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2015年上海市高中数学竞赛


5 一  

I t . 学教 学 

2 0 1 5 年第 5 期 

2 0 1 5 年 上海 市 高 中数 学 竞 赛 
[ 说明] 解答本 试卷不得使用计算器 .  


J   a o+a l +a 2+ ? ? ? +a n= 1 3 ,  



填 空题 

I   a o +a i p+a 2 p   +… +a n P ”= 2 0 1 5 .  
求素数 P .  

1 . 等差 数列 a   } 中, 对任 意正整数 n , 都  有a n + 1 +a n: 4 n一5 8 , 则0 2 o 1 5 =
. 
— —

1 1 .如 图1 ,已知 △ BC 的 面 积 为 1 ,过  AABC 内 一 点 ( = ) 分 别 引 三 条 边 的 平 行 线  DE、FG、HI   △  最小值 .   D、E、F、G、H 、I 均 _ 枉  的边 上 , 求 六 边 形 DG日EF,的 面积 的 

?



2 .对整 数 礼≥3 , 记, ( n ) =l o g 2   3 ? l o g 3 4   l o g  l   n , 则f ( 2 。 ) + . 厂 ( 2 3 ) +? ? ? +  ( 2 1 0 ) =  
?


3 .有 1 0 个大 小 相 同 的小球 , 其中5 个 是  红球 , 5 个是 白球.现将这 1 0 个球任 意排 成一  排, 并从左至右依次 编号 1 , 2 , … , 1 0 . 则红球  的编号数之和大于 白球的编号数之和的排 法共  有 种.  
— —

4 . 在直角坐标平面 x Oy 上, 圆0: X 2 +y 2  

l , 圆 01 : ( X一3 )   +   =4 . 过 X轴的左 半轴  上 一 点  作 圆 ( = ) 的切 线, 与 圆 O相切 于 点 A  与 圆( = ) 】 分 别 相 交 于 点  、   ,若 AB = BC,   则 点 M 的坐 标 为  .  


I  

F  

C 

图l  

5 . 已 知c o s (  +   7 1 ) <3 ( s i n  一 c o s  ) ,  
E[ ~ 丌 , 7 r 】 , 则 的取值 范围是— — .  
6 .投 掷两 次骰 子, 设第 一 次 出现 的 点数  为a , 第 二次 出现 的点数为 b ,则 使 得 关 于  的  二 次方程 X   +a x+b =0 有 两个小于 一l 的不  相等 实根 的概率 为 ( 用数字作答)  

— —

1 2 . 设 n是正整数, 数列 A : a 1 , a 2 , … , a   是 由数 0 或1 组成 的数 列 , 即a k= 0 或1 ( 1≤  
k≤礼 ) .   ( 1 1若 n≥ 3 ,由数 列  定 义 另 一 数 列 A  :   0   , 0   , … , n   , 其 中 
。  =

7 .   已知 集 合 A = { (   , Y ) l X = m, Y=  

这里 a o —a n , a n + 1 一a 1 .  

妊  

…  

3 m +2 , m ∈ N  ) , B ={ (   , Y ) l  =n , Y=   a ( a   一n+ 1 ) , n   E   N  } , 则使得  n   B≠   的 


求使得 0  + 0  = 1 , k=l , 2 , … , n的所 有   数列 A ( 本 小 题 只 需 写 出结 果 , 不 需解 题 过 程 )   f 2 ) 求使得 a 1 +a 2 + … +a  除 以 4余 3的 

整数 a 共有  个.   8 .   若实数x ,Y 满 足  一 3 v  ̄+I ’=  
3   一Y , 则 X+ Y的最 大 值 为—
二 、解 答 题 
. 


数列 A的个数.  

参 考 答 案 




1.4 00 0.  

9 .在 直 角 坐 标 平 面 x OY上 , 已知 点  、 B 

设 等 差 数 列 的公 差 为 d , 则 由题 设 可 得 2 a i  

在 双 曲线 C :2 x   +4 x—Y  = 0 上 ,且 使 得  △( = ) AB 是 以 ( = ) 为 直 角 顶 点 的等 腰 直 角 三 角 形 ,   求 所 有 这 样 的 △0AB 的个 数 .  
1 0 . 已知 P 为 素 数, n为 正整 数 , 非 负 整  数0 0 , n 1 , … , a n 均 小于P , 且满足 

+( 2 礼 一 1 ) d =4 n 一 5 8 , 即2 n d + ( 2 a i - d ) =4 n 一 5 8 .  
‘ .

