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车辆工程外文翻译


武汉科技大学本科毕业设计

Finite Frequency H∞ Control for Vehicle Active Suspension Systems Weichao Sun, Huijun Gao, Senior Member, IEEE, and Okyay Kaynak, Fellow, IEEE IEEE TRANSACTIONS ON CON

TROL SYSTEMS TECHNOLOGY, VOL. 19, NO. 2, MARCH 2011

汽车主动悬架系统的有限频率H∞控制 孙伟超,高辉俊,电气和电子工程师协会高级成员,奥基艾·凯 内克,电气和电子工程师协会研究员 电气电子工程师协会控制系统技术,卷19,2号,2011年3月

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简要说明H∞控制在有限的频域主动悬架系统的控制问题。 H∞的性能是用来衡量乘 坐的舒适性,因此更应该考虑一般的道路干挠。通过使用广义卡尔曼-Yakubovich波波 夫-(KYP)引理,从扰动到受控输出常态H∞控制被降低特定频带,提高乘坐舒适度。 与整个频率的方法相比,有限的频率的方法更有效地抑制振动有关的频率范围。另外, 对时域的限制,这代表了车辆悬架的性能要求,保证在控制器的设计。状态反馈控制器 设计的线性矩阵不等式(LMI)优化的框架。四分之一汽车主动悬架系统模型被认为是 在这个简短的和一个数值的例子用来说明该方法的有效性。

关键词:主动悬架系统,约束,有限的频率,广义KYP引理,H∞控制。

一、 引言
车辆悬架系统基本上由横臂, 弹簧和减震器的传输和过滤器与道路之间的所有力组 成。弹簧是进行体质量和隔离的身体道路干扰,从而有助于乘坐舒适性。减震器的任务 是车身和车轮的振动阻尼,其中避免车轮振荡的直接造成乘坐安全。由于车辆悬架系统 的乘坐舒适性和安全性负责,它在现代汽车中起着重要的作用。 近年来,很多一直努力开发模型悬架系统和定义设计规范,反映了主要目标需要考 虑。在这个意义上,乘坐的舒适性,行驶能力,悬架动挠度,和致动器的饱和度被认为 是控制方案解决的重要因素。然而,这些要求是矛盾的。例如,增加在较大的悬架行程 和较小的阻尼在轮跳的模式。因此,汽车悬架的设计需要之间的一种折衷的乘坐舒适性 和车辆的控制。 为了达到性能要求之间的一种折衷,大量的研究已经进行了几十年[ 3 ],[ 17 ], [ 21 ]。 其中提出的解决方案, 主动悬架是提高悬架性能的可能途径, 并备受关注[10], [19],[24],以及许多主动悬架控制方法被提出,基于诸如线性二次型的各种控制技术 高斯(LQG)控制[4],自适应控制和非线性控制[11],模糊逻辑和神经网络控制[15], 和H∞ 控制[14]。 特别地, 主动悬架已集中在稳定性和干扰抑制的上下文中讨论[6], [7]。 因此,近年来,越来越多的注意力一直致力于主动悬架的H∞控制,以及许多重要的结 果已被报道,例如见[5],[13]和其中的参考文献。 车辆悬架系统的最重要的目的是提高乘坐的舒适性。换句话说,主要的任务是设计 出能够在稳定车身的上下运动和分离,以及传递到乘客的力成功控制器。在文献中可以 找到许多结果是提高乘坐舒适性[ 8 ],[ 20 ],[ 22 ]。这些结果可以有效地实现所

