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2008-2012五年高考数学数列大题


2008
20.(本小题满分 12 分) 将数列 ?an ? 中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表:

a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10
记表中的第一列数 a1,a2,a4,a7, 构成的数列为 ?bn ? , b1 ? a1 ? 1 . Sn 为数列 ?bn ? ? 的前 n 项和,且满足

2bn ? 1(n ≥ 2) . 2 bn Sn ? Sn

(Ⅰ)证明数列 ?

?1? ? 成等差数列,并求数列 ?bn ? 的通项公式; ? Sn ?

(Ⅱ)上表中,若从第三行起,第一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列,且 公比为同一个正数.当 a81 ? ?

4 时,求上表中第 k (k ≥3) 行所有项的和. 91

20.(Ⅰ)证明:由已知,当 n ≥ 2 时, 又 Sn ? b1 ? b2 ? ? ? bn , 所以

2bn ?1, 2 bn Sn ? Sn

2( Sn ? Sn ?1 ) ? 1, 2 ( Sn ? Sn ?1 ) Sn ? Sn



2( Sn ? Sn ?1 ) ? 1, ? Sn ?1Sn
1 1 1 ? ? , Sn Sn ?1 2

所以

又 S1 ? b1 ? a1 ? 1 . 所以数列 ?

?1? 1 ? 是首项为 1,公差为 的等差数列. 2 ? Sn ?

由上可知

1 1 n ?1 , ? 1 ? (n ? 1) ? Sn 2 2

即 Sn ?

2 . n ?1

所以当 n ≥ 2 时, bn ? Sn ? Sn ?1 ?

2 2 2 . ? ?? n ?1 n n(n ? 1)

?1,    n ? 1, ? 因此 bn ? ? 2 ? ? n(n ? 1) ,n ≥ 2. ?
(Ⅱ)解:设上表中从第三行起,每行的公比都为 q ,且 q ? 0 . 因为 1 ? 2 ? ? ? 12 ?

12 ?13 ? 78 , 2

所以表中第 1 行至第 12 行共含有数列 ?an ? 的前 78 项, 故 a81 在表中第 13 行第三列,

q 因此 a81 ? b13 ? ? ?
2

4 . 91

又 b13 ? ?

2 , 13 ? 14

所以 q ? 2 . 记表中第 k (k ≥3) 行所有项的和为 S , 则S ?

bk (1 ? q k ) 2 (1 ? 2k ) 2 ?? ? ? (1 ? 2k )(k ≥ 3) . 1? q k (k ? 1) 1 ? 2 k (k ? 1)

2009
20.(本小题满分 12 分) 等比数列{ an }的前 n 项和为 Sn ,已知对任意的 n ? N ? ,点 (n, Sn ) ,均在函数

y ? b x ? r (b ? 0 且 b ? 1, b, r 均为常数)的图像上

(1)求 r 的值;

(11)当 b=2 时,记 bn ?

n ?1 (n ? N ? ) 求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn 4an

20. 解:因为对任意的 n ? N ,点 (n, Sn ) ,均在函数 y ? b x ? r (b ? 0 且 b ? 1, b, r 均为常数) 的图像上.所以得 Sn ? bn ? r , 当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? b ? r , 当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? bn ? r ? (bn?1 ? r ) ? bn ? bn?1 ? (b ?1)bn?1 , 当 n=2 时, a2 ? (b ?1)b

?

又因为{ an }为等比数列, 所以

b(b ? 1) a2 ? b 解得 r ? ?1 ? b ,即 b?r a1

(2)由(1)知, n ? N , an ? (b ?1)bn?1 ? 2n?1 ,

?

所以

bn ?

n ?1 n ?1 n ?1 ? ? n ?1 n ?1 4an 4 ? 2 2
2 3 4 n ?1 ? 3 ? 4 ? ? ? n ?1 , 2 2 2 2 2

Tn ?

1 Tn ? 2
两式相减,得

2 3 4 n n ?1 ? 4 ? 5 ? ? ? n ?1 ? n ? 2 3 2 2 2 2 2

1 1 ? (1 ? n ?1 ) 3 1 2 1 1 1 1 n ?1 1 n ?1 2 Tn ? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? ? ? n ?1 ? n ? 2 ? ? 2 ? n?2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1? 2
? 3 1 n ?1 ? n ?1 ? n ? 2 4 2 2

所以 Tn ?

