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03自主招生扩展知识讲义电学(1)


(三)

九、电场

1.均匀带电球壳内外的电场 (1)均匀带电球壳内部的场强处处为零。 Q (2)均匀带电球壳外任意一点的场强公式为 E ? k 2

r

式中r是壳外任意一点到球心距离,Q为球壳带的总电量。

2.计算电势的公式 (1)点电荷电场的电势 Q 若取无穷远处(

r→∞)的电势为零,则 U ? k

r

式中Q为场源电荷的电量,r为场点到点电荷的距离。 (2)半径为R、电量为Q的均匀带电球面的在距球心r处的电势
Q U ?k (r≥R) r Q U ?k (r<R) R

3.电介质的极化 (1)电介质的极化 把一块电介质放在电场中,跟电场垂直的 介质的两个端面上将出现等量异号的不能自由移动的电荷(极化电 荷),叫做电介质的极化。 (2)电介质的介电常数 电介质的性质用相对介电常数εr 来表示 。 一个点电荷Q放在均匀的无限大(指充满电场所在的空间)介 质中时,与电荷接触的介质表面将出现异号的极化电荷q′

? r ?1 q? ? ? Q 使空间各点的电场强度(E)比无介质时单独由 ?r
Q产生的电场强度(E0)小εr倍,即E0/E=εr。故点电荷在无限大 的均匀介质中的场强和电势分别为

kQ E? ?rr2

kQ U? ?rr

4.电容器 (1)电容器的电容 充满均匀电介质的平行板电容器的电容
或C ? S 4? k (d / ? r )

?rS C? 4? kd S C ? 推论: d1 d 2 4? k ( ? ? ?1 ? 2

?

?n

dn

)

平行板电容器中中插入厚度为d1的金属板 C ? (2)电容器的联接:
1 1 1 ? ? 串联: C C C ? 1 2 1 Cn

?S
4? k (d ? d1 )

?

并联: C ? C1 ? C2 ? ? Cn 1 1 2 (3)电容器的能量: E ? Q0U 0 ? CU 0 2 2

【典型例题】
(一)库仑力与平衡问题
【例1】(2009上海交大)两个半径相同的金属球A、B带等量 同种电荷,它们之间的距离远大于小球本身直径。已知它们相隔一 定距离时,两球之间的相互作用力的大小是F,现在用一个带有绝 缘柄的原来不带电的半径相同的金属小球C,先与小球A接触,再 和小球B接触后移开。这时,A、B两球之间的相互作用力大小变为 A.F/2 B.F/4 C.3F/4 D.3F/8 【解析】根据库仑定律,金属球A、B之间的库伦力正比于金属 球A、B带电量的乘积,即F=kQ2/r2。设开始时金属球A、B带电量 均为Q,金属小球C与小球A接触后,二者平分,各自带电量Q/2。 金属小球C再与小球B接触后,二者平分,各自带电量(Q+Q/2) /2=3Q/4。这时二者带电量的乘积为Q/2· 3Q/4=3Q/8。所以A、B两球 之间的相互作用力大小变为3F/8。选项D正确。

【练】(2010复旦)设有带负电的小球A、B、C,它们的电量 的比为1:3:5,三球均在同一直线上,A、C固定不动,而B也不动时 ,BA与BC间距离的比值为________。 A.1:5 B.5:1 C. 1: 5 D. 5 :1 【解析】设BA之间距离为r1,BC之间距离为r2,由库仑定律, AB之间库伦力 F ? k 3q ? q
r12 3q ? 5q BC之间库伦力 F2 ? k 2 r2
1

B不动时,F1=F2。 联立解得:r1: r2=1: 5

C

【例2】(2010华约、2012卓越)用等长的丝线分别悬挂两个质 量、电荷量都相同的带电小球A、B,两线上端固定在同一点O, 把B球固定在O点的正下方,当A球静止时,两悬线夹角为θ,如图 所示。若在其他条件不变,只改变下列某些情况,能够保持两悬 线夹角不变的方法是 O A.同时使两悬线的长度都减半 θ B.同时使A球的质量、电荷量都减半 C.同时使A、B两球的质量、电荷量都减半 A B D.同时使两悬线的长度和两球的电荷量都减半
【解析】设两球距离为d,分析A球的受力如图示

F ?k

q d2
F A

2

O θ T d mg θ B

设绝缘线长度为L,由图中两个相似三角形关系可得:

mg T F ? ? L L d

即mg=T,有等腰三角形

q2 由A球的受力矢量图可知, 2mg sin ? F ? k 2 2 d

?

对照选项讨论得:BD正确

【例3】(2009复旦)真空中有一孤立的带正电的点电荷,该点 电荷电场中的一条电场线及其方向如图所示, 电场线上有A、B两 点,现将另一带电量很小的负电荷先后放在A、B两点,该负电荷 在A、B两点受电场力大小分别为FA、FB,所具有的电势能分别为 EpA、EpB,以下判断中正确的是
A.FA>FB, B.FA<FB, C.EpA<EpB, D.EpA>EpB

【解析】根据带正电的点电荷电场线特点,A点的电场强度大于 B点。根据F=qE可知,负电荷在A、B两点受电场力FA>FB,选项A 正确B错误。根据Ep=qφ和沿着电场线方向电势降低可知,EpA<EpB ,选项C正确D错误。

【练】(2014北约)空间有一孤立导体,其上带有固定量的 正电荷,该空间没有其它电荷存在。为了测出该导体附近的某一点 P的电场强度,我们在P点放置一带电量为q的点电荷,测出q受的静 电力F,如果q为正,F/q_______(可填“大于”、 “小于”其中之 一)P点的原电场强度;如果q为负,F/q_______(可填“大于”、 “小于”其中之一)P点的原电场强度。

【答案】小于;大于。

【例4】 (2013年华约20分) “顿牟缀芥”是两干多年前我国古人对摩擦起电现 象的观察记录,“顿牟缀芥”是指经摩擦后的带电琥珀能吸起小物体。我们可以 将其简化为下述模型分析探究。 在某处固定一个电荷量为Q的点电荷,在其正下方h处有一个原子。在点电荷 产生的电场(场强为E)作用下,原子的负电荷中心与正电荷中心会分开很小的 距离l,形成电偶极子。描述电偶极子特征的物理量称为电偶极矩p,p=ql,这里 q为原子核的电荷。实验显示,p=αE,α为原子的极化系数,是与原子本身特性 有关的物理量,反映原子被极化的难易程度。被极化的原子与点电荷之间产生作 用力F。在一定条件下,原子会被点电荷“缀”上去。 (1)判断F是吸引力还是排斥力?简要说明理由; (2)若固定点电荷的电荷量增加一倍,力F如何变化? (3)若原子与点电荷间的距离减小为原来的一半,力F如何变化?

