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第四章三角函数


A.1

B.2 D.4 )

第四章

三角函数

C.3 1 A.cos0<cos <cos1<cos30° 2 1 B.cos0<cos <cos30°<cos1 2 1 C.cos0>cos >cos1>cos30° 2

/>8.将下列各式按大小顺序排列,其中正确的是(

第Ⅰ卷(选择题 填空题)
一、选择题(在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.一个角的度数是 405 ,化为弧度数是( A.
o

) C.

83 ? 36
23 6 π)的值是(

B. )

7 ? 4

13 ? 6

D.

9 ? 4

1 D.cos0>cos >cos30°>cos1 2

2.sin(-

9.下列关系中正确的是
3 2 3 2

(

)

A. 2

1

1 B.- 2 ( )

A.sin11°<cos10°<sin168° B.sin168°<sin11°<cos10° C.sin11°<sin168°<cos10° D.sin168°<cos10°<sin11°

C.

D.-

3. sin 600 的值是

A.

1 2

B.

?

1 2
( )

C.

3 2

D. ?

3 2

10.计算 1 ? 2 sin 22.5? 的结果等于(
2

)

1 4.下列各式中,值为 的是 2 A.sin15°cos15° 1+cos C. 2 B.cos2 -sin2 12 12

A.

1 2

B.

2 2

C.

3 3
)

D.

3 2

π

π

11.若角α的终边过点(sin30°,-cos30°),则 sinα等于( 1 (A) 2 1 (B)- 2
1 A.- 2 C.-2

π
6 tan22.5° D. 1-tan222.5°

(C)-

3 2
1 B. 2 D.2

(D)-

3 3
( )

12.若角α的终边过点 P(1,-2),则 tanα的值为

5.sin330°等于( (A)- 3 2

) 1 (B)- 2 (C) 1 2 (D)
) C. ?

3 2

? 1 3? ?,且 2α∈[0,2π) 13.已知角 2α的顶点在原点,始边与 x 轴的非负半轴重合,终边经过点?- , ,则 tan α等于( ? 2 2 ?
A.- D. ? a 14.已知角 ? 的终边上一点的坐标为 (sin A. 3 B. 3 C.- 3 3 ) D. 3 3



6.已知 sin 80 ? ? a ,则 cos100°的值等于( A. 1 ? a
2

B. ? 1 ? a

2

1 1? a2
π

7.给出下列等式 1 π ①arcsin =1 ②arcsin(- )=- 2 2 6 其中正确等式的个数是( ) π ③arcsin(sin )= 3 3 π 1 1 ④sin(arcsin )= 2 2

2? 3

B.

5? 6

2? 2? , cos ), 则角 ? 的最小正值为( 3 3 5? 11? C. D. 3 6

α 3 α 4 15.已知 sin = ,cos =- ,那么角α的终边在 2 5 2 5

(

)

A.第一象限 C.第三象限
16.若 ? 是第二象限的角,且 | cos A.第一象限角

B.第三或第四象限 D.第四象限

4 A.- 3
) D.第四象限角

5 B. 4
)

3 C.- 4

4 D. 5

?
2

|? ? cos

?
2

,则

?
2

是(

26.若 tan ? ? 2 ,则 cos2θ=( A.

B.第二象限角

C.第三象限角 ) 1 )

17.已知 tan ? ? 2, 那么 A.-2 18. 若 ? ? (0,

sin ? ? cos ? 的值为( 3 sin ? ? 5 cos ?
2 C.

4 5

B.-

4 5

C.

3 5
(

D.-

3 5

B.

D.

?

1 11

27.函数 y=2cos2(x- )-1 是 4 A.最小正周期为π的奇函数 B.最小正周期为π的偶函数 C.最小正周期为 的奇函数 2

π

)

1 )且 sin 2 ? ? cos 2? ? , 则 tan ? ? ( 2 4
B.

π π

A.

2 2
? 2

3 3

C.

2

D.

