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数学竞赛教案讲义(5)——数列


第五章
一、基础知识

数列

定义 1 数列,按顺序给出的一列数,例如 1,2,3,…,n,…. 数列分有穷数列和无穷数 列两种,数列{an}的一般形式通常记作 a1, a2, a3,…,an 或 a1, a2, a3,…,an…。其中 a1 叫做数 列的首项,an 是关于 n 的具体表达式,称为数列的通项。 定理 1 若 Sn

表示{an}的前 n 项和,则 S1=a1, 当 n>1 时,an=Sn-Sn-1. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 定义 2 等差数列,如果对任意的正整数 n,都有 an+1-an=d(常数) ,则{an}称为等差数列,d 叫做公差。若三个数 a, b, c 成等差数列,即 2b=a+c,则称 b 为 a 和 c 的等差中项,若公差为 d, 则 a=b-d, c=b+d. 定理 2 等差数列的性质:1)通项公式 an=a1+(n-1)d;2)前 n 项和公式: Sn=

n(a1 ? a n ) n(n ? 1) ? na1 ? d ;3)an-am=(n-m)d,其中 n, m 为正整数;4)若 n+m=p+q, 2 2

则 an+am=ap+aq;5)对任意正整数 p, q,恒有 ap-aq=(p-q)(a2-a1);6)若 A,B 至少有一个不 为零,则{an}是等差数列的充要条件是 Sn=An2+Bn. 定义 3 等比数列, 若对任意的正整数 n, 都有

a n ?1 ? q , n}称为等比数列, 叫做公比。 则{a q an

a1 (1 ? q n ) 定理 3 等比数列的性质:1)an=a1q ;2)前 n 项和 Sn,当 q ? 1 时,Sn= ;当 1? q
n-1

q=1 时,Sn=na1;3)如果 a, b, c 成等比数列,即 b2=ac(b ? 0),则 b 叫做 a, c 的等比中项;4) 若 m+n=p+q,则 aman=apaq。 定义 4 极限,给定数列{an}和实数 A,若对任意的 ? >0,存在 M,对任意的 n>M(n∈N),都 有|an-A|< ? ,则称 A 为 n→+∞时数列{an}的极限,记作 lim a n ? A.
n??

定义 5 无穷递缩等比数列,若等比数列{an}的公比 q 满足|q|<1,则称之为无穷递增等比数 列,其前 n 项和 Sn 的极限(即其所有项的和)为

a1 (由极限的定义可得) 。 1? q

定理 3 第一数学归纳法:给定命题 p(n),若: (1)p(n0)成立; (2)当 p(n)时 n=k 成立时能 推出 p(n)对 n=k+1 成立,则由(1)(2)可得命题 p(n)对一切自然数 n≥n0 成立。 ,

竞赛常用定理

定理 4 第二数学归纳法:给定命题 p(n),若: (1)p(n0)成立; (2)当 p(n)对一切 n≤k 的自 然数 n 都成立时(k≥n0)可推出 p(k+1)成立,则由(1)(2)可得命题 p(n)对一切自然数 n , ≥n0 成立。 定理 5 对于齐次二阶线性递归数列 xn=axn-1+bxn-2,设它的特征方程 x2=ax+b 的两个根为α , β :(1)若α ? β ,则 xn=c1an-1+c2β xn=(c1n+c2) α
n-1 n-1

,其中 c1, c2 由初始条件 x1, x2 的值确定;(2)若α =β ,则

,其中 c1, c2 的值由 x1, x2 的值确定。

二、方法与例题 1.不完全归纳法。 这种方法是从特殊情况出发去总结更一般的规律, 当然结论未必都是正确的, 但却是人类探 索未知世界的普遍方式。通常解题方式为:特殊→猜想→数学归纳法证明。 例 1 试给出以下几个数列的通项(不要求证明) ;1)0,3,8,15,24,35,…;2)1,5, 19,65,…;3)-1,0,3,8,15,…。

例 2 已知数列{an}满足 a1=

1 ,a1+a2+…+an=n2an, n≥1,求通项 an. 2

例 3 设 0<a<1,数列{an}满足 an=1+a, an-1=a+

1 ,求证:对任意 n∈N+,有 an>1. an

2 迭代法。 数列的通项 an 或前 n 项和 Sn 中的 n 通常是对任意 n∈N 成立,因此可将其中的 n 换成 n+1

或 n-1 等,这种办法通常称迭代或递推。 例 4 数列{an}满足 an+pan-1+qan-2=0, n≥3,q ? 0,求证:存在常数 c,使得
2 2 a n ?1 ? pan ?1 ·an+ qan ? cq n ? 0.

2 例 5 已知 a1=0, an+1=5an+ 24 a n ? 1 ,求证:an 都是整数,n∈N+.

3.数列求和法。 数列求和法主要有倒写相加、裂项求和法、错项相消法等。 例 6 已知 an=

1 (n=1, 2, …),求 S99=a1+a2+…+a99. 4 ? 2100
n

例 7 求和: S n ?