‘ 上 式 关 于 钆恒 等 ,. ‘ . 2 d =4 , 且2 a i -d =  



5 8 .解 得 a l一 -2 8 ,d= 2 .. ‘ . a 2 o 1 5= a l+  
2. 5 4  

2 0 1 4 d= 4 0 0 0 .  

2 0 1 5 年第 5 期 
? ?

数 学教 学 
7 r≤   < 一  3 7 r或   7 r

5 一   7  

l o g2n,  

. .

一 7 r , 7 r 】 )  =  C O S 0< s i n o ( o∈ [ 一 7 r , 7 r 】 )  =   。 f ( n ) = l o g 2   3 - 蒜 …丽 l o g 2 n=  [


<  ≤ 7 r .  

f ( 2   1 =k .   于是 f ( 2   ) +f ( 2 3 ) +? ? ? +f ( 2   0 ) =2 +3 +  


6 . 壶 .  
0+ a x+ b = 0 有 两 个 小 于 一1的 

+ 1 0: 5 4.   3.1 2 6.  

f △=a   一4 b >0 ,  

首先, 编 号数 总和 为 1+2 + … +1 0= 5 5 ,   故红球编号数之和与 白球编号数之和不可能相  等.   其 次, 若 某 个 排 法 使 红 球 的编 号 数 之 和 大  于 白球 的编 号之和, 则对调 红球与 白球 的位 置  即得 红球编号数之和小于 白球编号数之和 的排  法, 反之亦然.因此, 红球编号数之和大于与小  于 白球 编 号 数 之 和 的排 法 种 数 相 等 .从而 所 求  的排 法 种 数 为  1   u1 5 o= 1 2 6
. 

不 相 等 实 根  { 一 墨 < 一 1 ,  
{ f   a   > 4 b , …①   n > 2,  
I   a<6 +1 . . . ② 



【 ( 一 1 )   一 n +b >0  



a 、b∈{ 1 , 2 , … , 6 ) ,. ’ . 由② 得a≤ b ,  

进而 由① 得 a  >4 a , a>4 .  
当 a= 5时 , b= 5或 6 ; 当 a= 6时, b= 6 .  

故所求 的概率为 丽3   =   1
. 

4 . ( 一 4 , 0 ) .   过 Dl 作0 1 日 上 BC于 日, 则 日 为 BC的  中点.设 I OM l =a , 则 M  =、 / / 0 2 —1 , 进而 得 

O × O  

上  

7 .1 0 .  

设( X , Y ) ∈A   n   B, 贝 0   X=n , Y= 一 3 n+2  

=a ( a   一n+1 ) ( n∈N  ) .于是有 ( a一3 ) n=  
00+ 口 一 2



1 0 1 H I 一 字,   一   ,  ̄ D I A H I =  
3 v /  ̄ -
— _

若 0= 3 , 则左边 一0 , 右边 :2 7 +3  




2>0 , 矛盾.故 。≠3 , 则 佗=  
.  

=  



I BHI :  

:  
a 2+ 3 。+ 1 0 + 


‘ .

a∈Z , n∈N  , . ‘ . a一3 1 2 8 , 即a 一3=  

士1,4 - 2 ,4 - 4,4 - 7, ̄ 1 4,4 -2 8.  

M  

\ \ 、   /\ o 入 \ \0 1   }   / / /  


就 知 a一 3 = 1 ,2 ,4 -4 ,士7 , ̄1 4 , ̄2 8时 ,  
n∈N  .  

注 意 到 。   邶= ( 叶兰 )   +   8 ,  
若 a一3= 一1 , 则 a= 2 , n= n  +3 a+ 1 0  

图2  



2 8= -8< 0 ; 若a -3= 一2 , 则 a= l , n= a   综上所 述, 使 A  n   B ≠  的整 数 a共 有 1 0  

由 题 设 及 I B H I =  ̄ I B C I 知 J B 日 l =  ̄ I A H I ,  
— —   一  

+3 a+ 1 0— 1 4= 0 , 均不合题意.  
个.  

