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浙江省杭州市2015年高考数学命题比赛模拟试卷(31)及答案


2015 年高考模拟试卷 数学(文科)试卷
双向细目表 分 值 预设 难度

题号

知识点

考试要求

试题来源

1

集合

了解集合的含义,元素与 集合的属于关系,会求给 定集合的补集。

5

>


原创

2

命题的否 定

含有一个量词的命题的 否定

5



原创

3

平面向量

会用坐标表示平面向量 的加法、减法,掌握数量 积的坐标表达式,会进行 平面向量数量积的运算。 会判断函数的单调性

5



原创

4

选 择 题

函数的单 调性 三角函数 图像

5



原创

5

了解参数对函数图像变 化的影响 能识别三视图所表示的 空间几何体,会计算体 积。 能用平面区域表示二元 一次不等式组,能求线性 目标函数的取值范围问 题。 会应用函数性质解不等 式 能解决两直线位置关系 的相关问题 能解决直线与圆的相关 问题

5



原创 改编自浙江省重点中学 协作体 2015 届第二次适 应性测试数学(文科) 试题第 11 题

6

空间几何 体

5

较难

7

线性规划

5

较难

原创

8

函数性质 与应用及 不等式 直线与方 程

5



改编自 2013 年高考天津 卷第 7 题 改编自数学必修二第 90 页 B 组第 2 题

9

10

填 空 题

6



圆与方程

6



原创

11

解三角形

能运用正弦定理和余弦 定理解三角形 熟悉圆锥曲线的定义能 求离心率 了解简单的分段函数,并 能简单应用。理解对数运 算。 能运用等差数列的通项 公式并能求数列的前 n 项 和 能利用抛物线的定义解 决线段和的最值问题。 能运用公式进行简单的 恒等变换,能求三角形的 面积。 能证明等差数列,能求数 列的通项公式和前 n 项 和。 理解空间中线面平行、垂 直的性质与判定。 会求曲线方程,能解决直 线与椭圆的位置关系及 离心率问题。 能将绝对值函数转化为 分段函数,能判断函数的 单调性并求最值,能利用 不等式求最值。

6



原创

12

椭圆

6

较难

原创

13

填 空 题

基本初等 函数

4

较难

原创

14

数列

4

较难

原创

15

抛物线

4



原创

16

三角

15

较难

原创

17

数列

15

较难

原创

18

解 答 题

立体几何

15

较难

原创

19

直线与圆 锥曲线

15



原创

20

函数与不 等式

14



.原创

2015 年高考模拟试卷 数学(文科)试卷
满分 150 分,考试时间 120 分钟

一、选择题: (本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分)

【原创】1.设集合 A ? {?3, ? 2, ? 1, 0,1} ,集合 B ? {x x 2 ? 4 ? 0} ,则 A A. {?2} B. {2}
2

B= (

)

C. {?2, 2} ( )

D. ?

【原创】2.已知命题 p : ?x ? R, x ? 2 x ? 4 ? 0 ,则 ? p 为 A. ?x ? R, x ? 2 x ? 4 ? 0
2

2 B. ?x0 ? R, x0 ? 2 x0 ? 4 ? 0 2 D. ?x0 ? R, x0 ? 2 x0 ? 4 ? 0

C. ?x ? R, x ? 2 x ? 4 ? 0
2

【原创】3.已知向量 AB ? (3, 7) , BC ? (?2,3) ,则 ? A. ? ? , 5?

1 AC ? ( 2

)

? 1 ? 2

? ?

B. ? , 5?

?1 ? ?2 ?

C. ? ? ,-5 ? )

? 1 ? 2

? ?

D. ? ,-5 ?

?1 ?2

? ?

【原创】4.下列函数中,在区间 (0, ??) 上为增函数的是( A. y ? ln( x ? 1) B. y ?| x ? 1| C. y ? ?

?1? ? ?2?

x

D. y ? sin x ? 2 x

【原创】5.已知函数 f ( x) ? A sin ?? x ? ? ? ( A ? 0, ? ? 0, ? ? 的部分图象如图所示,则函数 y ? f ( x) 的表达式是( A. f ( x) ? 2sin(2 x ? )

?
2

)

?
3

) )

B. f ( x) ? 2sin(2 x ?

?
3

C. f ( x) ? 2sin(2 x ? D. f ( x) ? 2sin( x ?

2? ) 3

?
12

)

【改编自浙江省重点中学协作体 2015 届第二次适应性测试数学(文科)试题第 11 题】 6.右图为一个几何体的侧视图和俯视图,若该几何体的体积为 它的正视图为( ) 1 1

4 ,则 3

1

侧视图

1 1
俯视图

? y ? ?2 x, ? 【原创】7. 设实数 x, y 满足 ? y ? x, 则 z ? y ? 4 | x | 的取值范围是( ? y ? x ? 4, ?
A. ?? 8,?6? B. ?? 6,0? C. [?8,0] D. [?8,4]



【改编自 2013 年高考天津卷第 7 题】

8. 已知函数 f ( x) 是定义在 R 上的偶函数, 且在区间 )

[0, ??) 单调递增. 若实数 a 满足 f (log 2 a) ? f (log 1 a) ? 2 f (1) , 则 a 的取值范围是(
2

A. [1, 2]

? 1? B. ? 0, ? ? 2?

?1 ? C. ? , 2 ? ?2 ?

D. (0, 2]

二、填空题: (共 7 小题,9 题每空 2 分,10-12 题每空 3 分,13-15 题每空 4 分,共 36 分. )

【改编自数学必修二第 90 页 B 组第 2 题】 9. 设直线 l1 : x ? my ? 6 ? 0 和

l2 : (m ? 2) x ? 3 y ? 2m ? 0 ,当 m =_______时 l1 ∥ l2 ;当 m =________时 l1 ? l2 ;当 m =
_________时 l1 与 l2 重合;

【原创】10. 已知圆 C 和 y 轴相切,圆心在直线 x ? 3 y ? 0 上,且被直线 y ? x 截得的弦长 为2 7 ,则圆 C 的方程为_________或_________;

【 原 创 】 11. 在 △ ABC 中 , ?A ?

