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第9章 波的反射与折射


第9章 波的反射与折射
本章我们将研究当平面电磁波穿过两种理想的非导体媒质 分界面时的情况。我们将对电场和磁场中两种均匀、各向同性、 绝缘介质的分界面建立一组边界条件,此外,还会进一步丰富电

磁波的数学描述,以便改换一个视角来对电磁波进行研究而又
不额外增加数学知识。

重点

一、电磁波传播的边界

条件 二、平面边界的反射与透射
三、全折射与全反射

四、反射波的相位

9.1

电磁波传播的边界条件

边界和电磁波的传播方向如图所示 只考虑介质1和介质2 之间边界为平面的情况。 假定入射电磁波从介质1 穿过边界,并将边界置于 y-z平面上,于是x轴便垂 直于边界。这样要历经的 边界必须沿x方向行进。 边界可以看成是从介质1 电磁波的入射、反射与透射 到介质2连续变化的一个 小区域。麦克斯韦方程适用于折射率分别为n1和 n2的不同 介质,自然也适用于边界区域。

回顾

各向同性绝缘介质中的麦克斯韦方程
? ? ? ? E ? P / ?0 ? 0
只存在由于介质极 化产生的电荷和电流

? ? ? ? E ? P / ?0 ? ? f / ?0 ? ? ?B ?? E ? ? ?t

?

?

? ? ? ? ? c ?? B ? J f / ? 0 ? E ? P / ?0 ?t
2

? ?? B ? 0

?

?

? ?? B ? 0 ? ? ? ? 2 c ?? B ? E ? P / ?0 ?t

? ? ?B ?? E ? ? ?t

?

?

?

?

? ? ? ? E ? P / ?0 ? 0

?

?

?Ex ?E y ?Ez 1 ?Px 1 ?Py 1 ?Pz ? ? ? ? ? ?0 ?x ?y ?z ? 0 ?x ? 0 ?y ? 0 ?z

假定仅在x方向才会有边界的 变化,沿着y和z方向没有边界

?E x 1 ?Px ? ?0 ?x ? 0 ?x

? 1 ( Ex ? Px ) ? 0 ?x ?0

可以看出,在穿过边界时,( Ex ? Px / ? 0 ) 这一项的大小并不改变 即

( Ex ? Px / ? 0 )1 ? ( Ex ? Px / ? 0 )2
? ? 对于各向同性的绝缘介质,可以利用 E 和 P 之间的
关系,简化电场在x方向分量的边界条件。

? r ? (E ? P / ?0 ) / E

?r ? n

2

n ? (E ? P / ? 0 ) / E
2

P ? ? 0 E (n ? 1)
2

( Ex ? Px / ? 0 )1 ? ( Ex ? Px / ? 0 )2

2 [ Ex ? Ex (n12 ? 1)]1 ? [ Ex ? Ex (n2 ? 1)]2

( Ex ? Px / ? 0 )1 ? ( Ex ? Px / ? 0 )2

结论

电场在x方向上分量的边界条件为
2 2 n1 ( E x )1 ? n2 ( E x ) 2

下面考虑麦克斯韦第二方程
? ? ?B ?? E ? ? ?t
与x无关的所有项 的导数均应为零 令右边为零

? ex ? ? ?? E ? ?x Ex

? ey ? ?y Ey

? ez ? ?0 ?z Ez

? ? ? ?Ez ? ?E y ? ? E ? ex 0 ? ey ? ez ?x ?x ? ? ?Ez ? ?E y 0 ? ex 0 ? ey ? ez ?x ?x

? ? ?B ?? E ? ? ?0 ?t

?Ez ?0 ?x
结论: 全部的电场边界条件为
2 2 n1 ( Ex )1 ? n2 ( Ex ) 2

?E y ?x

?0

( E y )1 ? ( E y ) 2

( Ez )1 ? ( Ez ) 2

全部的磁场边界条件为 ? ?? B ? 0
? ? ? ? c ?? B ? E ? P / ?0 ?t
2

?

?

? ? B1 ? B2

磁场的任何分量在穿过边界时都不改变。

9.2
回顾

传播矢量

? 传播的单色平面波,其中是 E0 一个常向量,其大小确定了
数k为

? ? E ? E0 exp[i (?t ? kz )] 描述了一个沿 Z 方向

电场的幅值,而其方向则给定了电场的极化方向,式中的常

k ? ?n / c

下面我们采用一种比较灵活的方法来确定波的传播方向,
首先考虑一个位置矢量 的标量积

? r

? ( 描述场点的矢量)与矢量 k

? ? k ? r ? kx x ? k y y ? kz z

? 现在将 k 定义为传播矢量,并把平面单色波的方程写为 ? 则只需要改变 k 的分量就可以达到表示波的传播方向的目的。 ? 利用传播矢量 k 来描述波还有一个好处:可以很容易得到
场量关于时间和空间的导数。