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需的车辆悬架性能,尤其是乘坐舒适性。值得一提的是,大多数报道的方法是在整个频 域的考虑。然而,主动悬架系统可能只属于一定的频带,和乘坐舒适性是已知的频率敏 感的。从ISO2361,人体是非常敏感的4–8赫兹的振动在垂直方向。因此,在有限的频 域H∞ 控制主动悬架系统的发展是有意义的。 有限的频率域的方法是引入加权函数。加权方法在实践中是有用的,然而,额外的 重量增加了系统的复杂性。此外,选择适当的权重的过程是耗时的,特别是当设计师必 须选择权重的复杂性和捕获所需规格精度之间的良好折衷。另一个方法是电网频率轴。 这种方法具有实际意义尤其是当系统的阻尼和频率响应预计将顺利。 但它缺乏在设计过 程中严格的性能保证。 另一种方法,避免了权重函数和频率的网格是推广的基本机械,就是卡尔曼– YakuboviˇC波波夫(KYP引理–)。KYP引理建立了等价频域不等式之间的传递函数和 线性矩阵不等式(LMI)的状态空间实现[ 1 ],[ 9 ],[ 12 ]。它允许我们来表征的 形式在频域的动态系统的各种性能。然而,标准的KYP引理只适用于无限的频率范围。 最近,一个非常重要的发展—哈兰是广义的KYP引理[ 23 ]。它建立了一种频域特性和 在一个有限的频率范围内的线性矩阵不等式之间的等价关系,使设计者对性能的要求, 在选择有限或无限的频率范围。广义的KYP引理及实际应用中的合成问题的分析是非常 有用的。 不同于传统的方法,考虑在整个频率范围内的H∞ 控制,这个简短的控制,我们考 虑的主动悬架系统都是基于广义KYP引理有限频率范围内。 此外, 时域约束 (道路控股, 悬架动挠度,和致动器的饱和度)在控制器的设计保证。利用广义KYP引理,频域不等 式转化为线性矩阵不等式,我们关注的重点是开发方法,设计了一种基于矩阵不等式使 得闭环系统渐近稳定的一个指定的水平在一定的频域干扰抑制的状态反馈控制律。 所提 出的方法的有效性是通过一个设计实例。 这个简短的其余部分安排如下。主动悬架系统的有限频率H∞ 控制器的设计问题是 配制在第二节。第三部分介绍了控制器的设计结果。设计实例说明所提出的方法的实用 性和优势是第四章和结论给出了第五节。

(一) 、符号
对于矩阵, , ?1 和 ⊥ 分别表示它的转置矩阵, 逆矩阵, 正交矩阵。 符号 > 0 ≥ 0 的

意思是 P 是实对称正定(半正定); P s 代表P + P T ,表示一个向量或者一个矩阵, ?


= 1,2 ? 表示的向量或矩阵的线,

∞ 表示传递矩阵

G(s)的H∞ 范数。在对称矩阵

的分块或复杂的矩阵表达式,我们用星号(*)为代表的一个术语,用来表示引起对称 性,用特征{?}代表一个角矩阵。矩阵,如果它们的尺寸是不明确的,被认为是兼容的

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代数运算。 用平方可积函数在[0, ∞)的空间是由2 [0, ∞)表示, 并为 = 规范为
2

∈ 2 [0, ∞)

=

∞ =0

2 。

二、 问题描述
四分之一汽车主动悬架模型简介如图 1 所示。在图 1 中 表示簧上质量; 表示 簧下质量; 和 分别表示悬架阻尼和悬架弹簧刚度; 和 分别表示充气轮胎的刚度 和阻尼。 和 分别表示以静态平衡点为参考位置的簧上质量和簧下质量; 是路面激 励垂直位移;u 是悬挂系统的有效输入。该模型已在文献中广泛使用和获取更详细的模 型的许多重要特性。简单的说,执行器动力学的影响被忽略和执行机构被建模为一个理 想的力发生器。 定义以下的状态变量:

1 = ? , 2 = ? 3 = , 4 =
其中1 表示悬架的挠度, 2 表示轮胎的偏转, 3 表示簧载质量速度4 表示簧下质量速度。定义干挠输入为 = 。然后,定义

= 1
型可表示为

2

3

4



,根据主动悬架系统的动态特性,状态空间模

= + 1 +
式中 0 0 = ? 0 0 0 ? 1 0 ? ?1 1 + ?

(1)

0 0 1 = 1 ?

0 ?1 1 = 0

(2)

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图 1 四分之一汽车主动悬架模型

四分之一汽车主动悬架模型已被广泛接受, 汽车乘坐的舒适性与在 4-8Hz 的频带车 身加速度密切相关。因此,为了提高乘坐舒适性最重要的是要从扰动输入的传递函数应 用到汽车车身加速度 尽可能使频段在 4–8Hz。 为了确保汽车的安全性,我们应该确保车轮与路面稳定的不间断的接触,并且轮胎 动载荷要小,也就是说 ? 最大的悬架偏移量。 另一个施加在主动悬架的约束是来自于执行器的限制功率,即 () ≤ 。 为了满足性能要求,定义输出控制 ? 1 = , 2 = 因此,汽车悬架控制系统可以描述为 = + + 1 1 = 1 + 1 2 = 2 其中,A, 1 和 B 在公式(2)中已经定义,以及 ? +


< + 。 ≤ , 其中 是

此外, 该车辆的结构特点也限制悬架偏移量, 即 ?

