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高考数学考前12天每天必看系列材料之一[1]1


2008 年高考数学考前 12 天每天必看系列材料之一

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亲爱的同学们,2008 年高考在即,我给大家精心编写了《2008 年高考数学考前 12 天每 天必看系列材料》 ,每一天的材料由四个部分组成,分别为《基本知识篇》《思想方法篇》 、 、 《回归课本篇》和《错题重做篇》 ,这些内容紧密结合 2007 年的数学考试大纲,真正体现狠

抓双基、突出能力、回归课本、强调思想方法、讲究考试答题技术,引领你们充满自信,笑 傲高考。请每天抽出 40 分钟读和写。边读边回想曾经学习过的知识,边读边思考可能的命 题方向,边读边整理纷繁复杂的知识体系等非常有必要!衷心祝愿 2008 届考生在 6 月 7 日 的高考中都取得满意的成绩。 一、基本知识篇 (一)集合与简易逻辑 1.研究集合问题,一定要抓住集合的代表元素,如: ?x | y ? lg x?与 ?y | y ? lg x?及

?( x, y) | y ? lg x?

2.数形结合是解集合问题的常用方法,解题时要尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩图等 工具,将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化,然后利用数形结合的思想方法解决; 3.一个语句是否为命题,关键要看能否判断真假,陈述句、反诘问句都是命题,而祁使句、 疑问句、感叹句都不是命题; 4.判断命题的真假要以真值表为依据。原命题与其逆否命题是等价命题 ,逆命题与其否命题 是等价命题 ,一真俱真,一假俱假,当一个命题的真假不易判断时,可考虑判断其等价命 题的真假; 5.判断命题充要条件的三种方法: (1)定义法; (2)利用集合间的包含关系判断,若 A ? B , 则 A 是 B 的充分条件或 B 是 A 的必要条件;若 A=B,则 A 是 B 的充要条件; (3)等价法: 即利用等价关系 " A ? B ? B ? A" 判断,对于条件或结论是不等关系(或否定式)的命题, 一般运用等价法; 6.(1)含 n 个元素的集合的子集个数为 2 ,真子集(非空子集)个数为 2 -1; (2) A ? B ? A ? B ? A ? A ? B ? B; (3) CI ( A ? B) ? CI A ? CI B, CI ( A ? B) ? CI A ? CI B 。 二、思想方法篇 (一)函数方程思想 函数方程思想就是用函数、方程的观点和方法处理变量或未知数之间的关系,从而解决问题 的一种思维方式,是很重要的数学思想。 1.函数思想:把某变化过程中的一些相互制约的变量用函数关系表达出来,并研究这些量间 的相互制约关系,最后解决问题,这就是函数思想; 2.应用函数思想解题,确立变量之间的函数关系是一关键步骤,大体可分为下面两个步骤: (1)根据题意建立变量之间的函数关系式,把问题转化为相应的函数问题; (2)根据需要 构造函数,利用函数的相关知识解决问题; (3)方程思想:在某变化过程中,往往需要根据 一些要求,确定某些变量的值,这时常常列出这些变量的方程或(方程组) ,通过解方程(或 方程组)求出它们,这就是方程思想; 3.函数与方程是两个有着密切联系的数学概念,它们之间相互渗透,很多方程的问题需要用 函数的知识和方法解决,很多函数的问题也需要用方程的方法的支援,函数与方程之间的辩 证关系,形成了函数方程思想。
-1n n

三、回归课本篇:高一年级上册(1) (一)选择题 1.如果 X =

{x |x>-1}

,那么(高一上 40 页例 1(1))

(A) 0 ? X (B) {0} ? X (C) ? ? X (D) {0} ? X 2 2.ax + 2x + 1 = 0 至少有一个负实根的充要条件是(高一上 43 页 B 组 6) (A)0<a≤1 (B) a<1 (C) a≤1 (D) 0<a≤1 或 a<0 2 3.命题 p: “a、b 是整数” ,是命题 q: x + ax + b = 0 有且仅有整数解”的 “ (A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件 (C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件 4.若 y = (A) -2 1 x + b 与 y = ax + 3 互为反函数,则 a + b = 5 (B) 2 2 (C) 4 5 (D) -10

(二)填空题 9.设 A = 6) x2-3x-13 10.不等式 ≥1 的解集是_______. (高一上 43 页 5(2)) 2-x 11.已知 A =

??x, y? y ? ?4x ? 6?,B = ??x, y? y ? 5x ? 3?,则 A∩B =______. (高一上 12 页例

{x || x-a |< 4}
1 2 x ?1

,B =

{x || x-2 |>3}

,且 A∪B = R,则 a 的取值范围是

________. (高一上 43 页 B 组 2) 12.函数 y = 8 的定义域是______;值域是______. 函数 y = 1-( 1 x ) 的定义域是 2

______;值域是______. (高一上 102 页 A 组 13) (三)解答题 16.如图,有一块半径为 R 的半圆形钢板,计划剪裁成等腰梯形 ABCD 的形状,它的下底 AB 是 ⊙O 的直径,上底 CD 的端点在圆周上.写出这个梯形周长 y 和腰长 x 间的函数式,并求出它的 定义域.

D 17.已知函数 y = (2)判断函数 y = f 10x – 10 – x (x ? R)(1)求反函数 y = f 2


C

A


1

(x) ; E O B

1

(x) 是奇函数还是偶函数.

-2-

1+x 18.已知函数 f(x) = loga (a>0, a ≠ 1)。(1)求 f(x)的定义域;(2)求使 f(x)>0 的 x 取值范 1-x 围。(高一上 99 页例 3)

19.98 页例题 2 《回归课本篇》 (高一年级上册(1) )参考答案 1--4 DCBC 9. {(1,2)} 10. (-?,-3]∪(2,5] 11. (1,3) 1 ? ? 12. ?x ?x ? R且x ≠ ? ;(0,1)∪(1, + ?) 。{x |x≥0} ;[0,1) 2 ? ? ? 19. 参看课本 P98 例题 2

16.略 17. 略 18.答案:参看课本 P99(注意变化不同处) 四、错题重做篇 (一)集合与简易逻辑部分 1. 已知集合 A= {x

x2+(p+2)x+1=0, p∈R} A∩R+= ? 。 ,若 则实数 P 的取值范围为



2.已知集合 A={x| -2≤x≤7 }, B={x|m+1<x<2m-1} ,若 A∪B=A,则函数 m 的取值范 围是_________________。 A.-3≤m≤4 B.-3<m<4 C.2<m<4 D. m≤4 3.命题“若△ABC 有一内角为

? ,则△ABC 的三内角成等差数列”的逆命题是( 3
B.与原命题的否命题真值相异 D.与原命题真值相同



A.与原命题真值相异 C.与原命题的逆否命题的真值不同 (二)函数部分 4.函数 y=
2

kx ? 7 的定义域是一切实数,则实数 k 的取值范围是_____________ kx ? 4kx ? 3

5.判断函数 f(x)=(x-1)

1? x 的奇偶性为____________________ 1? x

6.设函数 f(x)=

2x ? 3 - ,函数 y=g(x)的图象与函数 y=f 1(x+1)的图象关于直线 y=x 对称,则 g x ?1

(3)=_____________ - - 7. 方程 log2(9 x 1-5)-log2(3 x 1-2)-2=0 的解集为___________________
-3-

【参考答案】 1. P ? (-4,+∞) 2. D 3. D 4. k ? ?0, ?

? 3? ? 4?
7. { x x = 2}

5. 非奇非偶(定义域不关于原点对称)

6. g ( 3 ) =

7 2

2007 年高考数学考前 12 天每天必看系列材料之二(2007 年 5 月 27 日星期日) 一、基本知识篇 (二)函数 1.复合函数的有关问题 (1)复合函数定义域求法:若已知 f ( x ) 的定义域为[a,b],其复合函数 f[g(x)]的定义域由 不等式 a≤g(x)≤b 解出即可;若已知 f[g(x)]的定义域为[a,b],求 f(x)的定义域,相当于 x∈ [a,b]时,求 g(x)的值域(即 f(x)的定义域) 研究函数的问题一定要注意定义域优先的原则。 ; (2)复合函数的单调性由“同增异减”判定; 2.函数的奇偶性 (1)若 f(x)是偶函数,那么 f(x)=f(-x)= f ( x ) ; (2)若 f(x)是奇函数,0 在其定义域内,则 f (0) ? 0 (可用于求参数) ; (3)判断函数奇偶性可用定义的等价形式:f(x)±f(-x)=0 或

f (? x) ? ?1 (f(x)≠0); f ( x)

(4)若所给函数的解析式较为复杂,应先化简,再判断其奇偶性; (5)奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性;偶函数在对称的单调区间内有相反的单 调性; 3.函数图像(或方程曲线的对称性) (1)证明函数图像的对称性,即证明图像上任意点关于对称中心(对称轴)的对称点仍在图像 上; (2)证明图像 C1 与 C2 的对称性,即证明 C1 上任意点关于对称中心(对称轴)的对称点仍 在 C2 上,反之亦然; (3)曲线 C1:f(x,y)=0,关于 y=x+a(y=-x+a)的对称曲线 C2 的方程为 f(y-a,x+a)=0(或 f(-y+a, -x+a)=0); (4)曲线 C1:f(x,y)=0 关于点(a,b)的对称曲线 C2 方程为:f(2a-x,2b-y)=0; (5)若函数 y=f(x)对 x∈R 时,f(a+x)=f(a-x)恒成立,则 y=f(x)图像关于直线 x=a 对称; (6)函数 y=f(x-a)与 y=f(b-x)的图像关于直线 x=

a?b 对称; 2

4.函数的周期性 (1)y=f(x)对 x∈R 时,f(x +a)=f(x-a) 或 f(x-2a )=f(x) (a>0)恒成立,则 y=f(x)是周期为 2a 的周 期函数; (2)若 y=f(x)是偶函数,其图像又关于直线 x=a 对称,则 f(x)是周期为 2︱a︱的周期函数; (3)若 y=f(x)奇函数,其图像又关于直线 x=a 对称,则 f(x)是周期为 4︱a︱的周期函数; (4)若 y=f(x)关于点(a,0),(b,0)对称,则 f(x)是周期为 2 a ? b 的周期函数;
-4-

(5)y=f(x)的图象关于直线 x=a,x=b(a≠b)对称,则函数 y=f(x)是周期为 2 a ? b 的周期函数; (6) y=f(x)对 x∈R 时, f(x+a)=-f(x)(或 f(x+a)= ? 1 , y=f(x)是周期为 2 a 的周期函数; 则 f ( x) 5.方程 k=f(x)有解 ? k∈D(D 为 f(x)的值域); 6.a≥f(x) 恒成立 ? a≥[f(x)]max,; a≤f(x) 恒成立 ? a≤[f(x)]min; 7.(1) loga b ? logan b n (a>0,a≠1,b>0,n∈R+); (2) l og a N=

logb N ( a>0,a≠1,b>0,b≠1); logb a

(3) l og a b 的符号由口诀“同正异负”记忆; (4) a log a N= N ( a>0,a≠1,N>0 ); 8.能熟练地用定义证明函数的单调性,求反函数,判断函数的奇偶性。 9.判断对应是否为映射时,抓住两点: (1)A 中元素必须都有象且唯一; (2)B 中元素不一 定都有原象,并且 A 中不同元素在 B 中可以有相同的象; 10.对于反函数,应掌握以下一些结论: (1)定义域上的单调函数必有反函数; (2)奇函数的 反函数也是奇函数; (3)定义域为非单元素集的偶函数不存在反函数;(4)周期函数不存 在反函数; (5) 互为反函数的两个函数具有相同的单调性; y=f(x)与 y=f-1(x)互为反函数, (5) - - 设 f(x)的定义域为 A,值域为 B,则有 f[f- 1(x)]=x(x∈B),f- 1[f(x)]=x(x∈A). 11.处理二次函数的问题勿忘数形结合;二次函数在闭区间上必有最值,求最值问题用“两看 法” :一看开口方向;二看对称轴与所给区间的相对位置关系; 12.恒成立问题的处理方法: (1)分离参数法; (2)转化为一元二次方程的根的分布列不等式 (组)求解; 13.依据单调性,利用一次函数在区间上的保号性可解决求一类参数的范围问题:

? f (a) ? 0 ? f (a) ? 0 f (u) ? g ( x)u ? h( x) ? 0 (或 ? 0)(a ? u ? b) ? ? (或 ? ) ; ? f (b) ? 0 ? f (b) ? 0 ax ? b b ? ac a ?a? (b ? ac ? 0); y ? x ? (a ? 0) 的图象和性质; 14.掌握函数 y ? x?c x?c x 函数 ax ? b b ? ac a y? ? a? y ? x ? (a ? 0 ) (b – ac≠0) x?c x?c x 定义 (??,?c) ? (c,??) (??,0) ? (0,??)
域 值域 奇偶 性 单 调 性

(??, a) ? (a,??)
非奇非偶函数 当 b-ac>0 时:分别在 (??,?c), (c,??) 上单调 递减; 当 b-ac<0 时:分别在 (??,?c), (c,??) 上单调 递增;

(??,?2 a ] ? [2 a ,??)
奇函数 在 (??,? a ],[ a ,??) 上单调递 增; 在 [? a, 0),(0, a ] 上单调递减;

-5-

图象

y=a

y

y

x=-c o x

o

x

15.实系数一元二次方程 f ( x) ? ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 的两根 x1 , x 2 的分布问题: 根的情况 等价命题

x1 ? x2 ? k
在 ( k ,??) 上有两根

m ? x1 ? x2 ? n
在 (m, n) 上有两根

x1 ? k ? x2
在 ( k ,??) 和 (??, k ) 上各有一 根

?? ? 0 ? ? f ( m) ? 0 ?? ? 0 ? ? ? f (k ) ? 0 充要条件 ? f ( k ) ? 0 ? f ( n) ? 0 ? ? b ?m ? ? b ? n ?? ? k ? ? 2a ? 2a 注意:若在闭区间 [m, n] 讨论方程 f ( x) ? 0 有实数解的情况,可先利用在开区间 (m, n) 上实根分布的情况,得出结果,在令 x ? n 和 x ? m 检查端点的情况。 二、思想方法篇 (二)数形结合思想 数形结合是中学数学中四种重要思想方法之一,对于所研究的代数问题,有时可研究其 对应几何的性质使问题得以解决(以形助数) ;或者对于所研究的几何问题,可借助于对应 图形的数量关系使问题得以解决(以数助形) ,这种解决问题的方法称之为数形结合。 1.数形结合与数形转化的目的是为了发挥形的生动性和直观性,发挥数的思路的规范性与严 密性,两者相辅相成,扬长避短。 2.恩格斯是这样来定义数学的: “数学是研究现实世界的量的关系与空间形式的科学” 。这就 是说:数形结合是数学的本质特征,宇宙间万事万物无不是数和形的和谐的统一。因此,数 学学习中突出数形结合思想正是充分把握住了数学的精髓和灵魂。 3.数形结合的本质是:几何图形的性质反映了数量关系,数量关系决定了几何图形的性质。 4.华罗庚先生曾指出: “数缺性时少直观,形少数时难入微;数形结合百般好,隔裂分家万事 非。 ”数形结合作为一种数学思想方法的应用大致分为两种情形:或借助于数的精确性来阐 明形的某些属性,或者借助于形的几何直观性来阐明数之间的某种关系. 5.把数作为手段的数形结合主要体现在解析几何中,历年高考的解答题都有关于这个方面的 考查(即用代数方法研究几何问题) 。而以形为手段的数形结合在高考客观题中体现。 6.我们要抓住以下几点数形结合的解题要领: (1) 对于研究距离、角或面积的问题,可直接从几何图形入手进行求解即可; (2) 对于研究函数、方程或不等式(最值)的问题,可通过函数的图象求解(函数的零点, 顶点是关键点) ,作好知识的迁移与综合运用; (3) 对于以下类型的问题需要注意:
-6-

(1) ( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ; (2)

y?a ; (3) Ax ? By ; (4) F (cos? , sin? );(5)a2 ? ab ? b2 ; 可分别 x?b

通过构造距离函数、斜率函数、截距函数、单位圆 x2+y2=1 上的点 (cos? , sin ? ) 及余弦定理 进行转化达到解题目的。 三、回归课本篇:高一年级上册(2) (一)选择题 5.已知 x + x
–1

= 3,则 x

3 2

+

x

?