? ? ? ? E ? E0 exp[i (?t ? k ? r )]

? ? ? ? E ? E0 exp[i(?t ? k ? r )]
? ? i? ?t

? ? E ? E0 exp[i(?t ? k x x ? k y y ? k z z )]
? ? ?E ? i? E ?t

对于空间坐标的导数则为
? ? ?E ? ?ik x E ?x
? ? ?E ? ?ik y E ?y

? ? ?E ? ?ik z E ?z

由于

? ? ? ? ? ? ? ? ex ? ey ? ez ?x ?y ?z

? ? ?ik
并且

由矢量分析可知

? ? k ?k ? k2

k ? ?n / c

? ? 2 这时可将上式写为 k ? k ? k ? k 2 ? k 2 ? k 2 ? ? 2 n 2 / c 2 x y z

9.3

平面边界的反射与透射

利用传播矢量来对平面单色波在两种理想的绝缘介质 ( 假定为均匀,各向同性和无损耗)之间平面边界上的反射和 透射问题重新讨论。 如右图示:

? ? ? ? Ei ? E0 exp[i (?t ? k ? r )]
反射波:

入射波:

? ? ? ?' Er ? E0 exp[i(? ' t ? k '? r )]
? ? ? ? '' Et ? E0 exp[i (? '' t ? k ''? r )]
平面单色波在两种理想绝缘介质交界面 上的入射、反射和透射

透射波:

显然,必须首先明确地给出入射平面单色波的描述式,

? ? 这里 k 代表传播方向,常矢量 E0 则表示入射电场的方向。
此外,波的传播方向可以是任意的。 第7章中曾经指出:当平面线性极化波穿过各向同性绝缘 介质时,场的方向不会产生旋转变化,这样,在假定介质1、 介质2和边界区域均为各向同性的情况下,就可以认为电

? 场方向是不会发生旋转变化的。如果用 E0 代表入射波的 ? '' ? ?' 方向,那么反射波 E0 和透射波 E0 将与 E0 同方向。

? 然而,按照对于所要解决问题的考虑, E0 的方向可能会出

现两种极端的情况,即它或与X-Y平面平行或垂直于X-Y ? 平面,E0 的其它全部可能的取向可以用这两个相互垂直 的方向的矢量和来表示。 下面我们就来分别考虑这两种极端的情况 第一种情况:

电场的极化平面垂直于X-Y平面(入射面)

在这种情况下,电场只有 Z 分量,边界上介质1一边的电场是入 射场和反射场的矢量和,而介质2这一边的情况则比较简单,

电场就是透射场


? ? ? E1 ? Ei ? Er

? ? E2 ? Et

由于这些场都只存在Z分量,而且电场在Z分量上的边界条件 为 (E ) ? (E )
z 1 z 2



? ? ? 因而有 Ei ? Er ? Et ? ? ? ? ? ? ? ? ? E0 exp[(i(?t ? k ? r )] ? E0 'exp[(i (? ' t ? k '? r )] ? E0 "exp[(i (? "t ? k "? r )]

现在假定入射波的传播方向在x-y平面上,有 ? ? k ? r ? kx x ? k y y ? 0z 对于反射波传播方向有 对于透射波传播方向有

? ? k '? r ? k 'x x ? k ' y y ? k 'z z
? ? k "? r ? k "x x ? k "y y ? k "z z

上式在边界上,即x=0处成立 ,因而有

E0 exp[(i (?t ? k y y ? 0 z )] ? E0 'exp[(i (? ' t ? k ' y y ? k 'z z )] ? E0 "exp[(i (? " t ? k y " y ? k z " z )]
如果要求该方程必须在边界上的每一点,即对于任何y 和z值都成立,而且在任何时刻也必须成立,则应有

? ? ? ' ? ?"
由 对入射波 有 对反射波 有

k y ? k ' y =k"y

0 ? k 'z =k"z

? ? 2 2 2 2 k ? k ? k ? kx ? k y ? kz ? ? 2 n2 / c2
2 2 2 k 2 ? k x ? k y ? ? 2 n1 / c 2

' (k ' ) 2 ? (k x' ) 2 ? (k y ) 2 ? (? ' ) 2 n12 / c 2

? ? ?'
所以

k y ? k'y

(k x' ) 2 ? (k y' ) 2 ? (? ) 2 n12 / c 2


k x2 ? (k x' ) 2

k x ? ?k

' x

上式中的正根表明入射波和反射波的传播矢量具有相同的 分量,即入射波和反射波的传播方向是相同的,因此在这 种情况下应取
' k x ? ?k x

又知

k y ? k'y

则由图可知

?i ? ?r

说明入射角等于反射角,这就是斯涅尔反射定律。

对于透射波则有
2 (k " )2 ? (k x" )2 ? (k y" )2 ? (?" )2 n2

? n2 2 c ?? ?n ? 1

? 2 2 ? (k x ? k y ) ? ?