即 

1 4   。 。 - 。 ‘ ‘ 。 ( , 。 。 a - 。 - + 。  ̄ - 。 ‘ - 。 ‘ 3 — 。 ‘ — ] / ‘ — 2 —  
:  

互  解 得。 : 4


. . .

M  

n 

的坐标 为 ( 一 4 , 0 ) .  

8 . 9 +3 、 / ,  .   已知等式 即  +  =3   丽 +3  
, V =  

5 . [  3 7 1 " ) u (   令 =   ( 0 +   ) <3 ( s i n 5   0 一 c o s 5   ) 铮  X+Y= 
c。s

. …① 

, 则 U≥0 , V≥0 , 且 

+V   一3 , 而等式 ① 即 u   +V 2 —3=  

c 。 s  + 3   c o s 5  <  
? .

s i n  + 3   s i n 5  .  

‘ 函数 , ( z ) :  

+3 x   是R上的增函 
f ( C O S 0 )<  f s i n   ) (  ∈  

数. . ’ . 原不 等 式 

3 u + 3 v 一(   一 罢 )   + V - 兰 )   =   1 5 .   点   (   ,   ) 在 圆 弧  : (   一 言 )   + (   一   兰 2 = (  )   ( u ≥   上 变 动 . 显 然 当 M  
? . .

5 — — 4 8  

数 学麸 学 
2   ’  

2 0 1 5 年第 5 期 
综上所述, 满 足 题 意 的 △ B  共 有 3 个.  

取点Cf t ,   3 +  

3 +   1 时l ( 二 ) M   J 最 大 , 此   2  


时 ( u 2 + v 2 )  = l o c i   = 2 . (   ±   皇 )   =  
1 2 +3 gi -  ̄ . 从而 ( X +  ) m a X =1 2 +3 g- f  ̄ 一3=  
9 +3 、 / ,  .  
J  

1 0 .由题 设可得 a l ( P一 1 ) +a 2 ( P   一1 ) +   +n   ( p  一1 ) =2 0 0 2 , 于是 P一 1 是2 0 0 2=  

2   X   7   X   1 1× 1 3的正 约 数 .  

若 P= 2 , 则( a  … a l a o ) 2 是2 0 1 5 的 二进  制 表 示,因为 2 0 1 5= ( 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 ) 2 , 而1 +  
1 +1 +1 +1 +0 +1 +1 +1 +1 +1= 1 1≠ 1 3 矛 
盾.  

—\ c ,  
P/ ,  

若 P> 2 , 则P 是奇数 , 于是 P一1 是 偶数,  
p一 1= 2   X   7 , 2   X   1 1 , 2   X   1 3 , 2   X   7   X   1 1 , 2× 7   X   1 3 ,  

一 : 一   /  -  
,  

\   j  
/ 8   / 

0   2  
、  

/  

2   X   1 1 ×1 3 , 2 ×7   X   1 1 ×1 3 , 又P 是素数, 故P 只  可能是 3 , 2 3 , 2 0 0 3 .  

若 P= 3 , 则( a  … a l a o ) 3 是2 0 1 5的三 进 
图3  

二 、9 .设 l o A: Y: k x( k≠ 0 ) , 则l O B:  


制表示 , 因为 2 0 1 5 =( 2 2 0 2 1 2 2 ) 3 , 而2 +2 +l +   2 +0+2 +2 =1 1≠1 3 , 矛盾.  

÷. 由  

…  : 。  

)   2  
, 于是  4  

若 P= 2 3 ,则 ( a  … a l a o ) 2 3 是2 0 1 5 的2 3  
进制表示, 因为 2 0 1 5= 3   X   2 3  + 1 8×2 3+ 1 4 ,  

+4  = 0 , 所 以 2一  。 ≠0 ,   A=  

而1 4 +1 8 + 3  ̄1 3 , 矛盾 .   若P =2 0 0 3 , , 则( a  … a l a o ) 2 o o 3 是2 0 1 5 的 
2 0 0 3进 制 表 示 ,因 为 2 0 1 5 — 1× 2 0 0 3+ 1 2 ,   而 1+ l 2= 1 3 , 满足题设条件.   综上所述, 欲 求 的 素 数 P为 2 0 0 3 .   1 1 . 由 题 设 知 ,四 边 形 AGo日,四 边 形 

