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【创新设计】(江苏专用)2017版高考数学一轮复习 第六章 数列 第1讲 数列的概念及简单表示法课件 理


第1讲
考试要求

数列的概念及简单表示法

1.数列的概念及数列与函数的关系,A级要求;2.数

列的几种简单表示方法(列表、图象、通项公式),A级要求.

知识梳理
1.数列的概念 (1)数列的定义:按照 一定顺序 排列的一列数称为数

列,数列中的每一个

数叫做这个数列的 项 .

(2) 数列与函数的关系:从函数观点看,数列可以看成
以正整数集N*(或它的有限子集)为 定义域 的 函 数 an = f(n).当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的 一列函数值. (3)数列有三种表示法,它们分别是 列表法 、 图象法 和 通项公式法 .

2.数列的分类
分类原则 按项数分 类 按项与项 间的大小 关系分类 类型 有穷数列 无穷数列 递增数列 递减数列 常数列 有界数列 按其他 标准分类 an+1 > an an+1 < an an+1=an 存在正数 M,使|an|≤M 从第二项起, 有些项大于它的 前一项, 有些项小于它的前一 项的数列 其中 n∈N* 满足条件 项数 有限 项数 无限

摆动数列

3.数列的两种常用的表示方法 (1)通项公式:如果数列{an}的第n项an与 序号n 之 间 的 关 系可以用一个式子 an=f(n) 来表示,那么这个公式叫做这 个数列的通项公式. (2)递推公式:如果已知数列 {an}的第1项(或前几项),且从

第二项 ( 或某一项 ) 开始的任一项 an 与它的前一项 an - 1( 或前
几项)间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式就叫 做这个数列的递推公式.

诊断自测 1.判断正误(在括号内打“√”或“×”) (1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列.( × )

(2)一个数列中的数是不可以重复的.( × )
(3)所有数列的第n项都能使用公式表达.( × ) (4) 根据数列的前几项归纳出的数列的通项公式可能不止 一个.(√ )

2.设数列{an}的前n项和Sn=n2,则a8的值为________.
解析 当n=8时,a8=S8-S7=82-72=15. 答案 15

3.(2016· 淮安月考)已知数列{an}满足a1=1,an+1=3an+2,则数 列{an}的通项公式为________.
解析 因为 an+1=3an+2,所以 an+1+1=3(an+1).

an+1+1 所以 =3,所以数列{an+1}是等比数列,公比 q=3. an+1 又 a1+1=2,所以 an+1=2· 3n-1, 所以 an=2· 3n 1-1.


答案 an=2· 3n-1-1

1 4.(2014· 新课标全国Ⅱ卷)数列{an}满足 an+1= ,a8=2,则 1-an a1=________.

1 1 解析 由 an+1= ,得 an=1- , 1-an an+1 1 1 ∵a8=2,∴a7=1-2=2, 1 1 a6=1- =-1,a5=1- =2,?, a7 a6 1 ∴{an}是以 3 为周期的数列,∴a1=a7=2.
答案 1 2

5.根据下面的图形及相应的点数,写出点数构成的数列的一个 通项公式an=________.

答案 5n-4

考点一 由数列的前几项求数列的通项

【例1】 根据下面各数列前几项的值,写出数列的一个通项公式:
(1)-1,7,-13,19,?; 2 4 6 8 10 (2) , , , , ,?; 3 15 35 63 99 1 9 25 (3)2,2,2,8, 2 ,?; (4)5,55,555,5 555,?.

解 (1)偶数项为正, 奇数项为负, 故通项公式必含有因式(-1)n, 观察各项的绝对值,后一项的绝对值总比它前一项的绝对值大 6,故数列的一个通项公式为 an=(-1)n(6n-5). (2)这是一个分数数列,其分子构成偶数数列,而分母可分解为 1×3,3×5,5×7,7×9,9×11,?,每一项都是两个相邻奇 数 的 乘 积 . 故 所 求 数 列 的 一 个 通 项 公 式 为 an = 2n . (2n-1)(2n+1)

(3)数列的各项,有的是分数,有的是整数,可将数列的各项都 1 4 9 16 25 统一成分数再观察.即2,2,2, 2 , 2 ,?,从而可得数列的 n2 一个通项公式为 an= 2 . 5 5 5 (4)将原数列改写为 ×9, ×99, ×999,?,易知数列 9, 9 9 9 99,999,?的通项为 10n-1,故所求的数列的一个通项公式 5 n 为 an=9(10 -1).

规律方法

根据所给数列的前几项求其通项时,需仔细观

察分析,抓住以下几方面的特征:分式中分子、分母的各

自特征;相邻项的联系特征;拆项后的各部分特征;符号
特征 . 应多进行对比、分析,从整体到局部多角度观察、归 纳、联想.