2

比较可知,对于入射角和反射角有
ky k ?k
2 x 2 y

? sin? i

k" y (k ) ? (k )
" 2 x " 2 y

? sin? t

由于 所以有

k y ? k '' y
(k )
" y 2

[( k ) ? (k ) ] ? k
" x 2 " y 2

2 y

?? n ?? 2 ? ?? n1 ?

? ? 2 2 ? (k x ? k y )? ? ? ? ?
2

于是可得

?n ? (sin ?t ) 2 ? ? 1 ? (sin ?i ) 2 ? n2 ?

2

n2 sin? t ? n1 sin? i

此关系式称为斯涅尔折射定理

结论

上面所得到的结果表明 一、在透射和反射过程中波的频率是不变的,入射、 反射、透射三种波均平行于X-Y平面(入射平面), 入射角等于反射角; 二、斯涅尔折射定理则反映了入射角和透射角之间的 关系。

为了获得三种波的振幅之间的关系,我们来看一下 磁场的边界条件

由于

? ? B1 ? B2

入射面一边的磁场由入射磁场和反射磁场合成,而在边界

另一边则仅有透射磁场, 所以边界条件可以写成

? ? ? Bi ? Br ? Bt

因为 所以

? ? ? ?ik
? ? ?? E ? ??B / ?t

? / ?t ? i?

? B?

? ? k ?E

?

? ? k ? Ei

?

? '' ? ?' ? k ? Er k ? Et ? ? ?' ?"

由于

? ? ? ' ? ?"
? ez Eiz ? ex 0 ? ey k 'y 0 ? ez Erz ? ex 0 ? ey k "y 0 ? ey 0 Etz

并且每一个电场仅有Z方向的分量,于是上式又变为

? ex kx 0

? ey ky 0

0 ? k 'x

0 ? k "x

矢量方程对应的各分量应分别相等,所以对于 有 "

? ex 分量

k y Eiz ? k ' y Erz ? k y Etz
可得



' ky ? ky ? k" y

' " E0 exp[i(? t ? k y y)] ? E0' exp[i(? ' t ? k y y)] ? E0 exp[i(? '' t ? k y'' y)]

因为 所以

' " E0 ? E0 ? E0

三个电场都沿z方向

? ?' ?" E0 ? E0 ? E0

? 对于 e y 方向分量则可以得到
' '' ?k x Eiz ? k x Erz ? ?k x Etz

即有
' ' ' ' ' ' k x E0 exp[i(? t ? k y y )] ? k x E0 exp[i(? 't ? k y y )] ? k x' E0' exp[i(? ''t ? k y' y)]

k x E0 ? k E ? k E
' x ' 0 '' x

'' 0

? ?' ? ' '' '' k x E0 ? k x E0 ? k x E0


? ?' ?" E0 ? E0 ? E0

乘上 k
'' x

'' x

? ?' ? '' ' '' 后再减去 k x E0 ? k x E0 ? k x E0

? ?' '' ' (k ? k x ) E0 ? (k x ? k x ) E0 ? 0

'' ?' kx ? kx ? E0 ? '' E0 ' kx ? kx

' k x ? ?k x

'' ?' kx ? kx ? E0 ? '' E0 kx ? kx

' " 上式是在电场的切向分量是连续 ( E0 ? E0 ? E0 的这 )

一前提下得出的,根据第三章中关于边界条件的讨论可 知,在介质1和介质2的交界面上 E1t ? E2 t ,当介质

的交界面上无面电流分布时,磁场的切向分量也应是连
续的,即 H1t ? H 2t ,于是有
' " H0 ? H0 ? H0

根据阻抗关系,引入本征阻抗 ? 后有
H0 ? H ?
' 0

1

?1

( E0 cos ?i ? E cos ?i )
' 0

H ?
" 0

1

?2

" cos ?t E0

1
' " H0 ? H0 ? H0

?1

( E0 cos ?i ? E cos ?i ) ?
' 0

1

?2

" cos ?t E0

其中

?1 ? ?1 / ?1

?2 ? ?2 / ? 2

通过以上分析可得入射、反射和折射这三个电场振幅 之间的另一种描述关系为 ?2 cos ?i ? ?1 cos ?t 2?2 cos ?i ' " E0 ? E0 ? R? E0 E0 ? E0 ? T? E0 ?2 cos ?i ? ?1 cos ?t ?2 cos ?i ? ?1 cos ?t 式中定义
' E0 ? 2 cos ? i ? ?1 cos ? t R? ? ? E0 ? 2 cos ? i ? ?1 cos ? t

——称为垂直极化波电场反射系数

" E0 2? 2 cos ?i T? ? ? ——称为垂直极化波电场折射系数 E0 ? 2 cos ? i ? ?1 cos ? t

入射、反射和折射这三个电场振幅之间还有一种描述关系

?' kx ? k ? E0 ? '' E0 kx ? kx
'' x

' k y ? k y'

k x k x'' ? '' ? ' k y k y ? cot ?i ? cot ?t ? E0 ? '' E0 ? E0 kx kx cot ?i ? cot ?t ? '' ky ky

这样便得

?' sin(? t ? ? i ) ? E0 ? E0 sin(? t ? ? i )

? ?' ? ? ? ' ?" ' ' '' '' 将 E0 ? E0 ? E0 乘上 k x 后再减去 k x E0 ? k x E0 ? k x E0 可得

? ?" ' ' '' (k x ? k x ) E0 ? (k x ? k x ) E0



?" E0 ?