I O A I =   I 志 I .  
同理可得 , l OBl =  

(   ) 。 一 2  
=  

『  

f .     f f , 所 以   1=  

BI OD, 四边形 EO F均为平行 四边形.  
又 由题 设 知 , △GD0  △ABC, △0  F   △ J E }  , △日0E  A B  C ,   而 相 似 三 角 形 的面  积 比等 于 相似 比的平 方 , 于 是 


因 为 AO AB是 以 0为 直 角 顶 点 的 等 腰 

直角 三角形, 所以 I OAI =I OBI , 于是 、 / / 1 +  

.   I 1 :  


SAGDO   S  OI F   S△HOE   SAA — B C 十  十 

2 k 2— 1’  


若  自 

= 一  

- = =  ’ , 则 火   k 3— 一2 k 2— 一2 k+ 十  


( 器)   + (  ) 。 + ( 器)  
(  ) 2 + (  )   + (   F c )  


1 :0 , 即(   +1 ) ( 尼   一 3 k +1 ) =0 , 解得 k l =一1 ,  
3+ v / 5

1/BI  
. 

I F 

FC 、 2  

1  

:T
若 石   了   : 一互 一 一    

≥ - 5 ( 丽+ 丽 + 丽/ ) 一3 ,  
从而s △ G D 。+S  ̄ O f F+S  ̄ , H O E≥去 . 所以  
LJ  

, ’ 则 火   k 3 +2 k 2 —2 一 k 一  

1=0 , 即(  一1 ) ( 尼   +3 k +1 ) 一0 , 解得 k 4— 1 ,   5: T - 3 -v  ̄,  6 :T - 3 +v  ̄
.  

S^d r   Ⅳ + S^R   r n + S^  


F  

去 (   G p 日 +   , 。 。 +   E 。 F )  
 

因 为 l - k 4 :  2. k 5 =k 3 ? k 6 = 一l , 所 以 由  1 和 4 得 到 的 两 个 三 角 形 是 相 同 的 , 同 



( S A a B C -( S A G D O +s △ 。 J F +s △ H 。 E ) )  

样 ,由  2 和 5 得 到 的 两 个 三 角 形 是 相 同 的,   k 3 和尼 6 得到 的两个三角形也是相 同的.  

≤   ( 1 一 言 )  1  
故 

2 0 1 5 年第 5 期 

数 学教 学 
又Y  4 - 钆  =   4 -   4 -  

5   4 9  
4 - … =2   ,  

SDGHEFI= SAAB C— —r SAA GH 4 - SABI D4 -  

S A C E F ) ≥1 一言=寻 ,  
当 0 为 AABC 的 重 心 时 ,上 述 不 等 式 等 号 成 

所 

~ 一   注 意 到 

.  

立.所 以, 六边 形 DG HEF I的面积 的最小值 

为 詈 .  
1 2 . ( 1 ) 数列 A : l , 1 , … , 1 ; 当 n是 3 的倍 
数时, 数 列  还 有 如 下 三 个 解 :  
A : 0 , 1 , 0 , 0 , 1 , 0 , … , 0 , 1 , 0 ;  

( 1 .i q ) 一( 1 一i ) =2 i , ( 1 4 - i )   一( 1 一i )  =4 i ,   ( 1 +i ) 3 一( 1 一i ) 3 =4 i , ( 1 .i q ) 4 一( 1 一i ) 4 =0 ,  
及 

( 1 +i ) 南 + 4 一( 1 一i )   + 4 =一 4 [ ( 1 +i )  一( 1 一  
i )   ] ,  =1 , 2 , …,  
所 以 

A : 0 , 0 , 1 , 0 , 0 , 1 , ? 一 , 0 , 0 , 1 ;  

A : 1 , 0 , 0 , 1 , 0 , 0 , …

, 1 , 0 , 0 .  