3 2

的值为 (C) 4 5 ax – a 2
-x

(A) 3 3 (B) 2 5 6.下列函数中不是奇函数的是 (A) y = (ax + 1)x ax-1 (B) y =

(D) -4 5 |x| x 1+x 1-x

(C) y =

(D) y = log a

x1 + x2 f(x1) + f(x2) 7.下列四个函数中,不满足 f( )≤ 的是 2 2 (A) f(x) = ax + b (B) f(x) = x2 + ax + b (C) f(x) = 1 x (D) f(x) = - lnx

8.已知数列{an}的前 n 项的和 Sn= an - 1(a 是不为 0 的实数) ,那么{an} (A) 一定是等差数列 (B) 一定是等比数列 (C) 或者是等差数列,或者是等比数列 (D) 既不可能是等差数列,也不可能是等比数列 (二)填空题 13.已知数列{an}的通项公式为 a n = pn + q,其中 p,q 是常数,且,那么这个数列是否一定 是等差数列?______ 如果是,其首项是______,公差是________. (高一上 113 页例题 4) 14.下列命题中正确的是 。 (把正确的题号都写上) (1)如果已知一个数列的递推公式,那么可以写出这个数列的任何一项; (2)如果{an}是等差数列,那么{an2}也是等差数列; (3)任何两个不为 0 的实数均有等比中项; (4)已知{an}是等比数列,那么{ 3

an

}也是等比数列

15.顾客购买一件售价为 5000 元的商品,如果采取分期付款,那么在一年内将款全部付清的前 提下,商店又提出了下表所示的几种付款方案,供顾客选择:

方 案 类别 1

分几次付清 3次

付款方法 购买后 4 个月第一次 付款,再过 4 个月第二

每期所付款 额

付款总额

与一次性付 款差额

-7-

次付款,在过 4 个月第 三次付款 2 6次 购买后 2 个月第一次 付款,再过 2 个月第二 次付款??购买后 12 个月第 6 次付款. 购买后 1 个月第 1 次付 款,过 1 个月第 2 次付 款??购买后 12 个月 第 12 次付款.

3

12 次



规定月利率为 0.8%,每月利息按复利计算

说明:1.分期付款中规定每期所付款额相同. 2.每月利息按复利计算,是指上月利息要计入下月本金. (对比高一上 130 页研究性学习) (三)解答题 19.已知 Sn 是等比数列 {an} 的前项和 S3,S9,S6,成等差数列,求证 a2,a8,a5 成等差数 列。

20 .在数列{an}中,a1 = 1,an+1 = 3Sn(n≥1),求证:a2,a3,┅,an 是等比数列。(高一上 137 页 B 组 5) 《回归课本篇》 (高一年级上册(2) )参考答案 5—8 BACC 13. 是、p + q、p 14. (1) (4) 15. 答案:看课本 P134 19. 略 20.略 四、错题重做篇 (三)数列部分 8.x= ab 是 a、x、b 成等比数列的( A.充分非必要 B.必要非充分 C.充要 ) 条件 D.既非充分又非必要条

9.已知数列{an}的前 n 项和 Sn=an-1(a ? R, a ? 0 ),则数列{an}_______________ A.一定是等差数列 B.一定是等比数列 C.或者是等差数列或者是等比数列 D.既非等差数列又非等比数列 10.A?P{an}中, a1=25, S17=S9,则该数列的前__________项之和最大,其最大值为_______。 【参考答案】 8. D 9. C 10. 13 , 169 2007 年高考数学考前 12 天每天必看系列材料之三(2007 年 5 月 28 日星期一)
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科学安排有效减压

2007 高考考前十天巧安排

考试前十天是复习冲刺的最后阶段,决战前的部署至关重要。 1.要保持自己平时的学习和生活节奏, 适当减轻复习的密度和难度, 可以收到 “退一步, 进两步”的效果。 要保持大脑皮层中等的兴奋度(既不过分放松也不过分紧张),要避免和他人进行无谓的 辩论和争吵,不搞剧烈的文体活动。这样,就能在考试前夕,创造一个良好的心境。 2.抓知识的主干,进行强化记忆。 总的原则是回归基础,形成知识网络,把查漏补缺、解决前面复习中出现的问题放在第 一位。最后十天的复习更应收缩到教材上来。通过看书上的目录、标题、重点等,一科一科 地进行回忆,发现生疏的地方,及时重点补习一下,已经熟练掌握了的内容,可以“一带而 过” 。还可以看自己整理的提纲、图表、考卷,重温重要的公式、定理等。这十天的复习, 就像运动员在比赛前的准备活动或适应性练习一样。通过这十天的“收缩复习” “强化记忆” , 可以进一步为高考打下坚实的知识基础,熟练地掌握知识的整体框架,以便能在考试中根据 主干线索迅速回忆,让自己的答案做到“八九不离十” 。 3.稳定情绪、修炼镇静、入睡。 高考成绩的好坏与情绪稳定的关系很大,而考生难免会在考试前十天有不同程度的焦 虑。优化情绪的辅助办法有: (1)深呼吸。复习完功课后,做深呼吸。要缓慢、放松,吸完一口气后,略停 1 秒钟再 吐气,如此反复多次。 (2)按摩内关。用右手大拇指按住左手臂内侧内关(手掌纹下三横指正中处通常是表带 处),顺时针按摩 36 次,在心里默念“镇静” ,这当然也是一种强烈的心理暗示。 (3)坐着或者站立,身体放松,想像着自己淋雨,自我想像雨水将所有的疲劳和焦虑冲 洗掉。当然在自己冲凉时,想像着把自己的紧张、疲劳、焦虑冲刷掉的效果会更好。 (4)按摩涌泉。晚上淋浴完后,用右手的大拇指按摩脚心的涌泉,次数不限,心里同时 默念“入睡” 。也可以在床上将自己的意念用在脚心的涌泉,默念“入睡” 。 4.进入全真模拟状态。 (1)早起半小时和晚睡半小时。心理学界有一个普遍的共识,这两段时间是最佳的记忆 时间,所以:要充分利用这 1 个小时。 (2)要在上午 9:00 和下午 3:00 开始复习,因为这两个时间段和高考时问程序表一致。 这样才能在高考时,顺利进入高考状态。 (3)每天做一套容易的卷子(可以是做过的试卷) 。有条件上网的同学可以到我的主页 http://yf6504.anytome.com/6820418131452020050225/77.xml 中的“高中数学自动化测试 系统”中测试。分章测试。有些人主张高考前十天不做试卷,事实上,每天做一份试卷可以 使考生在几天后真正拿到高考试卷时不感到手生,能找到感觉。 (4)高考开始时,平时什么时候睡觉还什么时候睡,千万不要打破自己的习惯. (5)“进入考点,见了老师微微地点点头,不要讲话。见了同学微微地点点头,不要讲
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话。因为高考前的任何一个话题都可能触及考生的思维,比如一句“好好考啊。 ”可能不说 更好。而且在进入考场之前,要去一次卫生间。交卷之后,要赶快离开,不要和任何同学有 任何交流。因为有些同学考完之后会对答案,其实越是会咋呼的学生越是一般的,越是学习 好的学生越可能会打鼓。所以考完之后马上撤退,不要和同学有任何交流。考一场忘一场考 试, “要想地里不长草,就要让地里种上庄稼。 ”要想忘记上一场考试,就要仔细考虑下一场 考试。 一、基本知识篇 (三)数列 1.由 Sn 求 an,an={

S1 (n ? 1) Sn ? Sn ?1 (n ? 2, n ? N * )

注意验证 a1 是否包含在后面 an 的公式中,若不符

合要单独列出。一般已知条件中含 an 与 Sn 的关系的数列题均可考虑用上述公式; 2.等差数列 {an} an?1 ? an ? d (d为常数) 2an ? an?1 ? an?1 (n ? 2) ? an ? an ? b ? sn ? An2 ? Bn ; ? ? an?1 n?1 3.等比数列 an} { ? ? q(q为常数) an 2 ? an?1an?1 (n ? 2) ? an ? a1q ; ? an 4.首项为正(或为负)的递减(或递增)的等差数列前 n 项和的最大(或最小)问题,转化 为解不等式 ?an ? 0 ? 或?an ? 0 ? 解决; 数列单调递增 ? an <an?1 ? ? ? ? ? ?
?an ?1 ? 0? ? a n ?1 ? 0 ?

5.熟记等差、等比数列的定义,通项公式,前 n 项和公式,在用等比数列前 n 项和公式时, 勿忘分类讨论思想; 6. 在等差数列中, an ? am ? (n ? m)d , d ?

an ? am ;在等比数列中, n?m

an ? am q n ? m , q ? n ? m

an ; am

7. 当 m ? n ? p ? q 时,对等差数列有 am ? an ? a p ? aq ;对等比数列有 am ? an ? a p ? aq ; 8.若{an}、{bn}是等差数列,则{kan+pbn}(k、p 是非零常数)是等差数列;若{an}、{bn}是等比 数列,则{kan} nbn}等也是等比数列; 、{a 9. 若数列 {an } 为等差(比)数列,则 Sn , S2n ? Sn , S3n ? S2n ,? 也是等差(比)数列; 10. 在等差数列 {an } 中,当项数为偶数 2n 时, S偶-S奇 ? nd ;项数为奇数 2n ? 1 时, ; S奇 ? S偶 ? a中 (即 an ) 11. 若 一 阶 线 性 递 归 数 列 an=kan - 1+b ( k ≠ 0,k ≠ 1 ) , 则 总 可 以 将 其 改 写 变 形 成 如 下 形 式: an ? b ? k (an ?1 ? b ) (n≥2),于是可依据等比数列的定义求出其通项公式; k ?1 k ?1 二、思想方法篇 (三)分类讨论的数学思想 分类讨论是一种重要的数学思想方法,当问题的对象不能进行统一研究时,就需要对研 究的对象进行分类,然后对每一类分别研究,给出每一类的结果,最终综合各类结果得到整
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个问题的解答。 1.有关分类讨论的数学问题需要运用分类讨论思想来解决,引起分类讨论的原因大致可 归纳为如下几种: (1)涉及的数学概念是分类讨论的; (2)运用的数学定理、公式、或运算性质、法则是分类给出的; (3)求解的数学问题的结论有多种情况或多种可能性; (4)数学问题中含有参变量,这些参变量的不同取值导致不同的结果的; (5)较复杂或非常规的数学问题,需要采取分类讨论的解题策略来解决的。 2.分类讨论是一种逻辑方法,在中学数学中有极广泛的应用。根据不同标准可以有不同 的分类方法,但分类必须从同一标准出发,做到不重复,不遗漏 ,包含各种情况,同时要 有利于问题研究。 三、回归课本篇:高一年级下册(1) 1、若一个 6000 的角的终边上有一点 P(-4 , a),则 a 的值为 (A) 4 3 (B) -4 3 0 0 sin110 sin20 2、 = cos21550-sin21550 1 (A)- 2 1 + tan150 3、 = 1-tan150 (A) - 3 4、cos? + (A) 2sin( (B) (P38 例 3) (B) - 3 3 (C) 3 3 (D) 3 1 2 (C) ±4 3 (D) 3

( C)

3 2

(D)-

3 2

3 sin? = (P39 例 5)

?
6

+?)

(B) 2sin(

?
3

+?)

(C) 2cos (

?
3

+?)

(D) 2cos(

?
6

-? )

5、tan200 + tan400 + 3 tan200 tan400 = _________。 (P40 练习 4(1)) 6、(1 + tan440)(1 + tan10) = ______;(1 + tan430)(1 + tan20) = ______;(1 + tan420)(1 + tan30) = ______;(1 + tan? )(1 + tan? ) = ______ (其中? + ? = 45 0)。 (P89A 组 16) 7、化简 sin500(1 + 8、已知 tan? = 3 tan100) 。(P43 例 3)

1 ,则 sin2? + sin2? = __________。 2

9、求证(1)1 + cos? =2cos2 (4) 1-sin? = (sin

?
2

;(2) 1-cos? =2sin2

?
2

;(3) 1 + sin? = (sin

?
2

+cos

?
2

)2 ;

?
2

-cos

?
2

)2 ;(5)

1-cos? ? = tan2 . (P45 例 4) 2 1 + cos?

(以上结论可直接当公式使用,主要用来进行代数式的配方化简)。 3k-1 3k + 1 10、cos( ? + ? ) + cos( 3 ? -? )(其中 k ? Z) = _________。(P85 例 1) 3
- 11 -

11、已知 cos(

?
4

+ x) =

3 17? 7? sin2x + 2sin2x , <x< ,求 的值。(P92 B 组 10) 5 12 4 1-tanx .

12、如图,三个相同的正方形相接,则? +? = (P89A 组 17) 13、已知函数 y = 3sin(2x +

?
3

),x ? R。

?

?

(1) 用五点作图法画出简图;(2) 如何变化可以得到函数 y = sinx 的图象;(3) 写出其递 减区间; 写出 y 取得最小值的 x 的集合; (4) (5)写出不等式 3 sin(2x +

?
3

3 3 )> 2

的解集。

(P64 例 4) 14、已知函数 y = Asin(? x + ? ),x ? R (其中 A>0,? >0)的图象在 y 轴右侧的第一个最高点 (函数取最大值的点)为 M(2,2 2 ),与 x 轴在原点右侧的第一个交点为 N(6,0),求这个函数的 解析式。(P86 例 3) 《回归课本篇》(高一年级下册(1))参考答案 1~4、BBDA; 5、 3 ; 6、2; 7、1; 8、1; 10、(-1)k (cos? - 3 sin? ),k ? Z; 28 11、- ;12、45?; 75 13、解:(1) 参考课本答案(求周期-列表-描点);(2)参考课本答案(注意做相应变化);(3) 递 减 区 间 是 [k? +

?
12

, k? +

7? ] , k ? Z ; (4) y 取 得 最 小 值 的 x 的 集 合 是 6

5? ? ? ? ? ? ?x x ? k? ? , k ? Z? ;(5) ?x k? ? x ? k? ? , k ? Z? 。 12 6 ? ? ? ?
14、y = 2 2 sin(

?
8

x+

?
4

)

四、错题重做篇 (四)三角函数部分 11.设

1 ? sin ? =tan ? ? sec ? 成立,则 ? 的取值范围是_______________ 1 ? sin ?
3 的相位____________,初相为__________ 。周期为_________,单 4

12.函数 y=sin4x+cos4x-

调递增区间为____________。

sin x cos x 的值域为______________。 1 ? sin x ? cos x 2 2 2 14.若 2sin2α ? sin ? ? 3sin ? , 则sin ? ? sin ? 的取值范围是______________
13.函数 f(x)=

- 12 -

15.已知函数 f (x) =2cos(

k 2 x ? )-5 的最小正周期不大于 2,则正整数 k 的最小值是 . 4 3

【参考答案】11. ? ? (2k? ? 13. ??

