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圆锥曲线解题技巧总结(基础)


圆锥曲线―概念、方法、题型、及应试技巧总结
椭圆、双曲线和抛物线的基本知识见下表. 曲 性 质 点集: ({M || MF1+ | MF2 | =2a, | F 1F2 |< 2a= 点集: {M || MF1 | - | 点集 {M | | MF | = 点 MF2|. M 到直线 l 的距离}. =±2a,|F2F2|>2a}. 线 椭 圆 双曲线 抛物线

轨迹条件

圆 形

标准方程

x2 y2 + =1(a>b>0) a2 b2
A1(-a,0),A2(a,0); B1(0,-b),B2(0,b) 对称轴 x=0,y=0 长轴长:2a 短轴长:2b F1(-c,0),F2(c,0) 焦点在长轴上 |F1F2|=2c,

x2 y2 =1(a > 0,b > a2 b2
0)

y2=2px(p>0)

顶 点

A1(0,-a),A2(0,a) 对称轴 x=0,y=0 实轴长:2a 虚轴长:2b F1(-c,0),F2(c,0) 焦点在实轴上 |F1F2|=2c, c= a2 ? b2

O(0,0)



对称轴 y=

焦 点

F(

P ,0) 2

焦点对称轴上

焦 距

c= a2 - b2

准 线

a2 x=± c
准线垂直于长轴,且在 椭圆外.

a2 x=± c
准线垂直于实轴,且在 两顶点的内侧. e=

x=-

p 2

准线与焦点位于顶点 两侧, 且到顶点的距离 相等. e=1

离心率

e=

c ,0<e<1 a

c ,e>1 a

1

1.圆锥曲线的两个定义: (1)第一定义中要重视“括号”内的限制条件:椭圆中,与两个定点 F 1 ,F 2 的距离 的和等于常数 2 a ,且此常数 2 a 一定要大于 F1 F2 ,当常数等于 F1 F2 时,轨迹是线段 F 1 F 2 ,当常数小于 F1 F2 时,无轨迹;双曲线中,与两定点 F 1 ,F 2 的距离的差的绝对值等 于常数 2 a ,且此常数 2 a 一定要小于|F 1 F 2 |,定义中的“绝对值”与 2 a <|F 1 F 2 |不可忽 视。若 2 a =|F 1 F 2 |,则轨迹是以 F 1 ,F 2 为端点的两条射线,若 2 a ﹥|F 1 F 2 |,则轨迹 不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。 如(1)方程 ( x ? 6) 2 ? y 2 ? ( x ? 6) 2 ? y 2 ? 8 表示的曲线是_____(答:双曲线的左 支) (2)短轴长为 5 ,离心率

e?

2 3 的椭圆两焦点为 F , F ,过 F 作直线交椭圆于 A、B 1 2 1
) C.12 D.24

两点,则△ABF2 的周长为 ( A.3 (3)已知 P 为椭圆 B.6

x2 y2 ? ? 1 上 的 一 点 , M , N 分 别 为 圆 ( x ? 3)2 ? y 2 ? 1 和 圆 25 16


( x ? 3)2 ? y 2 ? 4 上的点,则 PM ? PN 的最小值为(
A. 5 B. 7 C .13

D. 15

2 (4)设 P 是双曲线 x ?

y2 ? 1的右支上的动点, F 为双曲线的右焦点,已知 A ? 3,1? , 3

求 PA ? PF 的最小值 (5)一动点到 y 轴距离比到点(2, 0)的距离小 2,则此动点的轨迹方程为 ________ 解析: 用抛物线定义

y 2 ? 8 x ( x ? 0) 或y ? 0 ( x ? 0)

(6) 已 知 F 是 双 曲 线

x2 y 2 ? ? 1 的 左 焦 点 , A(1, 4), P 是 双 曲 线 右 支 上 的 动 点 , 则 4 12


PF ? PA 的最小值为

【解析】注意到 P 点在双曲线的两只之间,且双曲线右焦点为 F’(4,0), 于是由双曲线性质|PF|-|PF’|=2a=4 而|PA|+|PF’|≥|AF’|=5
2

两式相加得|PF|+|PA|≥9,当且仅当 A、P、F’三点共线时等号成立. 【答案】9 (2)第二定义中要注意定点和定直线是相应的焦点和准线,且“点点距为分子、点 线距为分母” ,其商即是离心率 e 。圆锥曲线的第二定义,给出了圆锥曲线上的点到焦点距 离与此点到相应准线距离间的关系,要善于运用第二定义对它们进行相互转化。 如(1)已知椭圆 距离为____(答:

x2 y2 ? ? 1 上一点 P 到椭圆左焦点的距离为 3,则点 P 到右准线的 25 16

35 ) ; 3

(2)已知抛物线方程为 y 2 ? 8x ,若抛物线上一点到 y 轴的距离等于 5,则它到抛物 线的焦点的距离等于____; (3) 已知点 Q(2 2 ,0) 及抛物线 y ? 2) (4) .设 P 是双曲线 x ?
2

x2 上一动点 P (x,y) ,则 y+|PQ|的最小值是_____ (答 4

y2 ? 1 的右支上的动点, F 为双曲线的右焦点,已知 A ? 3,1? , 3
1 PF 的最小值. 2

①求 PA ? PF 的最小值;②求 PA ? (5)已知抛物线 y 2 ? 2 x 和定点 A ? 3,

? 10 ? 抛物线上有一动点 P ,P 到点 A 的距离为 d1 , ?, ? 3?

P 到抛物线准线的距离为 d2 ,求 d1 ? d2 的最小值及此时 P 点的坐标.

(6) 设 P 是抛物线

上的一个动点。 ①求点 P 到点 A(-1,1)的距离与点 P 到直线 ②若 B(3,2),求 的最小值。

的距离之和的最小值;

(7)已知 F 是抛物线 y2=x 的焦点,A,B 是该抛物线上的两点, AB 的中点到 y 轴的距离为

AF ? BF =3

,则线段

3 (A) 4
【答案】C

(B)1

5 (C) 4

7 (D) 4

(7)P 为抛物线 y ? 2 px 上任一点,F 为焦点,则以 PF 为直径的圆与 y 轴(
2


3

A. 相交

B. 相切

C. 相离

D. 位置由 P 确定
Y H Q N P M
2

解:如图,抛物线的焦点为 F ?

?p ? , 0 ? ,准线是 ?2 ?

p .作 PH⊥ l 于 H,交 y 轴于 Q,那么 PF ? PH , 2 p 且 QH ? OF ? .作 MN⊥y 轴于 N 则 MN 是梯形 PQOF 的 2 1 1 1 中位线, MN ? ? OF ? PQ ? ? PH ? PF .故以 2 2 2 l:x??
PF 为直径的圆与 y 轴相切,选 B.

O F ( p ,0)
l :x=p 2

X

y2 = 2 px

2 (8) 已知直线 l1 : 4 x ? 3 y ? 6 ? 0 和直线 l2 : x ? ?1 , 抛物线 y ? 4 x 上一动点 P 到直线 l1

和直线 l2 的距离之和的最小值是( A.2 B.3

) C.

11 5

D.

37 16

(9)已知椭圆 C :

x2 ? y 2 ? 1 的右焦点为 F ,右准线为 l , 点 A?l , 线段 AF 交 C 于点 B , 2
) C. 3 D. 3

若 FA ? 3FB ,则 | AF | =( A.

2

B. 2

【解析】过点 B 作 BM ? l 于 M,并设右准线 l 与 X 轴的交点为 N,易知 FN=1.由题意

FA ? 3FB ,故 | BM |?
选A 【答案】A

2 2 2 2 .又由椭圆的第二定义,得 | BF |? ? ? ? | AF |? 2 .故 3 2 3 3

x2 y2 ? ? 1 内有一点 P(1,?1) , F 为右焦点,在椭圆上有一点 M,使 4 3 2 6 ; MP ? 2 MF 之值最小,则点 M 的坐标为_______(答: ( ,?1) ) 3
( 10 ) 椭圆 (11)已知 F1、F2 为双曲线

x2 y2 ? ? 1 的左、右焦点,顶点为 A1、A2, P 是双曲线上 2010 2009
4

任意一点,则分别以线段 PF1、A1A2 为直径的两圆一定( A.相交 C.相离 B.相切 D.以上情况均有可能



(12)抛物线 C:y2=4x 上一点 P 到点 A(3,4 2 )与到准线的距离和最小,则点 P 的坐标为 ______________ (13)抛物线 C: y2=4x 上一点 Q 到点 B(4,1)与到焦点 F 的距离和最小,则点 Q 的坐标 为 。 分析: (1) A 在抛物线外, 如图, 连 PF, 则 PH ? PF , 因而易发现, 当 A、P、F 三点共线时,距离和最小。 (2)B 在抛物线内,如图,作 QR⊥l 交于 R,则当 B、Q、R 三点共线 时,距离和最小。 解: (1) (2, 2 ) (2) (
A Q H P F B

1 ,1 ) 4

点评:这是利用定义将“点点距离”与“点线距离”互相转化的一个典型例题,请仔 细体会。 (15)F 是椭圆

x2 y2 ? ? 1 的右焦点,A(1,1)为椭圆内一定点,P 为椭圆上一动点。 4 3
y A F 0 ′ F P H x

(1) PA ? PF 的最小值为 (2) PA ? 2 PF 的最小值为 分析:PF 为椭圆的一个焦半径,常需将另一焦半径 PF ? 或 准线作出来考虑问题。 解: (1)4- 5 设另一焦点为 F ? ,则 F ? (-1,0)连 A F ? ,P F ?

PA ? PF ? PA ? 2a ? PF ? ? 2a ? ( PF ? ? PA ) ? 2a ? AF ? ? 4 ? 5
5

当 P 是 F ? A 的延长线与椭圆的交点时, PA ? PF 取得最小值为 4- 5 。 (2)3 ∴ PF ? 作出右准线 l,作 PH⊥l 交于 H,因 a2=4,b2=3,c2=1, a=2,c=1,e=

1 , 2

1 PH ,即2 PF ? PH 2

∴ PA ? 2 PF ? PA ? PH

当 A、P、H 三点共线时,其和最小,最小值为

a2 ? xA ? 4 ?1 ? 3 c

(16)设抛物线 y 2 =2x 的焦点为 F,过点 M( 3 ,0)的直线与抛物线相交于 A,B 两 点,与抛物线的准线相交于 C, BF =2,则 ? BCF 与 ? ACF 的面积之比

S?BCF = S?ACF

(A)

4 5

(B)

2 3

(C)

4 7

(D)

1 2

【考点定位】本小题考查抛物线的性质、三点共线的坐标关系,和综合运算数学的能 力,中档题。 6

C

4

2

F: (0.51 , 0.00 )

A F

-5

5

10

x=-0.5
-2

B

-4

S BC 解析:由题知 ?BCF ? ? S ?ACF AC
-6

1 2 ? 2xB ? 1 , 1 2xA ? 1 xA ? 2 xB ?

又 | BF |? x B ?