【解析】 (1)F为吸引力。理由:当原子极化时,与Q异性的电荷在库仑 力作用下移向Q,而与Q同性的电荷在库仑力作用下远离Q,这样异 性电荷之间的吸引力大于同性电荷之间的排斥力,总的效果表现为 F是吸引力。

【例4】在某处固定一个电荷量为Q的点电荷,在其正下方h处有一个原子。在 点电荷产生的电场(场强为E)作用下,原子的负电荷中心与正电荷中心会分开 很小的距离l,形成电偶极子。描述电偶极子特征的物理量称为电偶极矩p,p=ql ,这里q为原子核的电荷。实验显示,p=αE,α为原子的极化系数,是与原子本 身特性有关的物理量,反映原子被极化的难易程度。被极化的原子与点电荷之间 产生作用力F。在一定条件下,原子会被点电荷“缀”上去。 (1)判断F是吸引力还是排斥力?简要说明理由; (2)若固定点电荷的电荷量增加一倍,力F如何变化? (3)若原子与点电荷间的距离减小为原来的一半,力F如何变化? 【解析】 (2)电荷Q与分离开距离l的一对异性电荷之间的总作用力为
F ?k Qq l? ? h ? ? ? 2? ?
2

?k

Qq l? ? h ? ? ? 2? ?
2

考虑到l<<h,化简得 F ? kqQ(

1 1 2kQql ? 2 )? 2 h ? hl h ? hl h3

2kQp 利用p=ql,可得 h3 根据点电荷电场强度公式,若固定点电荷的电荷量增加一倍,即Q增大为2Q ,被极化的原子处的电场强度E增大到原来的2倍。由p=αE可知电偶极矩p增大到 原来的2倍。 由F=2kQp/h3.可知作用力F增大到原来的4倍。 F?

【例4】在某处固定一个电荷量为Q的点电荷,在其正下方h处有一个原子。在 点电荷产生的电场(场强为E)作用下,原子的负电荷中心与正电荷中心会分开 很小的距离l,形成电偶极子。描述电偶极子特征的物理量称为电偶极矩p,p=ql ,这里q为原子核的电荷。实验显示,p=αE,α为原子的极化系数,是与原子本 身特性有关的物理量,反映原子被极化的难易程度。被极化的原子与点电荷之间 产生作用力F。在一定条件下,原子会被点电荷“缀”上去。 (1)判断F是吸引力还是排斥力?简要说明理由; (2)若固定点电荷的电荷量增加一倍,力F如何变化? (3)若原子与点电荷间的距离减小为原来的一半,力F如何变化?

【解析】 (3)根据点电荷电场强度公式,若原子与点电荷间的距离减小为原 来的一半,即h减小为原来的一半,被极化的原子处的电场强度E增 大到原来的4倍。由p=αE可知电偶极矩p增大到原来的4倍。 由 F ? 2kQp 可知作用力F增大到原来的32倍。 3
h

(二)场强、电势及其叠加 【例1】(2010南大)如图,一半径为R电荷量为Q的带电金属球 ,球心位置O固定,P为球外一点.几位同学在讨论P点的场强时, 有下列一些说法,其中哪些说法是正确的? A.若P点无限靠近球表面,因为球表面带电,根据库仑定律可推 知,P点的场强趋于无穷大 B.因为在球内场强处处为0,若P点无限靠近球表面,则P点的 场强趋于0 C.若Q不变,P点的位置也不变,而令R变小,则P点的场强不变 D.若保持Q不变,而令R变大,同时始终保持P点极靠近球表面 处,则P点的场强不变.

C

【解析】半径为R电荷量为Q的带电金属球,对球外任意 点的电场来说,带电金属球可视为点电荷。若P点无限靠近 球表面,因为球表面带电,根据库仑定律可推知,P点的场 强E=kQ/R2,选项AB错误。若Q不变,P点的位置也不变, 而令R变小,则P点的场强不变.选项C正确。若保持Q不变 ,而令R变大,同时始终保持P点极靠近球表面处,则P点的 场强减小,选项D错误。

【练1】(2014卓越)如图所示,球形导体空腔中放有一点电荷Q ,且点电荷不在球心,则下列描述正确的是 A.球壳为等势体 Q B.球壳内表面电荷分布均匀 C.球壳外表面电荷分布均匀 D.改变Q在空腔中的位置,对外表面的电荷分布无影响 【解析】整个导体球壳是一个等势体,但因内部有点电荷存在, 故内部空腔不等电势。因点电荷不在球心,故球壳内表面电荷分布 不均匀,但球壳外表面电荷分布不受内部点电荷位置影响,总是均 匀分布。故答案为ACD。

【练2】(2011复旦)两半径分别为r1和r2(r1<r2)的同心球面上, 各均匀带电Q1和Q2,则在球面内部距离球心r处的电势为 Q1 Q2 Q1 Q2 k + ) ( k + ) A. ( B . r r r r2 Q1 Q2 Q1 Q2 ( k + ) C. D. ( k + ) r1 r r r
1 2

【解析】由于球面内部各个点电势相等,且与球面的电势相等 ,利用电势叠加原理可知,在球面内部的球心处的电势为

Q1 Q2 ? ? k( ? ) r1 r2

可得选项D正确。

【练3】(2009浙大)有一个内部中空均匀带电q的球体,半径 为R,问其中空部分的电势为多少? 【解析】根据电势叠加原理和点电荷电势公式,中空部分的电势为 q ? ?k R