3

? 1 ) ? ,那么 sin ? ? cos ? 的值为( ) 4 7 1 7 3 7 A. ? B. C. ? D. 5 5 4 5 1 1 20.已知 tan ? ? , tan( ? ? ? ) ? ,则 tan ? ? ( ) 4 3 7 11 1 1 A. B. ? C. ? D. 11 13 7 13 ? 1 ? 21.已知 tan(? ? ) ? 3 , 则 ( ) 4 sin ? cos ? 5 7 5 7 A. B. C. ? D. ? 2 5 2 5
19.已知 ? ? ( , ?) , tan(? ?

D.最小正周期为 的偶函数 2
28.函数 y ? cos 2 ( x ?

?

) ? sin2 ( x ? ) 是( 4 4

?

) B.周期为 ? 的偶函数 D.周期为 2? 的偶函数

A.周期为 ? 的奇函数 C.周期为 2? 的奇函数

π? ? π 29.先将函数 f(x)=2sin?2x- ?的周期变为原来的 2 倍,再将所得函数的图象向右平移 个单位,则所得函数的图象的解 6? 6 ? 析式为( ) A.f(x)=2sinx B.f(x)=2sin?x-

? ?

π? 3?

?

? 1 ?? ? 22.若 sin ? ? ? ? ? ,则 cos ? ? 2? ? =( ?3 ? 4 ?3 ? ??
A. ?

C.f(x)=2sin4x π? ? D.f(x)=2sin?4x- ? 3? ?



7 8

B. ?

1 4
)

C.

1 4

D.

7 8

30.将函数 y ? sin( x ?

?

3

,再将所得图象向左平移 ) 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变) ) B. y ? sin(2 x ?

?
3

个单位,

23.下列诱导公式中错误的是( A. tan(π― ? )=―tan ? ; C. sin(π+ ? )=― sin ?

则所得函数图象对应的解析式为(

? B. cos ( + ? ) = sin ? 2
D. cos (π― ? )=―cos ?

A. y ? sin( x ?

1

?

2

31.要得到 y=sin(2x- )的图象,只要将 y=sin2x 的图象 3 A.向左平移 个单位 3

3 π

)

?
6

)
(

C. y ? sin )

1 2

x

D. y ? sin( x ?

1

?
6

2

)

24.已知 cosA+sinA=- ,A 为第二象限角,则 tanA= 13 12 A. 5 B. 12 5 12 C.- 5 D.- 12 5

7

π

(

)

B.向右平移 个单位 C. 向右平移 个单位 D. 向左平移 个单位 3 6 6

π

π

π

π 32.设函数 f(x)=cosωx(ω>0),将 y=f(x)的图象向右平移 个单位长度后,所得的图象与原图象重合,则ω的最小值等于 3 ( ) A. 1 3 B.3 C.6 D.9

25.已知 tanθ=2,则

sin2θ+sinθcosθ-2cos2θ=

(

)

33.为了得到函数 y ? sin(2 x ?

?
3

) 的图像,只需把函数 y ? sin(2 x ?

?
6

) 的图像(

)

38.已知函数 y=cos(ωx+φ)(ω>0, |φ|<π)的部分图象 2π (A)ω=1,φ= 3 2π (B)ω=1,φ=- 3 2π (C)ω=2,φ= 3 2π (D)ω=2,φ=- 3
39.已知函数 y ? Asin

如图所示,则(

)

? A.向左平移 4 个长度单位 ? C.向左平移 2 个长度单位
π

? B.向右平移 4 个长度单位 ? D.向右平移 2 个长度单位

34.已知函数 f(x)=sin(wx+ )(x∈R,w>0)的最小正周期为π,为了得到函数 g(x)=coswx 的图象,只要将 y= 4

f(x)的图象
A.向左平移 个单位长度 8 B.向右平移 个单位长度 8 C.向左平移 个单位长度 4 D.向右平移 个单位长度 4

(

)

π π

??x ? ?? ? B 的一部分如下图所示。如果 A>0, ? > 0, ? < 2 ,则(

?



π π

? 35.将函数 y ? cos( x ? ) 的图象上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变),再向左平移 个单位,所得函数 6 3
图象的一条对称轴是 A. x ? ( )

?