(3)

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1 = ? 1 2 = 0 0 ?

0

0 0

0 (4) 0

+ 1 = 1

()是表示从干扰输入 到控制输出1 的传递函数。 有限频率H∞ 控制问题是 设计一个保证闭环系统的控制器

sup ?1 < < ?2 安全观点和机械结构特点约束条件为

(



<

(5)

其中,γ > 0表示规定的数量,?1 ,?2 分别表示有关频率的上限和下限。此外,从



< , 2



≤ 1, = 1.2

(6)

三、 控制器的设计
为了便于说明,我们只介绍基本引理。为了简洁,忽略了所有证明过程。 引理 1: (广义 KYP 引理[23]) : 考虑线性系统 (, , , ) 。 给定一个对称矩阵Π, 下列 是其等价的陈述。 1)有限域不等式

( ( < 0, ? < < ? 1 2


(7)

2)存在对称矩阵 P 和 Q 满足 Q>0 并且

, , , ?



?



<0

(8)

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其中 , , , =


0



? ?

+ ?1 2

?

0

+

0 ?

Π12 Π12 + Π22

(9)

?c = (?1 + ?2 )/2, Π12 和Π22 是Π右上和右下的分块矩阵。 引理 2: (投影引理[16]) : 给出Γ,Λ,Θ。 存在一个矩阵 F 满 + 且仅当这两个条件:Γ ⊥ ΘΓ ⊥T < 0, ΛT ΘΛT
⊥ ⊥T



+ < 0当

< 0。

引理 3: (交互投影引理[16]) : 设 P 给定的任意正定矩阵。 不等式 Ψ + S + S T < 0相 当于 LMI 问题

+ ? + < 0 (10) ? ? 简要说明,这是假定所有状态变量可以测量,而我们重要的是设计一个状态反馈控 制器

= 其中 K 为设计的状态反馈增益矩阵结合(11)和(4)闭环系统是由

(11)

= + 1 = + 2 = 2 其中 (12)

(13) 对主动悬架系统,按照要求(6)在固定频带?1 < < ?2 ,约束H∞ 控制问题是为 了减少H∞ 从干扰输入 到控制输出1 规范。利用引理 1,我们有如下定理。

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引理 1,我们有如下定理 引理 1:给定确定的标量,和。存在一个状态反馈控制器(11),使得闭环控 制系统 (12) 渐近稳定在 = 0, 并满足所有非零数 ( , 1 > 0, > 0并且存在一般矩阵 F 满足 ? ?
?1 < <?2 ∞

< , ∈ 2 0, ∞),

然而式(6)中的约束保证了挠动能量的界限 = ? 0 /,如果存在对称矩阵 + 1 ?1 0 0 <0 ?1 0 ? ? ? ? ? ?

(14)

? ? ? ?

+ ? 0 0 ?1 2 < 0 ? ? 2 0 ? ? ? ? ? ? ?
2 ? 1

(15)

<0

(16)

2 ?1



<0

(17)

其中ωc = (ω1 + ω2 )/2是给定的标量。 证明:利用 Schur 补集,不等式(14)相当于
1 1 + ? 1 ? η ?


+ 1
?1

<0

(18)

?1 执行同余变换不等式(18)通过 ?1 , 1 和: = ?1 不等式(18)可以转

化为下列不等式:
1
?1 + 1 ? ?1 1 + ?1 1

<0

(19)

?
?1 和 = 1 ,显然,我们得到

?1 ?1 利用引理 3, 不等式 (19) 相当于1 + 1 + 1/ < 0,其中Ψ = 1/

1 + 1 + 1 1 < 0


1

(20)

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它可以保证 1 + 1 < 0。 从标准的连续时间线性系统的 Lyapunov 理论,闭环系 统(12)是渐近稳定在 = 0。 不等式(15)可以重写为 + + 其中 = 0 0 0 0


<0

( 21 )

Ξ=

? ?

