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江门市2014年高考模拟考试(理数)


江门市 2014 年高考模拟考试(理数)
本试卷共 4 页,21 小题,满分 150 分,考试用时 120 分钟。 注意事项: 1. 答题前,考生务必把自己的姓名、考生号等填写在答题卡相应的位置上。 2. 做选择题时,必须用 2B 铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净 后,再选涂其它答案标号。 3. 非选择题必须使用黑色字迹钢笔或签字笔,将答案写

在答题卡规定的位置上。 4. 所有题目必须在答题卡上指定位置作答,不按以上要求作答的答案无效。 5. 考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后,将答题卡交回。 参考公式:锥体的体积公式 V ?

1 Sh ,其中 S 是锥体的底面积, h 是锥体的高. 3 如果事件 A 、 B 互斥,那么 P( A ? B) ? P( A) ? P( B) .
独立性检验临界值表

P( K 2 ? k 0 )

0.50 0.455

0.25 1.323

0.10 2.706

0.025 5.024

0.010 6.635

0.005 7.879

k0

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. 1.在复平面内,复数 z ? ?1 ? 2i ( i 是虚数单位)对应的点在( A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 )

D.第四象限 )

2.从 2、3、5、7 这四个质数中任取两个相乘,可以得到不相等的积的个数是( A. 4 B. 5 C. 6
2

D. 8 )

3.已知函数 f ( x) 为奇函数,且当 x ? 0 时, f ( x) ? x ? 2 x ,则 f (1) ? ( A. 1 图,由图 1 可知( B. ? 1 ) C. 3 D. ? 3 4.将甲、乙两个篮球队 10 场比赛的得分数据整理成如图 1 所示的茎叶 A.甲、乙两队得分的平均数相等 B.甲、乙两队得分的中位数相等 C.甲、乙两队得分的极差相等 D.甲、乙两队得分在 [ 30 , 39 ) 分数段的频率相等

甲 4 6 3 3 6 8 3 7 9 1 图1

2 3 4 5

2 2 3 1

乙 5 3 4 3 5 2

0 5.在平面直角坐标系 xOy 中,已知 OA ? (?1 , t ) , OB ? (2 , 2) ,若 ?ABO ? 90 ,则 t ? (



A. 2

B. 4

C. 5

D. 8 )

6.已知两条不重合直线 l1 、 l 2 的斜率分别为 k1 、 k 2 ,则“ l1 // l 2 ”是“ k1 ? k 2 ”成立的( D1 A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C1 C.非充分非必要条件 D.充要条件 7.如图 2,在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, E 是棱 CC1 的中点, F 是侧 面 B1 BCC1 上的动点,并且 A1 F // 平面 AED1 ,则动点 F 的轨迹是( A.圆 B.椭圆 C.抛物线 D.线段
x

A1
B1

E D
C
图2



A

B 8. 设函数 f ( x) ? x ? sin x ? 2 ,g ( x) ? e ? ln x ? 2 , 若实数 a ,b 满足 f (a) ? 0 ,g (b) ? 0 , 则 ( )
A. g (a) ? 0 ? f (b) B. f (b) ? 0 ? g (a) C. 0 ? g (a) ? f (b) D. f (b) ? g (a) ? 0 二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分.
1

(一)必做题(9~13 题) 9.已知命题 p : ?x ? R , x ? 2 x ? 2 ? 0 .则命题 p 的否定 ? p :
2

开始



10.执行如图 3 的程序框图,输出的 S ? 11.定积分



k ? 2, S ?1

?

1 ?1

| x | dx ?


2

S ? S ? log k (k ? 1)


12.已知直线 l 过点 A(2 , 1) 和 B(1 , m ) ( m ? R ) ,则直线 l 斜率的取值范围 是 ,倾斜角的取值范围是

k ? k ?1

13.某个部件由三个元件如图 4 方式连接而成,元件 A 或元件 B 正常工作, 且元件 C 正常工作,则部件正常工作.若 3 个元件的次品率均为 且各个元件相互独立,那么该部件的次品率为 (二)选做题(14、15 题,考生只能从中选做一题) .