( 2 )设 X   , Y   ,   , , “ 几 分 别表 示 a 1 +a 2   4 -   4 - a 竹 除 以4 余数为0 ,1 , 2 , 3 的 数 列 A的  个数 .X   其 实表 示 n 1 , n 2 , …, a  中有 0 个1 ,   4 个1 , … 的 数 列 A的个 数, 于是X  =   4 -  


{ f , ( ; 一 _ - 4 )  2 k   - t i , 若 n = 4 k 一 3 ,   1 ( 一 4 )   一   .  , 4 i   若   n = 4 k   一, 1    一 :   上 , j   2  


4i n=4 k 2, ,  ̄:












【 0 , 若n=4 k ,  
n =  

+ … . 同 理 ,Y n = 
+  + … ,, u   : 

4 -  

4 -… , Z n = 
.  

+ 

4 -…

因 为 

J f     2 4  
2 4  
一  
5  

( 1   4 - i )  =   4 - i   4 - i 2   4 - … +i “  
=  n   4 -i yn— Z n— i un,  

一  

1 【   2 4  
4 

( 1 一i ) n=X n —i y n—Z 礼4 - i u 礼 ,  

,  \

一   一   一  
,  \ ,  
 

2  

3 


  一

2若 n=4 k .  

所以Y  一u n=   ( 1   4 - i ) ”一( 1 一i )  
~ ~ r、,~ ~ r 、 J~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~

1 1  1 ● _ I   1  
、●i

f 顾 鸿  达 、李大 元 、刘鸿 坤 、熊斌 、叶声  一   一   一  
一    

l  


~ ~

命题 1  


一  


1  

  一
~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~  



2  

2  2  2  
2  2 

,v

( 上接封 底)  
李 庾 南 老 师 总 结 自己 的教 学 理 论 是 “ 自  
学 .议 论 .引 导 ” , 这 固然 不错 , 但 是 作 为 一  种 教学 流派, 更 需 要 有 自 己鲜 明 的特 色 . 依 我 

3  

  一

2  

  一

2  

一  

看 来, 庾南 老师 教 学 的精 粹在 于 充满 了“ 数 学  智慧” , 她 设 计 的 教 学 案 例 ,虽 基 于 数 学 知 识 ,  
却重 在 启 迪 “ 数 学 智 慧” ,因 而 不 妨 称 之 为 李 

这 是没 有任 何生 活情 境可 以支 撑 的纯数 学 内   若 若 若  容, 庾 n  南老师用 n  仃  “ 乘法” 之“ 逆” 作为数 学智 慧统  =   l   = l   帅全4 课 , 4使  4 得   学 生 觉 得 学 习 因式 分 解 合 情 合 理 ,   有章 可 循 , 有 理 可 说 .这 里 没 有 花 里 胡 哨 的 花    一 一   一   3  2  1   絮和令 人眼花缭乱 的肢体动作, 也没有 繁琐难 

庾南 “ 智 慧” 教学 流 派.事 实上 , “ 自学 议 论 引   导” 等 教学 手段 , 都 是 为 启 迪 学 生 的数 学 智 慧  服 务 的.至 于 说 她 的教 学 风格 , 我 觉 得 是 清  新、质朴 、大方 、稳重 . 这在某种程度上和 京  剧的梅 ( 兰芳1 派庶几相近 .   我读过她设 计 的许 多案例 , 注意 到每节课  都 有 一 种 数 学 智 慧 作 为 灵 魂 ,或 用 典 型 情 景 ,   或用 数学思想 , 或用 哲学 思考, 或用错误 警示 ,  

懂 的情景 设置, 一切看起 来很 自然 , 质 朴和 流  畅, 把功夫用在揭示数学本质 的关键之上.  
形成 流派 不容 易, 发扬 流派 更难. 我 国 教  育 界 往 往 在 改革 声 中 否 定 过 去 , 今 天 批 评 昨 天  的“ 传 统” 如 何 如 何 ,明天 又 来 批 评 今 天 的成 就 

怎样怎样, 以致今天 几乎没有 留下 一些意义重  大 的教育传统 , 也就 没有 出现众 望所 归的教育  家 .我 们 固 然 不 可 夜 郎 自大 , 却 也 不 必 自惭 形  秽, 缺 乏应 有 的 自信 .努力建 设数学教 育 的各  种流 派, 彰 显教学 名家 的特色 , 当是数 学教育  界的一项基本建 设.  

让学生 既懂 知识 、会做题, 更能受到智 慧点拨 ,   牵 到 了数 学 思维 的牛鼻 子.以因式分 解 为例,  


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