【例2】(2011年卓越)半径为R的接地金属球外有一电荷量为q 的点电荷,点电荷与球心O相距d=2R,如图所示。金属球上的感应 电荷为 A.0 B.-q/2 C.-q/4 D.-q 【解析】由于球接地,表面电势为零,且球 是等势体,所以球心电势为0,感应电荷在金属 球外表面关于Oq连线对称分布。根据点电荷的 q 电势公式,点电荷q在O处产生电势为 k 2R 设金属球上的感应电荷为Q,这些感应电荷距离球心距离都为R ,根据电势叠加原理,Q在O处产生电势为 k Q
q Q ?k ?0 根据球心电势为0可得:k 2R R
R

解得Q=-q/2,选项B正确

【练】(2009浙大)空间中有一个4Q的正电荷,与Q的负电荷, 相距为r,问正电荷发出的电场线与进入负电荷的电场线哪个多? 【解析】正电荷发出的电场线要大于进入负电荷的电场线。 【例3】(2009同济)如图所示,半径为R的圆环均匀带电,电 荷线密度为λ,圆心在O点,过圆心与环面垂直的轴线上有P点, PO=r。以无穷远处为电势零点,则P点的电势φ为
2? k ? R A. 2 2 R ?r

B.

2? k ? R R2 ? r 2

2? k ? R C. r

2? k ? D. R

【解析】将圆环分割成很多个点电荷,每一个点电荷带电量△Q, 在P点产生电场的电势为 ?Q ?? ? k R2 ? r 2 根据电势叠加原理,P点的电势 ?Q ??Q Q 2? k ? R ? ? ? ?? ? ? k ?k ?k ? 2 2 2 2 2 2 R ?r R ?r R ?r R2 ? r 2

B

【例4】(2014华约)在x轴上有两个点电荷q1和q2(q1在q2的左边)。x轴上每 一点处电势随着x变化的关系如图所示。当x=x0时,电势为零;当x=x1时,电势 q ) 有最小值。(已知点电荷产生的电势为 ??k ) φx r (1)求两个点电荷q1和q2的位置; (2)求两个电荷电量比值q1/q2。 【解析】由于x=0处,电势趋于正无穷,可知原点处有一个正 x x 电荷,即q1或q2在x=0处。若q1在原点,则q2在正半轴,此时正半 0 0 1 x 轴上必有一点(q2处)电势为无穷大,与图像不符。则只能是q2 -φ0 在原点,q1在负半轴;又因电势有负值,则可知q2<0;设q1的位 置(x2,0),x2<0。 q1 q2 k ? k ?0 在x=x0处总电势为0,则
1 2 ? k ?0 在x=x1处电势有最小值,则场强为0,则 k 2 2 ( x1 ? x2 ) x1 2 ? x1 x ? 2 x ? 1 ? 2 x0 ? 联立解得 ? ? q1 ? ?(1 ? x1 ) 2 ? x0 ? q2 x12 q2 (0, 0) 则两个点电荷位置分别为 q1 : (2 x1 ? , 0) x0 q1 x1 2 ? ?(1 ? ) 电荷比为 q2 x0

x0 ? x2

x0

q

q

【练】(2009浙大)正方体八个顶点上各有一电荷为q的点电荷 ,求它们在上面中心O形成的合场强大小和方向。 【解析】设正方体边长为a,正方体上方顶点四个电荷在上面中 心O形成的合场强为零。 正方体下方顶点四个电荷与上面中心O的距离为

q 2kq ? 2 2 r 3a 由对称性可知该场强在正方体上方平面的分量相互抵消。垂直 正方体上方平面的分量为:
每个点电荷在该点产生电场的场强大小为 E1 ? k
2kq a 2 2kq E1 y ? 2 ? ? ? 2 3a 3 3a 3 a 2

? 2 ? 3 2 r? ? a ? a ? a ? ? 2 ? 2 ? ?

2

8 6kq 在上面中心O形成的合场强大小为 E ? 4E1 y ? 4 2 ? 2kq ? 2 2 3 3a 9a

方向垂直于正方体上方平面向上

(三)电场中带电粒子的运动 【例1】(2011华约)如图所示,带电质点P1固定在光滑的水平 绝缘桌面上,在桌面上距离P1一定距离有另一个带电质点P2,P2在 桌面上运动,某一时刻质点P2的速度沿垂直于P1P2的连线方向,则 A.若P1、P2带同种电荷,以后P2一定做速度变大的曲线运动 B.若P1、P2带同种电荷,以后P2一定做加速度变大的曲线运动 C.若P1、P2带异种电荷,以后P2的速度大小和加速度大小可能 都不变 D.若P1、P2带异种电荷,以后P2可能做加速度、速度都变小的 曲线运动 答案:ACD
【解析】若P1、P2带同种电荷,斥力做功,斥力方向与速度方向不在一直线上 ,以后P2一定做速度变大的曲线运动,选项A正确。若P1、P2带同种电荷,斥力 做功,二者距离逐渐增大,库仑力减小,加速度减小,所以若P1、P2带同种电荷 ,以后P2一定做加速度变小的曲线运动,选项B错误。若P1、P2带异种电荷,某 一时刻质点P2的速度沿垂直于P1P2的连线方向,若正好满足库仑力等于向心力, P2围绕P1做匀速直线运动,以后P2的速度大小和加速度大小都不变,选项C正确 。若库仑力小于所需的向心力,P2围绕P1做离心运动,以后P2做加速度、速度都 变小的曲线运动,选项D正确。

【练】(2012卓越)在如图所示的坐标系内,带有等量负电荷的 两点电荷A、B固定在x轴上,并相对于y轴对称,在y轴正方向上的 M点处有一带正电的检验电荷由静止开始释放。若不考虑检验电荷 的重力,那么检验电荷运动到O点的过程中 y M A.电势能逐渐变小 B.电势能先变大后变小,最后为零 x C.先做加速运动后做减速运动 O A B D.始终做加速运动,到达O点时加速度为零 【解析】等量负电荷在连线中点电场强度为零,在y轴正方向上 的M点处有一带正电的检验电荷由静止开始释放,检验电荷运动到 O点的过程中,电场力做正功,电势能逐渐变小,始终做加速运动 ,到达O点时加速度为零,选项AD正确BC错误。

