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杨浦区2015.4学年度第二学期高三年级学业质量调研三模数学测试理科试卷及其评分标准.


2014 学年度第二学期高三年级练习卷

数学学科(理科)
(满分 150 分,答题时间 120 分钟)

2015.05.

一.填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,考生应在答题纸相应编号的空格内直接 填写结果,每个空格填对得 4 分,否则一律得零分. 1.已知集合 A ? {x y ? 2

? x} ,集合 B ? { y y ? 2 ? x} ,则 A B ? .

(1 ? i ) 2 (i 是虚数单位)对应的点在第_______象限. 3?i x 1 3.若函数 f ( x) ? 的反函数是 y ? f ?1 ( x) ,则 f ?1 ( ) ? . x?2 3
2.在复平面中,复数 4.下面是一个算法的程序框图,当输入值 x 为 8 时,则其输出 的结果是 . 开始 输入 x

5 .若函数 y ? a x 在 [?1, 0] 上的最大值与最小值的和为 3 ,则

a?

.

6.在极坐标系中,O 是极点,设点 A(4,
△OAB 的面积是

?
3

) , B (5, ?

5? ) ,则 6

x?0 Y 1 y ? ( )x 2
输出 y 结束 第 4 题图

N

x ? x ?3

.

7.过点 (1, 2) 的直线 l 将圆 ( x ? 2)2 ? y 2 ? 4 分成两段弧,当劣 弧所对的圆心角最小时,直线 l 的斜率 k ? .

1 ? x ? cos ? , 8. 将曲线 ? (? ? R ) 上所有点的横坐标扩大到原来的 2 倍, 纵坐标缩小到原来的 2 ? y ? sin ?
倍后,得到的曲线的焦点坐标为 . ,其中 a、b 为常数,则 ? an ? an2 ? bn ( n ? N* )

5 9.在数列 {an } 中, an ? 4n ? , a1 ? a2 ? 2

lim

a n ? bn 的值是 n ?? a n ? b n

.

10.在 R 上定义运算“ ? ”: x ? y ? x(1 ? y) . 若不等式 ( x ? a) ? ( x ? a) ? 1 对任意实数 x 恒成

--1-(理科共 6 页)

立,则实数 a 的取值范围是 11.若存在正数 x 使



2x m

2x x

? 1 成立,则实数 m 的取值范围是



12.关于平面向量 a 、 b 、 c ,有下列三个命题: ①若 a ? b ? a ? c ,则 b ? c ;②若 a ? (1, k ) , b ? (?2, 6) , a //b ,则 k ? ?3 ; ③非零向量 a 和 b 满足 | a |?| b |?| a ? b | ,则 a 与 a ? b 的夹角为 60 ? ; 其中真命题的序号为_________.(写出所有真命题的序号) 13.在平行四边形 ABCD 中,O 是 AC 与 BD 的交点,P、 Q、M、N 分别是线段 OA、OB、OC、OD 的中点,在 A、 P、M、C 中任取一点记为 E,在 B、Q、N、D 中任取一点 记为 F,设 G 为满足向量 OG ? OE ? OF 的点,则在上述 的点 G 组成的集合中的点,落在平行四边形 ABCD 外(不 含边界)的概率为
2

A P N D O M C Q

B

.

14.已知二次函数 f ( x) ? ax ? 2 x ? a ,对于满足 x1 ? x2 且 x1 ? x2 ? 1 ? a 的任意实数 x1 与 x2 , 总有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 成立,则实数 a 的取值范围为 .

二、选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案,考生应在 答案纸的相应编号上,填上正确的答案,选对得 5 分,否则一律得零分. 15.等差数列{an}中,若 a3 ? ?4 , a4 ? a2 ? 4 ,则 a1 ? ………………………….( (A) ?12 (B) ?8 (C) 0 (D) 4 ). ).