1 3 ? 2 ? xB ? ? yB ? ? 3 2 2
6

由 A、 B、 M 三点共线有

0 ? 2xA yM ? y A y ? yB 0? 3 ? 即 , 故 xA ? 2 , ? M 3 xM ? x A xM ? xB 3 ? xA 3? 2



S ?BCF 2 x B ? 1 3 ? 1 4 ? ? ? ,故选择 A。 S ?ACF 2 x A ? 1 4 ? 1 5

2.圆锥曲线的标准方程(标准方程是指中心(顶点)在原点,坐标轴为对称轴时的标 准位置的方程),一般求已知曲线类型的曲线方程问题,可采用“先定形,后定式,再定量” 的步骤. 定形——指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置. 定式——根据“形”设方程的形式,注意曲线系方程的应用,如当椭圆的焦点不确定在 哪个坐标轴上时,可设方程为 mx2+ny2=1(m>0,n>0). 定量——由题设中的条件找到“式”中特定系数的等量关系,通过解方程得到量的大小.

x2 y2 y2 x2 a ? b ? 0 y ? ? ? 1 ( ) ,焦点在 轴上时 = a2 b2 a2 b2 1( a ? b ? 0 ) 。方程 Ax2 ? By 2 ? C 表示椭圆的充要条件是什么?(ABC≠0,且 A,B,
(1)椭圆:焦点在 x 轴上时 C 同号,A≠B) 。 如(1)已知方程

x2 y2 ? ? 1 表 示 椭 圆 , 则 k 的 取 值 范 围 为 ____ ( 答 : 3? k 2?k

1 1 (?3, ? ) (? , 2) ) ; 2 2 2 2 (2)若 x, y ? R ,且 3x2 ? 2 y 2 ? 6 ,则 x ? y 的最大值是____, x ? y 的最小值是
___(答: 5, 2 ) (3)已知椭圆的中心在原点, 以坐标轴为对称轴, 且经过两点 P 1

?

6,1 ,P2 ? 3, ? 2 ;

?

?

?

(4)两准线间的距离为

18 5 ,焦距为 2 5 ; 5

(5)和椭圆

x2 y 2 1 ? ? 1 共准线,且离心率为 ; 2 24 20
7

(6)在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C 的中心为原点,焦点

F1 , F2 在 x 轴上,离心率为

2 2 .过点 F1 的直线 l 交 C 于 A,B 两点,且 ?ABF2 的周长为 16,那么 C 的方程为
_________.

x2 y 2 ? ?1 【答案】 16 8

(6)已知 P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上,点 P 到两焦点的距离分别为 过点 P 作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点.

4 5 2 5 和 , 3 3

(7)已知椭圆的对称轴为坐标轴, 短轴的一个端点与两焦点连线构成一个正三角

形,且焦点到椭圆上的点的最短距离为 3 ,求此椭圆的方程
x2 y y2 x ? ? 1, 或 ? ?1 12 9 12 9

x2 y 2 1 ? 2 ?1 2 2 2 b (8)若椭圆 a 的焦点在 x 轴上,过点(1, 2 )作圆 x +y =1 的切线,切点分
别为 A,B,直线 AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点,则椭圆方程是

x2 y 2 ? ?1 4 【答案】 5

x2 y2 (8)已知 F1 、 F2 是椭圆 C : 2 ? 2 ? 1( a > b >0)的两个焦点, P 为椭圆 C 上一 a b
点,且 PF 1 F2 的面积为 9,则 b =____________. 1 ? PF 2 .若 ?PF 【答案】3

8

?| PF1 | ? | PF2 |? 2a ? 【解析】依题意,有 ?| PF1 | ? | PF2 |? 18 ,可得 4c2+36=4a2,即 a2-c2=9,故有 b ? 2 2 2 ?| PF1 | ? | PF2 | ? 4c
=3。

x2 ? y2 ? 1 F , F F A ? 5F2 B ; (9)设 1 2 分别为椭圆 3 的左、右焦点,点 A, B 在椭圆上,若 1
则点 A 的坐标是 【答案】 (0, ?1) .

x2 y2 y2 x2 (2) 双曲线: 焦点在 x 轴上: 2 ? 2 =1, 焦点在 y 轴上: 2 ? 2 =1 ( a ? 0, b ? 0 ) 。 a b a b 方程 Ax2 ? By 2 ? C 表示双曲线的充要条件是什么?(ABC≠0,且 A,B 异号) 。


x2 y 2 ?1? 与双曲线 ? ? 1 有共同的渐近线,且过点 ?3, 2 3 ; 9 16

?

?

? 2 ? 与双曲线 ? 3? 以椭圆

x2 y 2 ? ? 1 有公共焦点,且过点 3 2, 2 ; 16 4

?

?

x2 y 2 ? ? 1 的长轴端点为焦点,且过点 P 4 2,3 ; 25 9
15 ? ,3 ? ,且一条渐近线方程为 4 x ? 3 y ? 0 ; ?4 ?

?

?

? 4 ? 经过点 ? ?

? 5? 双曲线中心在原点,焦点在坐标轴上,离心率为
2 2

2 ,且过点 4, ? 10 .

?

?

(6)设中心在坐标原点 O ,焦点 F1 、 F2 在坐标轴上,离心率 e ?

2 的双曲线 C 过点

P(4,? 10) ,则 C 的方程为_______(答: x ? y ? 6 )
( 7 )设 P 是等轴双曲线 x 2 ? y 2 ? a 2 (a ? 0) 右支上一点, F1 、 F2 是左右焦点,若

PF2 ? F1 F2 ? 0 ,|PF1|=6,则该双曲线的方程为

(答: x2 ? y 2 ? 4 ) ;

x2 y 2 ? 2 ? 1(a>0,b>0) 2 b (8)已知双曲线 a 的两条渐近线均和圆
9

C: x ? y ? 6 x ? 5 ? 0 相切,且双曲线的右焦点为圆 C 的圆心,则该双曲线的方程为
2 2

x2 y 2 ? ?1 4 A. 5
【答案】A

x2 y 2 ? ?1 5 B. 4

x2 y 2 ? ?1 6 C. 3

x2 y 2 ? ?1 3 D. 6

(3)抛物线:开口向右时 y 2 ? 2 px( p ? 0) ,开口向左时 y 2 ? ?2 px( p ? 0) ,开口 向上时 x ? 2 py( p ? 0) ,开口向下时 x ? ?2 py( p ? 0) 。 如
2 2

?1? 过点 P ? ?3, 2? ;
(2)焦点在直线 x ? 2 y ? 4 ? 0 上; (3)顶点在原点,对称轴为 x 轴,抛物线上的点 M ? ?3, m? 到焦点的距离等于 5 ;

? 4 ? 顶点在原点,对称轴为 x 轴且截直线 2x ? y ? 1 ? 0 所得弦长为
短距离。

15 .

(5)定长为 3 的线段 AB 的两个端点在 y=x2 上移动,AB 中点为 M,求点 M 到 x 轴的最

5 4

3.圆锥曲线焦点位置的判断(首先化成标准方程,然后再判断) : (1)椭圆:由 x , y
2
2 2

分母的大小决定,焦点在分母大的坐标轴上。

如已知方程

x y2 则 m 的取值范围是__ (答: ? ? 1 表示焦点在 y 轴上的椭圆, m ?1 2 ? m

3 ( ?? ,?1) ? (1, ) ) 2
(2)双曲线:由 x , y 项系数的正负决定,焦点在系数为正的坐标轴上; (3)抛物线:焦点在一次项的坐标轴上,一次项的符号决定开口方向。 特别提醒: (1)在求解椭圆、双曲线问题时,首先要判断焦点位置,焦点 F 1 ,F 2 的 位置,是椭圆、双曲线的定位条件,它决定椭圆、双曲线标准方程的类型,而方程中的两 个参数 a , b ,确定椭圆、双曲线的形状和大小,是椭圆、双曲线的定形条件;在求解抛物
2 2 2 线问题时,首先要判断开口方向; (2)在椭圆中, a 最大, a ? b ? c ,在双曲线中, c 2 2 2 最大, c ? a ? b 。

2

2

10

4.圆锥曲线的几何性质:

x2 y2 ? ? 1( a ? b ? 0 )为例) :①范围: ?a ? x ? a, ?b ? y ? b ; a2 b2 ②焦点:两个焦点 (?c, 0) ;③对称性:两条对称轴 x ? 0, y ? 0 ,一个对称中心(0,0) ,
(1)椭圆(以 四个顶点 (? a, 0), (0, ?b) , 其中长轴长为 2 a , 短轴长为 2 b ; ④准线: 两条准线 x ? ? ⑤离心率: e ?

a2 ; c

c ,椭圆 ? 0 ? e ? 1 , e 越小,椭圆越圆; e 越大,椭圆越扁。⑥焦半径 a 25 x2 y2 10 如(1)若椭圆 ,则 m 的值是__(答:3 或 ) ; ? ? 1 的离心率 e ? 3 5 m 5
(2)以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为 1 时,则椭圆长

轴的最小值为__(答: 2 2 ) (3) 已知椭圆的方程为

x2 y2 ? ? 1, 若点 P 在第二象限, 且∠PF1F2=1200, 求三角形 PF1F2 4 3

的面积.(

3 3) 5

(4)已知 F1 , F2 是椭圆的两个焦点, P 是椭圆上一点,且 ?F1PF2 ? 60? . (1)求椭圆离心率的取值范围; (2)求证 ?PF 1F2 的面积与椭圆短轴长有关.

x2 y2 b 2 2 2 (5)若椭圆 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 和圆 x ? y ? ( ? c) , (c 为椭圆的半焦距),有四 2 a b
个不同的交点,则椭圆的离心率 e 的取值范围是 ( A ( ) D (0,

5 3 , ) 5 5

B (

2 5 , ) 5 5

C (

2 3 , ) 5 5

5 ) 5

答案: A

x2 y 2 ? ?1 (6)如图,把椭圆 25 16 的长轴 AB 分成 8 等份,过
每个分点作

x 轴的垂线交椭圆的上半部分于

P 1, P 2, P 3, P 4, P 5, P 6, P 7 七个点, F 是椭圆的一个焦点则
PF ?P 1 2F ? P 3F ? P 4F ? P 5F ? P 6F ? P 7F ?
________________

11

?A ? 300 ,| AB |? 2, S?ABC ? 3 .若以 A,B 为焦点的椭圆 经过点 C ,则该椭圆的离心率 e ? ________________
(7)在 △ ABC 中,

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 相交于 A、B 两点,且线段 a 2 b2 2 AB 的中点在直线 L:x-2y=0 上,则此椭圆的离心率为_______(答: ) ; 2
(8)已知直线 y=-x+1 与椭圆 (9) 设圆锥曲线 r 的两个焦点分别为 F1, F2, 若曲线 r 上存在点 P 满足 =4:3:2,则曲线 r 的离心率等于

PF1 : F1F2 : PF2

1 3 或 2 2 A.
【答案】A

2 B. 3 或 2

1 或 2 C. 2

2 3 或 3 2 D.

x2 y 2 ? ?1 ( a ? 0, b ? 0 ) 为例) : ①范围:x ? ? a 或 x ? a, y ? R ; a 2 b2 ②焦点:两个焦点 (?c, 0) ;③对称性:两条对称轴 x ? 0, y ? 0 ,一个对称中心(0,0) , 两个顶点 (? a, 0) , 其中实轴长为 2 a , 虚轴长为 2 b , 特别地, 当实轴和虚轴的长相等时,
(2) 双曲线 (以 称为等轴双曲线,其方程可设为 x2 ? y 2 ? k , k ? 0 ;④准线:两条准线 x ? ? 心率: e ?

a2 ; ⑤离 c

c ,双曲线 ? e ? 1 ,等轴双曲线 ? e ? 2 , e 越小,开口越小, e 越大, a b 开口越大;⑥两条渐近线: y ? ? x 。⑦焦半径 a 13 如 (1) 双曲线的渐近线方程是 3x ? 2 y ? 0 , 则该双曲线的离心率等于______ (答: 2 13 或 ) ; 3 1 2 2 (2)双曲线 ax ? by ? 1的离心率为 5 ,则 a : b = (答:4 或 ) ; 4 x2 y2 (3)设双曲线 2 ? 2 ? 1(a>0,b>0)中,离心率 e∈[ 2 ,2],则两条渐近线夹角 a b
(锐角或直角)θ 的取值范围是________(答: [

? ?