? 2k x E0 " kx ? kx

k x ? ?k

' x

? '' E0 ?

kx 2 ky
" kx kx ? " ky ky

? Eo ?

2 cot ?i E0 cot ?i ? cot ?t

于是得到

? '' E0 ?

2 1 ? tan ?i cot ?t

? E0

第二种情况:

电场的极化平面平行于X-Y平面(入射面)

? ? ? ? ? Ei ? E0 exp[i (?t ? k ? r )] ? E0 exp[i (?t ? k x x ? k y y ? 0 z )]

? 所以其传播矢量 k 中不存在 Z 分量,可以表示为

在这种情况下,入射波在x-y平面传播,仅有x分量和y分量,

? 入射场的方向是由常矢量 E0 来确定的,即有

? ? ? ? E0 ? ex E0 x ? e y E0 y ? ez 0

入射波中的磁场可以表示为 ? ? ? ? ? Bi ? B0 exp[i (?t ? k ? r )] ? B0 exp[i (?t ? k x x ? k y y ? 0 z )]
? ? ? ? ? B0 ? ex 0 ? e y 0 ? ez B0 式中磁场的方向 B0 为

反射波中的磁场可以表示为 ? ? ? ?' ?' Br ? B0 exp[i(? ' t ? k '? r )] ? B0 exp[i(? ' t ? k 'x x ? k ' y y ? k 'z z )]
?' ? ? ? ' 式中 B0 ? ex 0 ? e y 0 ? ez B0

对于透射波则有

? ? ? ? '' ? '' '' '' Bt ? B0 exp[i (? " t ? k "? r )] ? B0 exp[i(? " t ? k x x ? k y y ? k z'' z )]
? '' ? ? ? '' 式中 B0 ? ex 0 ? e y 0 ? ez B0

? ? 现在就可以来应用磁场的边界条件,即 B1 ? B2
由于整个区域中的介质都是各向同性的,所以波在传 播过程中其方向不会发生变化,那么边界条件就可以写成 即 ? ? B0 ez exp[(i (?t ? k x x ? k y y ? 0 z )] ? B0 ' ez exp[(i (? ' t ? k 'x x ? k ' y y ? k 'z z )] ? ? B0 " ez exp[(i (? " t ? k x " x ? k y " y ? k z " z )]

? ? ? Bi ? Br ? Bt

该方程仅在x=0的边界上成立,这就是说对于边界上所有 y和 z 的点,它在任意时刻都必须成立,因而有

? ? ? ' ? ?"

k y ? k ' y =k"y

0 ? k ' z ? k" z

对于入射波和反射波,其传播矢量的幅值的平方分别为
2 2 k 2 ? k x ? k y ? ? 2 n12 / c 2 ' ' (k ' ) 2 ? (k x ) 2 ? (k y ) 2 ? (? ' ) 2 n12 / c 2

k y ? k'y

? ? ?'

2 ' k x ? (k x ) 2

' k x ? ?k x

显然这里若取正根,则反射波和入射波的传播方向是相同的,所以 应该取负根,即有
' k x ? ?k x

于是得到

?i ? ?r

——斯涅尔反射定理

对于入射波和透射波,有如下结论

k 2 ? k x 2 ? k y 2 ? ? 2 n12 c 2
(k ) ? (k x ) ? (k y ) ? (? ) n c
" 2 " 2 " 2 " 2 2 2 2

ky
2 2 kx ? k y

ky ? s in? i ? ?n1 ( ) c

k" y ? sin? t ? " ? " n2 (k x ) 2 ? (k " ) 2 y ( ) c

k" y

k y ? k"y

? ? ?"

n1 sin? i ? n2 sin? t

这表明,在这种情况下斯涅尔折射定理也成立。

各种波的幅值之间的关系
? ? ? ? ? c ?? B ? J / ? 0 ? E ? P / ?0 ?t
2

?

?

? J ?0

? ? ? ? c ?? B ? E ? P / ?0 ?t
2

?

?

