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2015年高考数学一轮复习 第八章 立体几何 第58课 立体几何综合练习 文(含解析)


高三文科学案作业:第 58 课 立体几何综合练习 1
1.(2010 年高考)如图 1, ?ABC 为正三角形, AA? / / BB? / / CC ? , CC ? ? 平面 ABC ,且

3 AA? ?

3 BB? ? CC ? ? AB ,则多面体 ABC ? A?B?C ? 的正视图(也称主视图)是( 2




【答案】D 2. (2013 年高考)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积是 (

)

A.

1 6

B.

1 3

C.

2 3

D. 1
2

1

1
侧视图

【答案】B 【解析】由三视图可知该三棱锥的底面积为 ∴V ?

正视图

1 ,高为 2 , 2
俯视图

1 1 1 ? ?2 ? . 3 2 3

3. (2013 年高考)设 l 为直线, ? , ? 是两个不同的平面,下列命题中正确的是( A.若 l // ? , l // ? ,则 ? // ? C.若 l ? ? , l // ? ,则 ? // ? 【答案】 【解析】ACD 是典型错误命题.

)

B.若 l ? ? , l ? ? ,则 ? // ? D.若 ? ? ? , l // ? ,则 l ? ?

9π 4. (2013·天津高考文)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上.若球的体积为 , 则 2 正方体的棱长为____ ____. 【答案】 3 【解析】由题意知 V球 ?

4 3 9π 3 πR ? ,R ? . 3 2 2
2

设正方体的棱长为 a,则 3a =2R,a= 3 ,

1

∴正方体的棱长为 3 . 5. (2011 年惠州二模) 如图, 在四棱锥 P ? ABCD 中,PD 垂直于底面 ABCD ,底面 ABCD 是直角梯形, DC / / AB, ?BAD ? 90? ,且 AB ? 2 AD ? 2 DC ? 2 PD ? 4 (单位: cm ),

E 为 PA 的中点。 (1)如图,若正视方向与 AD 平行,请在下面(答题区)方框内作出该几何体的正视图并
求出正视图面积; (2)证明: DE / / 平面 PBC ; (3)证明: DE ? 平面 PAB ;
P

E D
正视图

C B

A

解(1)正视图如下:(没标数据扣 1 分)

…………3 分

1 ? 4 ? 2 ? 4cm 2 ……………….4 分 2 (2)设 PB 的中点为 F ,连接 EF , CF ………………5 分 1 EF / / AB, DC / / AB,? EF / / AB ,且 EF ? DC ? AB ………………6 分 2 故四边形 CDEF 平行四边形,可得 ED / / CF , ………………7 分 ED ? 平面 PBC , CF ? 平面 PBC , ED / / 平面 PBC ………………9 分 (3) PD ? 底面 ABCD , AB ? 平面 ABCD ,? AB ? PD ………10 分 又 AB ? AD, PD ? AD ? D, AD ? 平面 PAD , PD ? 平面 PAD AB ? 平面 PAD ………………11 分 ED ? 平面 PAD ,所以 ED ? AB , ………………12 分 又 PD ? AD, E 为 PA 的中点,所以 ED ? PA , ………………13 分 PA ? AB ? A, PA ? 平面 PAB , AB ? 平面 PAB ,所以 DE ? 平面 PAB ……14 分
主视图面积 S ?

6. ( 2014 年 高 考 ) 如 图 2 , 四 边 形 ABCD 为 矩 形 , PD ? 平 面 A B C D, AB ? 1 , BC ? PC ? 2 ,作如图 3 折叠,折痕 EF //DC .其中点 E 、 F 分别在线段 PD 、 PC 上, 沿 EF 折叠后点 P 在线段 AD 上的点记为 M ,并且 MF ? CF .

2

A

B

A M

B

D

C E

D F
图3

C

P

图2

P

(1)证明: CF ? 平面 MDF ; (2)求三棱锥 M ? CDE 的体积. 【答案】 (1)详见解析; (2)

2 . 16

【解析】 试题分析: (1) 由 PD ? 平面 ABCD 结合平面与平面垂直的判定定理的得到平面 PCD ? 平 面 ABCD ,利用平面与平面垂直的性质定理得到 MD ? 平面 PCD ,从而得到 CF ? MD , 然后利用 CF ? MF 并结合直线与平面垂直的判定定理证明 CF ? 平面 MDF ; (2)在(1) 的条件 MD ? 平面 PCD 下,以 MD 作为三棱锥 M ? CDE 的高, ?CDE 作为三棱锥 M ? CDE 的底面计算三棱锥 M ? CDE 的体积. (1)证明:? PD ? 平面 ABCD , PD ? 平面 PCD ,? 平面 PCD ? 平面 ABCD , 而平面 PCD ? 平面 ABCD ? CD , MD ? 平面 ABCD , MD ? CD ,

? MD ? 平面 PCD ,

? CF ? 平面 PCD ,? CF ? MD , 又 CF ? MF , MD 、 MF ? 平面 MDF ,且 MD ? MF ? M , ? CF ? 平面 MDF ; (2)? CF ? 平面 MDF ,? CF ? DF , 1 1 ? ? 又易知 ?PCD ? 60 ,??CDF ? 30 ,从而 CF ? CD ? , 2 2

1 DE 2 DE CF 3 3 3 ? ,? DE ? ? EF //DC ,? ? ,即 ,? PE ? , DP CP 4 4 3 2
1 3 , ? S?CDE ? CD ? DE ? 2 8

?3 3? ? 3? 6 , MD ? ME ? DE ? PE ? DE ? ? ? ? ? ? ? ? 4 ? ? 4 ? 2 ? ? ? ?
2 2 2 2

2

2

1 1 3 6 2 . ?VM ?CDE ? S?CDE ? MD ? ? ? ? 3 3 8 2 16
考点: 本题以折叠图形为考查形式, 考查直线与平面垂直的判定以及利用等体积法计算三棱 锥的体积,属于中等题.
3

高三文科学案作业:第 58 课 立体几何综合练习 2 1.(2012 年高考)某几何体的三视图如图 1 所示,它的体积为( ) A. 72? C. 30? B. 48? D. 24? 5
正视图

6 3 5 5

6 3 5

侧视图

俯视图

图1

【答案】C 【解析】该几何体是圆锥和半球体的组合体, 则 V ? V圆锥 ? V半球体 ?