1 , 3
A B 图4 C

k ?8
否 输出 S 结束



图3

?x ? t 2 14. (坐标系与参数方程选做题)在直角坐标系 xOy 中,抛物线 C 的参数方程为 ? ( t 为参数) , ? y ? 2t 以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴,直角坐标系的长度单位为长度单位建立极坐标系,直线 l 的
极坐标方程为 ? sin(? ?

?
4

) ? m .若直线 l 经过抛物线 C 的焦点,则常数 m ?



15. (几何证明选讲选做题)如图 5, AB 是圆 O 的弦, CD 是 AB 的垂直平分线, 切线 AE 与 DC 的延长线相交于 E .若 AB ? 24 , AE ? 20 ,则圆 O 的半径

A D

R?



E

C

O

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分. 16. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? 4 cos x sin(x ? ⑴求 f (0) 的值;

?
6

) ?1 , x ? R .

B

图5

⑵若将 y ? f ( x) 的图象向右平移 ? ( ? ? 0 )个单位,所得到的曲线恰好经过坐标原点,求 ? 的最小 值. 17. (本小题满分 14 分)随机询问某大学 40 名不同性别的大学生在购买食物时是否读营养说明,得到 如下列联表: 性别与读营养说明列联表 男 女 总计 16 8 24 读营养说明 4 12 16 不读营养说明 20 20 40 总计 ⑴根据以上列联表进行独立性检验, 能否在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下认为性别与是否读营养说 明之间有关系? ⑵从被询问的 16 名不读营养说明的大学生中,随机抽取 2 名学生,求抽到男生人数 ? 的分布列及其均 值(即数学期望) . (注: K ?
2

n(ad ? bc) 2 ,其中 n ? a ? b ? c ? d 为样本容量. ) (a ? b)(c ? d )( a ? c)(b ? d )

2

18. (本小题满分 14 分)如图 6,四棱锥 P ? ABCD 的底面 ABCD 是平行四边形, PA ? 底面 ABCD ,

PA ? 3 , AD ? 2 , AB ? 4 , ?ABC ? 60 0 . ⑴求证: AD ? PC ;
⑵ E 是侧棱 PB 上一点,记 PE ? ? PB ,是否存在实数 ? , 使 PC ? 平面 ADE ?若存在,求 ? 的值;若不存在,说明理由.

P E

A
D
图6

B
C

? 19. (本小题满分 12 分)已知数列 ?a n ?的首项 a1 ? 1 , ?n ? N , a n ?1 ?

2a n . 2 ? an

⑴求数列 ?a n ?的通项公式; ⑵求证: ?n ? N ,
?

?a
i ?1

n

2 i

?3.

3

20. (本小题满分 14 分)已知椭圆 ? 的焦点为 F1 (?1 , 0) 、 F2 (1 , 0) ,点 M (1 , ⑴求椭圆 ? 的方程; ⑵设双曲线 ? :

3 ) 在椭圆 ? 上. 2

x2 y2 ? ? 1 ( a ? 0 , b ? 0 )的顶点 A 、 B 都是曲线 ? 的顶点,经过双曲线 ? 的右 a2 b2

焦点 F 作 x 轴的垂线,与 ? 在第一象限内相交于 N ,若直线 MN 经过坐标原点 O ,求双曲线 ? 的离心 率.

21. (本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? x ? a( x ? ln x) , x ? 0 , a ? R 是常数.试证明:
2

⑴ ?a ? R , y ? (a ? 1)(2 x ? 1) 是函数 y ? f ( x) 的图象的一条切线; ⑵ ?a ? R ,存在 ? ? (1 , e) ,使 f / (? ) ?

f (e) ? f (1) . e ?1

4

江门市 2014 年高考模拟考试(理数)
一、选择题 BCAA CDDB
2

二、填空题 ⒐ ?x 0 ? R , x 0 ? 2 x 0 ? 2 ? 0 ( x 0 写作 x 亦可,但要统一) ⒓ (?? , 1] (3 分) , [0 , 三、解答题 ⒗⑴ f (0) ? 4 cos 0 sin

⒑ 3 ⒖ 15

⒒ 1

?