【例2】(2011同济)如图所示,半径为R的光滑半圆环竖直放置 ,圆环最低点固定一个电荷量为Q(Q>0)的点电荷。质量为m,电荷 量为q(q>0)的小圆环从右侧最高点由静止释放。距离带电荷量Q 的点电荷距离为r的点电势可以表示为:φ=kQ/r。 (1)推出小圆环达到最大速度时小圆环与O点的连线与水平方向 的夹角θ满足的方程。 (2)在(1)的情况下,如果θ已知,求小圆环的 最大速度。 【解析】 (1)设小圆环到达与O点的连线与水平方向的夹角为θ时 速度最大,此时小圆环所受合力沿圆环切线方向的分力为零。即 mgcosθ=Fcos(45°-θ/2), 由库仑定律,F ? k
Qq ?? ? 4 R 2 sin 2 ? 45o ? ? 2? ? mg cos ? ? k cos(45? ? ) 2

二式联立化简得

?

Qq ?? ? 4 R 2 sin 2 ? 45o ? ? 2? ?

【例2】(2011同济)如图所示,半径为R的光滑半圆环竖直放置 ,圆环最低点固定一个电荷量为Q(Q>0)的点电荷。质量为m,电荷 量为q(q>0)的小圆环从右侧最高点由静止释放。距离带电荷量Q 的点电荷距离为r的点电势可以表示为:φ=kQ/r。 (1)推出小圆环达到最大速度时小圆环与O点的连线与水平方向 的夹角θ满足的方程。 (2)在(1)的情况下,如果θ已知,求小圆环的 最大速度。 (2)对小圆环而言,由于只有重力和库仑力做功,机械 【解析】 能与电势能之和保持不变,故
k Qq Qq 1 ? mgR sin ? ? k ? mv 2 ? o ?? 2 2R 2 R sin ? 45 ? ? 2? ?

? ? ? o ? ?? ? 解得 v ? 2 gR[2cos ? tan ? 45 ? ?? cos ? sin ? 1? ? sin ? ] 2 ?? 2 2 ? ?

【练1】(2011年卓越) 如图所示,一半径为R,位于竖直面内的 绝缘光滑轨道上静止着两个相同的带电小球A和B(可视为质点), 两球质量均为m,距离为R。用外力缓慢推左球A使其到达圆周最低 点C,求此过程中外力所做的功。 由功能关系可得:此过程中外力所做的功 【解析】设小球带电量为q,由库仑定律,两个相同的带电小球A和B之间的库伦 6 3 q 2 由平衡条件, 3 ? 1 3 2 3 ?1 3 2 = F / mg 力 F ?W 联立解得 k ?2 ?E ? ?E ? kq 2 tan30° kq ? mgR 2 ? mg ( ? ) R p 电 R 3 3 R 2 2 3 外力缓慢推左球A使其到达圆周最低点C,如图所示 画出B球受力图,设AB之间距离为L,由图中几何关系, 利用相似三角形知识可得 F ? mg q2 F? ? k 2 ? L R L 1 3 L? 6 R R3 联立解得 L3 ? 3 2 3 外力缓慢推左球A前,系统电势能 E p ? k q 2 q R ? 外力缓慢推左球A使其到达圆周最低点C,系统电势能 E p ? k L 2 q q kq 系统电势能增加 ?E ? E p? ? E p ? k ? k ? ( 6 3 ? 1) 电 L R R 设OB与竖直方向的夹角为θ,由余弦定理,L2=2R2-2R2cosθ。
2 R 2 ? L2 cos ? ? ? 2 2R 2? 1 3 3 3 ? 2 3 ?1 2 23 3

3 2 3 3 ?1 ? 3 )R 重力势能增加 ?E p ? mg ( 2 2 3

【练2】(2011北约)四 (14 分)设无重力空间中有场强为 E的匀强电场,现有两个质量均为m的小球 A、B,A带电量为 q(q>0),B不带电。t=0时,两球静止且相距l, AB的方向沿E 的 方向。从t=0时刻开始,A由于受到电场作用向B运动,A与B相遇 时发生第一次弹性正碰(质量相等的物体发生弹性正碰时,交换 速度),碰撞时A、B之间没有电量转移。求A.B发生第8次弹性 正碰撞到第9次弹性碰撞之间所需要的时间。忽略 A、B 之间的 万有引力。 【解析】因每次碰撞交换速度而不交换电荷,故有每两次碰撞 间,两小球之间相对加速度、初速度、末速度都相同。故每两次 碰撞间经历时间都相同。第一次相碰前速度
v0 ? 2al ? 2qEl m

两次碰撞间相对速度从v0变化到- v0,
2v0 2ml qE ?2 相对加速度 a ? ,所以所需时间 t ? a qE m

(四)电容器问题 【例1】(2009北约)四块等距并排的平行板(可视为无限大的平 行板,忽略边缘效应),从左到右的电荷量依次为q、2q、3q、4q ,现将第一和第四块板接地,问: (1)这两块板流入地面的电荷量各为多少? (2)求板中的电场强度。 (补充知识:两块无穷大平行板之间电场强度E=σ/ε0) 【解析】(1)将第一和第四块板接地,第一和第四块板等电势 ,电势为零。达到静电平衡后,第一块板带电量为-2q,第四块板 带电量为-3q, 第一块板流入地面的电荷量为q-(-2q)=3q,第四块板流入地面的 电荷量为4q-(-3q)=7q。 (2)设带电量为q的两无限大的平行板电荷面密度为σ,则第一 块和第二块平行板相对面带电量2q,其面密度为2σ,其电场强度为 E12=2σ/ε0. 第二块和第三块平行板相对面不带电,其电场强度为E23=0.. 第三块和第四块平行板相对面带电量3q,其面密度为3σ,其电场 强度为E34=3σ/ε0.