1 1 1 1 【训练 1】 (1)数列- , ,- , ,?的一个通 1×2 2×3 3×4 4×5 项公式 an=________.
3 7 9 (2)数列{an}的前 4 项是 ,1, , ,则这个数列的一个通项 2 10 17 公式 an=________.
解析 (1)这个数列前 4 项的绝对值都等于序号与序号加 1 的 积的倒数,且奇数项为负,偶数项为正,所以它的一个通项 1 n 公式为 an=(-1) . n(n+1)

2×1+1 2×2+1 2×3+1 (2) 数列 {an} 的前 4 项可变形为 2 , 2 , 2 , 1 +1 2 +1 3 +1 2×4+1 2n+1 ,故 an= 2 . 42+1 n +1

答案

2n+1 1 (1)(-1) (2) 2 n(n+1) n +1
n

考点二 由Sn与an的关系求an 【例2】 (1)已知数列{an}的前n项和Sn=3n+1,则an=________.

2 1 (2)若数列{an}的前 n 项和 Sn= an+ ,则{an}的通项公式 an= 3 3 ________.
解析 (1)a1=S1=3+1=4, 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=3n+1-3n-1-1=2· 3n-1. ∵a1=4
? ?4,n=1, 不适合此等式,∴an=? n-1 ? 2 · 3 ,n≥2. ?

2 1 2 1 (2)由 Sn= an+ ,得当 n≥2 时,Sn-1= an-1+ , 3 3 3 3 2 2 两式相减,得 an=3an-3an-1, an ∴当 n≥2 时,an=-2an-1,即 =-2. an-1 2 1 又 n=1 时,S1=a1=3a1+3,a1=1, - ∴an=(-2)n 1.
答案
? ?4,n=1, (1)? n-1 ? 2 · 3 ,n≥2 ?

(2)(-2)n-1

规律方法

数 列 的 通 项 an 与 前 n 项 和 Sn 的 关 系 是 an = n=1 时,a1 若适合 Sn-Sn-1,则 n=1 的情况

? ?S1,n=1, ? 当 ? ?Sn-Sn-1,n≥2.

可并入 n≥2 时的通项 an;当 n=1 时,a1 若不适合 Sn-Sn-1,则 用分段函数的形式表示.

【训练2】 (1)已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,Sn=2an+1,
则Sn=________. (2)已知数列{an}的前n项和Sn=2n2-3n,则an=________.
解析 (1)∵Sn=2an+1,∴当 n≥2 时,Sn-1=2an, an+1 3 ∴an=Sn-Sn-1=2an+1-2an(n≥2),即 a =2(n≥2), n 1 1 ?3?n-2 又 a2=2,∴an=2×?2? (n≥2). ? ? 1,n=1, ? - 1 ? 1 ?3? 1 当 n=1 时,a1=1≠2×?2? =3,∴an=?1?3?n-2 ? ? ? ? ,n≥2, ? ?2?2? 1 ?3?n-1 ?3?n-1 ∴Sn=2an+1=2×2×?2? =?2? . ? ? ? ?

(2)a1=S1=2-3=-1,当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1 =(2n2-3n)-[2(n-1)2-3(n-1)]=4n-5, 由于 a1 也适合此等式, ∴an=4n-5.
答案
?3?n-1 (1)?2? ? ?

(2)4n-5

考点三 由数列的递推关系求通项公式

[微题型1] 形如an+1=pan+q的形式
【例3-1】 在数列{an}中,a1=1,an+1=2an+3,则它的一个通 项公式为an=________.

解析 设递推公式 an+1=2an+3 可以转化为 an+1+t=2(an+t), 即 an+1=2an+t,解得 t=3.故 an+1+3=2(an+3). bn+1 an+1+3 令 bn=an+3,则 b1=a1+3=4,且 b = =2. a + 3 n n 所以{bn}是以 4 为首项,2 为公比的等比数列. ∴bn=4· 2n-1=2n+1,∴an=2n+1-3.
答案 2n+1-3

规律方法

形如an+1=pan+q的递推关系式可以化为(an+1+x)

=p(an+x)的形式,构成新的等比数列,求出通项公式,求变 量x是关键.

[微题型2] 形如an+1=an+f(n)的形式 【例3 - 2】 在数列{an} 中,a1=2 ,an +1=an +n +1,则an = ________.

解析 由题意得,当 n≥2 时,an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+? (n-1)(2+n) + (an - an - 1) = 2 + (2 + 3 + ? + n) = 2 + = 2 n(n+1) 1×(1+1) +1.又 a1=2= +1,符合上式,因此 an 2 2 n(n+1) = +1. 2
n(n+1) 答案 +1 2

规律方法

形如 an + 1 = an +f(n)的递推关系式利用累加法求和,

特别注意能消去多少项,保留多少项.