] ? ( , ? ) (2 分) 4 2

?



11 27



2 2

?
6

? 1 ? 4 ? 1?

1 ? 1 ? 1 ……4 分(代入 1 分,三角函数值 2 分,结果 1 分) 2

⑵向右平移 ? 个单位,所得到的曲线为 y ? 4 cos(x ? ? ) sin(x ? ? ? 曲线经过坐标原点,得 4 cos(?? ) sin(?? ? 化简(和差化积或积化和差) ,得 sin(2? ?

?
6

) ? 1 ……6 分

?
6

) ? 1 ? 0 ……7 分 ) ? 0 (或 tan 2? ?
3 )……10 分 3

?
6

2? ?

?
6

? k? , k ? Z ……11 分, ? ?

k ? ? ? ? , ? 的最小正值为 ? ? ……12 分. 2 12 12

(若学生在第⑴问化简函数,则相应的分值仍然计入第⑵问)

40 ? (16 ? 12 ? 8 ? 4) 2 ? 6.67 ? 6.635 ……4 分(列式 2 分,计算 1 分,比较 ⒘⑴由表中数据,得 k ? 24 ? 16 ? 20 ? 20
1 分) , 因此,能在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下,认为性别与读营养说明有关……5 分 ⑵ ? 的取值为 0,1,2……6 分
2 1 1 2 C12 C12 ? C4 C4 11 2 1 ? P ( ? ? 1 ) ? ? P ( ? ? 2 ) ? ? , , ……12 分 2 2 2 5 C16 20 C16 C16 20

P (? ? 0) ?

? 的分布列为
?
P
0
11 20

1
2 5

2
1 20
……13 分

? 的均值为 E? ? 0 ?

11 2 1 1 ? 1? ? 2 ? ? ……14 分. 20 5 20 2
AB 2 ? BC 2 ? 2 ? AB ? BC ? cos ?ABC ? 2 3 ……1 分

⒙⑴连接 AC ,则 AC ?

(方法一) PA ? 底面 ABCD ,所以 PA ? AB , PA ? AC ……2 分

PB ? PA 2 ? AB 2 ? 5 , PC ? PA 2 ? AC 2 ? 21 ……3 分

PB 2 ? PC 2 ? BC 2 ,所以 ?PCB ? 90 0 , BC ? PC ……4 分
因为 AD // BC ,所以 AD ? PC ……5 分 (方法二) CD ? AD ? AC ,所以 ?CAD ? 90 , AD ? AC ……2 分
2 2 2 0

PA ? 底面 ABCD ,所以 PA ? AD ……3 分

因为 PA ? AC ? A ,所以 AD ? 平面 PAC ……4 分

因为 PC ? 平面 PAC ,所以 AD ? PC ……5 分
5

⑵(方法一)过 C 作 CF ? AB 于 F ,则 CF ? 平面 PAB ……6 分 连接 PF ,由⑴知 PC ? 平面 ADE 当且仅当 PC ? AE ……7 分 又 CF ? AE ,所以 AE ? 平面 PCF ……8 分, 依题意, BF ?