3 1 n ?1 3 n ? 3 ? ? ? ? 2 2n 2n ?1 2 2n ?1

【命题立意】:本题主要考查了等比数列的定义,通项公式,以及已知 Sn 求 an 的基本题型,并 运用错位相减法求出一等比数列不一等差数列对应项乘积所得新数列的前 n 项和 Tn .

2010
(18)(本小题满分 12 分) 已知等差数列 ?an ? 满足: a3 ? 7 , a5 ? a7 ? 26 . ?an ? 的前 n 项和为 Sn . (Ⅰ)求 an 及 Sn ;(Ⅱ)令 bn ?
1 ( n ? N ? ),求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn . an ? 1
2

18. 【命题意图】本题考查等差数列的通项公式不前 n 项和公式的应用、裂项法求数列的 和,熟练数列的基础知识是解答好本类题目的关键。 【解析】(Ⅰ)设等差数列 ?an ? 的公差为 d,因为 a3 ? 7 , a5 ? a7 ? 26 ,所以有

? a1 ? 2d ? 7 ,解得 a1 ? 3,d ? 2 , ? ? 2a1 ? 10d ? 26
所以 an ? 3 ? (n ?1)=2n+1 ; Sn = 3n+ 2 (Ⅱ)由(Ⅰ)知 an ? 2n+1 ,所以

n(n-1) ? 2 = n 2 +2n 。 2

bn=

1 1 1 1 1 1 1 ), = ? = = ?( 2 an ? 1 (2n+1) ? 1 4 n(n+1) 4 n n+1
2

所以 Tn =

1 1 1 1 1 1 1 1 n ? (1- + ? + ? + ) = ? (1)= , 4 2 2 3 n n+1 4 n+1 4(n+1)

即数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn =

n 。 4(n+1)

2011
20、(本小题满分 12 分) 等比数列 {an } 中, a1 , a2 , a3 分别是下表第一、二、三行中的某一个数,且

a1 , a2 , a3 中的任何两个数丌在下表的同一列.

第一列 第一行 第二行 第三行 (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; 3 6 9

第二列 2 4 8

第三列 10 14 18

(Ⅱ)若数列 {bn } 满足: bn ? an ? (?1)n ln an 求数列 {bn } 的前 n 项和 Sn .
20.【解析】考查数列概念和性质,求通项公式和数列求和的有关方法,中档题。 (Ⅰ)由题意知 a1 ? 2, a2 ? 6, a3 ? 18 ,因为 ?an ? 是等比数列,所以公比为 3,所以数列 ?an ? 的通项公式 an ? 2 ? 3n?1 . (Ⅱ)因为 bn ? an ? (?1)ln an = 2 ? 3
n?1

? (?1)ln 2 ? 3n?1 , 所以 Sn ? b1 ? b2 ? ?? bn ?

(a1 ? a2 ? ? ? an ) ? (ln a1 ? ln a2 ? ?ln an ) = ln(2n ?1? 31 ? 32 ??? 3n?1 ) =
3n ? 1- ln(2n ? 3
n ( n ?1) 2

2(1 ? 3n ) n - ln a1a2 an = 3 ? 11? 3

) ,所以 S 2n = 32 n ? 1 - ln(22 n ? 3

2 n (2 n ?1) 2

) = 9 n ? 1 - 2n ln 2 ? (2n2 ? n) ln 3 .

2012
(20) (本小题满分 12 分) 已知等差数列 {an } 的前 5 项和为 105,且 a20 ? 2a5 . (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)对任意 m ? N* ,将数列 {an } 中丌大于 7 2 m 的项的个数记为 bm .求数列 {bm } 的前 m 项和 Sm .
?5a1 ? 10d ? 105, (20)(I)由已知得: ? ?a1 ? 9d ? 2(a1 ? 4d ),

解得 a1 ? 7, d ? 7 , 所以通项公式为 an ? 7 ? (n ? 1) ? 7 ? 7n . (II)由 an ? 7n ? 72m ,得 n ? 72m?1 , 即 bm ? 72m?1 .
bk ?1 7 2 m ?1 ? 2 m ?1 ? 49 , bk 7



∴ {bm } 是公比为 49 的等 比数列,

∴ Sm ?

7(1 ? 49m ) 7 ? (49m ? 1) . 1 ? 49 48


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