【练】(2012华约)一平行板电容器接在电源两端,断开电源 将其拉开一段距离做功为A,接通电源时拉开相同距离做功为B, 则A与B哪个大? 答: 大,理由: 。

【解析】断开电源时,两极板带电量不变,板间电场力F不变, 拉开一段距离做功为A=FL。接通电源时,两极板间电压不变,拉 开距离时板间电场强度减小,板间电场力F减小,所以做功B小于A 。

【例2】(2012年北约)两个相同的电容器A和B如图连接,它们的极板均水
平放置。当它们都带有一定电荷并处于静电平衡时,电容器 A 中的带电粒子恰 好静止。现将电容器 B 的两极板沿水平方向移动使两极板 B A 错开,移动后两极板仍然处于水平位置,且两极板的间 距不变。已知这时带电粒子的加速度大小为g/2,求B的 两个极板错开后正对着的面积与极板面积之比。设边缘 效应可忽略。 【解析】设电容器A和B的电容都为C0,两电容器并联,其总电容量为C=2C0 两电容器并联,电压相等,设此时电压为U,总带电量Q=CU=2C0U。 设电容器A的极板之间距离为d,带电粒子带电量q,质量为m, 电容器 A 中的带电粒子恰好静止,有:qU/d=mg。 将电容器 B 的两极板沿水平方向移动使两极板错开,两电容器极板之间的电 压仍相等,设为U′,电容器B带电量减小,电容器A带电量增大,电容器 A 中电 场强度增大,带电粒子的加速度向上, 由牛顿第二定律,qU'/d-mg=mg/2 ,解得U′=3U/2。 设B的两个极板错开后正对着的面积与极板面积之比为k,由平行板电容器的 决定式,两个极板错开后电容器B的电容量C′B= k C0。 两电容器并联,其总电容量为C′=CA+ C′B= C0+ k C0 总带电量不变,Q=C′U′=(C0+ k C0)· 3U/2。 联立解得:k=1/3。

【练1】(2010北约)(14分)如图,三个面积均为S的金属板A、B、C水 平放置,A、B相距d1,B、C相距d2,A、C接地,构成两个平行板电容器;上板 A中央有小孔D;B板开始不带电。质量为m、电荷量为q(q>0)的液滴从小孔D 上方高度为h处的P点由静止一滴一滴落下。假设液滴接触B板可立即将电荷全部 传给B板,油滴间的静电相互作用可忽略,重力加速度取g。 P (1)若某带电液滴在A、B板之间做匀速直线运动,此液滴是 h D 从小孔D上方落下的第几滴? A (2)若发现第N滴带电液滴在B板上方某点转为向上运动,求 B 此点与A板的距离H。 S C (以空气为介质的平行板电容器的电容 C ? ,
4? kd

式中S为极板面积,d为极板间距,k为静电力恒量。)
【解析】(1)设此液滴是第n滴,则B板已有n-1滴,带电量为Q1=(n-1)q, 此时AB板间电压与BC同为U1。则C1U1+ C2U1= Q1,得 U1 4? k (n ? 1)d1d 2 q S (d1 ? d 2 )mg mg ? q U1 ? n ? 1 ? 由平衡 解得 d S (d1 ? d 2 ) 4? kd 2 q 2 1 U (2)由动能定理 mg (h ? H ) ? q 2 H d1 s(d1 ? d 2 )mgh ( N ? 1)q 4? k ( N ? 1)d1d 2 q H ? 解得 而U 2 ? ? 2 4 ? k ( N ? 1) d q ? S (d1 ? d 2 )mg 2 C ?C S (d ? d )
1 2 1 2

【练2】(2010南大)右图所示为某超级电容器公交电车停靠在车站正在充电 。所谓超级电容器是指电容量达到上千法拉甚至达到十万法拉数量级的大容量电 容器。是储能技术一个革命性成果。 ① 超级电容器与蓄电池都是储能设备,都可以做为电源使用, 你认为二者的最主要不同是什么? 你知道的超级电容器与蓄电 池相比的优点有哪些? (答出其中的三项即可) ② 据介绍,该法拉级的超级电容器年产量已达几百万只,批量应用于各种数 据贮存系统和低功耗无电源器具,大容量级的超级电容器已在高尔夫车和公交车 等交通工具上进行应用试验。48V的高尔夫车使用80只5万法拉的双电层电容器 ,每2只并联后再串联,工作电流为30A,电容器组的体积与48V180Ah的蓄电池 相近,70A充电10分钟,可行驶20千米。 已知两个电容都是C 的电容器并联时总电容C并=2C,两个电容都是C 的电容器 串联时总电容C串=C/2。电容器两极间电压是U、带电荷量为Q时储存的电场能 请计算: (1)把“80只5万法拉的电容器,每2只并联后再串联”组成电容器组,给它充 电,充电电流恒定为70A,充电时间是10min,这次充电使这个电容器组的电压 升高多少? (2)如果充电完毕时刻该电容器组两端的电压是48V,那么这次充电过程中, 电容器组储存了多少能量? 【解析】主要不同是:蓄电池是把电能转换成化学能储存起来,使用时再把化 学能转换成电能,而电容器是直接把电能储存起来,不经过能量形式的转化。
E? 1 QU 2

【练2】(2010南大)右图所示为某超级电容器公交电车停靠在车站正在充电 。所谓超级电容器是指电容量达到上千法拉甚至达到十万法拉数量级的大容量电 容器。是储能技术一个革命性成果。 ① 超级电容器与蓄电池都是储能设备,都可以做为电源使用, 你认为二者的最主要不同是什么? 你知道的超级电容器与蓄电 池相比的优点有哪些? (答出其中的三项即可) ② 据介绍,该法拉级的超级电容器年产量已达几百万只,批量应用于各种数 据贮存系统和低功耗无电源器具,大容量级的超级电容器已在高尔夫车和公交车 等交通工具上进行应用试验。48V的高尔夫车使用80只5万法拉的双电层电容器 ,每2只并联后再串联,工作电流为30A,电容器组的体积与48V180Ah的蓄电池 相近,70A充电10分钟,可行驶20千米。 已知两个电容都是C 的电容器并联时总电容C并=2C,两个电容都是C 的电容器 串联时总电容C串=C/2。电容器两极间电压是U、带电荷量为Q时储存的电场能 请计算: (1)把“80只5万法拉的电容器,每2只并联后再串联”组成电容器组,给它充 电,充电电流恒定为70A,充电时间是10min,这次充电使这个电容器组的电压 升高多少? (2)如果充电完毕时刻该电容器组两端的电压是48V,那么这次充电过程中, 电容器组储存了多少能量? 超级电容器与蓄电池相比的优点:①超级电容器对环境污染较少;②超级电 容器寿命长(大约是铅蓄电池的20~200倍);③超级电容器充电速度快;④超级 电容器充放电效率高(能量损耗少);⑤超级电容器维护简单。
E? 1 QU 2