+ ?1 2 0 ? ? 2

=

(22)

=

0 0

0 0



Γ = ?Ι A

B

= 0 0 然后,根据引理 2,不等式(21)当且仅当 Ξ + < 0

(23)

Ξ + < 0 其中 = 0 0 0 0
, =

(24)

0 0

同时不等式(24)可转化为以下形式:



0



Ξ

+ 0 0

0





0

0 <0

(25)

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这可以进一步转化为

+ 其中

0





0 <0

(26)

=

0





0 + 0 2 0 ? 0

利用 Schur 补引理 1,我们可以得到

( ( < 0, ? < < ? 1 2


(27)

这正是有限H∞ 频率性能指标的不等式(5)。 令 = 1 作为能量函数,并且注意到 2 1 ≤ 1 1 +
1

? > 0 我们得到 ≤


1 + 1 + 1 1 +


1

(28)

根据不等式(20)和不等式(28)保证 ≤ 。将上述不等式两边从 0 到 t 积分得到结果


? 0 =≤
0



2 2

=

这表明

1 ≤ 0 + = 考虑到
≥0 ≥0 2 ≥0 2 2 ≥0

(29)

2

=
2


≥0

=


2

2

=



2

2

, = 1,2

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使用转换 = 1
1/2

,从不等式(29)根据 ≤ 。因此
2

≥0

=

≥0

1
1/2

1/2

1
1/2

1/2



2

≤ ? 1
≥0

1
1/2




2



2

≤ ? 1

2

2 1

1/2


( 30 )

= 1,2 其中 ? 表示最大特征值,约束(6)认为如果 1 1
1/2 1/2

1
1/2

1/2

2 <

2



2 1

< , = 1,2

( 31 )

其中,利用 Schur 补集,相当于(16)和(17)。该证明完成。

因为这样的表达式 (14) 和 (15) 涉及的反馈产生的可行性问题的形式是非线性的。 因此,它不能通过 LMI 优化直接处理。为了解决非线性问题,定义 1 = ?1 , ?1 , ?1 , 2 = ?1 , ?1 , , , 3 = , ?1 然后,我们执行从(14)-(17)同余变换分别由满秩矩阵1 , 2 , 3 和3 在左边,和 1 ,2 ,3 和3 在右边。 定义 Q = ?1 ?1 , = ?1 ?1 1 = ?1 1 ?1 , = ?1 , = ?1 得到下面的定理。 定理 2:设正标量γ ,η ,并给予。在(11)形式的状态反馈控制器的存在,使得 在(12)的闭环系统是渐近稳定为 = 0,并且满足 (
?1 < <?2 ∞

< 对所有非零

∈ 2 0, ∞),而在(6)的约束条件下的结合保证与干扰能量 = ? 0 /,如 果存在矩阵, 1 > 0, > 0,和一般矩阵 满足(32)-(35),在该页面的底部。此外, 如果不等式(32) - (35)具有一组可行的解决方案,该控制增益 K 在(11)由下式 给出 = ?1 注 1:请注意,线性矩阵不等式(33)具有复杂的变量。根据文献[18],线性矩阵 不等式在复杂的变量可以在真正的变量转换成较大尺寸的 LMI。这意味着不等式 2 1 + 2 < 0相当于 1 < 0, 这意味着在 LMI(33)可 解决。 ?2 1

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四、 一个设计实例
在本节中, 我们将应用上述方法进行设计的基础上在第二节中描述的四分之一汽车 模型的有限频率状态反馈H∞ 控制器。四分之一汽车模型的参数列于表Ⅰ。
表Ⅰ 四分之一汽车模型的参数 320kg 40kg 18kN/m 200kN/m 1kNs/m 10Ns/m

对于后续的比较,对系统(4)有限频域的状态反馈H∞ 控制器的设计首先考虑的基 础上,所有的状态变量可测的假设。在零初始条件,求解矩阵不等式(32) - (35) 的矩阵, 1 > 0和Q > 0在优化参数γ > 0和1 = 4, 2 = 8, = 0.9, = 10000, = 100, = 2500。在最佳γ 的情况下,容许控制增益矩阵是基于 给定的 = ?1 = 104 × 0.5033 ?1.3155 ?0.5329 ?0.0547 在简洁的描述,我们用这个有限的频率控制器,作为控制器Ⅰ。 然后,我们给它设计在整个频率范围内的其它状态反馈控制器H∞ ,即 = 104 × 1.3900 0.4263 — 0.0932 为简单起见我们表示此控制器作为控制器 II。 ?0.0400