?

3 ,2k? ? ? ) 2 2

12. 4 x ?

? ? ?
, ,

2k ? 1 k? ?, ] 2 2 2 4 2 ,[
15. 13

? ?

? ? 2 1 2 1? ? ,?1? ? ? ? 1, ? ? ? ? 2 2 2 2? ? ?

14. [0 ,

5 ] ? ?2? 4

2007 年高考数学考前 12 天每天必看系列材料之四(2006 年 5 月 29 日星期二) 一、基本知识篇 (四)三角函数 1.三角函数符号规律记忆口诀:一全正,二正弦,三是切,四余弦; 2.对于诱导公式,可用“奇变偶不变,符号看象限”概括; 3.记住同角三角函数的基本关系,熟练掌握三角函数的定义、图像、性质; 4.熟知正弦、余弦、正切的和、差、倍公式,正余弦定理,处理三角形内的三角函数问题勿 忘三内角和等于 1800,一般用正余弦定理实施边角互化; 5.正(余)弦型函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于 x 轴的直线, 对称中心为图象与 x 轴 的交点;正(余)切型函数的对称中心是图象和渐近线分别与 x 轴的交点,但没有对称轴。 6.(1)正弦平方差公式:sin2A-sin2B=sin(A+B)sin(A-B);(2)三角形的内切圆半径 r= 2 S ?ABC ; (3)三角形的外接圆直径 2R=
a?b?c

a b c ? ? ; sin A sin B sin C

(五)平面向量 1.两个向量平行的充要条件,设 a=(x1,y1),b=(x2,y2), ? 为实数。1) ( 向量式: a∥b(b≠0) ? a= ? b; (2)坐标式:a∥b(b≠0) ? x1y2-x2y1=0; 2.两个向量垂直的充要条件, 设 a=(x1,y1),b=(x2,y2), (1) 向量式:a⊥b(b≠0) ? a ? b=0; (2) 坐标式:a⊥b ? x1x2+y1y2=0; 3.设 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a ? b= a b cos? =x1x2+y1y2;其几何意义是 a ? b 等于 a 的长度与 b 在 a 的方向上的投影的乘积; 4.设 A(x1,x2) 、B(x2,y2),则 S⊿AOB= 5.平面向量数量积的坐标表示: (1)若 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a ? b=x1x2+y1y2; AB ? (2)若 a=(x,y),则 a2=a ? a=x2+y2, a ?

1 x1 y 2 ? x 2 y1 ; 2

( x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 )2 ;

?

x2 ? y2 ;

二、思想方法篇 (四)向量法 向量法是运用向量知识解决问题的一种方法,解题常用下列知识: (1)向量的几何表示,两个向量共线的充要条件;
- 13 -

(2)平面向量基本定理及其理论; (3)利用向量的数量积处理有关长度、角度和垂直的问题; (4)两点间距离公式、线段的定比分点公式、平移公式 三、回归课本篇:高一年级下册(2) 15、下列各式能否成立?为什么? (A) cos2x = (P89A 组 25) lgcos(2x- 16、求函数 y = 2 (B) sinx-cosx = 3 2 (C) tanx + 1 =2 tanx (D) sin3x = -

?
4

?

3 tanx-1

) 的定义域。(P92B 组 12) y 1 1 O x

17、如图是周期为 2? 的三角函数 y = f (x) 的图象,则 f (x) 可以写成 (A) sin [2 (1-x)] (B) cos (1-x) (C) sin (x-1) (D) sin (1-x) 18、与正弦函数 y ? sin x( x ? R) 关于直线 x = (A) y ? sin x (B) y ? cos x 3 ?对称的曲线是 2 (C) y ? ? sin x

(D) y ? ? cos x

19、x cos 1-y sin 1=0 的倾斜角是 (A) 1 (B) 1+

?
2

(C) 1-

?
2

(D) -1+

?
2

20、函数 f ( x) ? A sin(?x ? ? )(? ? 0) 在区间[a,b]是减函数,且 f (a) ? ? A, f (b) ? A ,则 函数 g ( x) ? A cos(?x ? ? )在[a, b] 上 (A)可以取得最大值-A (C)可以取得最大值 A (B)可以取得最小值-A (D)可以取得最小值 A

→ → 21、已知 a , b 为两个单位向量,下列四个命题中正确的是(P149A 组 2) → → (A) a = b → → (C) a · b =1 → → → → (B) 如果 a 与 b 平行,则 a = b → (D) a 2 → = b 2

→ 22、和向量 a = (6,8)共线的单位向量是__________。(P150A 组 17) → → → →→ → →→ 23、 已知 a = (1,2),b = (-3,2), k 为何值时, 当 (1)k a + b 与 a -3 b 垂直?(2) k a + b → → 与 a -3 b 平行?平行时它们是同向还是反向?(P147 例 1)
- 14 -

24、已知 | a |=1,| b |= 2 。 (I)若 a // b ,求 a ?b ; (II)若 a ,b 的夹角为 135°,求 | a +b | . 《回归课本篇》(高一年级下册(2))参考答案 15、(A) 否 (B) 否 17~21、DADDD 5? ? ? ? (C) 能 (D) 能 16、(- + k?, + k?)∪( + k?, + k?), k ? Z 12 4 4 12 3 4 3 4 1 22、( , ),(- , - ) 23、(1)k = 19;(2)k = - ,反向。 5 5 5 5 3

?

?

? ?

?

?

?

?

?

?

24、解: (I)∵ a // b , ①若 a , b 共向,则 a ? b =| a |?| b |= 2 , ②若 a , b 异向,则 a ? b =-| a |?| b |=- 2 。 (II)∵ a , b 的夹角为 135°,

? ?

? ?

? ?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

∴ a ? b =| a |?| b |?cos135°=-1,

?

?

?

?

∴| a + b |2=( a + b )2 = a 2+ b 2+2 a ? b =1+2-2=1, ∴ | a ? b |? 1 。 四、错题重做篇 (五)平面向量部分 16.已知向量 m =(a,b),向量 m ⊥ n 且 m ? n , 则 n 的坐标可能的一个为(

?

?

?

?

?

?

?

?

? ?

?

?

?

?

?

?



A. (a,-b) B.(-a,b) C.(b,-a) D.(-b,-a) ? 17.将函数 y=x+2 的图象按 a =(6,-2)平移后,得到的新图象的解析为_____________ 18.若 o 为平行四边形 ABCD 的中心, AB =4 e 1, BC ? 6e2 ,3e2 ? 2e1 等于(

??? ?

?

??? ?

?

?

?



??? ?
A. AO

??? ?
B. BO

??? ?
C. CO

????
D. DO

19.若 a ? (5,?7), b ? (?1,2) ,且( a ? ?b ) ? b ,则实数 ? 的值为____________. 【参考答案】 16. C 17. y = x-8 18. B 19. λ =

?

?

?

?

?

19 5

2007 年高考数学考前 12 天每天必看系列材料之五(2007 年 5 月 30 日星期三)
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一、基本知识篇 (六)不等式 1.掌握不等式性质,注意使用条件; 2.掌握几类不等式(一元一次、二次、绝对值不等式、简单的指数、对数不等式)的解法, 尤其注意用分类讨论的思想解含参数的不等式;勿忘数轴标根法,零点分区间法; 3.掌握用均值不等式求最值的方法,在使用 a+b≥ 2 ab (a>0,b>0)时要符合“一正二定三相 等” ;注意均值不等式的一些变形,如

a2 ? b2 a?b 2 a ?b 2。 ?( ) ; ab ? ( ) 2 2 2

二、思想方法篇 (五)配方法 配方法是指将一代数形式变形成一个或几个代数式平方的形式,其基本形式是:
2 ax2+bx+c= a( x ? b ) 2 ? 4ac ? b (a ? 0) .高考中常见的基本配方形式有: 2a 4a 2 2 2 (1) a +b = (a + b) - 2a b = (a –b) 2+ 2 ab;

a2+ b2+ ab = (a ? 1 b) 2 ? ( 3 b) 2 ; 2 2 2 2 2 2 (3) a + b +c = (a+b + c) - 2 ab – 2 a c – 2 bc; (2) (4) a2+ b2+ c2- a b – bc – a c =

1 [ ( a - b)2 + (b – c)2 + (a – c)2]; 2

(5) x 2 ?

1 1 ? ( x ? )2 ? 2 ; x2 x

配方法主要适用于与二次项有关的函数、方程、等式、不等式的讨论,求解与证明及二 次曲线的讨论。 三、回归课本篇:高二年级上册(1) (一)选择题 1、下列命题中正确的是 (A) ac2>bc2 ? a>b ? ? (B) a>b ? a3>b3
? a>b ? a + c>b + d(D) loga2<logb2<0 ? 0<a<b<1 ? c>d

2、如果关于 x 的不等式 ax2 + bx + c<0 的解集是{x |x<m,或x>n} (m<n<0),则关于 x 的不 等式 cx2-bx + a>0 的解集是 (高二上 31 页 B 组 7) 1 1 ? ? (A) ?x ?- <x<- ? n ? ? ? m 1 1 ? ? ? ?x ?x> 或x< ? m n ? ? ? 3、若 x<0,则 2 + 3x + 1 1 ? ? ? (B) ?x ? <x< m ? ? ?n 1 1 ? ? (D) ?x ?x<- 或x>- ? m n ? ? ?

4 的最大值是 (高二上 11 页习题 4) x
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(A) 2 + 4 3 (B) 2±4 3 (C) 2-4 3 (D) 以上都不对 (二)填空题 7、当点(x,y)在以原点为圆心,a 为半径的圆上运动时,点(x + y,xy)的轨迹方程是_______。 (高二上 89 页 B 组 10) 8、过抛物线 y2 = 2px(p>0)的焦点 F 的直线与抛物线相交于 A、B 两点,自 A、B 向准线作垂 线,垂足分别为 A/、B/。则∠A/FB/ = _________。 (高二上 133 页 B 组 2) (三)解答题 11、两定点的坐标分别为 A(-1,0),B(2,0),动点满足条件∠MBA = 2∠MAB,求动点 M 的 轨迹方程。(高二上 133 页 B 组 5) (注意限制条件)

12、设关于 x 的不等式

ax ? 5 ? 0 的解集为 A ,已知 3 ? A且5 ? A ,求实数 a 的取值范围。 x2 ? a

《回归课本篇》 (高二年级上册(1) )参考答案 (一)选择题 1~3 BAC(注意符号) (二)填空题 7、x2 = a2 + 2y(- 2 a≤x≤ 2 a) p p 8、证明: 设 A、B 两点的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2),则 A/(- ,y1)、B/(- ,y2)。 2 2 ∴ kA/F?kB/F = y1y2 , p2 又 ∵ y1y2 = -p2 ,

∴ kA/F?kB/F = -1, ∴ ∠A/FB/ = 900 . (三)解答题 11、解:设∠MBA = ? ,∠MAB = ? (? >0,? >0),点 M 的坐标为(x,y)。 ∵

? = 2? ,∴ tan? = tan2? =

2tan? . 1-tan2? = y , x+1

y 当点 M 在 x 轴上方时,tan? = - ,tan? x-2 2y x+1 y 所以- = y2 x-2 1- (x + 1)2 当点 M 在 x 轴下方时,tan? =

,即 3x2-y2 = 3。

-y y ,tan? = ,仍可得上面方程。 x+1 x-2

又? = 2? ,∴ | AM |>| BM | . 因此点 M 一定在线段 AB 垂直平分线的右侧, 所求的轨迹方程为双曲线 3x2-y2 = 3 的右支, 且不包括 x 轴上的点。
- 17 -

12、解:? 3 ? A,?

3a ? 5 5 ? 0, 即a ? 9或a ? ; 9?a 3 5a ? 5 ? 5 ? A 时, ? 0, 即a ? 25或a ? 1 ,?5 ? A 时, 1 ? a ? 25 。 25 ? a
∴ 3 ? A且5 ? A 时, a ? ?1, ? ? ?9,25? 。

? 5? ? 3?

四、错题重做篇 (六)不等式部分 20.设实数 a,b,x,y 满足 a2+b2=1,x2+y2=3, 则 ax+by 的取值范围为_______________. 21.-4<k<0 是函数 y=kx2-kx-1 恒为负值的___________条件 22.函数 y=

x2 ? 5 x2 ? 4

的最小值为_______________

23.已知 a,b ? R ,且满足 a+3b=1,则 ab 的最大值为___________________. 【参考答案】20. [- 3, 3 ] (三角替换) 21. 充分非必要条件(k=0)

22.

5 ( x2 ? 4 ? 2

1 x2 ? 4

单调性)

23.