【练1】(2010南大)右图所示为某超级电容器公交电车停靠在车站正在充电 。所谓超级电容器是指电容量达到上千法拉甚至达到十万法拉数量级的大容量电 容器。是储能技术一个革命性成果。 ① 超级电容器与蓄电池都是储能设备,都可以做为电源使用, 你认为二者的最主要不同是什么? 你知道的超级电容器与蓄电 池相比的优点有哪些? (答出其中的三项即可) ② 据介绍,该法拉级的超级电容器年产量已达几百万只,批量应用于各种数 据贮存系统和低功耗无电源器具,大容量级的超级电容器已在高尔夫车和公交车 等交通工具上进行应用试验。48V的高尔夫车使用80只5万法拉的双电层电容器 ,每2只并联后再串联,工作电流为30A,电容器组的体积与48V180Ah的蓄电池 相近,70A充电10分钟,可行驶20千米。 已知两个电容都是C 的电容器并联时总电容C并=2C,两个电容都是C 的电容器 串联时总电容C串=C/2。电容器两极间电压是U、带电荷量为Q时储存的电场能 请计算: (1)把“80只5万法拉的电容器,每2只并联后再串联”组成电容器组,给它充 电,充电电流恒定为70A,充电时间是10min,这次充电使这个电容器组的电压 升高多少? (2)如果充电完毕时刻该电容器组两端的电压是48V,那么这次充电过程中, 电容器组储存了多少能量? (1)电容器组的总电容C总=5×104×2÷40F =2.5×103 F 充电过程增加的电荷量ΔQ=I· Δt=70×600 C=4.2×104 C 升高的电压ΔU=ΔQ/C =(4.2×104/2.5×103 )V=16.8 V
E? 1 QU 2

【练2】(2010南大)右图所示为某超级电容器公交电车停靠在车站正在充电 。所谓超级电容器是指电容量达到上千法拉甚至达到十万法拉数量级的大容量电 容器。是储能技术一个革命性成果。 ① 超级电容器与蓄电池都是储能设备,都可以做为电源使用, 你认为二者的最主要不同是什么? 你知道的超级电容器与蓄电 池相比的优点有哪些? (答出其中的三项即可) ② 据介绍,该法拉级的超级电容器年产量已达几百万只,批量应用于各种数 据贮存系统和低功耗无电源器具,大容量级的超级电容器已在高尔夫车和公交车 等交通工具上进行应用试验。48V的高尔夫车使用80只5万法拉的双电层电容器 ,每2只并联后再串联,工作电流为30A,电容器组的体积与48V180Ah的蓄电池 相近,70A充电10分钟,可行驶20千米。 已知两个电容都是C 的电容器并联时总电容C并=2C,两个电容都是C 的电容器 串联时总电容C串=C/2。电容器两极间电压是U、带电荷量为Q时储存的电场能 请计算: (1)把“80只5万法拉的电容器,每2只并联后再串联”组成电容器组,给它充 电,充电电流恒定为70A,充电时间是10min,这次充电使这个电容器组的电压 升高多少? (2)如果充电完毕时刻该电容器组两端的电压是48V,那么这次充电过程中, 1 1 2 电容器组储存了多少能量? 所以电容器储存的能量 E ? QU ? CU 2 2 (2)充电前的电压U1= U2-ΔU=31.2 V 1 1 由于C=Q/U ΔE= CU 2- CU 2=1.66×106 J
此次充电储存的能量
2
2

E?

1 QU 2

2

1

【练3】(2012年华约) 带有等量异种电荷的板状电容器不是平 行放置的,下列图像中的电场线描绘正确的是

C
【解析】带有等量异种电荷的板状电容器其电场线应该垂直于 极板,选项C正确。

【练4】(2011年卓越)已知两板间距为d,极板面积为S的平行板 ?S 电容器的电容为 C ? ,其中ε、k为常量。若两板的电荷量 4? kd 减半,间距变为原来的4倍,则电容器极板间
A.电压加倍,电场强度减半 C.电压减半,电场强度减半 B.电压加倍,电场强度加倍 D.电压加倍,电场强度不变

【解析】若平行板电容器的间距变为原来的4倍,则电容变为 原来的1/4,若两板的电荷量减半,根据C=Q/U,则电容器极板间 电压变为原来的2倍,根据E=U/d可知,电场强度减半,选项A正 确。

A

十、恒定电流

1.电流 I=nqsv(n为单位体积内的电荷数,q为每个电荷带电量,s为导 体横截面积,v为电荷定向移动速度)。 2.非线性元件 晶体二极管的单向导电特性 3.一段含源电路的欧姆定律 在一段含源电路中,顺着电流的流向来看电源是顺接的(参与放 电),则经过电源后,电路该点电势升高ε;电源若反接(被充电 ),则经过电源后,该点电势将降低ε。不论电源怎样连接,在电 源内阻r和其他电阻R上都存在电势降低,降低量为I(R+r)如图
a I R

ε1 r1

ε2 r2

b

则有:Ua-IR-Ir1-ε1+ε2-Ir2=Ub

4.节点电流定律 对电路的每一个节点,流入电流总等于流出电流。

5.欧姆表 能直接测量电阻阻值的仪表叫欧姆表,其内部结构如图所示, 待测电阻的值由 Rx ? ? ( Rg ? r ? R0 ) 决定,可由表盘上直接读出。在
I

?