A.A=4 B.B=4 C. ? ? 1 D. ? ?

?
9

B. x ?

?
8

C. x ? ?

D. x ?

?
2
)

36.已知 f(x)=sinx+ π (A) 2 π (B) 3

3cosx(x∈R),函数 y=f(x+φ)的图象关于直线 x=0 对称,则φ的值可以是( (C) π 4 π (D) 6

? 6

40. 已知函数 f ( x) ? A sin(?x ? ? )( x ? R, A ? 0,? ? 0, ? ?

?
2

) 的图象 (部分) 如图所示, 则 f ( x ) 的解析式是(

)

37.已知函数 f(x)=2sin(wx+φ)(w>0,0<φ<π),且函数的图象如图所示,则点(w,φ)的坐标是 ( )

[:]

A.(2, ) 3 2π C.(2, ) 3

π

B.(4, ) 3 2π D.(4, ) 3

π

A. f ( x) ? 2 sin ? ?x ?

? ?

??

?( x ? R) 3?

B. f ( x) ? 2 sin ? 2?x ?

? ?

??

?( x ? R) 6?

C. f ( x) ? 2 sin ? ?x ?

? ?

??

?( x ? R) 6?

π π 1 47.曲线 y=2sin(x+ )cos(x- )与直线 y= 在 y 轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为 P1、P2、P3、…, 4 4 2 则|P2P4|等于( (A)π (B)2π ) (C)3π (D)4π

D. f ( x) ? 2 sin ? 2?x ?

? ?

??

?( x ? R) 3?

41.已知函数 f(x)= 的单调递增区间是

3sinwx+coswx(w>0),y=f(x)的图象与直线 y=2 的两个相邻交点的距离等于π,则 f(x) ( )

第Ⅱ卷(非选择题)
二、填空题(把正确答案填在题中横线上)
48.设函数 f (? ) ? tan 2? ,其中角θ的顶点与坐标原点重合,始边与 x 轴非负半轴重合,其终边与单位圆交于点

5π A.[kπ- ,kπ+ ],k∈Z 12 12 5π 11π B.[kπ+ ,kπ+ ], ,k∈Z 12 12 C.[kπ- ,kπ+ ],k∈Z 3 6

π

π

π

1 3 P( , ? ), 则f (? ) ? 2 2



π 2π D.[kπ+ ,kπ+ ],k∈Z 6 3
42.已知 f(x)=sin(2x+φ)+ 3cos(2x+φ)为奇函数,且在[0, ]上为减函数,则φ的一个值为 4 ( A. ) 5 C. π 3 ( A.3 B.5 C.7 ) D.9 2π D. 3

3 3 49.已知点 P(sin π,cos π)落在角θ的终边上,且 0≤θ≤2π,则θ=________. 4 4

π

π
3

4 B. π 3

cos 2? 1 ? ?? ,且 ? ? ? 0, ? ,则 ? ? 的值为 ? 2 ? 2? sin ? ? ? ? 4? ? 3 ? 1 ? 51.如果 tan( ? ? ? ) ? , tan( ? ? ) ? ,那么 tan( ? ? ) =
50.已知 sin ?

? cos ? ?

.

43.函数 y=sinx 和 y=tanx 的图象在[-2π,2π]上交点的个数为

52.已知 tan(? ?

?
4 π

4

4

2

4

.

) ? 2 ,则 1 ? 3 sin ? ? cos? ? 2 cos2 ? =_______________

1 7π 53.已知 sin(α+ )= ,则 cos(α+ )的值等于________. 12 3 12

44.已知函数 y ? sin(6 x ? 称中心是( A. ( ,0) 16 )

?
4

) 的图象上各点的横坐标伸长到原来的 3 倍,再向右平移

? 个单位,得到的函数的一个对 8

54.如果 sin

?? ? A? = 2 ,那么 cos ? ?
1

3 ? ? ? A ? 的值是 ?2 ?


.

55.已知 sin( B. ( ,0) 9

?

?

C. ( ,0) 4

?

D. ( ,0) 2

?

