当前位置:首页 >> 数学 >>

2008-2012五年高考数学数列大题


2008
20.(本小题满分 12 分) 将数列 ?an ? 中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表:

a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10
记表中的第一列数 a1,a2,a4,a7, 构成的数列为 ?bn ? , b1 ? a1 ? 1 . Sn 为数列 ?bn ? ? 的前 n 项和,且满足

/>
2bn ? 1(n ≥ 2) . 2 bn Sn ? Sn

(Ⅰ)证明数列 ?

?1? ? 成等差数列,并求数列 ?bn ? 的通项公式; ? Sn ?

(Ⅱ)上表中,若从第三行起,第一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列,且 公比为同一个正数.当 a81 ? ?

4 时,求上表中第 k (k ≥3) 行所有项的和. 91

20.(Ⅰ)证明:由已知,当 n ≥ 2 时, 又 Sn ? b1 ? b2 ? ? ? bn , 所以

2bn ?1, 2 bn Sn ? Sn

2( Sn ? Sn ?1 ) ? 1, 2 ( Sn ? Sn ?1 ) Sn ? Sn



2( Sn ? Sn ?1 ) ? 1, ? Sn ?1Sn
1 1 1 ? ? , Sn Sn ?1 2

所以

又 S1 ? b1 ? a1 ? 1 . 所以数列 ?

?1? 1 ? 是首项为 1,公差为 的等差数列. 2 ? Sn ?

由上可知

1 1 n ?1 , ? 1 ? (n ? 1) ? Sn 2 2

即 Sn ?

2 . n ?1

所以当 n ≥ 2 时, bn ? Sn ? Sn ?1 ?

2 2 2 . ? ?? n ?1 n n(n ? 1)

?1,    n ? 1, ? 因此 bn ? ? 2 ? ? n(n ? 1) ,n ≥ 2. ?
(Ⅱ)解:设上表中从第三行起,每行的公比都为 q ,且 q ? 0 . 因为 1 ? 2 ? ? ? 12 ?

12 ?13 ? 78 , 2

所以表中第 1 行至第 12 行共含有数列 ?an ? 的前 78 项, 故 a81 在表中第 13 行第三列,

q 因此 a81 ? b13 ? ? ?
2

4 . 91

又 b13 ? ?

2 , 13 ? 14

所以 q ? 2 . 记表中第 k (k ≥3) 行所有项的和为 S , 则S ?

bk (1 ? q k ) 2 (1 ? 2k ) 2 ?? ? ? (1 ? 2k )(k ≥ 3) . 1? q k (k ? 1) 1 ? 2 k (k ? 1)

2009
20.(本小题满分 12 分) 等比数列{ an }的前 n 项和为 Sn ,已知对任意的 n ? N ? ,点 (n, Sn ) ,均在函数

y ? b x ? r (b ? 0 且 b ? 1, b, r 均为常数)的图像上

(1)求 r 的值;

(11)当 b=2 时,记 bn ?

n ?1 (n ? N ? ) 求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn 4an

20. 解:因为对任意的 n ? N ,点 (n, Sn ) ,均在函数 y ? b x ? r (b ? 0 且 b ? 1, b, r 均为常数) 的图像上.所以得 Sn ? bn ? r , 当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? b ? r , 当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? bn ? r ? (bn?1 ? r ) ? bn ? bn?1 ? (b ?1)bn?1 , 当 n=2 时, a2 ? (b ?1)b

?

又因为{ an }为等比数列, 所以

b(b ? 1) a2 ? b 解得 r ? ?1 ? b ,即 b?r a1

(2)由(1)知, n ? N , an ? (b ?1)bn?1 ? 2n?1 ,

?

所以

bn ?

n ?1 n ?1 n ?1 ? ? n ?1 n ?1 4an 4 ? 2 2
2 3 4 n ?1 ? 3 ? 4 ? ? ? n ?1 , 2 2 2 2 2

Tn ?

1 Tn ? 2
两式相减,得

2 3 4 n n ?1 ? 4 ? 5 ? ? ? n ?1 ? n ? 2 3 2 2 2 2 2

1 1 ? (1 ? n ?1 ) 3 1 2 1 1 1 1 n ?1 1 n ?1 2 Tn ? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? ? ? n ?1 ? n ? 2 ? ? 2 ? n?2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1? 2
? 3 1 n ?1 ? n ?1 ? n ? 2 4 2 2

所以 Tn ?

3 1 n ?1 3 n ? 3 ? ? ? ? 2 2n 2n ?1 2 2n ?1

【命题立意】:本题主要考查了等比数列的定义,通项公式,以及已知 Sn 求 an 的基本题型,并 运用错位相减法求出一等比数列不一等差数列对应项乘积所得新数列的前 n 项和 Tn .

2010
(18)(本小题满分 12 分) 已知等差数列 ?an ? 满足: a3 ? 7 , a5 ? a7 ? 26 . ?an ? 的前 n 项和为 Sn . (Ⅰ)求 an 及 Sn ;(Ⅱ)令 bn ?
1 ( n ? N ? ),求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn . an ? 1
2

18. 【命题意图】本题考查等差数列的通项公式不前 n 项和公式的应用、裂项法求数列的 和,熟练数列的基础知识是解答好本类题目的关键。 【解析】(Ⅰ)设等差数列 ?an ? 的公差为 d,因为 a3 ? 7 , a5 ? a7 ? 26 ,所以有

? a1 ? 2d ? 7 ,解得 a1 ? 3,d ? 2 , ? ? 2a1 ? 10d ? 26
所以 an ? 3 ? (n ?1)=2n+1 ; Sn = 3n+ 2 (Ⅱ)由(Ⅰ)知 an ? 2n+1 ,所以

n(n-1) ? 2 = n 2 +2n 。 2

bn=

1 1 1 1 1 1 1 ), = ? = = ?( 2 an ? 1 (2n+1) ? 1 4 n(n+1) 4 n n+1
2

所以 Tn =

1 1 1 1 1 1 1 1 n ? (1- + ? + ? + ) = ? (1)= , 4 2 2 3 n n+1 4 n+1 4(n+1)

即数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn =

n 。 4(n+1)

2011
20、(本小题满分 12 分) 等比数列 {an } 中, a1 , a2 , a3 分别是下表第一、二、三行中的某一个数,且

a1 , a2 , a3 中的任何两个数丌在下表的同一列.