AE ? PF ……9 分

1 BC ? 1 ,所以 AF ? 3 , AF ? PA ……10 分, 2 PE PA BE AB , ……12 分 ? ? sin ?PAE sin ?PEA sin ?BAE sin ?BEA

AE 是 ?PAF 的平分线,从而也是 ?PAB 的平分线……11 分
在 ?PAE 和 ?ABE 中, 所以

PE PA 3 PE 3 3 ? ? ……13 分, ? ,即所求 ? 的值为 ……14 分. BE AB 4 PB 7 7

(方法二) 在平面 ABCD 内过点 A 作 AF ? CD , 以 A 为原点, AF 、 AB 、 AP 所在直线分别为 x 轴、

y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系……6 分
则 A(0 , 0 , 0) , B(0 , 4 , 0) , P(0 , 0 , 3) ……7 分, C ( 3 , 3 , 0) ……8 分 设 E (a , b , c) ,由 PE ? ? PB 得, (a , b , c ? 3) ? ? (0 , 4 , ? 3) ……9 分 解得 a ? 0 , b ? 4? , c ? 3 ? 3? ……10 分 由⑴知 PC ? 平面 ADE 当且仅当 PC ? AE ……11 分,即 PC ? AE ? 0 ……12 分 所以 ( 3 , 3 , ? 3) ? (0 , 4? , 3 ? 3? ) ? 3 ? 4? ? 3(3 ? 3? ) ? 0 ……13 分 解得 ? ?

3 ……14 分. 7

(方法三)过 E 作 EF // BC ,交 PC 于 F ,连接 DF ,则平面 ADE 即平面 ADFE ……6 分, 由⑴知 PC ? 平面 ADE 当且仅当 PC ? DF ……7 分 由⑴及余弦定理得

PC 2 ? PD 2 ? CD 2 9 cos ?CPD ? ? ……9 分 2 ? PC ? PD 13 ? 21

所以 PF ? PD ? cos ?CPD ?

9 21

……12 分

PF ? PC

9 21 ? 21

?

3 PE PF 3 ……13 分,又 EF // BC ,所以 ? ? ? ? ……14 分. 7 PB PC 7

⒚⑴由 a n ?1 ? 所以 ?

2a n 1 1 1 1 1 1 ? ? ……1 分, ? ? ……2 分 ,得 2 ? an a n ?1 a n 2 a n ?1 a n 2

?1? 1 1 ? 1 ,公差 d ? 的等差数列……3 分 ? 是首项 an 2 ? an ?

1 n ?1 n ?1 2 ? ? 1? ? ……4 分,所以 ?n ? N , a n ? ……5 分 an 2 2 n ?1
⑵(方法一) a n ?
2

4 4 4 2 2 ? 2 ? 2 ……7 分 ? ? 2 (n ? 1) n ? 2n ? 1 n ? 2n n n ? 2
n i ?1

n ? 4 时,由以上不等式得 ? ai 2 ? ( ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? (

2 1

2 3

2 2

2 4

2 3

2 5

2 2 2 2 ? )?( ? ) …9 分 n ?1 n ?1 n n?2

6

?

2 2 2 2 ……10 分, ? 3 ……11 分 ? ? ? 1 2 n ?1 n ? 2

n ? n 2? 2 ? 因为 ?? a i ? 是递增数列,所以 ?n ? N , ? a n ? 3 ……12 分. i ?1 ? i ?1 ?

(方法二) a n ?

2

4 4 4 4 ……7 分 ? ? ? 2 n(n ? 1) n n ? 2 (n ? 1)
n 4 4 4 4 4 4 2 2 a ? 1 ? ai ? 1 ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? ) ……9 分 ? ? i 2 3 3 4 n n ?1 i ?1 i ?2 n

n ? 2 时,由以上不等式得
? 1?

4 4 ? ? 3 ……11 分 2 n ?1
n 2 i i ?1

因为 ?

?

?a ?

n ? 2 ? ? 是递增数列,所以 ?n ? N , ? a n ? 3 ……12 分. ? i ?1

⒛⑴椭圆 ? 的焦距 2c1 ?| F1 F2 |? 2 ……1 分 长轴 2a1 ?| MF1 | ? | MF2 |?

22 ?