正式测电阻前先要使红、黑表笔短接调零,即

Ig ?

?

Rg ? R0 ? r

?

?

R中

如果被测电阻阻值恰好等于R中,易知回路中电流减半,指针指 表盘中央。而表盘最左边刻度对应于Rx2=∞,最右边刻度对应于

Rx3=0,对任一电阻有Rx,有
则Rx=(n-1)R中

I?

Ig n

?

?

R中 ? Rx

由上式可看出,欧姆表的刻度是不均匀的。

【典型例题】 (一)部分电路问题
【例1】(2009复旦)经典理论中,氢原子中的电子(电量为 1.6×10-19C)在半径为0.53×10-10m的圆形轨道上以6.6×1015Hz的频 率运动,则轨道中的电流为________。 A.1.06×104 A B.1.06×10-3 A C.1.06×10-5 A D.1.6×10-6 A 【解析】电子运动周期T=1.515×10-16s,轨道中的电流I=e/T 得正确答案为B 【练1】(2013北约)北京家庭采用电压为 220V 的供电,香港家 庭采用电压为 200V 的供电。北京厨房内一支“220V、50W”照明 用的灯泡,若改用 200V 的供电,使用相同的时间可以节省电能百 分之__________。如果采用 200V 供电的同时,又不减弱厨房照明 亮度,则原灯泡电阻丝要换成电阻为_________Ω 的新电阻丝。 【解析】由
U2 P? R
2 P2 U 2 可得 P ? U 2 1 1

2 U2 ? 50 R2

2 P U12 ? U 2 1?P 2 ? ? 17.4% 2 P U1 1

可得R2=800Ω

【练2】(2010南大)在半导体器件中,常把纳米级厚度的导电材 料沉积到芯片上形成导电薄膜。.在研究这些薄膜的导电性能时,就 需要使用薄膜电阻这一概念.设导电材料的电阻率为ρ,薄膜的长、宽 和厚度分别为a、b、c,如右图所示,如果形式上将薄膜A、B 间的电 阻表示为RAB =ρsa/b,则比例系数ρs 和材料电阻率ρ 间的关系为 ρs=____________

【解析】RAB=ρa/bc,又RAB =ρsa/b得【答案】ρ/c

【例2】(2009北约)7个电阻均为R的网络如图所示,求AB之间 的等效电阻。 【解析】AB间等效电路如图所示。 设电流从A点流入,根据对称性可知 I1=I5 I2=I4 I1+ I2=I 在C点I2= I3+I5 在D点I1+I3= I4 对AD之间电路2 I1R= I2R+ I3R 解得I1=2I/5,I2=3I/5 对ADB路径 UAB=2 I1R+ I4R=2 I1R+ I2R=7IR/5 故AB之间等效电阻为UAB/I=7R/5

【练1】(2010北约)一正四面体由六条棱边组成, 每条棱边的电阻均为R,求任意两顶点间的等效电阻。 【解析】由于电路具有对称性,任意两点间的等效电阻都相同。 如求1、2间的等效电阻,等效电路如图,图中每个电阻阻值为R。 图中3、4等电势,因此3、4间的电阻不起作用。设定点1、2间等 效电阻为r,根据串并联规律 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? 2 解得r=R/2
r R 2R 2R R

【练2】(2009华约)如图,已知AB间等效电阻与n无关,则

Rx ? ______ R
( Rx ? 2 R) R 【解析】Rx ? Rx ? 2 R ? R

Rx ? ( 3 ?1)R

【练3】(2009浙大)有三个阻值不同的电阻R1、R2、R3,可组成多少种不 同的等效电阻?求出各种等效电阻。 1 【解析】可组成8种不同的等效电阻: R? 1 1 1 三个电阻串联,其等效电阻为R=R1+R2+R3; ? ? R1 R2 R3 三个电阻并联,其等效电阻为 (R ? R )R R1、R2串联后与R3并联,其等效电阻为 R ? 1 2 3
R1 ? R2 ? R3 (R ? R )R R1、R3串联后与R2并联,其等效电阻为 R ? 1 3 2 R1 ? R2 ? R3 ( R2 ? R3 ) R1 R ? R2、R3串联后与R1并联,其等效电阻为 R1 ? R2 ? R3

R1、R2并联后与R3串联,其等效电阻为 R1、R3并联后与R2串联,其等效电阻为 R2、R3并联后与R1串联,其等效电阻为

R1R2 ? R3 R1 ? R2 RR R ? 1 3 ? R2 R1 ? R3 R?

R?

R2 R3 ? R1 R2 ? R3

(二)全电路问题
【例】(2012年华约)已知两电源的电动势E1>E2,当外电路电阻为R时, 外电路消耗功率正好相等。当外电路电阻降为R′时,电源为E1时对应的外电路功 率P1,电源为E2时对应的外电路功率为P2 ,电源E1的内阻为r1,电源E2的内阻为 r2。则 A.r1> r2,P1> P2 B.r1< r2,P1< P2 C.r1< r2,P1> P2 D.r1> r2,P1< P2 【解析】当两个电源分别与阻值为R的电阻连接时,电源输出功率相等,即 2 2 ? E1 ? ? E2 ? E1 E2 即 ? ? I0 R ? R ? ? ? ? R ? r1 R ? r2 ? R ? r1 ? ? R ? r2 ? 由E1>E2可得,r1>r2

电源路端电压U与电路电流I的关系是U=E-Ir。由于两个电路电流相等,两 个电源的路端电压随电流变化的关系图像应如图所示的两条相交的直线。交点电 流为I0,电压为U0=I0R. 从原点O向该交点连线,即为电阻R的伏安特性曲线U=IR。若将R减小为R′, 电路中R′的伏安特性曲线U′=I′R,分别与两个电源的伏安特性曲线交于两个不同 的点。与电源1图像交点处的电流与电压值均比与电源2交点的小。根据输出功率 P=IU可知,电源1的输出功率小于电源2的输出功率,即P1< P2。故选项D正确。