, ]) ; 3 2

(4)已知直线 l 过双曲线 C 的一个焦点,且与 C 的对称轴垂直,l 与 C 交于 A,B 两点,

| AB | 为 C 的实轴长的 2 倍,C 的离心率为
12

(A) 2 【答案】B

(B) 3

(C) 2

(D) 3

(4)如图, F1 和 F2 分别是双曲线

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的两个焦点, A 和 B 是以 O a2 b2

为圆心,以 O F1 为半径的圆与该双曲线左支的两个交点,且△ F2 AB 是等边三角形,则 双曲线的离心率为( (A) 3 (B) 5 ) (C)

5 2

(D) 1 ? 3

x2 y2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 b (5)已知双曲线 C: a 的两个焦点为 F1 , F2 ,点 P 是双曲线 C 上
1 ? PF 2 ? 0 ,且 的一点, PF

PF1 ? 2 PF2

.求双曲线的离心率 e ;

x2 y2 (6)直线 l 过双曲线 2 ? 2 ? 1 的右焦点,斜率 k=2.若 l 与双曲线的两个交点分别在左 a b
右两支上,则双曲线的离心率 e 的范围是 A.e> 2 B.1<e< 3 C.1<e< 5 ( )

D.e> 5

x2 y 2 ? 2 ? 1, (a ? 0, b ? 0) 2 F,F b (7)已知双曲线 a 的左,右焦点分别为 1 2 ,点 P 在双曲
线的右支上,且

| PF1 |? 4 | PF2 | ,则此双曲线的离心率 e 的最大值为

x2 y2 ? ? 1(b ? 0) 的左、右焦点分别是 F1 、 F2 ,其一条渐近线方程为 (8)已知双曲线 2 b2
y ? x ,点 P( 3, y0 ) 在双曲线上.则 PF 1 ? PF 2 =(
A. -12 B. -2 C. 0 ) D. 4

2 2 【解析】由渐近线方程为 y ? x 知双曲线是等轴双曲线,∴双曲线方程是 x ? y ? 2 ,

13

于是两焦点坐标分别是(-2,0)和(2,0) ,且 P( 3,1) 或 P( 3,?1) .不妨去 P( 3,1) , 则 PF ). 1 ? (?2 ? 3,?1) , PF 2 ? (2 ? 3,?1 ∴ PF )(2 ? 3,?1) ? ?(2 ? 3)(2 ? 3) ? 1 ? 0 1 ? PF 2 = (?2 ? 3,?1 【答案】C (9)过双曲线

x2 y 2 ? ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的右顶点 A 作斜率为 ?1 的直线,该直线与双曲线 a 2 b2
1 BC ,则双曲线的离心率是 ( 2
C. 5 ) D. 10

的两条渐近线的交点分别为 B, C .若 AB ? A. 2 B. 3

【解析】对于 A? a,0? ,则直线方程为 x ? y ? a ? 0 ,直线与两渐近线的交点为 B,C,

? a2 ab ? a2 ab B? , , C ( ,? ) 则有 ? a ?b a ?b ? a?b a?b ?
BC ? ( 2a 2b 2a 2b ? ab ab ? 2 2 , ? ), AB ? ? ? , ? ,因 2 AB ? BC,?4a ? b ,?e ? 5 . 2 2 2 2 a ?b a ?b a ? b a ? b ? ?

【答案】C

x2 y 2 (10) 设 F1 和 F2 为双曲线 2 ? 2 ? 1 ( a ? 0, b ? 0 )的两个焦点, 若 F1,F2 ,P(0, 2b) 是 a b
正三角形的三个顶点,则双曲线的离心率为 A.

3 2

B. 2

C.

5 2

D.3

【解析】由 tan 【答案】B (11)过椭圆

?
6

?

c c 3 2 2 2 2 有 3c ? 4b ? 4(c ? a ) ,则 e ? ? 2 ,故选 B. ? a 2b 3

x2 y 2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )的左焦点 F1 作 x 轴的垂线交椭圆于点 P , F2 为右 a 2 b2

焦点,若 ?F 1PF 2 ? 60 ,则椭圆的离心率为

A.

2 2

B.

3 3

C.

1 2

D.

1 3
14

答案:B 【解析】因为 P(?c, ? B (12)已知双曲线 A.3 【答案】C 【解析】可得双曲线的准线为 x ? ?
x2 y2 x2 y2 ? ? 1的准线经过椭圆 ? 2 ? 1 (b>0)的焦点,则 b= 2 2 4 b

b2 3b 2 c 3 ) ,再由 ?F1PF2 ? 60 有 ? 2a, 从而可得 e ? ? ,故选 a a a 3

B. 5

C. 3

D. 2

a2 ? ? 1 ,又因为椭圆焦点为 (? 4 ? b2 ,0) 所以有 c

4 ? b2 ? 1 .即 b2=3 故 b= 3 .故 C.

(13)已知双曲线 C: 2 ?

x2 a

y2 ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的右焦点为 F ,过 F 且斜率为 3 的直线 b2
w.w.w. k. s.5.u.c.o.

交 C 于 A、B 两点,若 AF ? 4 FB ,则 C 的离心率为
m

A.

6 5

B.

7 5

C.

5 8

D.

9 5

x2 y 2 解:设双曲线 C: 2 ? 2 ? 1 的右准线为 l , 过 A、B 分 a b
别 作

AM ? l



M

,

BN ? l



N

,

BD ? AM 于D ,由直线 AB 的斜率为 3 ,知直线 AB
的倾斜角为 60???BAD ? 60?,| AD |? 由 双 曲 线 的 第 二

1 | AB | , 2
义 有



1 | AM | ? | BN |?| AD |? (| AF | ? | FB |) e 1 1 ? | AB |? (| AF | ? | FB |) . 2 2 1 5 6 又 AF ? 4 FB ? ? 3 | FB |? | FB |? e ? e 2 5

故选 A
15

(3)抛物线(以 y 2 ? 2 px( p ? 0) 为例) :①范围: x ? 0, y ? R ;②焦点:一个焦点

p ( , 0) ,其中 p 的几何意义是:焦点到准线的距离;③对称性:一条对称轴 y ? 0 ,没有 2 p c 对称中心,只有一个顶点(0,0) ;④准线:一条准线 x ? ? ; ⑤离心率: e ? ,抛物 2 a 线 ? e ? 1 。⑥垂直于 x 轴的通径是最短的弦长
如(1)设 a ? 0, a ? R ,则抛物线 y ? 4ax2 的焦点坐标为________(答: (0,
2 (2)设 AB 为过抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的焦点的弦,则 AB 的最小值为(

1 ; )) 16 a


A

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p 2

B

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p

C

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2p

D

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无法确定

垂直于焦点的弦长最短 (3)抛物线 y ? ax2 (a<0) 的焦点坐标和准线方程分别为( A. ( ). D. (0, ?

1 1 , 0), x ? ? 4a 4a

B. (?

1 1 , 0), x ? ? 4a 4a

C. (0,

1 1 ), y ? ? 4a 4a

1 1 ), y ? ? 4a 4a

( 5 ) 已 知 圆 x 2 ? y 2 ? 6x ? 7 ? 0 与 抛 物 线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的 准 线 相 切 , 则 p ? ___________. (6)在抛物线 y2=2px 上,横坐标为 4 的点到焦点的距离为 5,则 p 的值为 A
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1 2

B1
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C2
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D4
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x2 y2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )的关系: (1)点 P( x0 , y0 ) 在椭圆 a2 b2 2 2 2 x0 y0 x 2 y0 ? ? 1 ? 外? 0 ; ( 2 )点 在椭圆上 =1; (3)点 P( x0 , y0 ) 在椭圆 P ( x , y ) ? 0 0 a 2 b2 a2 b2 2 x 2 y0 ? ?1 内? 0 a 2 b2
5、点 P( x0 , y0 ) 和椭圆 6.直线与圆锥曲线的位置关系: 注意: (1)位置关系判断:△法(△适用对象是二次方程,二次项系数不为 0) 。 其中直线和曲线只有一个公共点,包括直线和双曲线相切及直线与双曲线渐近线平行 两种情形;后一种情形下,消元后关于 x 或 y 方程的二次项系数为 0。 直线和抛物线只有一个公共点包括直线和抛物线相切及直线与抛物线对称轴平行等 两种情况;后一种情形下,消元后关于 x 或 y 方程的二次项系数为 0。
16

(2)直线和圆锥曲线相交时,交点坐标就是方程组的解。 当涉及到弦的中点时,通常有两种处理方法:一是韦达定理;二是点差法。 如: (1)直线 y=kx-2 交抛物线 y =8x 于 A、B 两点,若 AB 中点横坐标为 2,则|AB|为 A、 15 B、 2 15 C、 42 )
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2

D、 2 15

(2)过点(0, 2)与抛物线 y 2 ? 8x 只有一个公共点的直线有 ( A
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1条 B 2条 C 3条 D 无数条 答案: C (1)相交: ? ? 0 ? 直线与椭圆相交; ? ? 0 ? 直线与双曲线相交,但直线与双 曲线相交不一定有 ? ? 0 ,当直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交且只有一 个交点,故 ? ? 0 是直线与双曲线相交的充分条件,但不是必要条件; ? ? 0 ? 直线与抛 物线相交,但直线与抛物线相交不一定有 ? ? 0 ,当直线与抛物线的对称轴平行时,直线 与抛物线相交且只有一个交点,故 ? ? 0 也仅是直线与抛物线相交的充分条件,但不是必 要条件。
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如(1)若直线 y=kx+2 与双曲线 x -y =6 的右支有两个不同的交点,则 k 的取值范围 是_______(答:(-

2

2

15 ,-1)) ; 3

(2)直线 y―kx―1=0 与椭圆 (答:[1,5)∪(5,+∞) ) ; (3)过双曲线

x2 y 2 ? ? 1 恒有公共点,则 m 的取值范围是_______ 5 m

x2 y2 ? ? 1 的右焦点直线交双曲线于 A、B 两点,若│AB︱=4,则 1 2

这样的直线有_____条(答:3) ; (4)直线 y ? ? A. 0 个

x x y2 1 x ? 5 与曲线 ? ? 1 的交点个数是 3 9 25
C. 2 个
2

(

)

B. 1 个

D. 3 个.

(5).过点 (0,3) 作直线 l ,如果它与双曲线 条数是 .
2

x y2 ? ? 1 有且只有一个公共点,则直线 l 的 4 3

(6)过点 P(0,1) 与抛物线 y ? x 有且只有一个交点的直线有( (A)4 条 【答案】 (B) (B)3 条 (C)2 条

) (D)1 条

(7) 将两个顶点在抛物线 y ? 2 px? p ? 0? 上, 另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形的
2

17

个数记为 n ,则( ) n ? 0 A. B. n ? 1 C. n ? 2 答案:C 解析:根据抛物线的对称性,正三角形的两个 顶点一定关于 x 轴对称,且过焦点的两条直线 倾斜角分别为 30 0 和 1500 ,这时过焦点的直线 与抛物线最多只有两个交点,如图所以正三角形 的个数记为 n , n ? 2 ,所以选 C.