1 1 1 +…+ . ? n(n ? 1)( n ? 2) 1? 2 ? 3 2 ? 3 ? 4

例 8 已知数列{an}满足 a1=a2=1,an+2=an+1+an, Sn 为数列 ?

? an ? 的前 n 项和,求证:Sn<2。 n ? ?2 ?

4.特征方程法。 例 9 已知数列{an}满足 a1=3, a2=6, an+2=4n+1-4an,求 an.

例 10 已知数列{an}满足 a1=3, a2=6, an+2=2an+1+3an,求通项 an.

5.构造等差或等比数列。 例 11 正数列 a0,a1,…,an,…满足 a n a n ? 2 ?

a n ?1 a n ? 2 =2an-1(n≥2)且 a0=a1=1,求通项。

例 12

已知数列{xn}满足 x1=2, xn+1=

2 xn ? 2 ,n∈N+, 求通项。 2 xn

三、基础训练题 1. 数列{xn}满足 x1=2, xn+1=Sn+(n+1),其中 Sn 为{xn}前 n 项和,当 n≥2 时,xn=_________. 2. 数列{xn}满足 x1=

2 xn 1 ,xn+1= ,则{xn}的通项 xn=_________. 3xn ? 2 2

3. 数列{xn}满足 x1=1,xn=

1 x n ?1 +2n-1(n≥2),则{xn}的通项 xn=_________. 2

4. 等差数列{an}满足 3a8=5a13,且 a1>0, Sn 为前 n 项之和,则当 Sn 最大时,n=_________. 5. 等比数列{an}前 n 项之和记为 Sn,若 S10=10,S30=70,则 S40=_________. 6. 数列{xn}满足 xn+1=xn-xn-1(n≥2),x1=a, x2=b, Sn=x1+x2+…+ xn,则 S100=_________. 7. 数列{an}中,Sn=a1+a2+…+an=n2-4n+1 则|a1|+|a2|+…+|a10|=_________.

8. 若

x3 xn x1 x2 ? ? ??? ,并且 x1+x2+…+ xn=8,则 x1=_________. x1 ? 1 x 2 ? 3 x3 ? 5 x n ? 2n ? 1 Sn a 2n ? ,则 lim n =_________. n ?? b 3n ? 1 Tn n

9. 等差数列{an},{bn}的前 n 项和分别为 Sn 和 Tn,若

n2 ? n ?1 10. 若 n!=n(n-1)…2·1, 则 ? (?1) =_________. n! n ?1
2007 n

11.若{an}是无穷等比数列,an 为正整数,且满足 a5+a6=48, log2a2·log2a3+ log2a2·log2a5+ log2a2·log2a6+ log2a5·log2a6=36,求 ?

?1? ? 的通项。 ? an ?
n

12. 已知数列{an}是公差不为零的等差数列, 数列{ a b }是公比为 q 的等比数列, b1=1, b2=5, 且 b3=17, 求: (1)q 的值; (2)数列{bn}的前 n 项和 Sn。 四、高考水平训练题

? 1 ?x ? 2 ? ? 1.已知函数 f(x)= ?2 x ? 1 ? ?x ? 1 ? ?
则 a2006=_____________.

1? ? ?x ? ? 2? ? 7 ?1 ? + ? ? x ? 1? ,若数列{an}满足 a1= ,an+1=f(an)(n∈N ), 3 2 ? ? ( x ? 1)

2.已知数列{an}满足 a1=1, an=a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1(n≥2),则{an}的通项 an= ?

?1 ?

(n ? 1) (n ? 2)

.

3. 若 an=n2+ ?n , 且{an}是递增数列,则实数 ? 的取值范围是__________. 4. 设正项等比数列{an}的首项 a1= an=_____________. 5. 已知 lim

1 , 前 n 项和为 Sn, 且 210S30-(210+1)S20+S10=0,则 2

3n 1 ? ,则 a 的取值范围是______________. n ?? 3 n ?1 ? ( a ? 1) n 3

6. 数列{an}满足 an+1=3an+n(n ∈N+) , 存在_________个 a1 值, n}成等差数列; 使{a 存在________ 个 a1 值,使{an}成等比数列。

7.已知 a n ?

n ? 401 n ? 402

(n ∈N+),则在数列{an}的前 50 项中,最大项与最小项分别是

____________. 8.有 4 个数,其中前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,并且第一个数与第四个数 的和中 16,第二个数与第三个数的和是 12,则这四个数分别为____________. 9. 设{an}是由正数组成的数列,对于所有自然数 n, an 与 2 的等差中项等于 Sn 与 2 的等比中 项,则 an=____________. 10. 在公比大于 1 的等比数列中,最多连续有__________项是在 100 与 1000 之间的整数. 11.已知数列{an}中,an ? 0,求证:数列{an}成等差数列的充要条件是

1 1 1 1 1 ? ? ??? ? (n≥2)①恒成立。 a1 a 2 a 2 a3 a3 a 4 a n a n ?1 a1 a n ?1
12. 已知数列{an}和{bn}中有 an=an-1bn, bn=

bn ?1 (n≥2), 当 a1=p, b1=q(p>0, q>0)且 p+q=1 时, 2 1 ? a n ?1 an ; (3)求数列 lim bn . n ?? a n ?1