16.设 p: x 2 ? x ? 20 ? 0 ,q: (A) 充分但非必要条件 (C) 充要条件

1 ? x2 ? 0 ,则 p 是 q 的…………………………( | x | ?2
(B) 必要但非充分条件 (D) 既非充分也非必要条件

17.已知两个不同的平面 M、N 与三条不同的直线 a、b、c. 给出下列四个命题:①若 c⊥M、 c⊥N,则 M∥N;②若 c∥M,c∥N,则 M∥N;③若 a⊥N,b⊥N,则 a∥b;④若 M⊥N,

--2-(理科共 6 页)

b⊥N,则 b∥M. 那么上述命题正确的是 (A) ①③ (B) ①③④

……………………………………( (D) ②④

).

(C) ③④

18.气象意义上从春季进入夏季的标志为:“连续 5 天的日平均温度均不低于 22( ° C )”. 现 有甲、乙、丙三地连续 5 天的日平均温度的记录数据(记录数据都是正整数) : ①甲地:5 个数据的中位数为 24,众数为 22; ②乙地:5 个数据的中位数为 27,总体均值为 24; ③丙地:5 个数据中有一个数据是 32,总体均值为 26,总体方差为10.8 ; 则肯定进入夏季的地区有………………………………………………… ………( (A) 0 个 (B) 1 个 (C) 2 个 (D) 3 个 ).

三、解答题(本大题满分 74 分)本大题共 5 题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规 定区域内写出必要的步骤. 19. (本题满分 12 分) 求函数 y ? 2 cos( x ?

?

) cos( x ? ) ? 3 sin 2 x 的值域和最小正周期. 4 4

?

--3-(理科共 6 页)

20. (本题满分 14 分)本题共有 2 小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分 . 如图,已知正三棱锥 P-ABC 的侧棱长为 2,侧棱与底面所成角大小为 60° . (1)求此正三棱锥体积; (2)求异面直线 PA 与 BC 的距离.

P

C A

B

21. (本题满分 14 分)本题共有 2 小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分 . 已知二次函数 f ? x ? ? mx2 ? 2x ? 3 ,若不等式 f ( x) ? 0 的解集为 (?1, n) . (1)解关于 x 的不等式: 2x2 ? 4x ? n ? ? m ? 1? x ?1; (2)是否存在实数 a ? ? 0,1? , 使得关于 x 的函数 y ? f ? a x ? ? 4a x ?1 ? x ? ?1, 2?? 的最小值为 ?4 ? 若存在,求 a 的值;若不存在,说明理由.

--4-(理科共 6 页)

22. (本题满分 16 分)本题共有 3 小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题 满分 6 分. 在复平面上,点 P( x, y ) 所对应的复数 p ? x ? yi (i 为虚数单位) , z ? a ? bi (a、b ? R ) 是某给定复数, 复数 q ? p ? z 所对应的点为 Q( x?, y?) . 我们称点 P 经过变换 z 成为了点 Q, 记 作 Q ? z ( P) . (1)给出 z ? 1 ? 2i ,且 z( P) ? Q(8, 1) ,求点 P 的坐标; (2)给出 z ? 3 ? 4i ,若 P 在椭圆

x2 y 2 ? ? 1 上运动, Q ? z( P) ,求 | OQ | 的取值范围; 9 4
1 上 x

(3)已知 P 在双曲线 x2 ? y 2 ? 1上运动,试问是否存在 z,使得 Q ? z ( P) 在双曲线 y ? 运动?若存在,请求出 z;若不存在,说明理由.

--5-(理科共 6 页)

23. (本题满分 18 分)本题共有 3 小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题 满分 8 分.

?a ? 3, an ? 3, 已知以 a 为首项的数列 ?an ? 满足: an ?1 ? ? n ?2an , an ? 3.
(1)若 0 ? an ? 6 ,求证: 0 ? an ?1 ? 6 ; (2)若 a, k ? N* ,求使 an?k ? an 对任意正整数 n 都成立的 k 与 a; (3)若 a ?