已知,相对介电常数 ? r ? ? E ? P ? 0 ? E 并且
n2 ? ? r

n 2 ? ?E ? P ? 0 ? E
? ? ?E 2 c ? ? B ? n2 ?t

于是麦克斯韦方程变为
? ? ?t ? i? ? ? ?ik

? ? ? c2 c2 ? ? E ? ?( 2 )[k ? B] ? B?k 2 ?n ?n

? c2 因此有 Ei ? ( ? n2 ) 0 1 kx

? ex

? ey 0 ky

? ez

c2 ? ? ? Bi ? ?( 2 )[ex k y Bi ? ey k x Bi ? ez 0] ? n1 0

类似地可得

? c2 ? ' ? ' ? Er ? ?( )[ex k y Br ? e y k x Br ? ez 0] ? ' n12
? c2 ? '' ? '' ? Et ? ?( )[ex k y Bt ? e y k x Bt ? ez 0] 2 ? " n2

已知,电场的边界条件是 ( E y )1 ? ( E y )2
2 2 n1 ( E x )1 ? n2 ( E x ) 2

应用 x 边界的边界条件并注意到 ? ? ? ' ? ?" 于是得到
1 2 2 1 2 ' 2 '' ( ) n1 [k y Bi ? k y Br ] ? n2 [k y Bt ]( ) n1 n2
' ' k y ? k y ? k y'

' ' B0 ? B0 ? B0'

由于三个磁场的方向都相同,所以可将上式写成矢量方程

? ?' ? '' B0 ? B0 ? B0

类似地,应用 y 边界的边界条件可得

1 2 1 2 '' ' ( ) [k x Bi ? k x Br ] ? ( ) [k x Bt ] n1 n2

' k x ? ?k x

n1 2 k x'' '' B0 ? B ? ( ) ( ) B0 n2 k x
' 0

又由于三个磁场的方向相同,所以可将上式也写成 矢量方程,即有
'' ? ?' n1 2 k x ? '' B0 ? B0 ? ( ) ( ) B0 n2 kx

' n1 2 k x' ( ) ( ) n2 kx

乘以方程

? ?' ? '' B0 ? B0 ? B0

再减去上式,可得
? n1 2 ( ) ?' ? ? n2 B0 ? ? B0 ? ? n1 2 ?(n ) ? 2
'' ? kx ?1? kx ? '' kx ? ? 1? kx ?

'' '' ? n1 2 k x ? ' n1 2 k x B0 [( ) ? 1] ? B0 [( ) ? 1] ? 0 n2 k x n2 k x

其中
'' '' sin ? t 2 cos ? t sin ? i sin ? t cos ? t n1 2 k x n1 2 k x k y ( ) ?( ) ?( ) ? '' n2 kx n2 k y kx sin ? i sin ? t cos ? i sin ? i cos ? i

所以得

?' ? sin ?t cos ?t ? sin ?i cos ?i B0 ? ? B0 ( ) sin ?t cos ?t ? sin ?i cos ?i
?' ? tan(?t ? ?i ) B0 ? ? B0 tan(?t ? ?i )
'' ? ? '' n1 2 k x 2 B0 ? B0 [1 ? ( ) ] n2 k x



'' ? ?' n1 2 k x ? '' B0 ? B0 ? ( ) ( ) B0 n2 kx

于是便得出透射场与入射场之间的关系为

? '' B0 ?

? 2 B0 '' n1 2 k x [1 ? ( ) ] n2 k x



? '' B0 ?

? 2 B0 n1 cos ?t [1 ? ] n2 cos ?i

磁场的上述结果也可以直接用于表示对应的电场幅值 之间的关系 ?n 2 ? ? ? k? c c2 ?n c E? B( ) E? B?k ?n 2 c ?n2
c E ? B n

于是从方程

?' ? tan(?t ? ?i ) B0 ? ? B0 tan(?t ? ?i )

便可以得出入射波与
' E0 tan( t ? ? i ) ? ? E0 tan( t ? ? i ) ?

反射波的电场幅值之间的关系为

而由式

? '' B0 ?

? 2 B0 n1 cos ? t [1 ? ] n2 cos ? i

又可得到入射波

与透射波的电场幅值之间的关系为
? ' E0' n1 ? 2 ? ? E0 n2 ?1 ? n1 cos? t ? n2 cos? i ? ? ? ? ? ? ?

上述关系也可仿照第一种情况中那样用反射系数和折射 系数来表示。 由于
' " ( E0 cos ?i ? E0 cos ?i ) ? cos ?t E0

1

?1

( E0 ? E ) ?
' 0

1

?2

" E0

所以有

' E0 ?