? 3 ? x ) ? ,则 sin 2 x 的值为_____ 4 5

1 ? 45. 若将函数 y ? 2sin( x ? ? ) 的图像上每个点的横坐标缩短为原来的 倍(纵坐标不变) , 再向右平移 个单位后 3 4
得到的图像关于点 ( A.

56.设 sin ?

?

3 ? 1 ( ? ? ? ? ), tan(? ? ? ) ? , 则 tan(? 5 2 2
2 (0? ? ? ? 90? ) ,则 cos? = 10
. .

? 2? ) 的值等于

?

? 4
?
6

3

,0) 对称,则 ? 的最小值是(
B.

) D.

57.已知 sin(45? ? ? ) ?

? 3
?
3

C.

? 2

3? 4


58.已知 tan ? ? 3 ,则

46.函数 y ? sin(2 x ? A. 2? , 2

) ? cos(2 x ?
B. 2? ,1

) 的最小正周期和最大值分别为(
C. ? ,1

sin ? ? cos ? ? sin ? ? cos ?

D. ? , 2

59.sin21°+sin22°+sin23°+…+sin289°=

.

60.函数 y=

sinx cosx tanx 的值域是______. ? ? sinx cosx tanx
π

65.给出下列六种图象变换方法: (1)图象上所有点的纵坐标不变,横坐标缩短到原来的

61.下图是函数 y=sin(wx+φ) (w>0,|φ|< )的图象的一部分,则φ=________,w=________. 2

1 ; 2

(2)图象上所有点的纵坐标不变, 横坐标伸长到原来的 2 倍;

62.如图,函数

?? ? y ? 2 sin??x ? ? ?, x ? R, ? 其中0 ? ? ? ? 的图像与y轴交于点(0,1). 设P是图像上的最高点, 2? ?


? 个单位; 3 ? (4)图象向左平移 个单位; 3 2? (5)图象向右平移 个单位; 3 2? (6)图象向左平移 个单位. 3
(3)图象向右平移 请用上述变换中的两种变换,将函数 y=sinx 的图象变换到函数 y=sin(

M、N是图像与 x 轴的交点,则 PM与PN 的夹角的余弦值为

x + 2

? )的图象,那么这两种变换正确的标号是______(要求按变换先后顺序填上一种你认为正确的标号即可). 3

63.给出下列六个命题,其中正确的命题是__________. 3 ①存在α满足 sinα+cosα= ; 2 5 ②y=sin( π-2x)是偶函数; 2

三、解答题(解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
sin 65 o + sin 15 o sin 10 o o o o 66.计算: sin 25 - cos 15 cos 80

π 5π ③x= 是 y=sin(2x+ )的一条对称轴; 8 4
④y=esin2x 是以π为周期的(0, )上的增函数; 2 ⑤若α、β是第一象限角,且α>β,则 tanα>tanβ; ⑥函数 y=3sin(2x+ )的图象可由 y=3sin2x 的图象向左平移 个单位得到. 3 3
64.设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点 P(x,y),由此定义了正弦(sinα)、余弦(cosα)、正切(tanα),其实还有另 外三个三角函数,分别是:余切(cotα=

π

π

π

π π 33 5 67.(本小题满分 10 分)已知α∈(0, ),β∈( ,π)且 sin(α+β)= ,cosβ=- .求 sinα. 2 2 65 13

x 1 1 )、正割(secα= )、余割(cscα= ).则下列四个关系式正确的是______. x y y
1 cos?

cos? sin ? 1 ③cscα= sin?
①cotα=

②secα ?

④cot2α-csc2α=1

68.已知 tan x ? 3 ,求下列各式的值:

(1) y1 ? 2 sin 2 x ? 5 sin x cos x ? cos2 x ; (2) y 2 ?