3 ( m ? N* ) ,试求数列 ?an ? 的前 m 项的和 Sm . 2m ? 1

--6-(理科共 6 页)

杨浦区 2014 学年度第二学期高三年级学业质量调研(二)
参考答案及评分标准 说明 1.本解答列出试题一种或几种解法,如果考生的解法与所列解法不同,可参照解答中评 分标准的精神进行评分. 2.评阅试卷,应坚持每题评阅到底,不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评 阅.当考生的解答在某一步出现错误,影响了后续部分,但该步以后的解答未改变这一题的 内容和难度时,可视影响程度决定后面部分的给分,但是原则上不应超出后面部分应给分数 之半,如果有较严重的概念性错误,就不给分. 3.第 19 题至第 23 题中右端所注的分数,表示考生正确做到这一步应得的该题分数. 4.给分或扣分均以 1 分为单位. 一.填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,考生应在答题纸相应编号的空格内直 接填写结果,每个空格填对得 4 分,否则一律得零分. 1. [0, 2] ; 2.第一象限; 3. 1 ; 7. 4. 2 ; 5. 2015.05

1 ; 2

6. 5 ;

1 3 15 2 ;8. (? , 0) ;9. 1 ;10. ( ? , ) ;11. (?1, ? ?) ;12.②; 2 2 2 2 3 13. ;14. (?1, 0) (0, 2) . 4

二、选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案,考生应在 答案纸的相应编号上,填上正确的答案,选对得 5 分,否则一律得零分. 15. B ; 16.A; 17. A ;18.C 三、解答题(本大题满分 74 分)本大题共 5 题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规 定区域内写出必要的步骤 . 19. (本题满分 12 分) 解: y ? 2 cos( x ?

?
4

) cos( x ? ) ? 3 sin 2 x ? cos 2x ? 3sin 2x (4 分) 4

?

--7-(理科共 6 页)

? 2sin(2 x ? ) (3 分). 6
所以,函数 y ? 2 cos( x ?

?

?

(3 分) ) cos( x ? ) ? 3 sin 2 x 的值域是 [?2, 2] , 4 4

?

最小正周期是 ? (2 分).

20. (本题满分 14 分)本题共有 2 小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分 . 解: (1)取底面的中心 G,联结 AG, ∵P-ABC 是正三棱锥,∴P 在底面的射影为 G, ∴∠PAG 就是侧棱 PA 与底面所成角, ∴∠PAG=30° , (2 分) ∵PA=2,∴AG=1,PG= 3 , ∴AB= 3 ,∴ S△ABC ? ∴ VP ? ABC
P P

3 3 , 4 1 3 3 3 ? ? ? 3 ? . (4 分) 3 4 4

E C D A G B A

E

(2)过 D 作 DE⊥PA 于 E,

G

D

∵BC⊥PD,BC⊥AD,∴BC⊥平面 PAD, ∵DE 在平面 PAD 上,∴BC⊥DE, ∴DE 是异面直线 AB 与 CD 的公垂线, (4 分) 在△ABC 中,PA· DE=PG· AD,∴ DE ? ∴异面直线 PA 与 BC 的距离为

PG ? AD 3 3 . ? PA 4

3 3 . (4 分) 4

21. (本题满分 14 分)本题共有 2 小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分 . 解:(1)由不等式 mx 2 ? 2 x ? 3 ? 0 的解集为 (?1, n) 知关于 x 的方程 mx 2 ? 2 x ? 3 ? 0 的两根为

--8-(理科共 6 页)

2 ? ?1 ? n ? , ? ?m ? 1, (4 分) ? m -1 和 n,且 m>0,? ? ?? ?n ? 3. ??1? n ? ? 3 ? m ?
原不等式化为 ? x ? 2?? x ?1? ? 0 ,? 原不等式的解集为 ? ??,1? (2)设 t ? a x , 由 a ? (0, 1), x ?[1, 2] ? a x ?[a2 , a] . (2 分) 函数 y ? t 2 ? (4a ? 2)t ? 3 对称轴 t ? 2a ? 1 ? a . (2 分)

? 2, ??? ;(2 分)

ymin ? a2 ? (4a ? 2)a ? 3 ? ?4 (2 分)
1 ? a ? 或 a ? ?1 (舍去). 3 1 所以 a ? 即为所求. (2 分) 3

22. (本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小 题满分 6 分. 解: (1)根据题意,有 8 ? i ? (1 ? 2i) ? p , ∴p?