D. n ? 3

y C O F D

B

x A

(8)直线 l 过双曲线

x2 y2 ? ? 1 的右焦点,斜率 k=2.若 l 与双曲线的两个交点分别在左 a2 b2
( ) (找 a,b,c 的不等关系)

右两支上,则双曲线的离心率 e 的范围是 A.e> 2 B.1<e< 3 C.1<e< 5

D.e> 5

(9) 已知双曲线

x2 y 2 x2 y 2 ? ? 1 的准线过椭圆 ? 2 ? 1 的焦点, 则直线 y ? kx ? 2 与椭圆 2 2 4 b

至多有一个交点的充要条件是 A. K ? ? ? , ? 2 2 C. K ? ? ?

? 1 1? ? ?
2 2? , ? 2 2 ?

B. K ? ? ??, ? ? 2

? ?

1? ?

?1 ? , ?? ? ? ?2 ?
? 2 ? , ?? ? ? ? ? 2 ?

? ?

D. K ? ? ??, ?

? ? ?

2? ? 2 ?

【答案】A 【解析】易得准线方程是 x ? ?

a2 2 ? ? ? ?1 b 2 x2 y 2 ? ?1 4 3

所以 c 2 ? a 2 ? b2 ? 4 ? b2 ? 1 即 b 2 ? 3 所以方程是

联立 y ? kx ? 2 可得 3x2 +(4k 2 +16k)x ? 4 ? 0 由 ? ? 0 可解得 A ( 10 )已知以 T ? 4 为周期的函数 f ( x) ? ?

? ?m 1 ? x 2 , x ? (?1,1] ,其中 m ? 0 。若方程 1 ? x ? 2 , x ? (1,3] ? ?


3 f ( x) ? x 恰有 5 个实数解,则 m 的取值范围为(

18

A. (

15 8 , ) 3 3

B. (

15 , 7) 3

C. ( , )

4 8 3 3

D. ( , 7)

4 3

【答案】B 【解析】因为当 x ? (?1,1] 时,将函数化为方程 x ?
2

y2 ? 1( y ? 0) ,实质上为一个半 m2

椭圆,其图像如图所示,同时在坐标系中作出当 x ? (1,3] 得图像,再根据周期性作出函数 其它部分的图像,由图易知直线 y ?
2

x 与第二 3

y2 个椭圆 ( x ? 4) ? 2 ? 1( y ? 0) 相交,而与第 m
三个半椭圆 ( x ? 4) ?
2

y2 ? 1( y ? 0) 无公共点 m2 y2 x 2 代入 ( x ? 4) ? 2 ? 1( y ? 0) 得 3 m

时,方程恰有 5 个实数解,将 y ?

(9m2 ? 1) x2 ? 72m2 x ? 135m2 ? 0, 令 t ? 9m2 (t ? 0)则(t ? 1) x2 ? 8tx ? 15t ? 0
由 ? ? (8t )2 ? 4 ?15t (t ? 1) ? 0, 得t ? 15,由9m2 ? 15, 且m ? 0得m ?

15 3

同样由 y ?

y2 x 2 与第二个椭圆 ( x ? 8) ? 2 ? 1( y ? 0) 由 ? ? 0 可计算得 m ? 7 3 m
15 , 7) 3

综上知 m ? (

(3)相切: ? ? 0 ? 直线与椭圆相切; ? ? 0 ? 直线与双曲线相切; ? ? 0 ? 直线 与抛物线相切; I 直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形:相切和相交。如果 直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交,但只有一个交点;如果直线与抛物 线的轴平行时,直线与抛物线相交,也只有一个交点; II 过双曲线

x2 y2 ? =1 外一点 P( x0 , y0 ) 的直线与双曲线只有一个公共点的情况如下: a2 b2
19

①P 点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时, 有两条与渐近线平行的直线和分别 与双曲线两支相切的两条切线,共四条;②P 点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域 内时,有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线,共四条;③P 在 两条渐近线上但非原点,只有两条:一条是与另一渐近线平行的直线,一条是切线; ④P 为原点时不存在这样的直线; III 过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点: 两条切线和一条平行 于对称轴的直线。

如: (1)设双曲线

x2 y 2 - 2 =1? a>0,b>0 ? 的渐近线与抛物线 y=x2+1相切,则该双 2 a b
) B.2 C. 5 D. 6

曲线的离心率等于( A. 3

【解析】由题双曲线

bx x2 y 2 - 2 =1? a>0,b>0 ? 的一条渐近线方程为 y ? ,代入抛物 2 a a b

线 方程整理 得 ax 2 ? bx ? a ? 0 ,因 渐近线 与抛物线 相切, 所以 b 2 ? 4a 2 ? 0 , 即

c 2 ? 5a 2 ? e ? 5 ,故选择 C.
【答案】C (2)设双曲线 的离心率为( A.

x2 y2 ? ? 1 的一条渐近线与抛物线 y=x 2 +1 只有一个公共点,则双曲线 a2 b2
). B. 5 C.

5 4

5 2

D. 5

b ? x2 y2 b ? y? x 【解析】双曲线 2 ? 2 ? 1 的一条渐近线为 y ? x , 由方程组 ? a , 消去 y, 得 a a b 2 ? ? y ? x ?1
x2 ?
所以

b b x ? 1 ? 0 有唯一解,所以△= ( ) 2 ? 4 ? 0 , a a b c a 2 ? b2 b ?2, e? ? ? 1 ? ( )2 ? 5 ,故选 D. a a a a

【答案】D
20

x2 y 2 x2 y 2 (3) 已知双曲线 则直线 y ? kx ? 2 与椭圆 ? ? 1 的准线过椭圆 ? 2 ? 1 的焦点, 2 2 4 b
至多有一个交点的充要条件是( A. K ? ? ? , ? 2 2 C. K ? ? ? ) B. K ? ? ??, ? ? 2

? 1 1? ? ?
2 2? , ? 2 2 ?

? ?

1? ?

?1 ? , ?? ? ? ?2 ?
? 2 ? , ?? ? ? ? ? 2 ?

? ?

D. K ? ? ??, ?

? ? ?

2? ? 2 ?

【解析】易得准线方程是 x ? ?

a2 2 ? ? ? ?1 b 2 x2 y 2 ? ?1 4 3

所以 c 2 ? a 2 ? b2 ? 4 ? b2 ? 1 即 b 2 ? 3 所以方程是

联立 y ? kx ? 2 可得 3x2 +(4k 2 +16k)x ? 4 ? 0 由 ? ? 0 可解得 A. 【答案】A (4)过点 ( 2,4) 作直线与抛物线 y 2 ? 8x 只有一个公共点,这样的直线有______(答:2) ; (5)抛物线 y ? ? x2 的点到直线 4 x ? 3 y ? 8 ? 0 距离的最小值是( )

A.

4 3

B.

7 3

C.

8 5

D. 3
8 13 ) ; 13

(6)求椭圆 7 x 2 ? 4 y 2 ? 28上的点到直线 3x ? 2 y ? 16 ? 0 的最短距离(答: (7) 过点(0,2)与双曲线 (答: ? ?

x2 y2 ? ? 1 有且仅有一个公共点的直线的斜率的取值范围为______ 9 16

? ? 4 4 5? ? ,? ; ?) 3 3 ? ? ? ?

(3)相离: ? ? 0 ? 直线与椭圆相离; ? ? 0 ? 直线与双曲线相离; ? ? 0 ? 直 线与抛物线相离。 特别提醒: (1)直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形:相 切和相交。如果直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交,但只有一个交点;如果

x2 y2 直线与抛物线的轴平行时,直线与抛物线相交,也只有一个交点; (2)过双曲线 2 ? 2 =1 a b 外一点 P( x0 , y0 ) 的直线与双曲线只有一个公共点的情况如下: ①P 点在两条渐近线之间且
不含双曲线的区域内时,有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线,
21

共四条;②P 点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时,有两条与渐近线平行的直线 和只与双曲线一支相切的两条切线,共四条;③P 在两条渐近线上但非原点,只有两条: 一条是与另一渐近线平行的直线,一条是切线;④P 为原点时不存在这样的直线; (3)过 抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点:两条切线和一条平行于对称轴 的直线。 如(1)对于抛物线 C: y 2 ? 4 x ,我们称满足 y0 ? 4x0 的点 M ( x0 , y0 ) 在抛物线的
2

内部,若点 M ( x0 , y0 ) 在抛物线的内部,则直线 l : y0 y ? 2( x ? x0 ) 与抛物线 C 的位置关系 是_______(答:相离) ; (2)过抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点 F 作一直线交抛物线于 P、Q 两点,若线段 PF 与 FQ 的长 分别是 p 、 q ,则 (3)设双曲线

1 1 ; ? ? _______(答:1) p q

x2 y2 ? ? 1 的右焦点为 F ,右准线为 l ,设某直线 m 交其左支、右支和右 16 9 准线分别于 P, Q, R , 则 ?PFR 和 ?QFR 的大小关系为___________(填大于、 小于或等于)
(答:等于) ; (4)直线 y ? ax ? 1 与双曲线 3x 2 ? y 2 ? 1交于 A 、 B 两点。①当 a 为何值时, A 、 B 分 别在双曲线的两支上?②当 a 为何值时,以 AB 为直径的圆过坐标原点?(答:①

??

3, 3 ;② a ? ?1 ) ;

?

7、焦半径(圆锥曲线上的点 P 到焦点 F 的距离)的计算方法:利用圆锥曲线的第二 定义,转化到相应准线的距离,即焦半径 r ? ed ,其中 d 表示 P 到与 F 所对应的准线的 距离。 如(1)点 P 在椭圆

x2 y2 ? ? 1 上,它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍,则 25 9

点 P 的横坐标为—————— (2) .椭圆

x2 y2 ? ? 1 的焦点为 F1 , F2 ,点 P 为其上的动点,当 ?F1 PF2 为钝角时,点 P 横坐 9 4
.

标的取值范围是 解析: 焦半径公式.

?

3 5

?x?

3 5

(3)抛物线 y ? 2 x 上的两点 A、B 到焦点的距离和是 5,则线段 AB 的中点到 y 轴的 距离为______(答:2) ;
2

(4) 已知 F1 、F2 为双曲线 C: x ? y ? 1的左、 右焦点, 点 p 在 C 上, ∠ F1 p F2 = 60 ,
2 2
0

则 P 到 x 轴的距离为( (A)

) (C)

3 2

(B)

6 2

3

(D)

6
22

6 ,F1、F2 是它的左右焦点,若过 F1 的直线 2 与双曲线的左支交于 A、B 两点,且 AB 是 AF2 与 BF2 等差中项,则 AB =__________
(5)双曲线的虚轴长为 4,离心率 e= (答: 8 2 ) ; 8、焦点三角形(椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形)问题:

S ? b 2 tan

?
2

? c | y0 | ,当 | y0 |? b 即 P 为短轴端点时, S max 的最大值为 bc;对于双曲线

S?

b2 t an

?
2



如 ( 1 ) 已知双曲线的离心率为 2 , F1 、 F2 是左右 焦点, P 为双曲线上一点,且

?F1 PF2 ? 60 , S ?PF1F2
?

x2 y 2 ; ? 12 3 .求该双曲线的标准方程(答: ? ? 1 ) 4 12

9、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质: (1)以过焦点的弦为直径的圆和 准线相切; (2)设 AB 为焦点弦, M 为准线与 x 轴的交点,则∠AMF=∠BMF; (3)设 AB 为焦点弦,A、B 在准线上的射影分别为 A 1 ,B 1 ,若 P 为 A 1 B 1 的中点,则 PA⊥PB; (4)若 AO 的延长线交准线于 C,则 BC 平行于 x 轴,反之,若过 B 点平行于 x 轴的直线交准线于 C 点,则 A,O,C 三点共线。 10、弦长公式:若直线 y ? kx ? b 与圆锥曲线相交于两点 A、B,且 x1 , x2 分别为 A、 B 的横坐标,则 AB = 1 ? k
2

x1 ? x2 ,若 y1 , y2 分别为 A 、 B 的纵坐标,则 AB =

1?

