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二项式系数的性质1(张艳丽讲课课件)


二项式系数的性质





问题:1、什么叫二项式定理?什么叫二 项展开式的通项?什么叫二项式系数?

(a + b) = C a + C a b + ... + C a b + ...+ C b (n ? N )
n 0 n n 1 n-1 1 n
r

r n-r r n

n n n

+

Tr ?1 ? C n a b
r n? r

各项的系数C (r = 0,1...,n) 叫做二项式系数.
2、组合数有哪两个性质? m n-m r r-1 r C =C n +C n Cn = Cn n+1

r n

(a+b)n展开式的二项式系数,当n依次取1,2, 3,…时,如下所示: (a+b)0→ (a+b)1→ (a+b)2→ (a+b)3→ (a+b)4→ (a+b)5→ (a+b)6→ 1
1 1 2 1 1

1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1

杨辉 三角

………………… … 上面的表叫做二项式系数表

类似这样的二项式系数表,早在我国南宋数学 家杨辉于1261 年所著的《详解九章算法》一书里就 已经出现了,在这本书里,记载着类似下面的表:

二项式系数表的规律

表中每行两端都是1,而且除1以外的每 一个数都等于它肩上两个数的和 事实上,设表中任一不为1的数为Cn+1r,那么 它肩上的两个数分别为Cnr-1及Cnr,由组合数 的性质2知道Cn+1r= Cnr-1+Cnr

二项式系数的性质

(a ? b) 展开式的二项式
n
1 2 n 系数依次是: C0 , C , C , ? , C n n n n

f(r) 20 14

从函数角度看,C 可看 成是以r为自变量的函数 f ( r ) , 其定义域是: ?0,1,2,?, n? 当 n ? 6 时,其图象是右 图中的7个孤立点.

r n

6

O

3

6

r

二项式系数的性质

性质1:对称性
1 1 1 1 1 1 1 4 2 3 3 6 4 1 1 1 1
6 f(r) 20 15

C

m n

?C

n ?m n

与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等

n r? 2

5 10 10 5 6 15 20 15 6

1

1 O

3

6

r

1、 求?a ? b ? 展开式中的倒数第三项
6

的二项式系数。 2、 若?a ? b ? 的展开式中, 第三项的
n

二项式系数与第五项的二项式系数 相等, 求n的值。

二项式系数的性质 2、增减性与最大值

f(r) ?当n是偶数时,中间的一项 C 取得最大值 ; f(r)
20

n

n 2

?当n是奇数时,中间的两项 C
35

n ?1 2 n

和 最大值。n

C

n ?1 2

相等,且同时取得

30

n为奇数
20

15

n为偶数

6 1 O

n 1 2 2

n 1 + 2 2

10

3

6

r

O

3 74 2

7

r

?a ? b ? 的展开式中哪些项的 1、 求出
20

二项式系数最大 , 并求出其最大的 二项式系数。 2、 求出? x ? 5 y ? 的展开式中哪些项的
15

二项式系数最大 , 并求出其最大的二 项式系数。

二项式系数的性质
3、各二项式系数的和

(a + b)n = Cn0 a n + Cn1a n-1b1 + ... + Cnr a n-r br + ...+ C nnbn (n ? N + )
令a ? b ?1 ,则:C ? C ? C ? ? ? C ? 2
0 n 1 n 2 n n n n

这就是说, (a ? b) n的展开式的各二项式系 数的和等于 2 n . 同时由于C 0 ,上式还可以写成: n ?1

1 2 3 n n Cn ? Cn ? Cn ? ? ? Cn ? 2 ?1

例1 、 证明在(a ? b) 的展开式中,奇数项的二项 式系数的和等于偶数项的二项式系数的和.
n

证明:由于
0 n 1 n?1 1 2 n ?2 2 r n ?r r n n (a ? b)n ? Cn a ? Cn a b ? Cn a b ? ?? Cn a b ? ?? Cn b

在二项展开式中,令 a ? 1, b ? ?1 则得

(1-1)n

0 ? C ? C ? C ? C ? ? ? (?1) C
0 n 0 n 2 n 1 n 2 n 2 n 3 n n

n n

就是 0 ? (C

? C ? ?) ? (C ? C ? ?) 0 1 3 ? Cn ? C ? ? ? Cn ? Cn ??
1 n 3 n

小结:求解二项式系数和时,灵活运用赋值法可以使 问题简单化.通常选取赋值时取0,-1,1.

例2、已知 (1 ? 2x) ? a0 ? a1x ? a2 x ??? a7 x
7 2

7

求:(1) a1

? a2 ? ? ? a7
? a5 ? a7

(2)a1 ? a3

(3) | a

0

| ? | a1 | ??? | a7 |

练习: 1.求?1 ? 3 x ? 的展开式中,
12

?1?各项二项式系数之和; ?2?奇数项二项式系数之和; ?3?偶数项二项式系数和; ?4?各项系数和; ?5?各项系数绝对值和.

练习: 2.求?2 x ? 3 y ? 中各项二项式
8

系数的最大值, 并且它是二项展 开式中第几项的二项式系数。

?对称性 小结: (1) 二项式系数的三个性质. ? ?增减性与最大值 ?各二项式系数的和 ?

(2) 数学思想:函数思想. a.单调性; b. 图象; C.最值. (3) 数学方法 : 赋值法 作业:见课本第126页第8、9题 研究题:求二项式 ( x + 2) 7 展开式中系数最大的项,试归 纳出求形如( ax + b) n 展开式中系数最大项的方法或步骤.

例3:化简.

(1)(x-1)4+4(x-1)3+6(x-1)2+4(x-1)+1;

(2)C ( x -1) ? C ( x -1) ????? C (x -1) ;
1 n 2 n 2 n n n

(3)C - 2C ? 2 C - 2 C ? ???
0 n 1 n 2 2 n 3 3 n

?(-1) 2 C ? ??? ? (-1) 2 C .
k k k n n n n n


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