8?i (8 ? i)(1 ? 2i) 10 ? 15i ? ? ? 2 ? 3i ,∴点 P 的坐标为 (2, ? 3) . (4 分) 1 ? 2i (1 ? 2i)(1 ? 2i) 5

(2)∵P 在椭圆

x2 y 2 (3 分) ? ? 1 上运动,∴ | p |?| OP |?[2, 3] , 9 4
1 上运动. x

又 | z |? 5 ,∴ | OQ |?| q |?| p ? z |?| p | ? | z |?[10, 15] . (3 分) (3)假设存在 z ? a ? bi (a、 b ? R ) ,使得得 Q ? z ( P) 在双曲线 y ? 设 P( x, y ) ,∴ Q(ax ? by, bx ? ay) , (2 分) ∵Q 在双曲线 y ?

1 1 上运动,∴ bx ? ay ? , (1 分) x ax ? by

∴ abx2 ? a2 xy ? b2 xy ? aby 2 ? 1 ,即 P 在 abx2 ? a2 xy ? b2 xy ? aby 2 ? 1 曲线上运动.

? ab ? 1, ?a ? 1, ?a ? ?1, ∴有 ? ,解得 ? 或? , 2 2 ?b ? 1 ?b ? ?1 ?a ? b ? 0

--9-(理科共 6 页)

所以存在复数 z 满足题意,分别为 1 ? i 和 ?1 ? i . (3 分)

23. (本题满分 18 分)本题共有 3 小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题 满分 8 分. 解: (1)当 an ? (0,3] 时,则 an?1 ? 2an ? (0, 6] , 当 an ? (3,6] 时,则 an?1 ? an ? 3 ? (0,3] , 故 an?1 ? (0,6] ,所以当 0 ? an ? 6 时,总有 0 ? an?1 ? 6 . (每种情况 3 分,总计 6 分) (2)①当 a ? 1 时, a2 ? 2, a3 ? 4, a4 ? 1,故满足题意的 k ? 3t , t ? N* . 同理可得,当 a ? 2 或 4 时,满足题意的 k ? 3t , t ? N* . 当 a ? 3 或 6 时,满足题意的 k ? 2t, t ? N* . ②当 a ? 5 时, a2 ? 2, a3 ? 4, a4 ? 1,故满足题意的 k 不存在. ③当 a ? 7 时,由(1)知,满足题意的 k 不存在. 综上得:当 a ? 1, 2, 4 时,满足题意的 k ? 3t , t ? N* ; 当 a ? 3, 6 时,满足题意的 k ? 2t, t ? N* . 当 a ? 7 时,由(1)知,满足题意的 k 不存在. (每种情况 2 分,共 6 分) (3) m ? 1 时, a ?
m ? 2 时, a ? m ? 3 时, a ?

3 ? 3 ,于是 Sm ? S1 ? 3 ; 2 ?1

3 ? 1 , a1 ? 1, a2 ? 2a1 ? 2 于是 Sm ? S2 ? 1 ? 2 ? 3 , 2 ?1
2

3 2?3 , a1 ? a, a2 ? 2a ? 3 ? 3, a3 ? 2a2 ? 22 a 2 ?1 2 ?1
3

于是 Sm ? S3 ?

a(1 ? 23 ) 3 1 ? 23 ? 3 ? ? 3, 1? 2 2 ?1 1 ? 2

于是,猜测对任意 m, {an } 是等比数列(其中 n ? m ) , Sm ? 3 恒成立. (2 分)

- - 10 - (理科共 6 页)

要证等比数列,只需证明,当 1 ? k ? m 时, 2ak ? 3 于是 ak ?1 ? 2ak . 以下证明: 由 m ? N*,可得 2m ? 1 ? 1,故 a ? 当 1 ? k ? m 时, 2k ?1 a ?

3 ? 3 ,(2 分) 2 ?1
m

3 ? 2m?1 3 ? 2m?1 3 ? 2m?1 ? ? ?3 2m ? 1 2m?1 ? (2m?1 ? 1) 2m?1
(2 分) m)

? ak ? 2k ?1 a ( k ? 1, 2, ? Sm = a1 ? a2 ??

? am =(1+2+…+ 2m?1 )a ? (2m ?1)a ? 3 . (2 分)

- - 11 - (理科共 6 页)


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