1 y1 ? y 2 ,若弦 AB 所在直线方程设为 x ? ky ? b ,则 AB = 1 ? k 2 y1 ? y2 。 2 k

特别地,焦点弦(过焦点的弦) :焦点弦的弦长的计算,一般不用弦长公式计算,而是将 焦点弦转化为两条焦半径之和后,利用第二定义求解。 如(1)过抛物线 y2=4x 的焦点作直线交抛物线于 A(x1,y1) ,B(x2,y2)两点,若 x1+x2=6,那么|AB|等于_______(答:8) ; (2)过抛物线 y ? 2 x 焦点的直线交抛物线于 A、B 两点,已知|AB|=10,O 为坐标 原点,则Δ ABC 重心的横坐标为_______(答:3) ;
2

(3)已知抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的焦点恰为双曲线 12 x ? 4 y ? 3 的右焦点,且倾斜角
2 2 2



3 ? 的直线交抛物线于 P , Q 两点,则 | y1 ? y2 | 的值为( 4
A. 2 B. 4 C. 4 2

) D. 8

11、圆锥曲线的中点弦问题:遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。

23

在椭圆

b 2 x0 x2 y2 ? ? 1 中,以 为中点的弦所在直线的斜率 k= - ;在双曲线 P ( x , y ) 0 0 a2 b2 a 2 y0

b 2 x0 x2 y 2 ? ? 1 中 , 以 为 中 点 的 弦 所 在 直 线 的 斜 率 k= ;在抛物线 P ( x , y ) 0 0 a 2 b2 a 2 y0 p y 2 ? 2 px( p ? 0) 中,以 P( x0 , y0 ) 为中点的弦所在直线的斜率 k= 。 y0
如(1)如果椭圆

x2 y 2 ? ? 1 弦被点 A(4,2)平分,那么这条弦所在的直线方程是 36 9

(2)设已知抛物线 C 的顶点在坐标原点,焦点为 F(1,0),直线 l 与抛物线 C 相交于 A, B 两点。若 AB 的中点为(2,2) ,则直线 l 的方程为_____________. 【解析】抛物线的方程为 y 2 ? 4 x ,
2 ? ? y1 ? 4 x1 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? , 则有x1 ? x2, ? 2 ? ? y2 ? 4 x2 y ? y2 4 2 两式相减得,y12 ? y2 ? 4 ? x1 ? x2 ?, ? 1 ? ?1 x1 ? x2 y1 ? y2

? 直线l的方程为y-2=x-2,即y=x
【答案】y=x (3)已知抛物线 C 的顶点坐标为原点,焦点在 x 轴上,直线 y=x 与抛物线 C 交于 A,B 两点,若 P ? 2,2? 为 AB 的中点,则抛物线 C 的方程为 【解析】设抛物线为 y2=kx,与 y=x 联立方程组,消去 y,
2 得:x2-kx=0, x1 ? x2 =k=2?2,故 y ? 4 x .



【答案】 y ? 4 x
2

特别提醒: 因为 ? ? 0 是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件, 故在求解有关弦长、 对称问题时,务必别忘了检验 ? ? 0 ! 12.你了解下列结论吗? 2 2 2 2 (1)双曲线 x ? y ? 1 的渐近线方程为 x ? y ? 0 ; a2 b2 a2 b2

24

(2)以 y ? ?

b x2 y2 x 为渐近线(即与双曲线 2 ? 2 ? 1 共渐近线)的双曲线方程为 a a b

x2 y2 ? ? ? (? 为参数, ? ≠0)。 a2 b2

如与双曲线

x2 y2 ? ? 1 有共同的渐近线,且过点 (?3,2 3) 的双曲线方程为_______ 9 16

4 x2 y 2 ? ? 1) (答: 9 4
(3)中心在原点,坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可设为 mx2 ? ny 2 ? 1 ; (4)椭圆、双曲线的通径(过焦点且垂直于对称轴的弦)为

2b 2 ,焦准距(焦点到 a

b2 相应准线的距离)为 ,抛物线的通径为 2 p ,焦准距为 p ; c
(5)通径是所有焦点弦(过焦点的弦)中最短的弦; (6)若抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点弦为 AB, A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则①

p2 , y1 y2 ? ? p 2 4 2 (7)若 OA、OB 是过抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 顶点 O 的两条互相垂直的弦,则直线 AB 恒经过定点 (2 p, 0)

| AB |? x1 ? x2 ? p ;② x1 x2 ?

13.动点轨迹方程: (1)求轨迹方程的步骤:建系、设点、列式、化简、确定点的范围; (2)求轨迹方程的常用方法: ①直接法:直接利用条件建立 x, y 之间的关系 F ( x, y) ? 0 ; 如已知动点 P 到定点 F(1,0)和直线 x ? 3 的距离之和等于 4, 求 P 的轨迹方程. (答:

y ? ?12( x ? 4)(3 ? x ? 4) 或 y 2 ? 4x(0 ? x ? 3) );
2

② 待定系数法:已知所求曲线的类型,求曲线方程――先根据条件设出所求曲线的方 程,再由条件确定其待定系数。 如线段 AB 过 x 轴正半轴上一点 M(m,0) (m ? 0) ,端点 A、B 到 x 轴距离之积为 2m,以 x 轴为对称轴,过 A、O、B 三点作抛物线,则此抛物线方程为 (答: y ? 2 x ) ; ③定义法:先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线,再由曲线的定义直接写出动 点的轨迹方程;
2

如(1)由动点 P 向圆 x ? y ? 1作两条切线 PA、PB,切点分别为 A、B,∠APB=60 ,则
2 2
0

动点 P 的轨迹方程为 是_______ (答: y ? 16 x );
2

(答: x ? y ? 4 );
2 2

(2)点 M 与点 F(4,0)的距离比它到直线 l:x ? 5 ? 0 的距离小于 1,则点 M 的轨迹方程 (3) 一动圆与两圆⊙M: x ? y ? 1 和⊙N: x ? y ? 8x ? 12 ? 0 都外切,则动圆圆 心的轨迹为 (答:双曲线的一支);
2 2 2 2

25

④代入转移法: 动点 P( x, y) 依赖于另一动点 Q( x0 , y0 ) 的变化而变化, 并且 Q( x0 , y0 ) 又在某已知曲线上,则可先用 x, y 的代数式表示 x0 , y0 ,再将 x0 , y0 代入已知曲线得要求 的轨迹方程; 如动点 P 是抛物线 y ? 2x 2 ? 1 上任一点,定点为 A(0,?1) ,点 M 分 PA 所成的比为 2, 1 则 M 的轨迹方程为__________(答: y ? 6 x 2 ? ); 3 ⑤参数法:当动点 P( x, y) 坐标之间的关系不易直接找到,也没有相关动点可用时, 可考虑将 x, y 均用一中间变量(参数)表示,得参数方程,再消去参数得普通方程)。 如(1)AB 是圆 O 的直径,且|AB|=2a,M 为圆上一动点,作 MN⊥AB,垂足为 N,在 OM 上取点 P ,使 | OP |?| MN | ,求点 P 的轨迹。(答: x2 ? y 2 ? a | y | ); (2)若点 P( x1 , y1 ) 在圆 x 2 ? y 2 ? 1 上运动,则点 Q( x1 y1 , x1 ? y1 ) 的轨迹方程是____
2 (答: y ? 2 x ? 1(| x |?
? ??

1 ) ); 2 (3)过抛物线 x 2 ? 4 y 的焦点 F 作直线 l 交抛物线于 A、B 两点,则弦 AB 的中点 M 的

轨迹方程是________(答: x2 ? 2 y ? 2 ); 注意:①如果问题中涉及到平面向量知识,那么应从已知向量的特点出发,考虑选择 向量的几何形式进行“摘帽子或脱靴子”转化,还是选择向量的代数形式进行“摘帽子或 脱靴子”转化。 如已知椭圆

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点分别是 F1 a2 b2

(-c,0) 、F2(c,0) ,Q 是椭圆外的动点,满足 | F1Q |? 2a. 点 P 是线段 F1Q 与该椭圆的交点,点 T 在线段 F2Q 上,并且满足

PT ? TF2 ? 0, | TF2 |? 0. ( 1 ) 设 x 为 点 P 的 横 坐 标 , 证 明
c x; (2)求点 T 的轨迹 C 的方程; (3)试问:在点 T 的轨迹 C 上,是否存 a 2 在点 M,使△F1MF2 的面积 S= b . 若存在,求∠F1MF2 的正切值;若不存在,请说明理由. b2 b2 2 2 2 ? a 时不存在;当 ? a 时存在,此时∠ (答: (1)略; (2) x ? y ? a ; (3)当 c c | F1 P |? a ?
F1MF2=2) ②曲线与曲线方程、轨迹与轨迹方程是两个不同的概念,寻求轨迹或轨迹方程时应注 意轨迹上特殊点对轨迹的“完备性与纯粹性”的影响. ③在与圆锥曲线相关的综合题中,常借助于“平面几何性质”数形结合(如角平分线 的双重身份――对称性、 利用到角公式)、 “方程与函数性质” 化解析几何问题为代数问题、 “分类讨论思想”化整为零分化处理、 “求值构造等式、求变量范围构造不等关系”等等. ④如果在一条直线上出现“三个或三个以上的点” ,那么可选择应用“斜率或向量” 为桥梁转化. 14、解析几何与向量综合时可能出现的向量内容: ? ? (1) 给出直线的方向向量 u ? ?1, k ? 或 u ? ?m, n? ;
26

(2)给出 OA ? OB 与 AB 相交,等于已知 OA ? OB 过 AB 的中点; (3)给出 PM ? PN ? 0 ,等于已知 P 是 MN 的中点; (4)给出 AP ? AQ ? ? BP ? BQ ,等于已知 P, Q 与 AB 的中点三点共线; (5) 给出以下情形之一:① AB // AC ;②存在实数 ?, 使AB ? ? AC ;③若存在实 数 ? , ? , 且? ? ? ? 1, 使OC ? ? OA ? ? OB ,等于已知 A, B, C 三点共线. (6) 锐角, 给 出 MA ? MB ? 0 , 等 于 已 知 MA ? MB , 即 ?AMB 是 直 角 , 给 出

?

?

?