9 3 ? ? 4 ……4 分 4 2

椭圆 ? 的短轴 2b1 ? 2 3 ……5 分,所以椭圆 ? 的方程为 ⑵设双曲线 ? 焦距为 2c ,依题意,

x2 y2 ? ? 1 ……6 分 4 3

c 2 | FN | 2 b2 …… 7 分, ……8 分 ? ? 1 | FN | ? a a2 b2

(方法一) N (c ,

b2 3 ) ……9 分,直线 OM 的方程为 y ? x ……10 分 a 2

O 、 M 、 N 共线,所以
e?

b2 3 c2 ? a2 3 ? ……12 分, ? c ……11 分,即 ac 2 a 2

1 3 1 ? , 2e 2 ? 3e ? 2 ? 0 ……13 分,解得双曲线 ? 的离心率 e ? 2 ( e ? ? 舍去)……14 分. e 2 2
| F2 M | | FN | ? ……10 分 | OF2 | | OF |

(方法二)依题意, ?OF2 M ~ ?OFN ……9 分,

3 b2 c2 ? a2 3 1 3 ? ……12 分, e ? ? , 2e 2 ? 3e ? 2 ? 0 ……13 分, 所以 ? ……11 分,即 ac 2 2 ac e 2
解得双曲线 ? 的离心率 e ? 2 ( e ? ? 21.⑴ f ( x) ? 2 x ? a(1 ?
/

1 舍去)……14 分. 2

1 ) ……1 分,直线 y ? (a ? 1)(2 x ? 1) 的斜率 k ? 2(a ? 1) ……2 分, x

由 2 x ? a(1 ?

1 ) ? 2(a ? 1) ,取 x ? 1……3 分 x

f / (1) ? 2a ? 2 ,曲线 y ? f ( x) 在点 (1 , f (1)) 的切线为 y ? f (1) ? (2a ? 2)( x ? 1) ,
即 y ? (a ? 1)(2 x ? 1) ,所以 y ? (a ? 1)(2 x ? 1) 是曲线 y ? f ( x) 的一条切线……4 分
7

⑵直接计算知

f (e) ? f (1) a ……5 分 ? e ?1? a ? e ?1 e ?1
f (e) ? f (1) a a ……6 分 ? 2 x ? (e ? 1) ? ? e ?1 x e ?1

设函数 g ( x) ? f / ( x) ?

g (1) ? 1 ? e ? a ?
g ( e) ? e ? 1 ?

a a(e ? 2) ? (e ? 1) 2 ……7 分 ? e ?1 e ?1

a a e(e ? 1) 2 ? a ……8 分 ? ? e e ?1 e(e ? 1)
2

(e ? 1) 2 [a (e ? 2) ? (e ? 1) 2 ][ a ? e(e ? 1) 2 ] 当 a ? e(e ? 1) 或 a ? 时, g (1) g (e) ? ? ? 0 ……10 分, e?2 e(e ? 1) 2
因为 y ? g ( x) 的图象是一条连续不断的曲线,所以存在 ? ? (1 , e) ,使 g (? ) ? 0 , 即 ? ? (1 , e) ,使 f / (? ) ?

f (e) ? f (1) ……11 分; e ?1



(e ? 1) 2 ? a ? e(e ? 1) 2 时, g (1) 、 g (e) ? 0 ,而且 g (1) 、 g (e) 之中至少一个为正……12 分, e?2
a ? (1 , e) 时成立, 2

a ? e2 ?1 由均值不等式知, g ( x) ? 2 2a ? ,等号当且仅当 x ? e ?1
所以 g ( x) 有最小值 m ? 2 2a ? 且m ?

a ? e 2 ? 1 ? a ? 2(e ? 1) 2a ? (e 2 ? 1) , ? e ?1 e ?1

? a ? 2(e ? 1) 2a ? (e 2 ? 1) ? [ a ? 2 (e ? 1)] 2 ? (e ? 1)(e ? 3) ? ? 0 ……13 分, e ?1 e ?1

此时存在 ? ? (1 , e) ( ? ? (1 ,

a a ) 或? ? ( , e) ) ,使 g (? ) ? 0 。 2 2
f (e) ? f (1) ……14 分. e ?1

综上所述, ?a ? R ,存在 ? ? (1 , e) ,使 f / (? ) ?

8


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