1 (ab=b(1-3b) 12

2007 年高考数学考前 12 天每天必看系列材料之六(2007 年 5 月 31 日星期四)

一、基本知识篇 (七)直线和圆的方程 1.设三角形的三顶点是 A(x1,y1) 、B(x2,y2)、C(x3,y3),则⊿ABC 的重心 G 为 x1 ? x 2 ? x3 y1 ? y 2 ? y 3 ) ( ; ,
3 3

2.直线 l1:A1x+B1y+C1=0 与 l2: A2x+B2y+C2=0 垂直的充要条件是 A1A2+B1B2=0; 3.两条平行线 Ax+By+C1=0 与 Ax+By+C2=0 的距离是 d ? C1 ? C 2 ; A2 ? B 2 2 2 4.Ax +Bxy+Cy +Dx+Ey+F=0 表示圆的充要条件 :A=C≠0 且 B=0 且 D2+E2-4AF>0; 5.过圆 x2+y2=r2 上的点 M(x0,y0)的切线方程为:x0x+y0y=r2; 6.以 A(x1,y2)、B(x2,y2)为直径的圆的方程是(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0; 7.求解线性规划问题的步骤是: (1)根据实际问题的约束条件列出不等式; (2)作出可行域, 写出目标函数; (3)确定目标函数的最优位置,从而获得最优解;
- 18 -

二、思想方法篇 (六)换元法
换元法是指引入一个或几个新的变量代替原来的某些变量(或代数式) ,对新的变量求出结果之后,返回去求原变量 的结果。换元法通过引入新的元素将分散的条件联系起来,或者把隐含的条件显示出来,或者把条件与结论联系起来, 或者变为熟悉的问题。其理论根据是等量代换。高中数学中换元法主要有以下两类:

(1)整体换元:以“元”换“式” ; (2)三角换元 ,以“式”换“元” ; (3)此外,还有对称换元、均值换元、万能换元等;换元法应用比较广泛。如解方程, 解不等式,证明不等式,求函数的值域,求数列的通项与和等,另外在解析几何中也有广泛 的应用。运用换元法解题时要注意新元的约束条件和整体置换的策略。 三、回归课本篇:高二年级上册(2) (一)选择题

? x ? 4 y ? ?3 4、已知目标函数 z=2x+y,且变量 x、y 满足下列条件: ?3 x ? 5 y ? 25 ,则( ? ?x ? 1 ?
(A) z 最大值=12,z 无最小值 (C) z 最大值=12,z 最小值=3 (B) z 最小值=3,z 无最大值 (D) z 最小值= 6

)

2 ,z 无最大值 5

5、将大小不同的两种钢板截成 A、B 两种规格的成品,每张钢板可同时解得这两种规格的成 品的块数如下表所示: 规格类型 钢板类型 第一种钢板 第二种钢板 2 1 1 3 A 规格 B 规格

若现在需要 A、B 两种规格的成品分别为 12 块和 10 块,则至少需要这两种钢板张数。 (A)6 (B) 7 (C) 8 (D) 9 6、 函数 f(? ) = (A) 最大值 sin? -1 的最大值和最小值分别是(高二上 82 页习题 11*) cos? -2 4 和最小值 0 3 (B) 最大值不存在和最小值 3 4

4 (C) 最大值 - 和最小值 0 3

3 (D) 最大值不存在和最小值- 4

(二)填空题 9、 人造地球卫星的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆。设地球半径为 R,卫星近地点、 远地点离地面的距离分别是 r1,r2,则卫星轨道的离心率 = _________。 10、已知 a>b>0,则 a2 + 16 的最小值是_________。(高二上 31 页 B 组 3)(记住方法啊) b(a-b)
- 19 -

(三)解答题 13、已知△ABC 的三边长是 a,b,c,且 m 为正数,求证 上 17 页习题 9) 14、已知关于 x 的不等式 a b c + > 。(高二 a+m b+m c+m

ax ? 5 ? 0 的解集为 M 。 (1)当 a ? 4 时,求集合 M ; (2)若 x2 ? a 3 ? M且5 ? M ,求实数 a 的取值范围。 (特别注意阅读解答)

《回归课本篇》 (高二年级上册(2) )参考答案 (一)选择题 4~6 B(注意虚实)B(注意整点)A(注意横纵坐标不要搞颠倒) (二)填空题 9、e = r2-r1 2R + r1 + r2 b + a-b 2 a2 ) = 。 2 4 64 a2? 2 a = 16。 64 ,b = a-b 时都成立。 a2

10、解:由 a>b>0 知 a-b>0, ∴ b(a-b) = ( b(a-b) )2≤( ∴ a2 +

16 64 ≥a2 + 2 ≥2 a b(a-b)

上式中两个“≥”号中的等号当且仅当 a2 = 即当 a = 2 2 ,b = (三)解答题 13、证明:∵ f(x) = 2 时,a2 +

16 取得最小值 16。 b(a-b)

x m (m>0) = 1- 在(0, + ?)上单调递增, x+m x+m ∴ f(a + b)>f?, 又∵ a,b ? R*,

且在△ABC 中有 a + b > c>0, 即 ∴ ∴ a+b c > 。 a+b+m c+m

a b a b a+b + > + = , a+m b+m a+b+m a+b+m a+b+m a b c + > 。 a+m b+m c+m

a b c 另解:分析法:要证 + > , a+m b+m c+m 只要证 a(b + m)(c + m) + b(a + m)(c + m)-c(a + m)(b + m)>0, 即 abc + abm + acm + am2 + abc + abm + bcm + bm2-abc-acm-bcm-cm2>0, 即 abc + 2abm + (a + b-c)m2>0, 由于 a,b,c 为△ABC 的边长,m>0,故有 a + b> c,即(a + b-c)m2>0。 所以 abc + 2abm + (a + b-c)m2>0 是成立的,
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因此

a b c + > 。 a+m b+m c+m

14、 解: (1) a ? 4 时,不等式为

4x ? 5 ?5 ? ? 0 ,解之,得 M ? ?? ?,?2? ? ? ,2 ? 2 x ?4 ?4 ?

? 3a ? 5 ? 9?a ? 0 3? M ? ? ?? (2) a ? 25 时, ? ?5 ? M ? 5a ? 5 ? 0 ? 25 ? a ?
a ? 25 时,不等式为

5 ? ?a ? 9ora ? ? 5? 3 ? a ? ?1, ? ? ?9,25? ? ? 3? ?1 ? a ? 25 ?
?1 ? M ? ?? ?,?5? ? ? ,5 ? , ?5 ?

25 x ? 5 ? 0 , 解之,得 x 2 ? 25

则 3 ? M且5 ? M , 综上,得 a ? ?1, ? ? ?9,25? 。 四、错题重做篇 (七)直线和圆

∴ a ? 25 满足条件

? 5? ? 3?

24.已知直线 l 与点 A(3,3)和 B(5,2)的距离相等,且过二直线 l1 :3x-y-1=0 和

l 2 :x+y-3=0 的交点,则直线 l 的方程为_______________________
25.有一批钢管长度为 4 米,要截成 50 厘米和 60 厘米两种毛坯,且按这两种毛坯数量比大于

1 配套,怎样截最合理?________________3
26.已知直线 x=a 和圆(x-1)2+y2=4 相切,那么实数 a 的值为_______________ 27. 已知圆(x-3)2+y2=4 和直线 y=mx 的交点分别为 P, 两点, 为坐标原点, OP ? OQ Q O 则 的值为 。 【参考答案】 24.x-6y+11 = 0 或 x+2y-5 = 0 26. a = 3 或 a =-1

25. 50 厘米 2 根,60 厘米 5 根 27. 5

2007 年高考数学考前 12 天每天必看系列材料之七(2007 年 6 月 1 日星期五) 在停课调整阶段,自己怎样安排数学学科复习? 1. 梳理知识 形成网络
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数学知识虽然千头万绪,但只要对知识点进行梳理就可达到层次分明,纲目清楚。譬如: 函数内容可分概念、性质、特殊函数三大主线,每条主线又有若干支线,一条支线又可分为 若干分线,最后形成网络: 在梳理过程中,难免会遇到不甚明了的问题,这时需翻书对照,仔细研读概念,防止概 念错误。 2、 归纳方法,升华成经 熟练的掌握数学方法,可以不变应万变。掌握数学思想方法可从两个方面入手,一是归 纳重要的数学思想方法。例:一个代数问题,可以通过联想与几何问题产生沟通,使用数形 结合的方法。如联想斜率、截距、函数图像、方程的曲线等;二是归纳重要题型的解题方法。 例:数列求和时,常用公式法、错位相减法、裂项相消法以及迭代法、归纳证明法、待定系 数法等。还要注意典型方法的适用范围和使用条件,防止形式套用导致错误。 3、 查漏补缺 力争无暇 相当一部分同学考试的分数不高,不少是会做的题做错,特别是基础题。究其原因,有 属知识方面的,也有属方法方面的。因此,要加强对以往错题的研究,找错误的原因,对易 错知识点进行列举、易误用的方法进行归纳。如:过一点作直线时忽略斜率不存在的情形, 等比数列求和时忽略对 q=1 的讨论, 用韦达定理时忽略判别式, 换元或者消元时忽略范围等。 同学们可两人一起互提互问,在争论和研讨中矫正,效果更好。找准了错误的原因,就能对 症下药,使犯过的错误不再发生,会做的题目不再做错。 4、 适量练习 保持活力 好多同学都有这样的感觉,几天不做数学题后再考试,审题迟疑缓慢,入手不顺,运算 不畅且易出错。所以每天必须坚持做适量的练习,特别是重点和热点题型(老师印的大题训 练例题和练习再做) ,防止思想退化和惰化,保持思维的灵活和流畅。做题时,特别是做综 合卷时要限时完成,否则容易形成拖拉作风,临场时缺少思维激情,造成时间失控,发挥不 出应有水平。 5、 吃透评分 精益求精 一些同学考试时,题题被扣分,就其原因,大多是答题不规范,抓不住得分要点,思维 不严谨所致。这与平时只顾做题,不善于归纳、总结有关。建议同学们在临考前自练近两年 的高考试题(或有标准答案和评分标准的综合卷) ,并且自评自改,精心研究评分标准,吃 透评分标准,对照自己的习惯,时刻提醒自己,力争减少无谓的失分,保证会做的不错不扣, 即使不完全会做,也要理解多少做多少,以增加得分机会。 高考不仅是知识的比赛和智力的竞争,也是思维品质的考察和心理素质的较量。只要大 家精心准备、充满自信、沉着应战,就一定能取得骄人的成绩。 一、基本知识篇 (八)圆锥曲线方程 1.椭圆焦半径公式: P 0,y0) 设 (x 为椭圆 x 2 ? y 2 ? 1 (a>b>0) 上任一点, 焦点为 F1(-c,0),F2(c,0), a b 则 PF ? a ? ex0 , PF ? a ? ex0 (e 为离心率) ; 1 2
2 2 2.双曲线焦半径公式:设 P(x0,y0)为双曲线 x ? y ? 1 (a>0,b>0)上任一点,焦点为 a2 b2 F1(-c,0),F2(c,0),则:(1)当 P 点在右支上时, PF ? a ? ex0 , PF ? ?a ? ex0 ; 1 2
2 2

(2)当 P 点在左支上时, PF ? ?a ? ex0 , PF ? a ? ex0 ; 为离心率) (e ; 1 2
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2 2 2 2 另:双曲线 x ? y ? 1(a>0,b>0)的渐近线方程为 x ? y ? 0 ; a2 b2 a2 b2 2 3.抛物线焦半径公式:设 P(x0,y0)为抛物线 y =2px(p>0)上任意一点,F 为焦点,则

PF ? x 0 ?

p p ;y2=2px(p<0=上任意一点,F 为焦点,则 PF ? ? x0 ? ; 2 2

4.涉及圆锥曲线的问题勿忘用定义解题; 2 2 b 5.共渐进线 y ? ? x 的双曲线标准方程为 x ? y ? ? (? 为参数, ? ≠0) ; a a2 b2 6.计算焦点弦长可利用上面的焦半径公式, 一般地, 若斜率为 k 的直线被圆锥曲线所截得的弦为 AB,A、 两点分别为 A(x1,1)、 2,y2), B y B(x 则弦长 AB ? 1 ? k 2 ? x2 ? x1 ? (1 ? k 2 )[( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ]

? 1?

1 1 ? y2 ? y1 ? (1 ? 2 ) ? [( y1 ? y2 ) 2 ? 4 y1 y2 ] ,这里体现了解析几何“设而不求”的解 2 k k 题思想;
2

7.椭圆、双曲线的通径(最短弦)为 2b ,焦准距为 p= b ,抛物线的通径为 2p,焦准距为
a

2

c

2 2 p; 双曲线 x ? y ? 1(a>0,b>0)的焦点到渐进线的距离为 b; a2 b2 8.中心在原点,坐标轴为对称轴的椭圆,双曲线方程可设为 Ax2+Bx2=1; 9.抛物线 y2=2px(p>0)的焦点弦(过焦点的弦)为 AB,A(x1,y1) 、B(x2,y2),则有如下结论: (1) 2 2 AB =x1+x2+p;(2)y1y2=-p ,x1x2= p ; 4 2 2 10.过椭圆 x 2 ? y 2 ? 1(a>b>0)左焦点的焦点弦为 AB,则 AB ? 2a ? e( x1 ? x 2 ) ,过右焦点 a b 的弦 AB ? 2a ? e( x1 ? x 2 ) ;

11.对于 y2=2px(p≠0)抛物线上的点的坐标可设为(

2 y0 ,y0),以简化计算; 2p

12.处理椭圆、双曲线、抛物线的弦中点问题常用代点相减法,设 A(x1,y1)、B(x2,y2)为椭圆 b2 x2 y2 ? 2 ? 1(a>b>0)上不同的两点,M(x0,y0)是 AB 的中点,则 KABKOM= ? 2 ;对于双曲 a a2 b b2 2 x2 y2 线 ,类似可得:KAB.KOM= ;对于 y =2px(p≠0)抛物线有 KAB= ? ? 1(a>0,b>0) a2 a2 b2 2p y1 ? y 2 13.求轨迹的常用方法: (特别注意有无限制条件) (1)直接法:直接通过建立 x、y 之间的关系,构成 F(x,y)=0,是求轨迹的最基本的方法; (2)待定系数法:所求曲线是所学过的曲线:如直线,圆锥曲线等,可先根据条件列出所 求曲线的方程,再由条件确定其待定系数,代回所列的方程即可; (3)代入法(相关点法或转移法) :若动点 P(x,y)依赖于另一动点 Q(x1,y1)的变化而变化,并 且 Q(x1,y1)又在某已知曲线上,则可先用 x、y 的代数式表示 x1、y1,再将 x1、y1 带入已知 曲线得要求的轨迹方程;
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(4)定义法:如果能够确定动点的轨迹满足某已知曲线的定义,则可由曲线的定义直接写 出方程; (5)参数法:当动点 P(x,y)坐标之间的关系不易直接找到,也没有相关动点可用时,可 考虑将 x、y 均用一中间变量(参数)表示,得参数方程,再消去参数得普通方程。 二、思想方法篇 (七)向量法 向量法是运用向量知识解决问题的一种方法,解题常用下列知识: (1)向量的几何表示,两个向量共线的充要条件; (2)平面向量基本定理及其理论; (3)利用向量的数量积处理有关长度、角度和垂直的问题; (4)两点间距离公式、线段的定比分点公式、平移公式。 三、回归课本篇:高二年级下册(1) 1、 确定一个平面的条件有:__________________________________________。 2、 “点 A 在平面? 内,平面内的直线 a 不过点 A”表示为________________________。 31. 异 面 直 线 所 成 的 角 的 范 围 是 __________ ; 直 线 与 平 面 所 成 角 的 范 围 是 _________________ ; 二 面 角 的 范 围 是 ______________ ; 向 量 夹 角 的 范 围 是 ________________。 4、 如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等, 那么这点在平面内的射影在______; 经过一个角的顶点引这个角所在平面的斜射线, 设它和已知角两边的夹角为锐角且相等, 这条斜线在平面内的射影是______。(P23 例 4、P25 习题 6) 5、 四面体 ABCD 中,若 AB⊥CD,AC⊥BD,则 AD____BC;若 AB⊥AC,AC⊥AD,AD ⊥AB,则 A 在平面 BCD 上的射影是△BCD 的_____心;若 AB⊥AC,AC⊥AD,则 AD____AB;若 AB = AC = AD,则 A 在平面 BCD 上的射影是△BCD 的_____心;若四 面体 ABCD 是正四面体,则 AB_____CD。 6、 已知?∩? = CD,EA⊥? ,垂足为 A,EB⊥? ,垂足为 B,求证(1)CD⊥AB;(P25 习题 4) (2)二面角? -CD-? + ∠AEB = ? 。 (如果两异面直线与二面角的两个面分别垂 直, 则异面直线所成的角与二面角相等(二面角为锐角或直角时)或互补(二面角为钝角时)) → → → 7、 对空间任一点 O 和不共线的三点 A、 C, B、 试问满足向量关系式 OP = x OA + y OB + → z OC (其中 x + y + z = 1)的四点 P、A、B、C 是否共面?说明理由。(P29 例 2) 8、 a 在 b 上的射影是__________;b 在 a 上的射影是__________。 9、 已知 OA、OB、OC 两两所成的角都为 600,则 OA 与平面 BOC 所成角的余弦为_____。 10、已知两条异面直线所成的角为? ,在直线 a、b 上分别取 E、F,已知 A/E = m,AF = n, EF = l,求公垂线段 AA/的长 d。(P49 例 2) 11、已知球面上的三点 A、B、C,且 AB = 6cm,BC = 8cm,AC = 10cm,球的半径为 13cm。 求球心到平面 ABC 的距离。(P79 例 3) 12、如果直线 AB 与平面? 相交于点 B,且与? 内过点 B 的三条直线 BC、BD、BE 所成的 角相等,求证 AB⊥? 。(P80A 组 6) 13、一条线段夹在一个直二面角的两个面内,它和两个面所成的角都是 300,求这条线段与
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这个二面角的棱所成的角。(P80A 组 7) 14、P、A、B、C 是球面 O 上的四个点,PA、PB、PC 两两垂直,且 PA = PB= PC = 1,求球 的体积和表面积。(P81 B 组 7) 《回归课本篇》 (高二年级下册(1) )参考答案 1、不共线的三点、一直线和直线外一点、两条相交直线、两条平行直线。 2、A ? ? ,A ? a,a ? ? 3、(0,

?
2

);[0,

?
2

];[0,?];[0,?]