MA ? MB ? m ? 0 ,等于已知 ?AMB 是钝角, 给出 MA ? MB ? m ? 0 ,等于已知 ?AMB 是
? ? ? MA MB ? (8)给出 ? ? ? ? ? MP ,等于已知 MP 是 ?AMB 的平分线/ ? MA MB ? ? ? (9)在平行四边形 ABCD 中,给出 ( AB ? AD) ? ( AB ? AD) ? 0 ,等于已知 ABCD
是菱形; (10) 在平行四边形 ABCD 中,给出 | AB ? AD |?| AB ? AD | ,等于已知 ABCD 是 矩形; (11)在 ?ABC 中,给出 OA ? OB ? OC ,等于已知 O 是 ?ABC 的外心(三角 形外接圆的圆心,三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点) ; (12) 在 ?ABC 中,给出 OA ? OB ? OC ? 0 ,等于已知 O 是 ?ABC 的重心(三角 形的重心是三角形三条中线的交点) ; (13)在 ?ABC 中,给出 OA ? OB ? OB ? OC ? OC ? OA ,等于已知 O 是 ?ABC 的 垂心(三角形的垂心是三角形三条高的交点) ; (14)在 ?ABC 中,给出 OP ? OA ?
2 2 2

?(

AB AC ? ) (? ? R ? ) 等于已知 AP 通过 | AB | | AC |

?ABC 的内心;
(15) 在 ?ABC 中, 给出 a ? OA ? b ? OB ? c ? OC ? 0, 等于已知 O 是 ?ABC 的内心 (三 角形内切圆的圆心,三角形的内心是三角形三条角平分线的交点) ; (16) 在 ?ABC 中,给出 AD ? (1)已知双曲线 x ?
2

1 AB ? AC ,等于已知 AD 是 ?ABC 中 BC 边的中线; 2

?

?

y2 ? 1的焦点为 F1、F2,点 M 在双曲线上且 MF1 ? MF 2 ? 0, 则 2
(B)

点 M 到 x 轴的距离为(C)

2 3 (D) 3 3 ? ? ? ? ? (2)已知 i , j 是 x,y 轴正方向的单位向量,设 a = ( x ? 3)i ? yj , ? ? ? ? ? ? b = ( x ? 3)i ? yj ,且满足 b ? i =| a |.求点 P(x,y)的轨迹.
(A) (C)
27

4 3

5 3

解:

b ? i ? ( x ? 3)i 2 ? yi ? j ? x ? 3 ,
2 2

∴ x ? 3 ? ( x ? 3) ? y ,化简得 y 2 ? 4 3x , 故点 P 的轨迹是以( 3 ,0)为焦点以 x ? ? 3 为准线的抛物线 (3)已知 A,B 为抛物线 x2=2py(p>0)上异于原点的两点, OA ? OB ? 0 ,点 C 坐标为 (0,2p) (1)求证:A,B,C 三点共线; (2)若 AM = ? BM ( ? ? R )且 OM ? AB ? 0 试求点 M 的轨迹方程。

x12 x2 2 (1)证明:设 A( x1 , ), B( x2 , ) ,由 OA ? OB ? 0 得 2p 2p 2 2 x1 x2 x12 x22 ? x12 2 ,又 x1 x2 ? ? 0,? x1 x2 ? ?4 p AC ? (? x1 , 2 p ? ), AB ? ( x2 ? x1 , ) 2p 2p 2p 2p x 2 ? x12 x2 ?? x1 ? 2 ? (2 p ? 1 ) ? ( x2 ? x1 ) ? 0 ,? AC // AB ,即 A,B,C 三点共线。 2p 2p
(2)由(1)知直线 AB 过定点 C,又由 OM ? AB ? 0 及 AM = ? BM ( ? ? R )知 OM?AB,垂足为 M,所以点 M 的轨迹为以 OC 为直径的圆,除去坐标原点。即点 M 的轨 迹方程为 x2+(y-p)2=p2(x?0,y?0)。

综合训练
y2 C:x ? ?1 2 已知 O 为坐标原点,F 为椭圆 在 y 轴正半轴上的焦点,过 F 且斜率为 - 2
2

的直线 l 与 C 交于 A、B 两点,点 P 满足 OA ? OB ? OP ? 0. (Ⅰ)证明:点 P 在 C 上; (Ⅱ)设点 P 关于点 O 的对称点为 Q,证明:A、P、B、Q 四点在同一圆上.

解: (I)F(0,1) , l 的方程为 y ? ? 2x ? 1 ,
28

x2 ?
代入

y2 ?1 2 并化简得
????2 分

4 x2 ? 2 2 x ?1 ? 0.


A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ), P( x3 , y3 ),
x1 ? 2? 6 2? 6 , x2 ? , 4 4 2 , y1 ? y2 ? ? 2( x1 ? x2 ) ? 2 ? 1, 2 x3 ? ?( x1 ? x2 ) ? ? 2 , y3 ? ?( y1 ? y2 ) ? ?1. 2



x1 ? x2 ?

由题意得

(?
所以点 P 的坐标为

2 , ?1). 2 (? 2 , ?1) 2 满足方程

经验证,点 P 的坐标为

x2 ?

y2 ? 1, 2 故点 P 在椭圆 C 上。
P(?

????6 分

(II)由

2 2 Q( ,1) , ?1) 2 2 和题设知,

PQ 的垂直平分线 1 的方程为

l

y??

2 x. 2



M(
设 AB 的中点为 M,则

2 1 , ) 4 2 ,AB 的垂直平分线为 l2 的方程为

y?

2 1 x? . 2 4


29

2 1 N (? , ) l , l 8 8 。 由①、②得 1 2 的交点为

????9 分

| NP |? (?

2 2 2 1 3 11 ? ) ? (?1 ? ) 2 ? , 2 8 8 8 3 2 , 2

| AB |? 1 ? (? 2) 2 ? | x2 ? x1 |? | AM |? 3 2 , 4

| MN |? (

2 2 2 1 1 2 3 3 ? ) ?( ? ) ? , 4 8 2 8 8 3 11 , 8

| NA |? | AM |2 ? | MN |2 ?

故|NP|=|NA|。 又|NP|=|NQ|,|NA|=|NB|, 所以|NA|=|NP|=|NB|=|MQ|, 由此知 A、P、B、Q 四点在以 N 为圆心,NA 为半径的圆上

????12 分

如图,DP ? x 轴, 点 M 在 DP 的延长线上, 且 | DM |? 2 | DP | . 当点 P 在圆 x2 ? y 2 ? 1 上运动时。 (I)求点 M 的轨迹 C 的方程; (Ⅱ)过点 T (0, t )作圆x2 ? y 2 ? 1 的切线 l 交曲线 C 于 A,B 两点,求△AOB 面积 S 的最大值和相应的点 T 的坐标。 解:设点 M 的坐标为 ? x, y ? ,点 P 的坐标为 ?x0 , y0 ? , 则 x ? x0 , y ? 2 y0 ,所以 x0 ? x , y 0 ?
2 2

y , ① 2


2 2 因为 P?x0 , y0 ? 在圆 x ? y ? 1 上,所以 x0 ? y0 ?1

将① 代入② ,得点 M 的轨迹方程 C 的方程为 x ?
2

y2 ? 1. 4

………………………

(5 分)
30

(Ⅱ )由题意知, | t |? 1 . 当 t ? 1 时,切线 l 的方程为 y ? 1 ,点 A、B 的坐标分别为 (? 此时 | AB |?

3 3 ,1), ( ,1), 2 2

3 ,当 t ? ?1 时,同理可得 | AB |? 3 ;

当 t ? 1时,设切线 l 的方程为 y ? kx ? m, k ? R

? y ? kx ? t , ? 由? y2 2 x ? ? 1, ? 4 ?
得 (4 ? k ) x ? 2ktx ? t ? 4 ? 0 ③
2 2 2

设 A、B 两点的坐标分别为 ( x1 , y1 ), ( x2 , y 2 ) ,则由③ 得:

x1 ? x 2 ? ?

2kt t2 ? 4 , x x ? . 1 2 4? k2 4? k2
2 2

又由 l 与圆 x ? y ? 1 相切,得

|t | k ?1
2

? 1, 即 t 2 ? k 2 ? 1. 4k 2 t ? 4(t 2 ? 4) ? ] (4 ? k 2 ) 2 4? k2





| AB |? ( x 2 ? x1 ) 2 ? ( y 2 ? y1 ) 2

? (1 ? k 2 )[

?

4 3|t | . t2 ? 3

因为 | AB |?

4 3|t | ? t2 ? 3

4 3 ? 2, 且当 t ? ? 3 时,|AB|=2,所以|AB|的最大值为 3 |t |? |t |

2 依 题意 ,圆 心 O 到 直线 AB 的距 离为圆 x ? y ? 1 的 半 径,所 以 ?AOB 面 积
2 2

S?

1 AB ? 1 ? 1 , 2
31

当且仅当 t ? ? 3 时, ?AOB 面积 S 的最大值为 1, 相应的 T 的坐标为 0,? 3 或者 0, 3 . 分

?

?

?

?

………………………… (13)

x2 y 2 3 已知双曲线 C : 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的离心率为 3 ,右准线方程为 x ? 。 a b 3
(Ⅰ)求双曲线 C 的方程; (Ⅱ)已知直线 x ? y ? m ? 0 与双曲线 C 交于不同的两点 A,B,且线段 AB 的中点在圆

x2 ? y 2 ? 5 上,求 m 的值.
【解析】本题主要考查双曲线的标准方程、圆的切线方程等基础知识,考查曲线和方程 的关系等解析几何的基本思想方法,考查推理、运算能力.

? a2 3 ? ? ?c 3 ,解得 a ? 1, c ? 3 , 解(Ⅰ)由题意,得 ? ?c ? 3 ? ?a
2 2 2 ∴ b ? c ? a ? 2 ,∴所求双曲线 C 的方程为 x ?

2

y2 ? 1. 2

(Ⅱ)设 A、B 两点的坐标分别为 ? x1 , y1 ? , ? x2 , y2 ? ,线段 AB 的中点为 M ? x0 , y0 ? ,

? 2 y2 ?1 ?x ? 由? 得 x 2 ? 2mx ? m2 ? 2 ? 0 (判别式 ? ? 0 ), 2 ?x ? y ? m ? 0 ?
∴ x0 ?

x1 ? x2 ? m, y0 ? x0 ? m ? 2m , 2
2 2

∵点 M ? x0 , y0 ? 在圆 x ? y ? 5 上,
32

2 ∴ m ? ? 2m ? ? 5 ,∴ m ? ?1 . 2

设椭圆 C:

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0) 的左、右焦点分别为 F1、F2,A 是椭圆 C 上的一点, a2 2
1 3

AF2 F1F2 ? 0 ,坐标原点 O 到直线 AF1 的距离为 OF1 .
(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设 Q 是椭圆 C 上的一点, 过点 Q 的直线 l 交 x 轴于点 F (?1,0) , 交 y 轴于点 M, 若 | MQ |? 2 | QF | ,求直线 l 的斜率.
2 2 (Ⅰ)由题意知 F1 ( ? a ? 2, 0) , F2 ( a ? 2, 0) ,其中 a ?

2,

由于 AF2 F 1F 2 ? 0 ,则有 AF 2 ?F 1F 2 ,
2 所以点 A 的坐标为 F1 ( a ? 2, ? ) ,

2 a

??????????????? 2 分

故 AF1 所在的直线方程为 y ? ?(

1 ? ), a a2 ? 2 a
???????????? 4 分

x

a2 ? 2 所以坐标原点 O 到直线 AF1 的距离为 2 a ?1
又 | OF1 |?

a 2 ? 2 ,所以

a2 ? 2 1 2 ? a ? 2 ,解得 a ? 2 . a2 ?1 3
???????????????? 7 分

故所求椭圆 C 的方程为

x2 y 2 ? ?1 4 2

(Ⅱ) 由题意知直线 l 的斜率存在. 设直线 l 的斜率为 k , 直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 1) , 则有 M(0,k) , 设 Q( x1 , y1 ) ,由于 Q, F,M 三点共线,且 | MQ |? 2 | QF | , 根据题意,得 ( x1 , y1 ? k ) ? ?2( x1 ? 1, y1 ) ,
33

????????? 8 分

2 ? x1 ? ? , ? x ? ? 2, ? ? 3 解得 1 或? ? y ? ? k k ? 1 ?y ? 1 ? 3 ?