取得了有限和整个频率控制器后,我们将比较两个控制器来说明闭环悬架系统在有 限频域表现。通过仿真,开环系统由控制器 I 组成和闭环系统由控制器 II 组成的响应 进行比较如图 2。如图 2 所示,实线和虚线是闭环系统的有限频率控制器和整个频率控 制器,分别与虚线的反应是被动系统的响应。从图中,我们可以看到,有限的频率控制 器产生H∞ 规范的最低值,在频率范围 4-8 赫兹,与被动系统和闭环系统,整个频率控 制器相比,这清楚地表明了一个提高了乘坐的舒适性已经达到。

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图 2 频率体垂直加速度响应。

为了就三个性能要求来评估悬架特性, 我们给干扰信号如下证明我们有限的频率控 制器的有效性。 ? ?


+ + 1 1 ?1 0 0 <0 ? ? ?1 0 ? ? ? ?

(32)

? ? ? ?

+ ? 0 0 1 + 1 ?1 2 + + <0 2 ? ? 0 ? ? ? ? ? ? ?
2 ? 1

(33)

<0

(34)

2 <0 ?1

(35)

考虑以其他方式平滑路面分离的凸点的情况下,扰动输入是由给定的 = 2 , 0 ≤ ≤ 0, > (36)

其中 A,F 和 T 分别代表振幅,频率和振动周期。假设 A=0.5m, = 5(频带 4-8 赫兹之间) = 1/ = 0.2。车身垂直加速度的主动悬架系统的时域响应如图 3,这里 的黑色实线和红色虚线是身体垂直加速度的有限频率控制器和整个频率控制器分别响

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应。 我们可以清楚地看到, 车身加速度与有限频率控制器的值小于其与整个频率控制器。 另外,图 4 表明比率1 ()/ 和关系动态轮胎负荷 ()/( + )是小于 1,和 制动器的力低于 约束最大,表示时域约束由所设计的控制器保证。

图 3 车身垂直加速度为主动悬挂系统的时域响应。

图 4 主动悬架系统的约束时域响应。

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从图 4,我们注意到,更大的驱动器压力都需要在有限的频率控制,在整个频率控 制,使有限的频率控制需要更多的力量来匹配有限的频率特性的原因比较。然而,以换 取有限的频率控制的优点进行的也许是值得的。 制动器的功耗是在汽车主动控制的另一 个重要问题。简单的说,我们可以通过配方计算执行机构输出平均功率 = 1


() ? ()
0

其中, “s(t)” 代表致动器的位移, 并根据所安装的位置, 制动器的位移是相当于悬架, 即() = 1 ()其中 T 是积分时间。为了说明有限和整个频率的方法之间的消耗功 率的比较中,两种权力的比值计算,即 1 = = 1
0 0

() ? () () ? () = 0.7859

其中, 和 分别代表有限的频率控制和全变频调速的功率消耗。上述计算意味着制动 器的有限频率控制的功率消耗比对应物(在整个频率控制功率消耗),这进一步增加了 该方法的可行性较小。 在文献[14],主动悬架的 H∞控制 系统也被认为是在有限的频率域, 用于处理有 限频率的问题的方法是 一些权重函数添加到主动悬架系统然后在设计参数的选择,使 得加权制度规范小。该加权方法是有效的。然而,这种方法是基于适当的加权函数为前 提的,并加权函数的选择是相当耗时的,特别是当设计者必须选择的权重的复杂性之间 的良好折衷而在捕获所需规格的精度。简单的说, 我们提供了一个更可靠的和方便的 方法来处理在有限频域的问题,并且避免使用加权函数。我们的模拟结果验证了有限的 频率控制器组成的闭环系统的驾乘舒适性有了很大的提高, 同时保证在性能约束其允许 的范围内。

五、 结论意见
这次简短的调查了与在有限频域主动悬架系统的时域约束H∞ 控制问题。 由广义 KYP 引理,乘坐舒适性已经通过最小化在特定频带的H∞ 范数提高,而时域的限制也被保证 以线性矩阵不等式优化框架。 分析和仿真结果的四分之一汽车模型已经表明了该方法的 有效性。

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