以用扫描造型方法生成, 而需考虑通过进一步的集合运算才能解决。 然而 扫描造型的结果是不能直接进行集合运算的,必须先转化成 B 一 rep 或者 CSG 表示法,然后再 进行。因此扫描造型一般都建立在 B 一 reP 或者 CSG 表示的基础上。另外,扫描造型方法缺少 计算其几何特征的算法,而且易产生不规则的几何体。

4 . 3 . 4 分解衰示法

分解表示法是把一个几何体有规律地分解为有限个单元, 这种方法不仅可以表示平面的几何 体,也可以表示复杂的包括内部有孔的几何体。仆 rep 法主要有:八叉树法(Octree )、细胞分 解法(Cell Decomposition )、空间堆叠法(Spatial Pile Enumeration )。

l . 八叉树法

八叉树是分层表示二维形状的四分叉树概念的自然延伸和扩展。 它的基本原理是: 首先设定 一个立方体的“物理空间”,要求其大到足以容纳我们希望表示的物体。然后,把该物体空间分 成八个相等的有序正方体单元,我们称之为八分元。在起始的八又树结构中,有八个节点,每个 节点表示一个八分元。 每个元在分割过程中有可能出现三种情况: 全满(full )、 部分满(Partial full )、全空( emPty )。对于全满或全空的元不再分割;部分满的元则继续分割为下一级的八分 元,作为该节点的一个子节点。直到最终生成的元足够小,所有节点都不能再分割或已达到所要 求精度为止,如图 4 一 33 所示。

可见,在八叉树表示法中,节点分为终端节点和部分节点两种基本类型,终端节点为叶节点 (分为空和满两种叶节点),部分节点(非满和非空节点)表示位于被分割物体边界上的八分元。

一般来说,用部分节点表示的任意八分元都可进一步细分下去。不过,根据实际需要,在某 些点我们必须终止八分元的再分过程。因此,部分节点也可分成两个子类:可分节点与不可分节 点.这种分层表示三维形体的八叉树法,由于其逻辑关系简单,故布尔运算非常方便,从而可以

高速计算、分析和显示实体模型。但这种方法需要大量的存储空间,而且输出或进行边界模型的 再计算甚为不便,往往还需转化成 B 一 rep 模型。2 .细胞分解法

细胞分解法是把几何体分成有限个规则的正多面体(r egular polyhedron )的集合,这些多 面体就像组成生物体的细胞一样。 这种表示法是非二义性但并不唯一的, 建立比较困难且计算工 作量较大,不过用途也很大,特别是在有限元分析中,为计算几何体的拓扑特性提供了有效的方 法。例如,已经有了一些算法可用于决定一个形体的内部是否有洞穴等。

3 .空间堆叠法

空间堆叠法是基于一个固定空间网格上的一系列固定大小的体元素(vaxel ) 的正方体。每 个正方体可以用体元素的中心坐标表示。这些正方体组成有序的集合,即空间阵列。在研究几何 体时,必须制定一定的空间扫描法则,以免发生混淆,因此具有无二义性和唯一性。这种方法实 际上可以看成细胞分解法的一个特例, 在某些应用场合是比较适宜的。 如在充分模块化的建筑设 计中,或为 CT 中的非规则生物形体提供近似模型等。但对于机械零件那样既不是一个个的方盒 子也不是极端不规则的情况, 用这种空间阵列作为主要定义手段的空间堆叠法, 在精度上就显得 不够了。当然,我们也可以先用它来近似地表示,然后再进一步改进其几何算法的性能。

总之,D 一 rep 法便于进行几何体的并、交、差运算,容易计算几何体的几何特性。但这 种方法不是一种精确的表示法,其近似程度完全取决于分割的精度,与几何体的复杂程度无关。

从以上各种造型方法可以看出: 一 rep 法以边界为基础, B CSG 法以体素为基础, Sweeping 法以面为基础,D 一 rep 法以空间单元为基础。它们各有优缺点,很难用一种方法代替,因此 许多造型系统都装有多种表示模式的功能,并通过相互之间的转换来发挥各种造型方法的长处。 但并不是每种方法都可以相互转换,有的转换也不十分可靠。

作者:汽车模具 http://cn.yuntianmould.com


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