?1 cos ?i ? ?2 cos ?t E0 ? R// E0 ?1 cos ?i ? ?2 cos ?t

2?2 cos ?i E ? E0 ? T// E0 ?1 cos ?i ? ?2 cos ?t
" 0

式中定义

?1 cos ?i ? ?2 cos ?t R// ? ?1 cos ?i ? ?2 cos ?t
2? 2 cos ?i T// ? ?1 cos ?i ? ?2 cos ?t

——称为平行极化波的电场反射系数 ——称为平行极化波的电场折射系数

9.4 反射波的极化
反射波电场的幅值可以由下面两式求得,即

? 当 E 垂直于入射平面时: ? 当 E 平行于入射平面时:
从以上两式我们可以得出结论:

' E0 sin(? t ? ? i ) ? E0 sin(? t ? ? i ) ' E0 tan(? t ? ? i ) ? E0 tan(? t ? ? i )

如果 ?t ? ?i ? ? / 2 ,由于这时只有垂直于入射平面的电 场分量会被反射,所以它就是被边界所反射的极化波。 一般来讲,任何角度入射的波都存在部分极化的情况,但 满足 ?t ? ?i ? ? / 2 的波被反射后会产生完全极化现象。

将 ?t ? ?i ? ? / 2 代入斯涅尔定理,可以定义出一个特殊 的入射角 ? B ,称为布儒斯特角,此时两种介质边界 上所反射的波将会被完全极化,并且有

tan ? B ? n2 / n1

9.5 法向入射
' 在法向入射的情况下,反射波幅值 E0 与入射波幅值 E0 两者比值的表示形式特别简单。根据斯涅尔定理可 知,对于法向入射,有

?i ? 0 ? ?t

并且有

cos ?i ? cos ?t ? 1

? 当电场 E 的方向平行于入射平面时可得
' E0 tan(? t ? ? i ) cos? t sin? t ? cos? i sin? i cos? t ? cos? i (sin? i / sin? t ) ? ? ? E0 tan(? t ? ? i ) cos? t sin? t ? cos? i sin? i cos? t ? cos? i (sin? i / sin? t )

如果 ?t

? ?i ? 0

,利用斯涅尔定理有

' E0 n ? n2 ? 1 E0 n1 ? n2

? 类似地,对于垂直于入射平面的 E 有
' E0 sin(? t ? ? i ) sin? t cos? i ? cos? t sin? i ? ? E0 sin(? t ? ? i ) sin? t cos? ? cos? t sin? i

再根据斯涅尔定理,如果 ?t ? ?i ? 0 ,则可得
' E0 n1 ? n2 ? E0 n1 ? n2

? 因此在法向入射的情况下,对于与入射面垂直和平行的 E

来说, 其反射波幅值 E0' 与入射波幅值 E0 两者比值的结果 ? ? 相同。波的能量或是强度与 E 或 B 的模的平方成正比 , 并且反射强度与入射强度之比为
' Ir E0 2 n ? n2 2 ?( ) ?( 1 ) Ii E0 n1 ? n2

在法向入射的情况下,反射系数和折射系数变为
R? ?
R// ?

? 2 ? ?1 ? 2 ? ?1

T? ?

2? 2 ? 2 ? ?1

?1 ? ? 2 ?1 ? ? 2

T//

2? 2 ? ?1 ? ? 2

? 1 R?=T?和 1+R//=( 1 )T// 的关系。 + 它们满足 ?2

这时若介质1是理想介质,介质2是理想导体 (?2 ? 0) 则
R?=- 1
T?=0 即入射波在边界上完全反射。

为了方便讨论,一般可将垂直入射问题都视为垂直极化, 并将反射系数 ? R 简记为 R ,那么,这时在介质1的区域内,

总的电场和总的磁场将是入射场和反射场的叠加

? ? E1 ? ex E0 (e ? ik1z ? Reik1z )

? ? E1 ? ex E0 (e ? ik1z ? Reik1z )

? ? E0 ? ik1z H1 ? ?ex (e ? Reik1z )

?1

? ? E1 ? ex E0 (e ? ik1z ? Re ? ik1z ? Re ? ik1z ? Reik1z ) ? ? ex E0 [(1 ? R )e ? ik1 z ? i 2 R sin k1 z ]

则有

忽略 E0 中的初始相位常量,令其等于实数 Em ? ? i?t E1 (t ) ? Re[ E1e ] ? ? ? ex Em (1 ? R ) cos(?t ? k1 z ) ? ex Em 2 R sin k1 z sin ?t

上式中的第1项表示它是向着 z 方向传播的平面电磁波, 我们称其为行波;第2项是幅度随着 z 按照正弦变化的电磁 振荡波,我们称之为驻波,形成驻波的条件是产生波的全 反射,即由入射行波与反射行波叠加而形成驻波。驻波的

平均功率流密度为零,没有电磁场能量的传输,只有电场
能量与磁场能量的交换。行波与驻波的混合状态称为行驻波。

根据前面的式子,有

? ? E1 ? ex E0 (e?ik1z ? Reik1z )
? ? E H1 ? ?ex 0 (e ?ik1z ? Reik1z ) ?1

? ? E1 ? ex Em (1 ? Rei 2 k1z )e?ik1z
? ? Em H1 ? ?ex (1 ? Rei 2 k1z )e?ik1z

?1

这样就可以将驻波理解为向着 z 方向传播的一个平面波,

e ? ik1z 前面的模值,即 它的振幅为
? E1 ? Em [1 ? R 2 ? 2 R cos(2k1 z )]1/ 2
? Em H1 ? [1 ? R 2-2 R cos(2k1 z )]1/ 2