??????????????????? 10 分

又点 Q 在椭圆上,

2 k (? ) 2 ( ) 2 (?2) (?k ) 所以 ? ? 1或 3 ? 3 ? 1 4 2 4 2
2 2

?????????? 13 分 14 分

解得 k ? 0, k ? ?4 .综上,直线 l 的斜率为 k ? 0, k ? ?4 . ???????

已 知 曲 线 C : y ? x 与 直 线 l : x ? y ? 2 ? 0 交 于 两 点 A( xA , yA ) 和 B( xB , yB ) , 且
2

记曲线 C 在点 A 和点 B 之间那一段 L 与线段 AB 所围成的平面区域 (含边界) x A ? xB . 为 D .设点 P( s, t ) 是 L 上的任一点,且点 P 与点 A 和点 B 均不重合. (1)若点 Q 是线段 AB 的中点,试求线段 PQ 的中点 M 的轨迹方程;

51 ? 0 与 D 有公共点,试求 a 的最小值. 25 1 5 2 解(1)联立 y ? x 与 y ? x ? 2 得 x A ? ?1, x B ? 2 ,则 AB 中点 Q ( , ) , 2 2 1 5 ?s ?t 1 5 2 设线段 PQ 的中点 M 坐标为 ( x, y ) , 则x? 2 , 即 s ? 2x ? , t ? 2 y ? , ,y ? 2 2 2 2
2 2 2 (2)若曲线 G : x ? 2ax ? y ? 4 y ? a ?

又点 P 在曲线 C 上,

5 1 11 ? (2 x ? ) 2 化简可得 y ? x 2 ? x ? ,又点 P 是 L 上的任一点, 2 2 8 1 1 5 且不与点 A 和点 B 重合,则 ? 1 ? 2 x ? ? 2 ,即 ? ? x ? , 2 4 4 11 1 5 2 ∴中点 M 的轨迹方程为 y ? x ? x ? ( ? ? x ? ). 8 4 4
∴ 2y ?
34

y
xB xA D

o

x
51 ?0, 25

2 2 2 (2)曲线 G : x ? 2ax ? y ? 4 y ? a ?

49 7 ,其圆心坐标为 E (a,2) ,半径 r ? 25 5 51 2 2 2 ? 0 与点 D 有公共点; 由图可知, 当 0 ? a ? 2 时, 曲线 G : x ? 2ax ? y ? 4 y ? a ? 25 2 2 2 51 ? 0 与点 D 有公共点, 当 a ? 0 时, 要使曲线 G : x ? 2ax ? y ? 4 y ? a ? 只需圆心 E 25
2 2 即圆 E : ( x ? a ) ? ( y ? 2) ?

到直线 l : x? y 的距离 d ? ? 2? 0

|a?2?2| 2

?

|a| 2

?

7 7 2 ,得 ? ? a ? 0 ,则 a 的 5 5

最小值为 ?

7 2 . 5

(2009 江西卷理) (本小题满分 12 分) 已知点 P ) 1 ( x0 , y0 为双曲线

x2 y 2 ? ? 1 ( b 为正常数)上 8b 2 b 2
P

y

任一点 , F2 为双曲线的右焦点 , 过 P 1 作右准线的垂线 , 垂足为

P 2
A

A ,连接 F2 A 并延长交 y 轴于 P 2. P 的轨迹 E 的方程; (1) 求线段 P 1 P 2 的中点
(2) 设 轨 迹 E 与

P1 F1
O

F2

x

x 轴 交 于 B、D 两 点 , 在 E 上 任 取 一 点

, QD 分别交 y 轴于 Q (x y ? 0 ,) 直 线 Q B 1, ) 1 ( y 1
35

M ,N 两点.求证:以 MN 为直径的圆过两定点.
( 0),( A b,y0) (1) 解 由已知得 F ,则直线 F2 A 的方程为: y ? ? 2 3b,
令 x ? 0 得 y ? 9 y0 ,即 P 2 (0,9 y0 ) ,

8 3

3 y0 ( x ? 3b) , b

x ? x? 0 ? x0 ? 2 x ? x0 2 y0 2 4x2 y2 ? ? 2 ? 1, 设P ,则 ? ,即 ? (x,y) y 代入 2 ? 2 ? 1 得: 2 ? 8b b 8b 25b 2 y0 ? ? y ? y0 ? 9 y0 ? 5 y ? 5 ? 0 ? ? 2
x2 y2 ?1. 即 P 的轨迹 E 的方程为 2 ? 2b 25b2
(2) 证 明 在

x2 y2 ? ?1 中 令 2b2 25b2

y ? 0 得 x 2 ? 2b2 , 则 不 妨 设

, B (- 2b, 0),D ( 2b, 0) 于是直线 QB 的方程为: y ?

y1 ( x ? 2b) , x1 ? 2b

直线 QD 的方程为: y ?

y1 ( x- 2b) , x1 - 2b

则M (0,

2by1 - 2by1 , ),N (0, ) x1 ? 2b x1 - 2b 2by1 2by1 )(y ? ) ?0 , x1 ? 2b x1 - 2b

2 则以 MN 为直径的圆的方程为: x ? (y -

2 令 y ? 0 得: x ?

x2 y2 2 2 2b2 y12 y1 , ? ? 1 上,则 x12 ? 2b 2 ? , 而 在 Q ( x , y ) 1 1 2 2 2 2 25 2b 25b x1 ? 2b

于是 x ? ?5b ,即以 MN 为直径的圆过两定点 (?5b,0),(5b,0) .

如图,已知点 D(0,-2) ,过点 D 作抛物线C1 :x 2 = 2py(p ∈ [1,4])的切线 l,切点 A
36

在第二象限。 (1) 求切点 A 的纵坐标 (2) 若离心率为 ,的椭圆 2 +
2 a 3 x2 y2 b2

= 1(a > > 0)恰好经过点 A,设切线 l 交椭圆的另一

点为 B,若设切线 l,直线 OA,OB 的斜率为k, k1 , k 2 ,①使用斜率 k 表示k1 + k 2 ,② 当k1 + k 2 取得最大值时求此时椭圆的方程。 y A O D B x

x2 ? 2 py

? x0 2 ? 2 py0 ? 解: (1) 设切点 A ( x0 , y0 ) , 依题意则有 ? y0 ? 2 解 ? y ? |x ? x0 ? x 0 ?
得 y0 ? 2 ,即 A 点的纵坐标为 2??????????3 分

(2)依题意可设椭圆的方程为

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) ,直线 AB 方程为: a 2 b2

y ? kx ? 2 ? ?
由e ?

2 x ? 2; p

x2 y2 3 得 2 ? 2 ? 1① 4b b 2

由(1)可得 A (?2 p , 2) ,将 A 代入①可得 b ?

p ? 4 ,故椭圆的方程可简化为

x2 y2 ? ? 1 ;????????????5 分 4 p ? 16 p ? 4
? ? y ? kx ? 2 ? ? y2 ? x2 ? ? 1 消去 Y 得: 联立直线 AB 与椭圆的方程: ? 4 p ? 16 p ? 4 ? ? 2 ?k ? ? p ? ?
16k ? x ? x ? A B ? ? 4k 2 ? 1 (4k 4 ? k 2 ) x 2 ? 16k 3 x ? 16 ? 0 ? ? ,则 ? 16 ?x x ? A B ? 4k 4 ? k 2 ?
37

k1 ? k2 ? ?

y1 y2 ? x1 x2

kx1 ? 2 kx2 ? 2 ? x1 x2 ????????????10 分 x1 ? x2 x1 x2

? 2k ? 2

? 2k ? 2k 3
又∵ k ?

?2 ( p ?[1, 4]) ,∴k∈[-2,-1] ;即 p

k1 ? k2 ? 2k ? 2k 3 , k ?[?2, ?1] ????????????12 分
(3)由 k1 ? k2 ? 2k ? 2k 3 , k ?[?2, ?1] 可知 f (k ) ? 2k ? 2k 3 , k ?[?2, ?1] 上为单调递增函

x2 y 2 ? ? 1 ???14 数,故当 k=-1 时, k1 ? k2 取到最大值,此时 P=4,故椭圆的方程为 32 8


x2 y 2 如图, 椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的顶点为 A1, A2, B1, B2。 焦点为 F 1, F 2 ,| F 1 F2 |? 2c , a b
向量 A1 B1 在向量 A1 A2 上的投影为 2,且椭圆上的点到焦点距离的最小值为 1。 (1)求椭圆 C 的方程; (2)是否存在同时满足以下条件的直线: ①与椭圆相交于 M,N 两点,以线段 MN 为直径的圆过原点; ②与圆心在原点,半径为 c 的圆相切; 若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,请说明理由。

38

?a ? 2 又 a ?c ?1

2分

? c ? 1,

b2 ? a 2 ? c 2 ? 3

x2 y 2 ?1 ? 椭圆方程为 ? 4 3

5分

又以 MN 为直径的圆过原点

? OM ? ON

? x1x2 ? y1 y2 ? 0

7分

将(Ⅰ)代入上式可得 (1 ? k )(4m ?12) ? 8k m ? m (3 ? 4k ) ? 0 ????(Ⅱ)
2 2 2 2 2 2 2 2 2 将 m ? 1 ? k 代入(Ⅱ)可得 ?5(k ? 1) ? 0 ,即不存在这样的实数 k ,

? 此直线 l 不存在. ②当 l 垂直于 x 轴时 ? 直线 l 的方程为 x ? 1 或 x ? ?1 3 3 当 x ? 1 时,直线 l 与椭圆的交点为 (1, ) 和 (1, ? ) 2 2

10 分

39

OM ? ON ? 1 ?

9 ?0 4

11 分

13 分

(2009 湖北卷理)(本小题满分 14 分) 过抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的对称轴上一点 A? a,0?? a ? 0? 的直线与抛物线相交于 M、N
2

两点,自 M、N 向直线 l : x ? ? a 作垂线,垂足分别为 M 1 、 N1 。 (Ⅰ)当 a ? (Ⅱ)记

p 时,求证: AM1 ⊥ AN1 ; 2

?AMM1 、 ?AM1 N1 、 ?ANN1 的面积分别为 S1 、 S2 、 S3 ,是否存在 ? ,

2 使得对任意的 a ? 0 ,都有 S2 ? ? S1S2 成立。若存在,求出 ? 的值;若不存在,说明理

由。 解 依题意,可设直线 MN 的方程为 x ? my ? a, M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) ,

则有 M (?a, y1 ), N (?a, y2 ) 由?

? x ? my ? a ? y ? 2 px
2

消去 x 可得 y ? 2mpy ? 2ap ? 0
2


40

从而有 ?

? y1 ? y2 ? 2mp ? y1 y2 ? ?2ap



于是 x1 ? x2 ? m( y1 ? y2 ) ? 2a ? 2(m2 p ? a) 又由 y12 ? 2 px1 , y12 ? 2 px2 可得 x1 x2 ? (Ⅰ)如图 1,当 a ?