4、这个角的平分线上;这个角的平分线 5、⊥;垂心;⊥;外心;⊥ → → → → 7、解:原式可变为 OP = (1-y-z) OA + y OB + z OC , → → → → → → OP - OA = y( OB - OA ) + z( OC - OA ), → → → AP = y AB + z AC ,∴ a?b a?b 8、 ; |b| |a| 9、 3 3 点 P 与 A、B、C 共面。 10、d = l2-m2-n2±2mncos? 11、12cm

13、解:?-l-? 是直二面角,作 AC⊥于 l 于 C,BD⊥l 于 D,则∠ABC = ∠BAD = 300, → → 1 → 1 设| AB | = a,则| AC | = a,| BD | = a, 2 2 → → → → AB = AC + CD + DB , → → → → → → → → | AB |2 = AB 2 = ( AC + CD + DB )2 = | AC |2 + | CD |2 + | DB |2, → 1 1 即 a2 = ( a)2 + | CD |2 + ( a)2 。 2 2 → 1 2 → ∴ | CD |2 = a ,| CD | = 2 2 a。 2

→ → → → → → → 又 AB 2 = AB ? AC + AB ? CD + AB ? DB , → → a 2 a 即 a2 = a? · cos600 + a? acos< AB , CD > + a? · cos600。 2 2 2 → → ∴ cos< AB , CD > = 14、 3 ? ; 3? 2 → → 2 ,∴ < AB , CD > = 450。 2

四、错题重做篇 (八)圆锥曲线部分
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28.过圆外一点 P(5,-2)作圆 x2+y2-4x-4y=1 的切线,则切线方程为__________。 29. 已知圆方程为 x2+y2+8x+12=0,在此圆的所有切线中, 纵横截距相等的条数有____________ 30.双曲线实轴在 x 轴上,且与直线 y=2x 有且只有一个公共点 o(o,o),则双曲线的离心率 e=______________。 31.如果方程 x2+ky2=2 表示焦点在 y 轴上的椭圆,那么实数 k 的取值范围是____________

y2 ? 1 的右焦点作直线交双曲线于 A、B 两点,且 AB ? 4 ,则这样的直 2 线有___________条。 33.经过抛物线 y2 = 4x 的焦点弦的中点轨迹方程是( )
32.过双曲线 x2- A.y2=x-1 【参考答案】 28. 3x+4y-7 = 0 或 x = 5 为 2) 31. 0 < k < 1 32. 29. 4(截距都为 0 的情况) 3 (x= 3 时 y=±2) 30. B.y2=2(x-1) C.y2=x-

1 2

D.y2=2x-1

5 (渐近线的斜率

33. B (设直线为 x-1=ky)

2007 年高考数学考前 12 天每天必看系列材料之八(2007 年 6 月 2 日星期六)

一、基本知识篇 (九)直线、平面、简单几何体 1.从一点 O 出发的三条射线 OA、OB、OC,若∠AOB=∠AOC,则点 A 在平面∠BOC 上的 射影在∠BOC 的平分线上; 2. 已知:直二面角 M-AB-N 中,AE ? M,BF ? N,∠EAB= ? 1 ,∠ABF= ? 2 ,异面直线 3.立平斜公式:如图,AB 和平面所成的角是 ? 1 ,AC 在平面内,AC 和 AB 的射影 AB 成 ? 2 , 设∠BAC= ? 3 ,则 cos ? 1 cos ? 2 =cos ? 3 ; (高二下 43 页) 4.异面直线所成角的求法: (1)平移法:在异面直线中的一条直线中选择一特殊点,作另一条的平行线; (2)补形法:把空间图形补成熟悉的或完整的几何体,如正方体、平行六面体、长方体等, 其目的在于容易发现两条异面直线间的关系; (3)向量法:异面直线上的向量所夹的角为锐角或者直角时,就是异面直线所成角,异面 直线上的向量所夹的角为钝角时,就是异面直线所成角的。 5.直线与平面所成的角 斜线和平面所成的是一个直角三角形的锐角,它的三条边分别是平面的垂线段、斜线段及 斜线段在平面上的射影。通常通过斜线上某个特殊点作出平面的垂线段,垂足和斜足的连 线,是产生线面角的关键; 向量法:直线和平面的法向量所成的锐角的余角就是直线与平面所成的角。 6.二面角的求法
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AE 与 BF 所成的角为 ? ,则 cos? ? cos?1 cos 2; (高二下 43 页) ?

(1)定义法:直接在二面角的棱上取一点(特殊点) ,分别在两个半平面内作棱的垂线,得 出平面角,用定义法时,要认真观察图形的特性; (2)三垂线法:已知二面角其中一个面内一点到一个面的垂线,用三垂线定理或逆定理作 出二面角的平面角; (3)垂面法:已知二面角内一点到两个面的垂线时,过两垂线作平面与两个半平面的交线 所成的角即为平面角,由此可知,二面角的平面角所在的平面与棱垂直; (4)射影法:利用面积射影公式 S 射=S 原 cos ? ,其中 ? 为平面角的大小,此方法不必在图形 中画出平面角; 特别:对于一类没有给出棱的二面角,应先延伸两个半平面,使之相交出现棱,然后再选用上 述方法(尤其要考虑射影法) 。 (5)向量法:①两个半平面的法向量的夹角就是二面角的平面角或者其补角。②在两个半 平面内分别做棱的两条垂直向量,向量的夹角就是二面角的平面角或者其补角。 7.空间距离的求法 (1)两异面直线间的距离,高考要求是给出公垂线,所以一般先利用垂直作出公垂线,然 后再进行计算;向量法; (2)求点到直线的距离,①用三垂线定理作出垂线再求解;②向量法; (3)求点到平面的距离,①用垂面法,借助面面垂直的性质来作,因此,确定已知面的垂 面是关键;②不作出公垂线,转化为求三棱锥的高,利用等体积法列方程求解;③向量法 用公式;

??? ? ? AB?n (4)向量法求距离的公式:d= ? ,注意各个量的意义。 |n| 8.正棱锥的各侧面与底面所成的角相等,记为 ? ,则 S 侧 cos ? =S 底;正四面体侧面与底面成 1 2 6 arccos 的角,侧棱与底面成 arccos 的角,高为 a (a 为棱长) 3 3 3 9.已知:长方体的体对角线与过同一顶点的三条棱所成的角分别为 ? , ? , ? , 因此有 cos2 ? +cos2 ? +cos2 ? =1; 若长方体的体对角线与过同一顶点的三侧面所成的角分别为 ? , ? , ? , 则有 cos2 ? +cos2 ? +cos2 ? =2;

10.正方体和长方体的外接球的直径等与其体对角线长; 11.欧拉公式:如果简单多面体的顶点数为 V,面数为 F,棱数为 E.那么 V+F-E=2;并且棱数 E =各顶点连着的棱数和的一半=各面边数和的一半; 12.球的体积公式 V= ?R 3 ,表面积公式 S ? 4?R ;掌握球面上两点 A、B 间的距离求法:
2

4 3

(1)计算线段 AB 的长(2)计算球心角∠AOB 的弧度数;(3)用弧长公式计算劣弧 AB 的 长。 13.空间向量数量积的坐标表示: (1)若 a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),则 a ? b=x1x2+y1y2+z1z2;

??? ? AB ? ( x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 )2 ? ( z1 ? z2 )2 ;
?

(2)若 a=(x,y,z),则 a2=a ? a=x2+y2+z2, a ? 二、思想方法篇 (八)分析法、综合法

x2 ? y2 ? z2 ;

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(1)分析法是从所求证的结果出发,逐步推出能使它成立的条件,直至已知的事实为止; 分析法是一种“执果索因”的直接证法。 (2)综合法是从已经证明的结论、公式出发,逐步推出所要求证的结论。综合法是一种“由 因导果” ,叙述流畅的直接证法。 (3)分析法、 综合法是证明数学问题的两大最基本的方法。分析法“执果索因”的分析方 法,思路清晰,容易找到解题路子,但书写格式要求较高,不容易叙述清楚,所以分析法、 综合法常常交替使用。分析法、 综合法应用很广,几乎所有题都可以用这两个方法来解。 三、回归课本篇:高二年级下册(2) 15、求证: A m ? mAm?1 ? A m?1 (P96 习题 10) n n n 16、 2 n ? C1 2 n ?1 ? C2 2 n ?2 ? ? ? ?? 1? n n
n ?1 n Cn ?1 2 ? ?? 1? = ________。 (P113 习题 10) n

17、 C2 ? C4 ? ? ? Cn = _________(n 为偶数) 。 n n n 18、 甲、 乙两人独立地解同一问题, 甲解决这个问题的概率是 P1, 乙解决这个问题的概率 P2, 那么其中至少有 1 人解决这个问题的概率是 (A) P1 + P2 (B) P1· 2 P (C) 1-P1· 2 P (D) (1-P1 )(1- P2) 19、(1 + x)2n(n ? N*)的展开式中,系数最大的项是 (A) 第 项 20、已知 n +1项 2 (B) 第 n 项 (C) 第 n + 1 项 (D) 第 n 项与第 n + 1

1 1 7 m ,求 C 8 .(P 118A 组 4(1)) ? m ? m m C 5 C 6 10 ? C 7
1 )18 展开式中常数项;(2)已知的展开式中的第 9 项、第 10 项、第 11 项 3 x

21、(1)求(9x-

的二项式系数成等差数列,求 n;(3)(1 + x + x2)(1-x)10 求展开式中 x4 的系数。(P 119A 组 12) 22、填空:(1)有面值为 1 元、2 元、5 元的邮票各 2 张,从中任取 3 张,其面值之和恰好是 8 元的概率是_______; (2) 将一个各个面上均涂有颜色的正方体锯成 27 个同样大小的小正方体, 从这些小正方 体中任取 1 个,其中恰有 2 面涂有颜色的概率是_______; (3) 在数学选择题给出的 4 个答案中,恰有 1 个是正确的,某同学在做 3 道数学选择题 时,随意地选定其中的正确答案,那么 3 道题都答对的概率是________; (4) 对于一段外语录音,甲能听懂的概率是 80%,乙能听懂的概率是 70%,两人同时听 这段录音,其中至少有一人能听懂的概率是______; (5) 某人每天早晨乘坐的某一斑次公共汽车的准时到站率为 90%,他在 5 天乘车中,此 班次公共汽车恰好有 4 天准时到站的概率是________。
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23、填空:(1)已知 C n ?1 = 21,那么 n = _______;(P 120 B 组 1(1)) n ?1 (2)一种汽车牌照号码由 2 个英文字母后接 4 个数字组成,且 2 个英文字母不能相同,不 同牌照号码的个数是_______,(P 120 B 组 1(4)) 24、选择题:(1) 以正方体的顶点为顶点的三棱锥的个数是 (A) C1 C 3 8 7
4 (B) C8 4 (C) C8 -6 4 (D) C8 -12

(2) 在的展开式中,各项系数的和是 (A) 1 (B) 2n 25、求证:(1) n?n! = (n + 1)!-n!;

(C) -1

(D) 1 或-1

(2) Cm?1 ? Cm?2 ? Cm?3 ? ? ? Cm?1 ? Cm ? Cm?1 ; n n n m m n (3) C1 ? 2C 2 ? 3C3 ? ? ? nCn ? n ? 2 n ?1 。(P 121 B 组 8(2)) n n n n 《回归课本篇》 (高二年级下册(2) )参考答案 n-1 16、 17、2 -1 18、D 19、D 20、28 21、T13 = 18564;n = 14 或 23;x4 的系数是 135。 2 4 1 22、 ; ; ;0.94;0.328 23、6; A 2 × 4 26 10 5 9 64 24、DD 25。略

四、错题重做篇 (九)直线、平面与简单几何体 34.已知二面角α -AB-β 为 120°,CD ? α ,CD⊥AB,EF ? β ,EF 与 AB 成 30°角, 则异面直线 CD 与 EF 所成角的余弦值为 35.棱长为 1 的正四面体内有一点 P,由点 P 向各面引垂线,垂线段长度分别为 d1,d2,d3, d4,则 d1+d2+d3+d4 的值为 36.直二面角α - l -β 的棱 l 上有一点 A,在平面α 、β 内各有一条射线 AB,AC 与 l 成 450,AB ? ? , AC ? ? ,则∠BAC= 。

37.直线 l 与平面α 成角为 300, l ? ? ? A, m ? ? , A ? m 则 m 与 l 所成角的取值范围是 38.一凸多面体的面数为 8,各面多边形的内角总和为 16π ,则它的棱数为( 点个数为 。 A.24 B.22 C.18 D.16 【参考答案】 34. 37. ) ,它的顶

1 4
[ 300 , 900]

35. 38. D

6 3
10

36. 600 或 1200

2007 年高考数学考前 12 天每天必看系列材料之九(2007 年 6 月 3 日星期日)
- 29 -

一、基本知识篇 (十)排列组合二项式定理和概率
m 1.排列数公式: An =n(n-1)(n-2)?(n-m+1)= ( n ?m )! (m≤n,m、n∈N*),当 m=n 时为全排列 n An =n(n-1)?2 ? 1;
m 0 n m 2.组合数公式: Cn ? An ? n ? (n ? 1) ??? (n ? m ? 1) (m≤n), Cn ? Cn ? 1 ; m! m ? (m ? 1) ? (m ? 2) ??? 3 ? 2 ?1

n!