1 1 4 ? ? 32 ? 4 ? ? ? ? 33 ? 30? . 3 2 3
) D.8,8

2. (2013·山东高考文)一个四棱锥的侧棱长都相等,底面是正方形,其正(主)视图如图所 示,则该四棱锥侧面积和体积分别是 ( A.4 5,8 B.4 5, 8 3

8 C.4( 5+1), 3

【解析】选 B 本题主要考查三视图的应用,考查空间想象能力和运算能 力. 由题意可知该四棱锥为正四棱锥, 底面边长为 2, 高为 2, 侧面上的斜高为 2 +1 = 5, 1 2 8 ?1 ? 所以 S 侧=4×? ×2× 5?=4 5,V= ×2 ×2= . 2 3 3 ? ? 3. (2013·北京高考文)某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥的体积为__________. 【答案】3 【解析】由三视图知该四棱锥底面为正方形,其边长为 3,四 棱锥的高为 1,根据体积公式 V= 的体积为 3.
2 2

1 ×3×3×1=3,故该棱锥 3

4. (2009 年高考)某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图 4 所示.墩的上半部分是正 四棱锥 P ? EFGH ,下半部分是长方体 ABCD ? EFGH .图 5、图 6 分别是该标识墩的正 (主)视图和俯视图. (1)请画出该安全标识墩的侧(左)视图; (2)求该安全标识墩的体 积; (3)证明:直线 BD ? 平面 PEG .

4

【解析】(1)侧视图同正视图,如下图所示.

(2)该安全标识墩的体积为: V ? VP? EFGH ? VABCD? EFGH

1 3 ? ? 402 ? 60 ? 402 ? 20 ? 32000 ? 32000 ? 64000 ? km ? . 3 (3)如图,连结 EG , HF 及 BD , EG 与 HF 相交于 O ,连结 PO . 由正四棱锥的性质可知, PO ? 平面 EFGH , ∴ PO ? HF , 又 EG ? HF , ∴ HF ? 平面 PEG ,
又 BD P HF , ∴ BD ? 平面 PEG .

5

5. ( 2013 年广州一模)如图 4 ,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是平行四边形,

?BCD ? 60? ,
AB ? 2 AD , PD ? 平面 ABCD ,点 M 为 PC 的中点.
(1)求证: PA // 平面 BMD ;

P

M

D

C

(2)求证: AD ? PB ;
A B 图4

(1)证明:连接 AC , AC 与 BD 相交于点 O , 连接 MO , ∵ ABCD 是平行四边形, ∴ O 是 AC 的中点. ∵ M 为 PC 的中点, ∴ MO // AP . ∵ PA ? 平面 BMD , MO ? 平面 BMD , ∴ PA // 平面 BMD . (2)证明:∵ PD ? 平面 ABCD , AD ? 平面 ABCD , ∴ PD ? AD .
? ∵ ?BAD ? ?BCD ? 60 , AB ? 2 AD , 2

……………1 分

……………2 分

……………3 分

……………4 分
P

∴ BD

? AB2 ? AD2 ? 2 AB ? AD ? cos 60?

M

6
D

N

C

? AB2 ? AD2 ? 2 AD2 ? AB2 ? AD2 .
∴ AB2 ? AD2 ? BD2 . ∴ AD ? BD . ∵ PD ? BD ? D , PD ? 平面 PBD , BD ? 平面 PBD , ∴ AD ? 平面 PBD . ∵ PB ? 平面 PBD , ∴ AD ? PB . ……………8 分 ……………7 分 ……………6 分 ……………5 分

6. (2010 年高考)如图, ? AC 的中点,点 B AEC 是半径为 a 的半圆, AC 为直径,点 E 为 ? 和点 C 为线段 AD 的三等分点,平面 AEC 外一点 F 满足 FC ? 平面 BED , FB ? 5a . (1)证明: EB ? FD ; (2)求点 B 到平面 FED 的距离.

证明: (1)∵ FC ? 平面 BED , EB ? 平面 BED ,∴ FC ? EB . ∵ AC 为直径,点 E 为 ? AC 的中点,∴ AC ? EB . ∵ AC ? FC ? C ,∴ EB ? 平面 ACF , ∵ FD ? 平面 ACF ,∴ EB ? FD . (2)设点 B 到平面 FED 的距离为 h . ∵ ? AEC 是半径为 a 的半圆,∴ BC ? CD ? a ,

7

∴ ED ? 5a , FE ? 6a , ∵ FB ? 5a ,∴ FD ? 5a , FC ? 2a , ∴ cos ?EDF ?

ED 2 ? DF 2 ? EF 2 2 21 ? ,∴ sin ?EDF ? , 2 ED ? DF 5 5
1 3 1 S BED ? FC , 3

∴ VB?FED ? VF ?BED , ∴ S FED ? h ? ∴

1 1 DE ? DF sin ?DEF ? h ? BE ? BD ? FC , 2 2

∴ 5a ? 5a ?

21 4 21 h ? a ? 2a ? 2a ,∴ h ? a, 21 5
4 21 a. 21

∴点 B 到平面 FED 的距离为

8


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