?1

上面这两个式子是以 z 为变量,以 ? / 2 为周期的周期 性函数,其性质分以下两种情况讨论:

第一种情况:

?2 ? ?1
z ? ?n?1处,为电 /2

这时电磁波是由光密媒质入射到光疏媒质上,这时 R ? 0 在 2k1 z ? ?2n? (n ? 0,1, 2, ?) ,即

场振幅的最大点和磁场振幅的最小点 。 ? ? Em H1 ? H min ? (1 ? R ) 这时 E1 ? Emax ? Em (1 ? R)
?1

在 2k1 z ? ?(2n ? 1)? (n ? 0,1, 2,?) ,即

z ? ?(2n ? 1)?1 / 4 处,

为电场振幅的最小点和磁场振幅的最大点 。 ? ? E E1 ? Emin ? Em (1 ? R) 这时 H1 ? H max ? m (1 ? R )
?1

场强振幅的最大点处称为波腹,场强振幅的最小点处称 为波节。可见,当电磁波由光密媒质入射到光疏媒质上时, 分界面处为电场的波腹、磁场的波节;而距离分界面 ?1 / 4 处, 为电场的波节和磁场的波腹。

第二种情况:

?2 ? ?1
R?0

这时电磁波是由光疏媒质入射到光密媒质上,这时 电场的波腹和波节的位置与上述情况正好相反。

驻波比和行波系数
定义 电场或磁场的最大振幅与最小振幅之比被定义为 驻波比或驻波系数(VSWR),记做
Sw ? 1? R Emax H ? max ? Emin H min 1? R

Sw
Sw ? 1 R ? Sw ? 1

也可用驻波系数

S w 表示反射系数 R

在行驻波混合状态下,可以定义行波系数,记做 K w Emin H min 1 ? R 1 Kw ? ? ? ? Emax H max 1 ? R S w 也可用行波系数

K w 表示反射系数 R

1 ? Kw R ? 1 ? Kw

9.6 全折射与全反射
一. 全折射
定义 当电磁波以某一入射角入射到两种媒质交界面上时 , 如果反射系数为0 ,则全部电磁能量都进入到第二种媒 质,这种情况称为全折射。 出现全折射时对应的入射角就是布儒斯特角 ? B
下面以垂直极化波和平行极化波两种情况进行讨论。 (1)垂直极化波的情况
由斯涅尔公式可知,使垂直极化波反射系数的条件是 R? ? 0

?2 cos ?i ? ?1 cos ?t

sin ? i ?

?1? 2 ? 2? 1 ? 1 ? ( 1 )2 ?2
1?

对于一般的非磁性媒质有 ?1 ? ?2 ? ?0 如果 ?1 ? ? 2 ,则上式无解,即不存在这样的入射角; 如果 ?1=? 2 ,则成为同一媒质,没有界面存在,

?i

为任意

角时都不会使电磁波的传播性质有所改变。 故垂直极化波只有在两种不同媒质的界面上才有产生全折 射的可能。 (2)平行极化波的情况
由斯涅尔公式可知,使平行极化波反射系数 R// ? 0 的条件是

?1 cos ?i ? ?2 cos ?t

? 2? 1 ?1? 2 sin ? i ? ?? 1 ? ( 2 1 )2 ?1? 2
1?

对于一般的非磁性媒质,由于 ?1 ? ?2 ? ?0 所以有
sin ? i ? 1 1 ? ?1 / ? 2

因此,布儒斯特角为

? B ? ? i ? arc sin

?1 ? ? 2

?2

发生全折射时,折射角与入射角的关系为
sin ? t ?

?1 sin ? B ? 1 ? sin 2 ? B ? cos ? B ?2

所以有

?t ? ? B ?

?
2

结论

一个极化在任意方向的均匀平面波,当它以布儒斯 特角入射到两种媒质的分界面上时,其平行分量发 生全折射,结果使得反射波成为一个垂直极化波。

二. 全反射
定义 当电磁波入射到两种媒质交界面上时 ,如果反射系 数 R ? 1,则投射到界面上的电磁波将全部反射回 第一种媒质中,这种情况称为全反射。 根据斯涅尔折射定理有
sin ? t ?

?1? 1 sin ? i ? 2? 2

当 ?1?1 ? ? 2 ?2 ,即电磁波从光密媒质入射到光疏媒质时, 入射角 ? i 若大于一定的数值后,将会出现 sin ?t ? 1 的 情况, 此时,在实数域内不存在确定的折射角 ,我们说此时发生 了全反射。

1 发生全反射的最小入射角是 sin ?t= 时的角,我们称其为 临界角,记做 ?c
此时有
sin ? c ?

? 2? 2 ?1?1

?1 ? ?2 ? ?0
对于一般非磁性媒质

sin ? c ?