3.组合数性质: Cn

m

n r r r ? Cn ?m ; Cn ? Cn ?1 ? Cn?1 ; (注意隐含条件 m≤n 在解题中的应用)

n n?1 n r ?1 4.常用性质:n.n!=(n+1)!-n!;即 nAn ? An?1 ? An ; Crr ? Crr?1 ? ? ? ? ? Cn ? Crr?1 ; (1≤r≤n); r 5.二项式定理: (1)掌握二项展开式的通项: Tr ?1 ? Cn a n?r b r (r ? 0,1,2,...,n);

(2)注意第 r+1 项二项式系数与第 r+1 系数的区别; 6.二项式系数具有下列性质: (1) 与首末两端等距离的二项式系数相等; (2) 若 n 为偶数, 中间一项 (第 和

n ?1 +1 项)的二项式系数最大; 2 0 1 2 n 0 2 1 3 (3) Cn ? Cn ? Cn ? ? ? ? ? Cn ? 2n ; Cn ? Cn ? ? ? ? ? Cn ? Cn ? ? ? ? ? 2n?1 ; 1 7.F(x)=(ax+b)n 展开式的各项系数和为 f(1);奇数项系数和为 [ f (1) ? f ( ?1)] ;偶数项的系数 2 1 和为 [ f (1) ? f (?1)] ; 2
8.等可能事件的概率公式: (1)P(A)= n ; (2)互斥事件分别发生的概率公式为:
m

n n ?1 +1 项) 的二项式系数最大; n 为奇数, 若 中间两项 (第 2 2

P(A+B)=P(A)+P(B); (3)相互独立事件同时发生的概率公式为 P(AB)=P(A)P(B); (4)独
k 立重复试验概率公式 Pn(k)= Cn ? p k (1 ? p) n?k ; (5)如果事件 A、B 互斥,那么事件 A 与 B 、

A 与 B 及事件 A 与 B 也都是互斥事件; (6)如果事件 A、B 相互独立,那么事件 A、B
至少有一个不发生的概率是 1-P(AB)=1-P(A)P(B); (7)如果事件 A、B 相互独立, 那么事件 A、B 至少有一个发生的概率是 1-P( A ? B )=1-P( A )P( B ); (十一)抽样方法、总体分布的估计与总体的期望和方差 1.掌握抽样的二种方法: (1)简单随机抽样(包括抽签符和随机数表法)(2)分层抽样,常 ; 用于某个总体由差异明显的几部分组成的情形; (共性:每个个体被抽到的概率相等) 2.总体分布的估计:用样本估计总体,是研究统计问题的一个基本思想方法,一般地,样本 容量越大,这种估计就越精确,要求能画出频率分布表和频率分布直方图; 3.总体特征数的估计: 学会用样本平均数 x ? 1 ( x1 ? x 2 ? ? ? ? ? x n ) ? 1 ? x i 去估计总体平均; (1)
n n
i ?1 n

- 30 -

n n (2)学会用样本方差 S 2 ? 1 [( x1 ? x ) 2 ? ( x2 ? x ) 2 ? ? ? ? ? ( xn ? x ) 2 ] ? 1 ? ( x ? x ) 2 ? 1 ? ( x 2 ? nx 2 ) i i

n

n

i ?1

n

i ?1

去估计总体方差 ? 及总体标准差; (两个重要符号:B(n,p),N(μ ,σ 2) )
2

二、思想方法篇 (九)反证法 反证法是数学证明的一种重要方法,因为命题 p 与它的否定非 p 的真假相反,所以要证 一个命题为真,只要证它的否定为假即可。这种从证明矛盾命题(即命题的否定)为假进而 证明命题为真的证明方法叫做反证法。 ㈠ 反证法证明的一般步骤是: (1)反设:假设命题的结论不成立,即假设结论的反面成立; (2)归谬:从命题的条件和所作的结论出发,经过正确的推理论证,得出矛盾的结果; (3)结论:有矛盾判定假设不正确,从而肯定的结论正确; ㈡ 反证法的适用范围: (1)已知条件很少或由已知条件能推得的结论很少时的命题; (2)结论的反面是比原结论更具体、更简单的命题,特别是结论是否定形式( “不是”“不 、 可能”“不可得” 、 )等的命题; (3)涉及各种无限结论的命题; (4)以“最多(少) 、若干个” 为结论的命题; (5)存在性命题; (6)唯一性命题; (7)某些定理的逆定理; (8)一般关系 不明确或难于直接证明的不等式等。 ㈢ 反证法的逻辑依据是“矛盾律”和“排中律” 。 三、回归课本篇: 《回归课本篇》 (选修 II) (一)选择题 1、下列命题中不正确的是 (A) 若? ~B(n,p),则 E? = np,D? = np(1-p) I D(a? + b) = a D? 2、下列函数在 x ? 0 处连续的是 ( A ) f ( x) ? ?

(B) E(a? + b) = aE? + b (D) D? = E? 2-(E? )2

??1 ( x ? 0) (B) ? x ? 1 ( x ? 0)

y ? ln x

(C)

y?

x x

(D)

??1 ( x ? 0) ? f ( x) ? ?0 ( x ? 0) ?1 ( x ? 0) ?
3、已知 f ?3? ? 2,f ?3? ? ?2, lim 则
/

2 x ? 3f ?x ? 的值是 x ?3 x ?3
(D) 不存在

(A)-4 (B) 0 (二)填空题 7、 lim [(
x?0

(C) 8

1 1 + 3)2-x( + 2)3] = _______。(高三选修ⅡⅡ100 页例 2) x x
- 31 -

(三)解答题 9、一次考试出了 12 个选择填空题,每个题有四个可供选择的答案,一个是正确的,三个是 错误的,某同学只知道其中 9 个题的正确答案,其余 3 个题完全靠猜测回答。求这个同 学卷面上正确答案不少于 10 个的概率。 10、 (1)求 y = xlnx -ln(x + 1)导数。(高三选修Ⅱ144 页 B 组 1(4)) x+1

(2)求 y = sin2x-x,x ? [-

?
2



?
2

]的最值。(高三选修Ⅱ144 页 B 组 5(4))

《回归课本篇》 (高三选修 II)参考答案 (一)选择题 CA C(罗比塔法则,或者

2( x ? 3) ? 3[ f ( x ) ? f (3)] ? 2 ? 3 f ?(3) ? 8 x?3

(二)填空题 7、-3 (展开,合并,化简) (三)解答题 9、解: “这个同学卷面上正确答案不少于 10 个”等价于 3 个选择题的答案中正确答案的个 数不少于 1 个,该事件是 3 次独立重复试验,在每次试验中选中正确答案的概率为

1 。 4

3 1 3 1 27 9 1 37 1 1 ∴ 所求事件的概率为 C3 ( )1 ( ) 2 ? C32 ( ) 2 ( )1 ? ( ) 3 ? , ? ? ? 4 4 4 4 4 64 64 64 64
或 1 ? ( 3 )3 ? 37 。 4 64 10、 (1)y/ = lnx ? ? ; (2)ymax = ,ymin = - 。 (x + 1)2 2 2

四、错题重做篇 (十)排列、组合、二项式定理、概率 39.计算 C 38? n +C 3n n 的值 3n 21? 40.编号为 1,2,3,4,5 的五个人,分别坐在编号为 1,2,3,4,5 的座位上,则至多有 两个号码一致的坐法种数为( ) A.120 B.119 C.110 D.109 41.已知(

9 a x 9 ? ) 的开展式中 x3 的系数为 ,则常数 a 为 4 x 2



42 . 定 义 :

?a
k ?i

n

k

? ai ? ai ?1 ? ai ? 2 ? ? ? a n , 其 中 i , n ? N 且 i ≤ n 。 若 f ( x )
2003 i ?0 2003 k ?1

2003

=

? (?1)
k ?0

k

k C 2003 (3 ? x) k ? ? ai x 2003 ?i ,则 ? a k 的值为

- 32 -

A.2 B.0 C.-1 D.-2 43.12 张分别标以 1,2,?,12 的卡片,任意分成两叠,每叠 6 张。 (1)若 1,2,3 三张在同一叠的概率为 A.2 B.3 m 等于( ) A.11 B.12 C.5 C.15

l 。其中 l 、m 为互质的正整数,则 l 等于( m
E.11 D.35 E.77



D.7

(2)若 1,2,3,4 四张中,每叠各有两张的概率为 n=( A.2 ) B.3 C.5 D.7

n 。其中 n、m 为互质的正整数,则 m
E.11

45.已知 A、B、C 为三个彼此互相独立事件,若事件 A 发生的概率为 率为

1 ,事件 B 发生的概 2


2 3 ,事件 C 发生的概率为 ,则发生其中两个事件的概率为 3 4

46.一箱磁带最多有一盒次品。每箱装 25 盒磁带,而生产过程产生次品带的概率是 0.01。 则一箱磁带最多有一盒次品的概率是 。 【参考答案】 39.466 40. D 41. 4 42. D
k ? ? C2003 ( ?1)2003? k (3 ? x )k ?( ?1 ? 3 ? x )2003 ? ( x ? 2)2003 k ?0 2003

, a0 = 1 , a0 ? a1 ? ? ? an = - 1
2 2 2 4 4 C4 C2 A2 C8 C4 5 ? 6 22 C12

43. ( 1 ) A

3 C9 2 ? 6 6 2 C1 2 / A 2 11 C 6

A

(2)C

45.

11 24

46. C 1 (0.01) ?(0.99 )24+C 0 ( 0.99 )25 25 25

2007 年高考数学考前 12 天每天必看系列材料之十(2006 年 6 月 4 日星期一) 一、基本知识篇 (十二)导数及应用 1.导数的定义:f(x)在点 x0 处的导数记作 y ?
x ? x0

? f ?( x0 ) ? lim

?x ?0

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ; ?x

2.根据导数的定义,求函数的导数步骤为: (1)求函数的增量 ?y ? f ( x ? ?x) ? f ( x); (2)求平 ?y f ( x ? ?x) ? f ( x) 均变化率 ;(3)取极限,得导数 f ?( x) ? lim ?y ; ? ?x ? 0 ? x ?x ?x 3.导数的几何意义:曲线 y=f(x)在点 P(x0,f(x0))处的切线的斜率是 f ?( x0 ).相应地,切
- 33 -

线方程是 y ? y0 ? f ?( x0 )(x ? x0 ); 4.常见函数的导数公式: C ? ? 0(C为常数); (x m )? ? mxm-1 (m ? Q); (sin x )? ? cos x ,

u u?v ? v ?u 1 x , (ln x )? ? (cos x )? ? ? sin x , ( )? ? (e )? ? e x , 2 v x v 1 (log a x )? ? (a x )? ? a x ln a x ln a
5.导数的应用: (1)利用导数判断函数的单调性:设函数 y=f(x)在某个区间内可导,如果 f ?( x) ? 0, 那么 f(x)为增函数;如果 f ?( x) ? 0, 那么 f(x)为减函数;如果在某个区间内恒有

f ?( x) ? 0, 那么 f(x)为常数;(看世纪金榜 16 页) (2)求可导函数极值的步骤:①求导数 f ?(x) ;②求方程 f ?( x) ? 0 的根;③检验 f ?(x) 在 方程 f ?( x) ? 0 根的左右的符号,如果左正右负,那么函数 y=f(x)在这个根处取得最大值;
如果左负右正,那么函数 y=f(x)在这个根处取得最小值; (3)求可导函数最大值与最小值的步骤:①求 y=f(x)在(a,b)内的极值;②将 y=f(x)在各极值 点的极值与 f(a) 、f(b)比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个是最小值。 二、思想方法篇 (十)7.数学归纳法、同一法、整体代换法,求导数的罗比塔法则等. 三、回归课本篇: 《回归课本篇》 (高三选修 II) z 表示 z 的共轭复数) ( (一)选择题 1 + a + a2 + ┄ + an 1 4、 lim 2 n-1 (1<| a |<| b |) = n?? 1 + b + b + ┄ + b (A) 0 (B) a (C) b (D) a b (B) z2 = | z |2 (z ? C)


(高三选修Ⅱ100 页例 2)

5、下列命题中正确的是 (A) a?b = c?b ? a = c (C) a2 = | a |2

(D) z + z = 0 ? z ? R

6、已知 z 是虚数,则方程 z3 = | z | 的解是 1 3 (A) z = - ± i 2 2 1 3 (C)z = - - i 2 2 (二)填空题 8、已知复数 z = (4-3i)2?(-1 + (1-i)12 3 i)10 ,则| z | = ______。 1 3 (B) z = - ± i , z = 0, z = ± 1 2 2 1 (D) z = - + 2 3 i 2

(三)解答题 11、已知空间四边形 OABC,其对角线为 OB,AC,M,N 分别是对边 OA,BC 的中点,点
- 34 -

→ → → → G 在线段 MN 上,且使 MG = 2GN,用基向量 OA , OB , OC 表示向量 OG 。 《回归课本篇》 (选修 II-2)参考答案 (一)选择题 ACA (二)填空题 8、400 (三)解答题 → → → → 2 → 1 → 2 → → 11、证明: OG = OM + MG = OM + MN = OA + ( ON - OM ) 3 2 3 = 1 → 2 1 → → 1 → 1 → 1 → 1 → OA + ?[ ( OB + OC )- OA ] = OA + OB + OC 。 2 3 2 2 6 3 3

四、错题重做篇 (十一)统计与概率 47.一个单位有职工 80 人,其中业务人员 56 人,管理人员 8 人,服务人员 16 人,为了解 职工和某种情况,决定采取分层抽样的方法。抽取一个容量为 10 的样本,每个管理人员被 抽到的概率为( ) A.

1 80

B.

1 24

C.

1 8

D.以上都不对

48.如果 c 是(1+x)5 的展开式中 x3 的系数,而在总体中抽出一个样本:2,3,4,6,7, S2 表示该样本的方差, c 表示 S2

1 2 [(2-c)2+(3-c)2+(4-c)2+(6-c)2+(7-c)2], S2 与 S c 的 则 5

大小关系为 49.为了了解某地参加计算机水平测试的 5008 名学生的成绩,从中抽取了 200 名学生的成 绩进行统计分析。运用系统抽样方法抽取样本时,每组的容量为 。 (十二)导数 50.若 f ( x ) = x3,f ′( x0) =3,则 x0 的值为( ) A.1 B.-1 C.±1 D.3 3 )

51.若,f ′( x0) =-3,则 lim
h ?0

f ( x0 ? h) ? f ( x0 ? 3h) =( h

A.-3 B.-6 C.-9 D.-12 3 52 . 垂 直 于 直 线 2x - 6y + 1=0 且 与 曲 线 y = x + 3x - 5 相 切 的 直 线 方 程 是 。 3 2 53. f ( x ) = ax +bx +cx+d 若 (a>0) 为增函数, a、 c 的关系式为 则 b、 (等式或不等式 (组) ) 是 . 54.设 f ( x ) = x3- 为 .
- 35 -

1 2 x -2x+5,当 x ? [?1,2] 时,f ( x ) < m 恒成立,则实数 m 的取值范围 2

55.函数 y = f ( x ) = x3+ax2+bx+a2,在 x = 1 时,有极值 10,则 a = 56.教材 132-133 页 例题 2-例题 4 【参考答案】 47. C
2 48. S2 < S c

,b =



49.

25

50.

C

51.

D

52.