[微题型3] 形如an+1=an·f(n)的形式

n-1 【例 3-3】 已知数列{an}满足 a1=1,an= n an-1(n≥2),则 an=________.

n-1 n-2 解析 法一 因为 an= n an-1(n≥2),所以 an-1= ·a - n-1 n 1 2,?,a2= a1,以上(n-1)个式子的等号两端分别相乘得 an 2 n-1 a1 1 1 2 =a1· · ·?· n = n =n. 2 3

法二

an-1 an-2 a3 a2 an 因 为 an = · · · ? · a · a · a1 = an-1 an-2 an-3 2 1

n-1 n-2 n-1 1 n ·n-1·n-2·?·1=n.
答案 1 n

an+1 规律方法 把形如 an+1=an· f(n)的递推关系式化为 a =f(n) n a2 an an-1 的形式,可用累乘法,也可用 an= · ·?·a ·a1 代 an-1 an-2 1 入求出通项.

【训练3】 (1)(2016· 合肥一模)已知数列{an}满足a1=1,a2=4,

an + 2 + 2an = 3an + 1(n∈N*) , 则 数 列 {an} 的 通 项 公 式 an =
________.
n+2 (2)在数列{an}中,a1=1,Sn= a ,则 an=________. 3 n
解析 (1)由 an+2+2an-3an+1=0,

得 an+2-an+1=2(an+1-an), ∴数列{an+1-an}是以 a2-a1=3 为首项,2 为公比的等比数列, ∴an+1-an=3×2n-1, ∴n≥2 时,an-an-1=3×2n-2,?,a3-a2=3×2,a2-a1 =3,将以上各式累加得

an-a1=3×2n 2+?+3×2+3=3(2n 1-1), - ∴an=3×2n 1-2(当 n=1 时,也满足). (2)由题设知,a1=1. n+2 n+1 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1= a- a . 3 n 3 n-1
- -

a4 5 a3 4 a2 an n+1 an n+1 ∴ = .∴ = ,?, = , = , =3. a3 3 a2 2 a1 an-1 n-1 an-1 n-1 an n(n+1) 以上(n-1)个式子的等号两端分别相乘,得到a = , 2 1 n(n+1) 又∵a1=1,∴an= . 2
答案 (1)3×2
n-1

n(n+1) -2 (2) 2

【训练4】 (2015· 陕西五校模拟)设数列{an}的前n项和为Sn,且

Sn=4an-p,其中p是不为零的常数.
(1)证明:数列{an}是等比数列;

(2) 当 p = 3 时,数列 {bn} 满足 bn + 1 = bn + an(n∈N*) , b1 = 2 ,
求数列{bn}的通项公式.
(1)证明 因为 Sn=4an-p, 所以 Sn-1=4an-1-p(n≥2), an 4 所以当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=4an-4an-1,整理得 = . an-1 3 p 由 Sn=4an-p,令 n=1,得 a1=4a1-p,解得 a1=3. 4 p 所以{an}是首项为3,公比为3的等比数列.

(2)解

当 p=3

?4?n-1 时,由(1)知,an=?3? , ? ?

由 bn+1=bn+an, ?4?n-1 得 bn+1-bn=?3? , ? ? 当 n≥2 时,可得 bn=b1+(b2-b1)+(b3-b2)+?+(bn-bn-1)= ?4?n-1 1-?3? ?4?n-1 ? ? 2+ =3?3? -1, 4 ? ? 1- 3 当 n=1 时,上式也成立. ∴数列{bn}的通项公式为
?4?n-1 bn=3?3? -1. ? ?

[思想方法] 1. 由数列的前几项求数列通项,通常用观察法 ( 对于交错数列一 般有 ( -1)n 或( - 1)n +1 来区分奇偶项的符号 ) ;已知数列中的递

推关系,一般只要求写出数列的前几项,若求通项可用归纳、
猜想和转化的方法.

2.强调 an 与

? ?S1 Sn 的关系:an=? ? ?Sn-Sn-1

(n=1), (n≥2).

3. 已知递推关系求通项:对这类问题的要求不高,但试题难度较
难把握.一般有两种常见思路: (1)算出前几项,再归纳、猜想;

(2)利用累加或累乘法求数列的通项公式. [易错防范] 1.数列是一种特殊的函数,在利用函数观点研究数列时,一定要
注意自变量的取值,如数列 an = f(n) 和函数 y = f(x) 的单调性是 不同的.

2.数列的通项公式不一定唯一.
3.在利用数列的前 n项和求通项时,往往容易忽略先求出 a1,而 是直接把数列的通项公式写成 an=Sn-Sn-1的形式,但它只适

用于n≥2的情形.


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