?2 ?1

9.7 反射波的相位变化
? 当 E 垂直于入射平面时: ? 当 E 平行于入射平面时:
?' sin(?t ? ?i ) ? E0 ? E0 sin(?t ? ?i )

?' tan(? t ? ? i ) ? B0 ? ? B0 tan(? t ? ? i )

?' ? 由上式可知,若其中两正弦项之比值为正,则 E0 和 E0 方向

相同。由于角度( ?t ? ?i )只能在0和π弧度之间,故
是正值。然而,角度(

sin(?t ? ?i ) 总

?t ? ?i )在0和-π/2之间,所以当

?i ? ?t

时 sin(?t ? ?i ) 将为负值。于是,根据斯涅尔定理,条件 ?i ? ?t 和 n2 ? n1 可以看作是等价的。

如图

入射波从折射率较大的介质被反射时,对于与入射

平面相垂直的电场分量而,入射场与反射场的方向在边界 处是相反的,即如果 n2 ? n1 则电场的垂直分量的相位将
0 会发生的 180 变化。

与入射平面相垂直的电场分量的相位变化

磁场之间的关系又如何呢? 如果磁场的相位发生变化,那么[ ? tan(?t ? ?i ) / tan(?t ? ?i ) ] 的符号肯定是负的。当 (?t ? ?i ) ? ? / 2 时, tan(?t ? ?i ) 为

正值;若这时又有 ?i ? ?t ,则[ ? tan(?t ? ?i ) ]也为正值,
所以,当 n2 ? n1 并且 (?t ? ?i ) ? ? / 2 时,磁场的相位不 会发生变化。
在入射角大于布儒斯特角的情况 下,就有 (?t ? ?i ) ? ? / 2 ,那么

tan(?t ? ?i ) 将为负值,这时,入
射磁场与反射磁场之间的相位一定 会发生变化,两者相差 1800 。
入射角等于布儒斯特角时的相位突变

然而,我们并不能说由磁场所得到的结果与在电场中得到 的结果是一样的,为了从磁场得到电场,我们必须利用式
? E ? ? c2 ? B?k 2 ?n

? 电场的方向并不仅仅决定于 B ,还需要考虑由

? k



确定的传播方向。显然,入射波与反射波的传播方向是
不同的,这时,若要对入射波与反射波的相位关系进行讨 论,实际上实际上只需要考虑入射角的两种极端情况: (a) 当 ?i 就有

?i ? 0

(b)

?i ? ? / 2

? 0 时,入射波与反射波的传播方向相反,这样

? ?' k ? ?k

此时有 这正好符合当 ?i ? ?t

?' ? E0 E ?? 0 ' E0 E0



n2 ? n1 时相位变化 1800 的情况。

因此

对于法向入射波来说,如 果

n2 ? n1 ,那么不论

电场相对于入射平面的角 度是多少,反射时其相位 都将改变 1800 ,这是由 于法向入射时上述两种情 况是一样的 。
波的法向入射

另一极端情况是切向入射,即?i ? ? / 2 ,这时反射波
与入射波的传播方向相同。如图所示 此时有

? ?' k ?k

于是两个电场和两个磁场具有相

同的相位关系,因而当 ?i ? ? / 2
入射电场和反射电场的相位相差
1800

波的切向入射

当 n2 ? n1 时,相位关系正好反过来了。 下图描述了上面所讨论的结果。

? ? 对于场 B 和 E ,其相位关系可以利用下式得出

? 1 ? ? B ? ( )k ? E

?

? c2 ? ? E ? ( 2 )B ? k ?n

9.8 各向异性媒质中的平面波
实际的介质并不是均匀的,不均匀处就象一些小的分界 那样,在介质中会产生反射。固体材料中的空穴就是这 样的例子。 介质如果是很透明的话,那么它一定得尽可能地均匀。 对于实际的介质来说,不均匀性只是问题的一个方面。

另一个更重要的问题,介质的性质往往可能会与外加电 场或磁场的取向有关。我们将这种电磁特性与外加电磁 场方向有关的媒质称为各向异性媒质,也就是说,这种 媒质的介电常数 ? 、磁导率 ? 或电导率 ? 与外部电 场或磁场的取向有着密切的关系。
描述各向异性媒质的参量将不再是标量而是张量,但麦 克斯韦方程的形式不变。

本章要点
1.波在边界上被反射或透射时,其频率不会发生变化。 2.入射波、反射波和透射波均在同一平面上传播,这个平 面就是入射平面。

3.斯涅耳反射定理: ?t ? ?i
4.斯涅耳折射定理: n2 sin ?t ? n1 sin ?i 5.在入射波的角度为布儒斯特角的情况下,反射会发生完 全极化,而反射波中的电场只有垂直于入射面的分量。 6.电场或磁场的最大振幅与最小振幅之比称为驻波比或驻 波系数

7.发生全折射时对应的入射角就是布儒斯特角


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