(1)求证:an>0, bn>0 且 an+bn=1(n∈N)(2)求证:an+1= ; 13.是否存在常数 a, b, c,使题设等式 1·22+2·32+…+n·(n+1)2=

n(n ? 1) 2 (an +bn+c) 12

对于一切自然数 n 都成立?证明你的结论。 五、联赛一试水平训练题 1.设等差数列的首项及公差均为非负整数,项数不少于 3,且各项和为 972,这样的数列共 有_________个。 2.设数列{xn}满足 x1=1, xn=

4 x n ?1 ? 2 ,则通项 xn=__________. 2 x n ?1 ? 7
2 5

3. 设数列{an}满足 a1=3, an>0,且 3a n ? a n ?1 ,则通项 an=__________. 4. 已知数列 a0, a1, a2, …, an, …满足关系式(3-an+1)·(6+an)=18,且 a0=3,则

?a
i ?0

n

1
i

=__________.

5. 等比数列 a+log23, a+log43, a+log83 的公比为=__________. 6. 各项均为实数的等差数列的公差为 4,其首项的平方与其余各项之和不超过 100,这样的

数列至多有__________项. 7. 数列{an}满足 a1=2, a2=6, 且

an?2 ? an =2,则 a n ?1 ? 1

lim

a1 ? a 2 ? ? ? a n n2

n ??

? ________.

8. 数列{an} 称为等差比数列, 当且仅当此数列满足 a0=0, {an+1-qan}构成公比为 q 的等比数列, q 称为此等差比数列的差比。那么,由 100 以内的自然数构成等差比数列而差比大于 1 时, 项数最多有__________项.

? an ? 9.设 h∈N+,数列{an}定义为:a0=1, an+1= ? 2 ?a ? h ? n
在大于 0 的整数 n,使得 an=1?

a n 为偶数 a n 为奇数

。问:对于怎样的 h,存

10.设{ak}k≥1 为一非负整数列,且对任意 k≥1,满足 ak≥a2k+a2k+1, (1)求证:对任意正整 数 n,数列中存在 n 个连续项为 0; (2)求出一个满足以上条件,且其存在无限个非零项的 数列。 11.求证:存在唯一的正整数数列 a1,a2,…,使得 a1=1, a2>1, an+1(an+1-1)=
3

an an?2 an an?2 ? 1 ? 1

? 1.

六、联赛二试水平训练题 1.设 an 为下述自然数 N 的个数:N 的各位数字之和为 n 且每位数字只能取 1,3 或 4,求 证:a2n 是完全平方数,这里 n=1, 2,…. 2.设 a1, a2,…, an 表示整数 1,2,…,n 的任一排列,f(n)是这些排列中满足如下性质的排 列数目:①a1=1; ②|ai-ai+1|≤2, i=1,2,…,n-1。 试问 f(2007)能否被 3 整除? 3.设数列{an}和{bn}满足 a0=1,b0=0,且

?a n ?1 ? 7 a n ? 6bn ? 3, ? ? ?bn ?1 ? 8a n ? 7bn ? 4, n ? 0,1,2, ?. ?
求证:an (n=0,1,2,…)是完全平方数。 4.无穷正实数数列{xn}具有以下性质:x0=1,xi+1<xi (i=0,1,2,…),

(1) 求证: 对具有上述性质的任一数列, 总能找到一个 n≥1, 使 均成立;

2 x0 x12 x2 ? ? ? ? n ?1 ≥3.999 x1 x 2 xn

2 2 x0 x12 x n ?1 ? ??? (2)寻求这样的一个数列使不等式 <4 对任一 n 均成立。 x1 x 2 xn

5.设 x1,x2,…,xn 是各项都不大于 M 的正整数序列且满足 xk=|xk-1-xk-2|(k=3,4,…,n)①.试问这样 的序列最多有多少项? 6.设 a1=a2=
2 (1 ? 2a n ? 2 )a n ?1 1 ,且当 n=3,4,5,…时,an= , 2 2 2a n ?1 ? 4a n ? 2 a n ?1 ? a n ? 2 3

(ⅰ)求数列{an}的通项公式;(ⅱ)求证:

1 ? 2 是整数的平方。 an

7.整数列 u0,u1,u2,u3,…满足 u0=1,且对每个正整数 n, un+1un-1=kuu,这里 k 是某个固定的正 整数。如果 u2000=2000,求 k 的所有可能的值。 8.求证:存在无穷有界数列{xn},使得对任何不同的 m, k,有|xm-xk|≥

1 . m?k

9.已知 n 个正整数 a0,a1,…,an 和实数 q,其中 0<q<1,求证:n 个实数 b0,b1,…,bn 和满足: (1)ak<bk(k=1,2,…,n); (2)q<

bk ?1 1 < (k=1,2,…,n); bk q

(3)b1+b2+…+bn<

1? q (a0+a1+…+an). 1? q

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m


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