【练1】某小灯泡的伏安特性图线如图1所示。将同种规格的两个这 样的小灯泡并联后再与R=10Ω的定值电阻串联,接在电压恒为8V 的电源上,如图2所示。闭合开关S后,则电流表的示数为 A, 每个小灯泡的功率为 W。
I/A 0.8

R A

×

0.6
0.4 0.2 0 2 4 图1 6 8 U/V

×

S 图2

【答案】0.6 0.6

【练2】(2009复旦)太阳能电池板,测得它的开路电压为 900mV,短路电流为45mA,若将该电池板与一阻值为20Ω的电阻 器连接成闭合电路,则电阻器两端电压为 A.0.3V B.0.45V C.0.5V D.0.65V

B

【练3】(2010复旦)如图所示的闭合电路中,当滑动变阻器的 滑片P从b滑向a的过程中,V1、V2两只伏特表指示数的变化值分变 为△U1和△U2,则他们的大小相比应是 A.│△U1│>│△U2│ B.│△U1│<│△U2│ A C.│△U1│=│△U2│ D.无法判断

【解析】│△U2│-│△U│=│△U1│,U减小,U1减小,U2增大 。

(三)实验问题
【例1】(2012卓越)某同学设计了一个测量电阻Rx(约为10Ω)阻值的电 路,如图所示。图中直流电流表的量程为50μA,内阻Rg约为3kΩ;电源E=3V, 内阻不计;R0为六钮电阻箱(0~99999,9Ω);R为滑动变阻器(0~500Ω,额定 电流1.5A);S1为开关;S2为双刀双掷开关。①请简要写出实验步骤;②请用测 量量表示出Rx;③分析该电路的适用条件。
【解析】①实验步骤: a.选择R0的阻值略大于Rx b.闭合S1,将S2合向R0一侧,调节R使电流表指针 指到满偏电流2/3以上的刻度 c.记下电流值I0 d.保持R的滑动头位置不变 e.将S2合向Rx一侧,读出电流表读数I1

I1 R0 ② Rx ? I0
③适用条件: a. Rx的阻值应远小于50μA直流电流表的内阻; b. R0的取值应与Rx的阻值相近。

【例2】(2010华约)右图为一直线运动加速度测量仪的原理示意图。A为U型底 座,其内部放置一绝缘滑块B;B的两侧各有一弹簧,它们分别固连在A的两个内 侧壁上;滑块B还与一阻值均匀的碳膜电阻CD的滑动头相连(B与A之间的摩擦 及滑动头与碳膜间的摩擦均忽略不计),如图所示。电阻CD及其滑动头与另外 的电路相连(图中未画出)。 工作时将底座A固定在被测物体上,使弹簧及电阻CD均与 物体的运动方向平行。当被测物体加速运动时,物块B将在弹簧 的作用下,以同样的加速度运动。通过电路中仪表的读数,可以 得知加速度的大小。 已知滑块B的质量为0.60 kg,两弹簧的劲度系数均为2.0×102 N/m,CD的全 长为9.0 cm,被测物体可能达到的最大加速度为20m/s2(此时弹簧仍为弹性形 变);另有一电动势为9.0 V、内阻可忽略不计的直流电源,一理想指针式直流 电压表及开关、导线。 请设计一电路,用电路中电压表的示值反映加速度的大小。要求: ⅰ)当加速度为零时,电压表指针在表盘中央; ⅱ)当物体向左以可能达到的最大加速度加速运动时,电压表 示数为满量程。(所给电压表可以满足要求) (1)完成电路原理图。 (2)完成下列填空:(不要求有效数字) ①所给的电压表量程为______V; ②当加速度为零时,应将滑动头调在距电阻的C端 cm处; ③当物体向左做减速运动,加速度的大小为10 m/s2时,电压表示数为_____V。

【解析】 (1)电路原理图如答图1所示。 (2)当加速度为零时,应将滑动头调在距电阻的C端l0cm处( 答图2),电压表指针在表盘中央,U1=U/2; 当物体向左以最大加速度am=20m/s2加速运动时,弹簧 形变量为x2(答图3),

mam 0.6 ? 20 x2 ? ? ? 0.03m=3cm 2k 2 ? 200
E U /2 U ? ? l l0 l0 ? x2

此时电压表示数为满量程,U2=U 由比例关系 解得 l0=3.0cm ,U=6.0V

当物体向左做减速运动,加速度大小为a3=10m/s2时,弹簧形变量为x3(答图 4),电压表示数为U3

ma3 0.6 ?10 x2 ? ? ? 0.015m=1.5cm 2k 2 ? 200

U3 E ? l l0 ? x3

解得U3=1.5V

【练】(2010南大)如图所示为一种加速度仪的示意图.质量为m的振子两 端连有劲度系数均为k的轻弹簧,电源的电动势为E,不计内阻,滑动变阻器的 总阻值为R,有效长度为L,系统静止时滑动触头位于滑动变阻器正中,这时电 压表指针恰好在刻度盘正中.求: (1)系统的加速度a(以向右为正)和电压表读数U的函数关系式. (2)将电压表刻度改为加速度刻度后,其刻度是均匀的还是不均匀的?为什么? (3)若电压表指针指在满刻度的3/4位置,此时系统的加速度大小和方向如何? 【解析】(1)设电压表满刻度电压为Um,系统静止时 1 E 1 Um ? ? R 解得Um=E 2 R 2 以向右为正方向,加速度a为正值,当振子向左偏离 中间位置x距离时,由牛顿第二定律得 2kx=ma kL 2kL E R 1 电压表示数为 a ? ? ?U U ? ? ? ( L ? x) 联立解得

R L

2

m

mE

(2)将电压表刻度改为加速度刻度后,其刻度是均匀的。因为加速度a与电 压表示数U是线性关系,由上式可知, ?a ? 2kL ?U 所以电压表刻度是均匀的

mE

(3)若电压表指针指在满刻度的3/4位置,U=3E/4,此时系统加速度 kL 2kL 3E 1 kL a? ? ? ?? 负号表示系统加速度方向向左 m mE 4 2 m


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