3x+y+5 = 0

53. b2 < 3ac 且 a > 0 54. m > 7 55. a = 4 b = -11 2007 年高考数学考前 12 天每天必看系列材料之十一(2006 年 6 月 5 日星期二) 考前 3 天:这个时间很多学生认为万事大吉,完全不沾书本,这是十分错误的。有些 科目重要内容虽已经掌握,但还要适当浏览,如历史、地理、政冶、语文的常识、英语的单 词、数学的公式等。对自己做过的试题看一看,把经常出错的地方再强化一下,适当做一点 “热身题”。 切不要把弦绷得太紧,适当放松自己,如通过散步、和家人聊天、听音乐等方式调整 心态。此外,做好考试的物质准备,如文具、准考证、换洗的衣物等。 考前 1-2 天:不要参加剧烈运动,也不要长时间玩棋牌、上网打游戏,以免过度兴奋。 适当的放松和休息应该是最后一天的主旋律。同时,可去熟悉考场,对考场所在学校、楼层、 教室、厕所以及座位位置亲自查看,认真检查考试时所使用的准考证、文具等。 睡觉不宜太早,以免太早或太晚上床而导致不能及时入睡。睡前可用温水洗脚,帮助 睡眠。但不要服用安眠药,因为安眠药会抑制人的大脑,导致第二天考试不够兴奋。如果是 焦虑和失眠严重的考生,可在医生指导下服用短效的苯二氮卓类药物。 2007 全国普通高等学校招生考试理科数学押题 本试卷分第Ⅰ卷(选择题 共 60 分)和第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分),考试时间为 120 分 钟,满分为 150 分. (选择题 共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) 1.已知集合 P={ x | x 2 ? 3x ? 2 ? 0 },Q={ x | x ? a ? 0 }如 Q ? P,则实数 a 的取值范围是 A.(-∞,2] B.(-∞,1] C.(1,2] D.(2,+∞ )

第Ⅰ卷

2.若 ?A ? ?B , ?C ? ?B ,则 A 为 C 的 A.充分条件 B.必要条件 C.充要条件 3.将函数 y= sin ( x ?

D.既不充也不必要条件

? ? )( x ? R)的图象上所有的点向左平行移动 个单位长度,再把图像上 4 6 x 5? ? )( x ? R) 2 12

各点的横坐标扩大到原来的 2 倍(纵坐标不变),则所得到的图象的解析式为 A. y ? sin ( 2 x ?
5? )( x ? R) 12

B. y ? sin (
- 36 -

C. y ? sin (

x ? ? )( x ? R) 2 12

D. y ? sin (

x 5? )( x ? R) ? 2 24

4.如果 M=(1-x) 5 -5(1-x) 4 +10(1-x) 3 -10(1-x) 2 +5(1-x)-1,那么 M 等于 A.(x-2) 5 B.(2-x) 5 C.-x 5 D.x 5 5.对于一组数据 x i (i=1,2,?,n)如果将它们改变为 x i ? c (i=1,2,?,n),其中 c 为不 等于 0 的常数,则下面结论中正确的是 A.平均数与方差都不变 B.平均数变了而方差不变 C.平均数不变,方差变了 D.平均数与方差都变了 6.已知函数 f(x)在 R 上是增函数,A(0,-1)、B(3,1)是其图象上两点,那么|f(x+1)|<1 的 解集的补集为 A.(-1,2) B.(1,4) C.(-∞,-1]∪[4,+∞) D.(-∞,-1]∪[2,+∞) 7.球 O 的截面把垂直截面的直径分成 1 :3 两部分,若截面半径为 3 ,则球 O 的体积为 A.16 ? B.

16? 3

C.

32? 3

D. 4 3?

? ? 8.ω 是正实数,函数 f(x)= 2 sin ?x 在[- , ]上递增,那么 3 4

A.0<ω ≤

3 2

B.0<ω ≤2

C.0<ω ≤

24 7
*

D.ω ≥2

9.等差数列{an}的首项 a1>0,前 n 项的和 Sn,若 Sm=Sk(m,k∈N ,且 m≠k),则 Sn 取最大值时 A. n ? C. n ?
m?k 2 m ? k ?1 2

B.m+k 为偶数, n ? D.m+k 为偶数, n ?

m?k m ? k ?1 ;m+k 为奇数, n ? 2 2 m?k m ? k ?1 ;m+k 为奇数, n ? 2 2

10.设 a、b 为两个非零向量,且 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则以下命题中 ①a?b=0②x1x2+y1y2 2 2 2 ③|a+b|=|a-b| ,④a +b =(a-b) 。与 a ? b 等价的个数有 A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 11.已知-1<a+b<3,且 2<a-b<4,则 2a+3b 的范围是 A.( ?
13 17 , ) 2 2

B.( ?

7 11 , ) 2 2
x2 a2

C.( ? +
y2 b2

7 13 , ) 2 2

D.(

9 13 , ) 2 2

12.设 F1(-c,0)、F2(c,0)是椭圆

=1(a>b>0)的两个焦点,P 是以 F1F2 为直径的圆与

椭圆的一个交点,若∠PF1F2=5∠PF2F1,则椭圆的离心率为 A.
3 2

B.

6 3

C.

2 2

D.

2 3

第Ⅱ卷

(非选择题 共 90 分)

注意事项: 1.第Ⅱ卷共 6 页,用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷上.
- 37 -

2.答卷前将密封线内的项目填写清楚. 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,把答案填在题中横线上) 13.若双曲线离心率为 2,则它的两条渐近线的夹角等于_______. 14.已知函数 y=f(x)的反函数 f (x)= log
sin
-1

?
8

( x ? cos 2

?
8

) ,则 f(x)=1 方程的解是______.

15.对于实数 x、y,定义新运算 x*y=ax+by+1,其中以 a、b 是常数,等式右边是通常的加法 和乘法运算,若 3*5=15,4*7=28,则 1*1=_______. 16. 下列命题:①用相关系数 r 来刻画回归的效果时,|r|的值越大,说明模型拟合的效果越 好;②应用线性回归方法时,通常先求回归直线,再进行相关性检验;③两个随机变量相关 性越强,则相关系数的绝对值越接近 1;④条形图是用其高度来表示取各值的频率.其中正 确命题的序号是______________(写出所有正确的序号) 三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分 12 分) 在△ABC 中,a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边,且 4sin2 cos2A=

B?C 2 -

7 ,(1)求∠A 的度数;(2)若 a= 3 ,b+c=3,求 b 和 c 的值. 2

18.(本小题满分 12 分) 已知 10 件产品中有 2 件是次品.(1)任意取出 4 件产品作检验,求其 中恰有 1 件是次品的概率.(2)为了保证使 2 件次品全部检验出的概率超过 0.6,至少应抽取 几件产品作检验?

19.(本小题满分 12 分) 如图, 直四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 的底面是梯形, AB∥CD, AD⊥DC, CD=2, DD1=AB=1,P、Q 分别是 CC1、C1D1 的中点,点 P 到直线 AD1 的距离为 面 BPQ; (2)求二面角 B-PQ-D 的大小.
66 . 4

(1)求证:AC∥平

20.(本小题满分 12 分) 设某物体从午夜 0:00 开始, 一天中的温度 T 是时 3 2 间 t 的函数, 已知 T(t)=at +bt +ct+d(a≠0), 其中温度的单位是℃, 时间的单位是小时, t=0 表示 12:00,取正值表示 12:00 以后,若测得该物体在 8:00 的温度为 8℃,12:00 的温度为 60℃,13:00 的温度为 58℃,且已知该物体的温度在 8:00 与 16:00 有相同的变化率. (1) 写出该物体的温度 T 关于时间 t 的函数关系式;(2)该物体在 10:00 到 14:00 这段时间中(包
- 38 -

括端点)何时温度最高?最高温度是多少?

21.(本小题满分 12 分) 三个互不相同的实数是等比数列{an}中连续三项, 又依次为某一等差 数列中的第 2 项,第 9 项和第 44 项,这三个数的和为 217. (1)求这三个数; (2)记 sn 为等 比数列{an}的前 n 项和,且
6 S n 156 ? ? ,求 n 的值. 5 a2 5

22.(本小题满分 14 分) 已知椭圆 C 的焦点在 x 轴上, 它的一个项点恰好是抛物线 y ?

1 2 x 的 4

焦点,离心率等于

2 5 (II)过椭圆 C 的右焦点作直线 l 交椭圆 C . (I)求椭圆 C 的方程; 5

于 A、B 两点,交 y 轴于 M 点,若 MA ? ?1 AF, MB ? ?2 BF, 求证?1 ? ?2 为定值. 2007 年高考数学考前 12 天每天必看系列材料之十二(2006 年 6 月 6 日星期三) 2007 全国普通高等学校招生考试理科数学押题参考答案 一、选择题 1.B 2.A A ? B,B ? C,∴A ? C. 3.B 4.C 5.B 6.D ∵|f(x+1)|≥1 时,x+1≤0 或 x+1≥3, ∴x≤-1 或 x≥2. 7.C 9.D 8.A

T 2? ? 3 ? ≥ ,∴0<ω ≤ . 4 4ω 3 2

Sn=f(n)是关于 n 的二次函数,又 Sm=Sk,

m?k 对称. 10.D 2 5 1 9 13 11.D ∵2a+3b= (a+b)- (a-b), ∴ ? <2a ? 3b< 或运用线性规划方法. 2 2 2 2 | PF1 | | PF2 | 2c | PF1 | ? | PF2 | 2a ? ? ? ? 12.B ∵ , sin15 ? sin75 ? 1 sin 15? ? sin75 ? sin15 ? ? cos15 ?
∴f(n)应关于直线 n= ∴

2c ?e? 2a

1 6 . ? 3 2 sin 60?
- 39 -

二、填空题

13.60° 15.-11

14.x=2 只要将 x=1 代入 f (x)即可.

-1

? 3a ? 5b ? 1 ? 15 ?a ? ?37 ?? ? 1 *1 ? a ? b ? 1 ? ?11. ? ?4a ? 7b ? 1 ? 28 ? b ? 25

16. ①③④ 三、解答题

17. (1)由 4sin2

B?C 7 2 -cos2A= 2 及 A+B+C=180°, 7 得 2[1-cos(B+C)]-2cos2A+1= , 4(1+cosA)-4cos2A=5. 2 1 ∴4cos2A-4cosA+1=0,∴cosA= . ∵0°<A<180°,∴A=60°. 2
(2)由余弦定理得:cosA=

6分

1 1 b2 ? c2 ? a2 b2 ? c2 ? a2 .∵cosA= ,∴ = , 2 2 2bc 2bc

∴(b+c)2-a2=3bc.将 a= 3 ,b+c=3 代入上式得 bc=2. 由?

?b ? c ? 3 ?b ? 1, ?b ? 2, 得? 或? ?bc ? 2 ?c ? 2. ?c ? 1.
5分

12 分

z
E

3 C8C1 8 2 18. 解:(1) 4 = . C10 15

F y

(2)设抽取 n 件产品作检验,则

n C8 -2 C2 2 >0.6 , 8 分 n C10

x

8 ! 3 10 ! ,得 n(n-1)>54. > · (n - 2) (10 n) 5 n!10 - n) ( ! ! !
∴n≥8,即至少应抽取 8 件产品才能满足题意. 19. 解: (1)设 DD1 中点为 E,连 PE,则 PE∥CD,∵CD⊥AD,CD⊥DD1,∴CD⊥平面 ADD1. ∴PE⊥平面 ADD1. 过 E 作 EF⊥AD1 于 F,连 PF,则 PF⊥AD1,PF 为点 P 至直线 AD1 的距离. 2 分 PF=

1 66 2 ,PE=2,∴EF= .又 D1E= ,D1D=1,∴AD=1. 4 分(绝对重要的一步, 2 4 4
由题意,如图,建立空间直角坐标系,∵DC=2,AB=DD1=1,

在高考答题中要特别注意)

∴D(0,0,0),A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,2,0),D1(0,0,1),C(0,2,1),P(0,2,
- 40 -

1 ),Q(0,1,1),6 2

分 设 平 面 PQB 的 法 向 量 为 n = ( x , y , z ) 则 n ? PQ =0,

?

?

??? ?

? ??? ? n ? PB =0,

? ? ??? ? 1 ??? 1 1 1 1 PQ =(0,-1, ), PB =(1,-1,- )∴-y+ z=0,x-y- z=0,取 z=1,得 n =(1, , 2 2 2 2 2
1) ∵ AC =(-1,2,0), AC ? n =-1+1+0=0, ∴ AC ⊥ n ∵AC ? 平面 BPQ ∴AC∥平面 BPQ 8分

??? ?

??? ?

?

??? ?

?

(2)∵平面 PQD 的一个法向量是 m =(1,0,0) ,平面 PQB 的法向量为 n =(1,

??

?

1 ,1) 2

?? ?? ? ?? ? 1 2 n?m cos< m , n >= ?? ??? = = ,二面角 B-PQ-D 的平面角是锐角, 11 分 ? | n |?| m | 3 3 2
∴二面角为 B-PQ-D 大小为 arccos
2

2 3

12 分

20.解:(1)T′=3at +2bt+c,而 T′(4)=T′(-4), 故 48a+8b+c=48a-8b+c,

2分

?T?0? ? d ? 60 ? a ? 1, ?T ?- 4 ? ? ?64a ? 16b ? 4c ? d ? 8 ? b ? 0, 又由条件可得 ? ?? c ? -3, T?1? ? a ? b ? c ? d ? 58 ? ?d ? 60. 48a ? 8b ? c ? 48a ? 8b ? c ? ?
∴T(t)=t -3t+60,(-12≤t≤12). 2 2 (2)T′(t)=3t -3=3(t -1), 当 t∈[-2,-1 ) ∪ ( 1,2]时,T′(t)>0;
3

4分

6分

9分

当 t∈(-1,1)时,T′(t)<0. ∴t∈(-2,-1)和 t∈(1,2)时,T(t)为增函数; t∈(-1,1)时,T(t)为减函数. 又 T(2)=T(-1)=64, 说明在上午 10:00 与下午 14:00 这段时间内,该物体温度最高,最高温度是 62℃. 12 分 21. 解:(1)设这三个数为 a+d,a+8d,a+43d(d≠0),则 a+d+(a+8d)+(a+43d)=217, 2 即 3a+52d=217. 2分 又(a+8d) =(a+d)(a+43d), 2 即 3d =4ad,∵d≠0,∴3d=4a. 4分 由①②得 a=3,d=4,∴所求三数为 7,35,175. 6分

- 41 -

a 1 5n ? 1 (2)由(1)知等比数列的公比为 5,故 Sn= , 5 ?1
于是由 <
2 n

?

?

6 5

6 5n ? 1 156 Sn 156 < ,得 < . < 5 4?5 5 a2 5
4

10 分 12 分

∴5 <5 <5 .由于 n 为整数,∴n=3. 22. 解: (I)设椭圆 C 的方程为

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) ,则由题意知 b = 1. a2 b2

?

a2 ? b2 2 5 1 2 4 ? .即 1 ? 2 ? . ? a 2 ? 5. 2 5 5 a a
x2 ? y 2 ? 1. ???????????????????3 分 5

∴椭圆 C 的方程为

(II)方法一:设 A、B、M 点的坐标分别为 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), M (0, y0 ).

???? ???? 易知 F 点的坐标为(2,0)? MA ? ?1 AF ,? ( x1 , y1 ? y0 ) ? ?2 (2 ? x1 , ? y1 ). .

? x1 ?