( y1 y2 )2 (?2ap)2 ? ? a2 4 p2 4 p2



p p p 时,点 A( , 0) 即为抛物线的焦点, l 为其准线 x ? ? 2 2 2 P P 此时 M 1 ( ? , y1 ), N1 ( ? , y2 ), 并由 ①可得 y1 y2 ? ? p2 2 2
证法 1: Q AM1 ? (? p, y1 ), AN1 ? (? p, y2 )

uuuu v

uuuv

uuuu v uuuv ? AM1 ? AN1 ? p2 ? y1 y2 ? p2 ? p2 ? 0,即AM1 ? AN1
Q K AM1 ? ? y1 y , K AN1 ? ? 2 , p p

证法 2:

? K AM1 ? K AN1 ?

y1 y2 p2 ? ? ? ?1,即AM1 ? AN1. p2 p2

2 (Ⅱ)存在 ? ? 4 ,使得对任意的 a ? 0 ,都有 S2 ? 4S1S3 成立,证明如下:

证法 1:记直线 l 与 x 轴的交点为 A1 ,则 OA ? OA 1 ? a 。于是有
41

1 1 S1 ? ? MM 1 ? A1M 1 ? (x1 ? a) y1 2 2 1 S2 ? ? M 1 N1 ? AA1 ? a y1 ? y2 2 1 1 S3 ? ? NN1 ? A1 N1 ? (x2 ? a ) y2 2 2
2 ? S2 ? 4S1S3 ? (a y1 ? y2 ) 2 ? ( x1 ? a ) y1 ? ( x2 ? a ) y2

? a 2 [( y1 ? y2 ) 2 ? 4 y1 y2 ] ? [ x1 x2 ? a( x1 ? x2 ) ? a 2 ] y1 y2
将①、②、③代入上式化简可得

a2 (4m2 p2 ? 8ap) ? 2ap(2am2 p ? 4a2 ) ? 4a2 p(m2 p ? 2a)
2 上式恒成立,即对任意 a ? 0, S2 ? 4S1S3 成立 2 证法 2:如图 2,连接 MN1 , NM1 ,则由 y1 y2 ? ?2ap, y1 ? 2 px1 可得

KOM ?

y1 2 p 2 py2 2 py2 y2 ? ? ? ? ? KON1 ,所以直线 MN1 经过原点 O, x1 y1 y1 y2 ?2ap ?a

同理可证直线 NM1 也经过原点 O 又 OA ? OA 1 ? a 设 M1 A 1 ?h 1 , N1 A 1 ? h2 , MM1 ? d1 , NN1 ? d2 , 则

S1 ?

1 1 1 d1h1 , S2 ? ? 2a (h1 ? h2 ) ? a (h1 ? h2 ), S3 ? d 2 h2 . 2 2 2

(2009 四川卷文) (本小题满分 12 分) 已知椭圆

x2 y 2 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1、F2 ,离心率 e ? ,右准线方 2 a b 2

程为 x ? 2 。 (I)求椭圆的标准方程; (II)过点 F1 的直线 l 与该椭圆交于 M 、N 两点,且 F2 M ? F2 N ? 方程。
42

2 26 ,求直线 l 的 3

?c 2 ? ? ?a 2 ,解得 a ? 2, c ? 1 解(I)由已知得 ? 2 ?a ? 2 ? ?c
∴ b ? a2 ? c2 ? 1 ∴ 所求椭圆的方程为

x2 ? y2 ? 1 . 2

(II)由(I)得 F1 (?1,0) 、 F2 (1,0)

? x ? ?1 2 ? ①若直线 l 的斜率不存在,则直线 l 的方程为 x ? ?1 ,由 ? x 2 得y?? 2 2 ? ? y ?1 ?2
设 M (?1,

2 2 ) 、 N (?1, ? ), 2 2
2 2 ) ? (?2, ? ) ? (?4, 0) ? 4 ,这与已知相矛盾。 2 2

∴ F2 M ? F2 N ? (?2,

②若直线 l 的斜率存在,设直线直线 l 的斜率为 k ,则直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 1) , 设 M ( x1 , y1 ) 、 N ( x2 , y2 ) ,

? y ? k ( x ? 1) ? 联立 ? x 2 ,消元得 (1 ? 2k 2 ) x2 ? 4k 2 x ? 2k 2 ? 2 ? 0 2 ? ? y ?1 ?2


?4k 2 2k 2 ? 2 x1 ? x2 ? , x1 x2 ? , 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2
y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ? 2) ? 2k , 1 ? 2k 2



又∵ F2 M ? ( x1 ?1, y1 ), F2 N ? ( x2 ?1, y2 ) ∴

F2 M ? F2 N ? ( x1 ? x2 ? 2, y1 ? y2 )
43



? 8k 2 ? 2 ? ? 2k ? 2 26 F2 M ? F2 N ? ( x1 ? x2 ? 2) ? ( y1 ? y2 ) ? ? ?? ? 2 ? 2 ? 3 ? 1 ? 2k ? ? 1 ? 2 k ?
2 2

2

2

化简得 40k 4 ? 23k 2 ? 17 ? 0
2 2 解得 k ? 1或k ? ?

17 (舍去) 40

∴ ∴

k ? ?1
所求直线 l 的方程为 y ? x ? 1或y ? ? x ? 1 .

(2009 福建卷理) (本小题满分 13 分) 已知 A,B 分别为曲线 C:

x2 + y 2 =1(y ? 0,a>0)与 x 轴 2 a

的左、右两个交点,直线 l 过点 B,且与

x 轴垂直,S 为 l 上

异于点 B 的一点,连结 AS 交曲线 C 于点 T. (1)若曲线 C 为半圆, 点 T 为圆弧 AB 的三等分点, 试求出点 S 的坐标; (II)如图,点 M 是以 SB 为直径的圆与线段 TB 的交点,试问:是否存在 a ,使得 O,M,S 三点共线?若存在,求出 a 的值,若不存在,请说明理由。 解 方法一 (Ⅰ)当曲线 C 为半圆时,a ? 1, 如图, 由点 T 为圆弧 AB 的三等分点得∠BOT=60°或 120°. (1)当∠BOT=60°时, ∠SAE=30°. 又 AB=2,故在△SAE 中,有 SB ? AB ? tan 30? ?
? ? ? ? ,? s (t , ); ? ?

(2)当∠BOT=120°时,同理可求得点 S 的坐标为 (1, 2 3) ,综上, S (1, (Ⅱ)假设存在 a(a ? 0) ,使得 O,M,S 三点共线.

2 3 )或S(1,2 3) 3

由于点 M 在以 SB 为直线的圆上,故 BT ? OS . 显然,直线 AS 的斜率 k 存在且 k>0,可设直线 AS 的方程为 y ? k ( x ? a ) .

44

? x2 2 ? ? y ?1 得(1 ? a 2 k 2 ) x 2 ? 2a 2 k 2 x ? a 4 k 2 ? a 2 ? 0 由 ? a2 ? y ? k ( x ? a) ?

设点 T ( xT , yT ),? xT ? (?a) ? 故 xT ?

a2 k 2 ? a2 , 1 ? a2 k 2

a ? a2 k 2 2ak ,从而 y T ? k ( xT ? a) ? . 2 2 1 ? a2 k 2 1? a k a ? a2 k 2 2ak 亦即 T ( , ). 1 ? a2 k 2 1 ? a2 k 2 ?2a2 k 2 2ak B(a,0),? BT ? (( , )) 2 2 1 ? a k 1 ? a2 k 2
?x ? a 由? 得 s(a,2ak ),?OS ? (a,2ak ). ? y ? k ( x ? a)

由 BT ? OS ,可得 BT ? OS ?

?2a2 k 2 ? 4a2 k 2 ? 0 即 ?2a 2 k 2 ? 4a 2 k 2 ? 0 1 ? a2 k 2

k ? 0, a ? 0,? a ? 2
经检验,当 a ? 2 时,O,M,S 三点共线. 故存在 a ? 2 ,使得 O,M,S 三点共线.

已知,椭圆 C 以过点 A(1, (1) 求椭圆 C 的方程;

3 ) ,两个焦点为(-1,0) (1,0) 。 2

(2) E,F 是椭圆 C 上的两个动点,如果直线 AE 的斜率与 AF 的斜率互为相反数,证明直 线 EF 的斜率为定值,并求出这个定值。 (Ⅰ)解 由题意,c=1,可设椭圆方程为

x2 y2 ? ?1。 1 ? b 2 4b 2

因为 A 在椭圆上,所以

1 9 3 ? 2 ? 1 ,解得 b2 =3, b2 = ? (舍去) 。 2 1? b 4b 4

所以椭圆方程为

x2 y 2 ? ? 1. 4 3

45

x2 y 2 3 (Ⅱ)证明 设直线AE方程:得 y ? k ( x ? 1) ? ,代入 ? ? 1得 2 4 3
3 (3+4k 2)x 2 +4k (3 ? 2k ) x ? 4( ? k ) 2 ? 12 ? 0 2
设E( xE , yE ) ,F( xF , yF ) .因为点A(1,

3 )在椭圆上, 2

3 4( ? k )2 ? 12 所以 xE ? 2 , 3 ? 4k 2 3 yE ? kxE ? ? k 。 2
又直线 AF 的斜率与 AE 的斜率互为相反数,在上式中以 ? k 代 k ,可得

3 4( ? k )2 ? 12 , xF ? 2 3 ? 4k 2 3 yF ? ? kxF ? ? k 。 2
所以直线 EF 的斜率 kEF ?

yF ? yE ?k ( xF ? xE ) ? 2k 1 ? ? 。 xF ? xE xF ? xE 2
1 。 2

即直线 EF 的斜率为定值,其值为

(2009 宁夏海南卷理) (本小题满分 12 分) 已知椭圆 C 的中心为直角坐标系 xOy 的原点,焦点在 s 轴上,它的一个顶点到两个焦点 的距离分别是 7 和 1. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)若 P 为椭圆 C 上的动点,M 为过 P 且垂直于 x 轴的直线上的点, M 的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线。 解 (Ⅰ)设椭圆长半轴长及半焦距分别为 a,c ,由已知得

OP OM

=λ ,求点

?a ? c ? 1 , 解得a ? 4, c ? 3 , ? ?a ? c ? 7
所以椭圆 C 的标准方程为

x2 y 2 ? ?1 16 7
46

(Ⅱ)设 M ( x, y ) ,其中 x ?? ?4, 4? 。由已知

OP OM

2 2

? ? 2 及点 P 在椭圆 C 上可得

9 x 2 ? 112 ? ?2 。 2 2 16( x ? y )
整理得 (16? 2 ? 9) x2 ? 16? 2 y 2 ? 112 ,其中 x ?? ?4, 4? 。 (i) ? ?

3 2 时。化简得 9 y ? 112 4

所以点 M 的轨迹方程为 y ? ?

4 7 (?4 ? x ? 4) ,轨迹是两条平行于 x 轴的线段。 3
x2 y2 ? ? 1 ,其中 x ?? ?4, 4? 112 112 16? 2 ? 9 16? 2

(ii) ? ?

3 时,方程变形为 4

当0 ? ? ? 部分。

3 时,点 M 的轨迹为中心在原点、实轴在 y 轴上的双曲线满足 ?4 ? x ? 4 的 4

3 ? ? ? 1 时, 点 M 的轨迹为中心在原点、 长轴在 x 轴上的椭圆满足 ?4 ? x ? 4 的部分; 4 当 ? ? 1 时,点 M 的轨迹为中心在原点、长轴在 x 轴上的椭圆;


47


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