第一列 第一行 第二行 第三行 (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; 3 6 9

第二列 2 4 8

第三列 10 14 18

(Ⅱ)若数列 {bn } 满足: bn ? an ? (?1)n ln an 求数列 {bn } 的前 n 项和 Sn .
20.【解析】考查数列概念和性质,求通项公式和数列求和的有关方法,中档题。 (Ⅰ)由题意知 a1 ? 2, a2 ? 6, a3 ? 18 ,因为 ?an ? 是等比数列,所以公比为 3,所以数列 ?an ? 的通项公式 an ? 2 ? 3n?1 . (Ⅱ)因为 bn ? an ? (?1)ln an = 2 ? 3
n?1

? (?1)ln 2 ? 3n?1 , 所以 Sn ? b1 ? b2 ? ?? bn ?

(a1 ? a2 ? ? ? an ) ? (ln a1 ? ln a2 ? ?ln an ) = ln(2n ?1? 31 ? 32 ??? 3n?1 ) =
3n ? 1- ln(2n ? 3
n ( n ?1) 2

2(1 ? 3n ) n - ln a1a2 an = 3 ? 11? 3

) ,所以 S 2n = 32 n ? 1 - ln(22 n ? 3

2 n (2 n ?1) 2

) = 9 n ? 1 - 2n ln 2 ? (2n2 ? n) ln 3 .

2012
(20) (本小题满分 12 分) 已知等差数列 {an } 的前 5 项和为 105,且 a20 ? 2a5 . (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)对任意 m ? N* ,将数列 {an } 中丌大于 7 2 m 的项的个数记为 bm .求数列 {bm } 的前 m 项和 Sm .
?5a1 ? 10d ? 105, (20)(I)由已知得: ? ?a1 ? 9d ? 2(a1 ? 4d ),

解得 a1 ? 7, d ? 7 , 所以通项公式为 an ? 7 ? (n ? 1) ? 7 ? 7n . (II)由 an ? 7n ? 72m ,得 n ? 72m?1 , 即 bm ? 72m?1 .
bk ?1 7 2 m ?1 ? 2 m ?1 ? 49 , bk 7



∴ {bm } 是公比为 49 的等 比数列,

∴ Sm ?

7(1 ? 49m ) 7 ? (49m ? 1) . 1 ? 49 48


相关文章:
2008-2012五年高考数学数列大题
2008-2012五年高考数学数列大题 隐藏>> 2008 20.(本小题满分 12 分) 将数列 ?an ? 中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表: a1 a2 a3 a4...
2008~2012五年高考数学试题分类汇编——数列
2008~2012五年高考数学试题分类汇编——数列 隐藏>> 2008 年全国高考数学试题分类...(本大题满分 12 分) 设数列 {a n } 的前 n 项和为 S n .已知 a1 ...
2008~2012五年高考数学试题分类汇编——数列
2008~2012五年高考数学试题分类汇编——数列_数学_高中教育_教育专区。2008-2012...2013 年 7 月 2008 年一、选择题: 1. (北京文)已知等差数列{an}中,a2=...
2008-2012五年高考数学三角函数大题
2008-2012五年高考数学三角函数大题_数学_高中教育_教育专区。2008 17.(本小题...(Ⅰ)求证: a , b, c 成等比数列; (Ⅱ)若 a ? 1, c ? 2 ,求△ ...
数列 近五年高考题
数列五年高考题_数学_高中教育_教育专区。全国卷1近五年高考题及解析 数列 全国卷考试大纲要求 1.数列的概念和简单表示法 (1)了解数列的概念和几种简单的...
2012年高考数学数列大题
2012高考数学数列大题_高三数学_数学_高中教育_教育专区。2013 年普通高等学校...a1005 , 是公差为 d 的等差数列,而 a1 , a2009 , a2008 ,?, a1006 ...
近5年高考数学理科试卷(全国卷1)分类汇编--数列 解析版大题版(22011年2012年2013年2014年2015年)
5年高考数学理科试卷(全国卷1)分类汇编--数列 解析版大题版(22011年2012年2013年2014年2015年)_高考_高中教育_教育专区。2011 (17) (本小题满分 12 分) ...
2008—2012年五年高考数学试题及答案江苏省(word版)
绝密★启用前 2008 年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷) 数学 本试卷分第 ...n ? 6 2 【解析】本小题考查归纳推理和等差数列求和公式.前 n-1 行共有...
精选历届高考数学真题汇编专题数列理(2007-2012)教案
精选历届高考数学真题汇编专题数列理(2007-2012)教案_高考_高中教育_教育专区。历年高考试题 2012 各省高考试题 一、选择题 数列 1.【2012 高考真题重庆理 1】在...
更多相关标签:
高考数列专题 | 数列高考题汇及答案 | 数列高考题 | 高考数列 | 高考数学数列专题 | 高考数列题型归纳 | 高考数列大题 | 高考数列10大题型 |