2?1 y , y1 ? . ?????????? 6分 1 ? ?1 1 ? ?1 y 1 2?1 2 ) ? ( 0 ) 2 ? 1. 5 1 ? ?1 1 ? ?1

将 A 点坐标代入到椭圆方程中,得 (

2 2 去分母整理得 ?1 ? 10?1 ? 5 ? 5 y0 ? 0. ????????????????9 分
2 同理,由MB ? ?2 BF可得 : ?2 ? 10?2 ? 5 ? 5 y 0 ? 0. 2 2 ? ?1 , ?2 是方程x 2 ? 10x ? 5 ? 5 y 0 ? 0的两个根,

? ?1 ? ?2 ? ?10. ?12 分

方法二:设 A、B、M 点的坐标分别为 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), M (0, y0 ). 又易知 F 点的坐 标为(2,0). 显然直线 l 存在的斜率,设直线 l 的斜率为 k,则直线 l 的方程是 y ? k ( x ? 2). 将直线 l 的方程代入到椭圆 C 的方程中,消去 y 并整理得

(1 ? 5k 2 ) x 2 ? 20k 2 x ? 20k 2 ? 5 ? 0. ??????????????7 分
- 42 -

20k 2 20k 2 ? 5 ? x1 ? x 2 ? , x1 x 2 ? . ??????????????8 分 1 ? 5k 2 1 ? 5k 2
又? MA ? ?1 AF, MB ? ?2 BF, 将各点坐标代入得 1 ? ?

x1 x2 , ?2 ? . 2 ? x1 2 ? x2

? ?1 ? ?2 ?

x1 x2 2( x1 ? x2 ) ? 2 x1 x2 ? ? ? ? ? ?10. ????12 分 2 ? x1 2 ? x2 4 ? 2( x1 ? x2 ) ? x1 x2
高考数学应试答题技巧

最易导致心理紧张、焦虑和恐惧的是入场后与答卷前的“临战”阶段,此时保持心态平 衡是非常重要的.刚拿到试卷,一般心情比较紧张,不忙匆匆作答,可先通览全卷,尽量从 卷面上获取最多的信息,为实施正确的解题策略作全面调查,一般可在十分钟之内做完下面 三件事. 1.解答那些一眼看得出结论的简单选择或填空题(一旦解出,情绪会立即稳定). 2.其他不能立即作答的题目,可一边通览,一边粗略分为 A、B 两类:A 类指题型比较熟 悉、预计上手比较容易的题目;B 类是题型比较陌生、自我感觉比较困难的题目. 3.做到三个心中有数:对全卷一共有几道大小题有数,防止漏做题,对每道题各占几分 心中有数,大致区分一下哪些属于代数题,哪些属于三角题,哪些属于综合型的题. 通览全卷是克服“前面难题做不出,后面易题没时间做”的有效措施,也从根本上防止 了“漏做题”.对于同一道题目,有的人理解的深,有的人理解的浅,有的人解决的多,有 的人解决的少.为了区分这种情况,高考的阅卷评分办法是懂多少知识就给多少分.这种方法 我们叫它“分段评分”,或者“踩点给分”——踩上知识点就得分,踩得多就多得分. “分段得分”的基本精神是,会做的题目力求不失分,部分理解的题目力争多得分. 1.对于会做的题目,要解决“会而不对,对而不全”这个老大难问题.有的考生拿到题 目,明明会做,但最终答案却是错的——会而不对.有的考生答案虽然对,但中间有逻辑缺 陷或概念错误,或缺少关键步骤——对而不全.因此,会做的题目要特别注意表达的准确、 考虑的周密、书写的规范、语言的科学,防止被“分段扣点分”.经验表明,对于考生会做 的题目,阅卷老师则更注意找其中的合理成分,分段给点分,所以“做不出来的题目得一二 分易,做得出来的题目得满分难”. 2.对绝大多数考生来说,更为重要的是如何从拿不下来的题目中分段得点分.我们说, 有什么样的解题策略,就有什么样的得分策略.把你解题的真实过程原原本本写出来,就是 “分段得分”的全部秘密. (1)缺步解答.如果遇到一个很困难的问题,确实啃不动,一个聪明的解题策略是,将 它们分解为一系列的步骤,或者是一个个小问题,先解决问题的一部分,能解决多少就解决 多少,能演算几步就写几步,尚未成功不等于失败.特别是那些解题层次明显的题目,或者 是已经程序化了的方法,每一步得分点的演算都可以得分,最后结论虽然未得出,但分数却
- 43 -

已过半,这叫“大题拿小分”. (2)跳步答题.解题过程卡在某一过渡环节上是常见的.这时,我们可以先承认中间结论, 往后推,看能否得到结论.如果不能,说明这个途径不对,立即改变方向;如果能得出预期结 论,就回过头来,集中力量攻克这一“卡壳处”.由于考试时间的限制,“卡壳处”的攻克 如果来不及了,就可以把前面的写下来,再写出“证实某步之后,继续有??”一直做到底. 也许,后来中间步骤又想出来,这时不要乱七八糟插上去,可补在后面.若题目有两问,第 一问想不出来,可把第一问作“已知”,“先做第二问”,这也是跳步解答. (3)退步解答.“以退求进”是一个重要的解题策略.如果你不能解决所提出的问题,那 么,你可以从一般退到特殊,从抽象退到具体,从复杂退到简单,从整体退到部分,从较强 的结论退到较弱的结论.总之,退到一个你能够解决的问题.为了不产生“以偏概全”的误解, 应开门见山写上“本题分几种情况”.这样,还会为寻找正确的、一般性的解法提供有意义 的启发. (4)辅助解答.一道题目的完整解答,既有主要的实质性的步骤,也有次要的辅助性的 步骤.实质性的步骤未找到之前,找辅助性的步骤是明智之举.如:准确作图,把题目中的条 件翻译成数学表达式,设应用题的未知数等.答卷中要做到稳扎稳打,字字有据,步步准确, 尽量一次成功,提高成功率.试题做完后要认真做好解后检查,看是否有空题,答卷是否准 确,所写字母与题中图形上的是否一致,格式是否规范,尤其是要审查字母、符号是否抄错, 在确信万无一失后方可交卷. 轻松考试六步曲 如何在考试中发挥正常水平、考出好成绩,获取较高的分数?平时的知识积累和考试时 的灵活运用固然重要,但非智力因素发挥得如何,也具有特别重要意义。下述考试六步曲可 谓抛砖引玉,以之参考借鉴。 一、一个公式 一个公式就是:信心十专心十细心=胜利。这好比作战一样,战略上要蔑视敌人〔高考并 没有什么可怕的〕 ,战术上要重视敌人〔要认真地对待每一道题目〕 ,斗志上要压倒敌人〔考 试信心百倍〕 ,这样才能打一场胜仗〔考得好〕 。做任何事情,都必须有信心,考试更不例外, 这是前提;“专心”和“细心”是方法和技巧问题。这“三心“必须用到考试中去。 二、注意“二意” 〔1〕要正确审出题意。这是正确解题的前提。必须逐字逐句经过大脑“过滤” ,千万不 要“想当然” 。审题,实际上是分析问题和解决问题的思维过程,要保持清醒的头脑,有清 浙的思路。在历年大的考试中,常见审题方面出现的毛病是:(1)拿到试卷,急于作答,审题 不细,导致漏笔或不按要求作答,导致失分;(2)审错题,答案不切题意要求,答案错误。这 些毛病应该克服。审题,一方面要看清题目要求。比如,做选择题,就要看清是选正确的还 是选错误的,是选单项还是双项等。另一方面是看清题目本身。数理化等学科要看清符号, 英语要看清单词,语文要看清字词等,如考作文题是《世上不只妈妈好》 ,不少考生写成《世 上只有妈妈好》 ,一字这差,离题万远。 〔2〕要有解题立意。从哪个角度、哪个方位入手,架起“已知”与“未知”的桥梁,
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寻求解题的有效途径。 三、三快三慢 〔1〕做题要快,审题要慢。因为审题是关键的第一步,力求准确无误,因而这一步不 图快。一但有了解题立意,就要快速地书写,其次是先做容易的题目,以赢得时间。 〔2〕思维要快,交卷要慢。要保持清醒的头脑,有清浙的思路,一旦某道题目的解答 被“卡壳”时,不要紧张,要马上变换思维方式,换个角度、换个方位去思考,不要自己判 定为“死刑“而匆匆交卷。 〔3〕行文要快,复查要慢。有了解题思路,书写文字要快,以赢得时间。复查的时候 要特别注意,一是不要全部检查,因时间不允许;二是浏览全卷。对全卷作个粗略的检查, 从总体上了解一下是不是所有题目都答了,是不是按要求做了,有没有弄错题号的。特别是 选择题,最容易把答案填错。三是要有针对性地检查一先检查是否漏答,再根据草稿纸上记 录的题号检查疑惑题目并争取在这里补上分数。四是不要重复原来的思路。五是不仅要检查 答案,而且还要检查问题的性质,看看自己是否真的把题目弄清楚了。五是千万不要回头检 查选择题,因为考生在高度紧张的选择中,第一反应住住是最正确的。不要在一道题上选来 选去,实在不会的,不妨“蒙”一个答案。 四、处理好“四个”关系 〔1〕审题与解题的关系。有的考生对审题重视视不够,匆匆一看急于下笔,以致题目 的条件与要求都没有吃透,至于如何从题目中挖掘隐含条件、启发解题思路就更无从谈起, 这样解题出错自然多。只有耐心仔细地审题,准确地把握题目中的关键词与量(如“至少” , “a>0” ,自变量的取值范围等),从中获取尽可能多的信息,才能迅速找准解题方向。 〔2〕 “会做”与“得分”的关系。要将你的解题略转化为得分点,主要靠准确完整的数 学语言表述,这一点住住被一些考生所忽视,因此卷面上大量出现“会而不对”“对而不全” 、 的情况,考生自己的估分与实际得分差之甚远。许多考生“心中有数”却说不清楚,扣分者 也不在少数。只有重视解题过程的语言表述, “会做”的题才能“得分” 。 〔3〕快与准的关系。在目前题量大、时间紧的情况下, “准”字则尤为重要。只有“准” 才能得分,只有“准”你才可不必考虑再花时间检查,而“快”是平时习”练的结果,不是 考场上所能解决的问题,一味求快,只会落得错误百出。适当地慢一点、准一点,可得多一 点分;相反,快一点,错一片,花了时间还得不到分。 〔4〕难题与容易题的关系。拿到试卷后,应将全卷通览一遍,一般来说应按先易后难、 先简后繁的顺序作答。近年来考题的顺序并不完全是难易的顺序,因此在答题时要合理安排 时间,不要在某个卡住的题上打 “持久战” ,那样既耗费时间又拿不到分,会做的题又被 耽误了。 五、悟出“五感” 〔1〕考前一个月要有“题感” 。要了解、掌握要考学科的考试题目类型以及基本的解题 方法,清理复习中的记忆线索,以便在考试中有一个清晰的回忆“通道” 。 〔2〕考前一周要有“临场感“。大致在升学考试的前一周,一般基本都是停止系统的 复习,进入一个“适应考试“阶段,形成考试的临场感。这就要求按照升学考试的日程,每 夭做两份“准模拟“题。所谓“准模拟“,就是因为做题的时间与升学考试一致,但难度不 大,这样既能适应考试的气氛,又能给自己增加信心。当你去教室上课时,就把它当作是去
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参加考试;当你坐在教室里,就可以想像自己就是在考场上;当你做练习时,就当作自己是在 考试。这样就可以避免考试的怯场现象。 〔3〕考试前一夭要有“正常感” 。不要因为要参加考试而加班加点,也不要因此而提前 睡眠。要保持正常的生活习惯。 〔4〕考试时要有“轻松感” 。每考完一科后,千万不要与老师、同学对答案。因为无论 答对与否,已经是客观存在的。不要把一些无谓的痛苦来摧残自己的心灵。每考完一科,就 想到轻松了一科,即使有的科目自己觉得没考好,也一定要着眼于未来,力争把下一科考好。 〔5〕要有“满足感” 。考生务必恰当定位,不被“不会做,做不完、做不对”所吓倒, 争取达到最佳竞技状态。即使这科是你的优势,你只可定位在 120 分,这是你实力的体现, 而多拿了 1 分,就是你超越的表现。有了这种“满足感“不仅消除紧张的心理,而且还有可 “超常“发挥。 六、确定符合自己的五个立足点 〔1〕立足于易题。容易的题目,力争快、准、规范答题,确保稳拿分数。 〔2〕立足于 基础题。属于基础的题目,并不都是容易的题目,要认真对待,确保基础题都得分。 〔3〕立 足于中档的题目。因为中档试题占八成,即占卷面 150 分的 120 分,优秀生可在难题上得分, 但事实上,真正拉开档次的是中低档题。也就是说,将中档题拿下来,你就是把竞争对手打 去了三分之二。这是考试也是复习的第二战略。(4)立足于平常的心理。选拔考试不仅是智 力的竞赛,更是心理素质的较量。良好的心理素质、良好的竞技状态下,才能正常地发挥水 平。(5〕立足于自己的优势。在其它科与别人平平的清况下,力争在自己特长和优势的一两 个科目提高自己的分数,把同水平的人甩开,由此拉开档次。 七、良好的解题习惯可以避免许多不该发生的事,把能拿到的拿回来。 1.分析条件,弄清问题 (1)读题多遍,弄清题意. (2)数一数有几个条件,揭示每一个条件的本质. (3)条 件之间加强联系. (4)选择一个(认为)恰当使用方法. 2.明确任务,制订策略 (5)明确任务,明确“干什么” ,突出“目标意识”(6)能否化归成另一个任务?能 . 否分解成几个小的任务. (7)为什么不画个图,列个表呢?(8)与已知条件之间的关系. (9) 见过类似的问题吗? 3.规范表达,实施计划 (10)运算准确,推理严密,不跳步骤. (11)表达规范,步骤完整. 4.验算结果,回顾反思 (12)有归纳、总结性语言. (13)是否利用了所有条件(或发现多余条件)?(14) 结论合理吗?检查验证. (15)有没有其他更简便的方法?

新疆 2007 年普通高考日程表
6 月 7 -9 日 6 月 10-12 日 6 月 12-24 日 6 月 20-21 日 6 月 25 日 通高校招生全国统一考试 考生填报本、专科志愿 普通高考试卷评阅 公安院校的政审、面试、体能测试 公布普通高考成绩,初步划定各批次录取最低投档控制分数线
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7 月 6-31 日 8 月 1-20 日

普通高校提前批次、本科批次录取 普通高校专科层次录取

爱在成长,心将飞翔!

——写给我爱和爱我的高三 19 班和 20 班的学生

三年前,你们带着梦想,带着渴望,带着求知的目光,走进了乌 鲁木齐市高级中学。三年来,你们耐心准备,热切追逐,你们辛勤地 耕耘。多少次闻鸡起舞,多少次挑灯夜战!弹指一挥间,一千多个日 夜过去了,你们踏过坎坷书山,渡过茫茫学海。怎能忘记,你们课前 诚挚的问候,那盛开的杜鹃,含苞的滴水莲!那拼搏的日夜,那忧伤 的泪水,开心的欢笑,多彩的时光?? 高级中学是你人生的转折点。在这里,你们辛勤劳作,只为明天 的辉煌;在这里,你们完成人生的蜕变,只为明天飞得更高!走在通 往高考的路上,每一天的经历,都令我难忘,你们青春的故事,或平 淡,或惊心,或感人,直让老师永远珍藏心间! 爱在成长, 心将飞翔! 收获的季节到来了! 同学们, 我祝福你们, 为你们加油,为你们鼓劲!你们已经百炼成钢,面对高考,一定会攻 无不克, 战无不胜。 衷心希望你们用心地追逐梦想, 用毅力成就梦想, 用汗水洗亮人生,用拼搏铸就辉煌,用信念去雕琢自己心中的天使!
- 47 -

同学们,轻装上阵,把三年积聚的能量在考场里释放出来吧!你 一定会成功的!老师为你们祝福,祝你们高考顺利!高考录取后,给 我发 E-mail, 告诉我你考上的学校和专业。 老师等待你们的好消息!

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