3 cos x ? sin x 3 cos x ? sin x

69. (本小题满分 12 分)已知函数 f(x)=Asin(wx+φ),(A>0,w>0,|φ|< ,x∈R)的图象的一部分如图所示. 2 71.(本小题满分 12 分)已知 f(x)=sin2wx+ 1 sin2wx- (x∈R,w>0),若 f(x)的最小正周期为 2π. 2 2 3

π

(1)求 f(x)的表达式和 f(x)的单调递增区间;

π 5π (2)求 f(x)在区间[- , ]上的最大值和最小值. 6 6
(1)求函数 f(x)的解析式; 2 (2)当 x∈[-6, ]时,求函数 y=f(x)+f(x+2)的最大值与最小值及相应的 x 的值. 3

π 3 72. (本小题满分 12 分)已知函数 f(x)=2cosx·sin(x+ )- . 3 2
(1)求函数 f(x)的最小正周期 T; (2)在给定的坐标系中,用“五点法”作出函数 f(x)在一个周期上的函数.

70.已知函数 f ( x) ? sin(?x ? ? )(? ? 0,0 ? ? ? ? ) 为偶函数,其图象上相邻的两个最高点之间的距离为 2 ? 。

2 sin(2? ? ) ? 1 2 4 sin ? ? f ( ? ) ? (1)求 f(x)的解析式; (2)若 ,求 的值。 3 1 ? tan?

?

75. 如图, 在半径为

圆心角为 60 的扇形的弧上任取一点 P , 作扇形的内接矩形 PNMQ , 使点 Q 在 OA 上, 点 N,M 3、

在 OB 上,设矩形 PNMQ 的面积为

y,

73.(本小题满分 12 分)已知 tanα、tanβ是方程 x2-4x-2=0 的两个实根,求:cos2(α+β)+2sin(α+β)cos(α+

β)-3sin2(α+β)的值.
(1)按下列要求写出函数的关系式: ①设 PN ? x ,将

y 表示成 x 的函数关系式; ②设 ?POB ? ? ,将 y 表示成 ? 的函数关系式,
(2)请你选用(1)中的一个函数关系式,求出

y 的最大值.

π 3π 74. (本小题满分 12 分)已知 A、B、C 三点的坐标分别是 A(3,0)、B(0,3),C(cosα,sinα),其中 <α< . 2 2
→ → (1)若|AC|=|BC|,求角α的值; 2sin2α+sin2α → → (2)若AC·BC=-1,求 的值. 1+tanα

78.设向量 a=(sinx,cosx),b=(sinx,
76.已知函数 f(x)=Asin(x+φ)(A>0,0<φ<π,x∈R)的最大值是 1,其图象经过点 M( (1)求 f(x)的解析式; (2)已知α,β∈(0,

3 sinx),x∈R,函数 f(x)=a·(a+2b).

? 1 , ). 3 2

(1)求函数 f(x)的最大值与单调递增区间; (2)求使不等式 f′(x)≥2 成立的 x 的取值集合.

? 3 12 ),且 f(α)= ,f(β)= ,求 f(α-β)的值. 2 5 13

2 77.已知函数 f ( x) ? sin ? x ? 3 sin ? x sin(? x ?

?
2

)(?

0) 的最小正周期为π.

(Ⅰ)求ω的值; (Ⅱ)求函数 f(x)在区间[0,

2? ]上的取值范围. 3

79.设函数

f ( x) ? A sin(?x ? ? )( A ? 0, ? ? 0, | ? |?

?

2 的最高点 D 的坐标为( 8

)

?

,2

) ,由最高点 D 运动到相邻最低点

3? ,0 时,函数图形与 x 轴的交点的坐标为( 8 ).
(1)求函数

f ( x) 的解析式;

? ? ?? x ? ?? , ? ? 4 4 ? 时,求函数 f ( x) 的最大值和最小值以及分别取得最大值和最小值时相应的自变量 x 的值; (2)当
y ? f ( x) 的图象向右平移

(3)将函数

? 4

个单位,得到函数

y ? g ( x) 的图象,求函数 y ? g ( x) 的单调减区间.

80. 已知函数

f ( x) ? sin 2 x ? 2 3 sin( x ?

?
4

) cos( x ?

?
4

) ? cos 2 x ? 3.

(I)求函数

f ( x) 的最小正周期和单调递减区间; f ( x) 在
[?

? 2?
12 ,

(II)求函数

] 3 上的最大值和最小值并指出此时相应的 x 的值。


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