? , BC ? 3 , AB ? 6 , 则 ?C ? _________ , 边 3

AC ? _______;
【原创】12.若方程

x2 y2 ? ? 1 表示椭圆,则 m 的取值范围是________,若此椭圆的离心率 5 m

e?

10 ,则 m 的值是________; 5

【原创】13.定义在 R 上的函数 f ( x) 满足 f ( x) ? ?

?log 2 (15 ? x), x ? 0 ,则 f (3) =_________; ? f ( x ? 2), x ? 0
, 则数列 的前 项和

【原创】 14. 已知数列 =______;

是公差为 的等差数列, 且

【原创】15. 已知点 Q (2 2 ,0) 及抛物线 y ? ________.

x2 上一动点 P(x,y),则 y+|PQ|的最小值是 4

三、解答题: (本大题共 5 小题,满分 74 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. )

【原创】16.(本题满分 15 分)锐角 ?ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,已知

cos ? B ? A ? ? 2sin 2

C . 2

(Ⅰ)求 sin A sin B 的值; (Ⅱ)若 a ? 3, b ? 2 ,求 ?ABC 的面积.

【原创】 17. (本题满分 15 分) 已知数列 {an } 的前 n 项和为 S n , 且满足 a1 ? ( n ? 2 且 n ? N * ). (1)求证:数列 {

1 an ? ?2S n ? S n ?1 , 2

1 } 是等差数列; (2)求 S n 和 an . Sn

【原创】 18. (本题满分 15 分) 如图, 菱形 ABCD 的边长为 6 ,?BAD ? 60 ,AC

BD ? O .

将 菱 形 ABCD 沿 对 角 线 AC 折 起 , 得 到 三 棱 锥 B ? ACD , 点 M 是 棱 BC 的 中 点 ,

DM ? 3 2 .
(1)求 证 : OM // 平 面 ABD ; (2)求 三 棱 锥 M ? ABD 的 体 积 .

【原创】 19. (本题满分 15 分) 已知直线 y ? ? x ? 1 与椭圆 两点,且 OA ? OB ( O 为坐标原点), (1)若 a =

x2 y2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 相交于 A, B a2 b2

6 1 2 ,求 b 和 S ?AOB ; (2)若椭圆的离心率 e ? [ , ] ,求 a 的取值范围。 2 2 2

【原创】20.(本题满分 14 分) 已知函数 f ? x ? ? ? x x ? a ? 1 ? x ? R ? . (Ⅰ)当 a ? 1 时,求使 f ? x ? ? x 成立的 x 的值; (Ⅱ)当 a ? ? 0,3? ,求函数 y ? f ? x ? 在 x ??1, 2? 上的最大值; (Ⅲ)对于给定的正数 a ,有一个最大的正数 M ? a ? , 使 x?? ? 0, M ? a ? ? ? 时,都有 f ? x ? ? 2 , 试求出这个正数 M ? a ? ,并求它的取值范围.

2015 年高考模拟试卷 数学(文科)答题卷

一、选择题: (本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分) 题号 答案 1 2 3 4 5 6 7 8

二、填空题: (共 7 小题,9 题每空 2 分,10-12 题每空 3 分,13-15 题每空 4 分,共 36 分. ) 9 . 10. 12. 14. , , , , 11. 13. 15. ,

三、解答题: (本大题共 5 小题,满分 74 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. ) 16. (本题满分 15 分)

17. (本题满分 15 分)

18. (本题满分 15 分)

19. (本题满分 15)

20. (本题满分 14 分)

2015 年高考模拟试卷数学(文科)参考答案及评分标准
一.选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。 ABCDA BDC 二、填空题 9. (答:-1;
2

1 ;3) ; 2
2 2 2

10. ? ( x ? 3) ? ( y ? 1) ? 9 ,或 ( x ? 3) ? ( y ? 1) ? 9 11. ?C ?

6 ?3 2 ? .,AC= 2 4

12. m ? ?0,5? ? ?5,??? , 13.4 14.

n 4n ? 2

15.2 三、解答题:本大题共5小题,满分74分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (Ⅰ)由条件 cos

? B ? A? ? 1 ? cos C ? 1 ? cos ? B ? A? ,

? cos B cos A ? sin B sin A ? 1 ? cos B cos A ? sin B sin A ,
即 sin A sin B

?

1 ,…………7 分 2
,又 sin A sin B

(Ⅱ)

sin A a 3 ? ? sin B b 2

?

3 3 1 ,解得: sin A ? , ,sin B ? 2 2 3

因为是锐角三角形,? cos A ?

1 6 , ,cos B ? 2 3 3 2? 3 6

sin C ? sin ? A ? B ? ? sin A cos B ? cos A sin B ?

1 1 3 2? 3 3 2? 3 …………15 分 S? ? ab sin C ? ? 3 ? 2 ? ? 2 2 6 2
17.解(1)证明:当 n ? 2 时, an ? sn ? sn ?1 ? ?2 sn sn ?1 ,① ……………2 分

? sn (1 ? 2sn ?1 ) ? sn ?1

由上式知若 sn ?1 ? 0 ,则 sn ? 0

s1 ? a1 ? 0 ,由递推关系知 sn ? 0(n ? N ? ) ,
∴由①式可得:当 n ? 2 时,

1 1 ? ?2 sn sn ?1

……………4 分

∴{

1 1 1 } 是等差数列,其中首项为 ? ? 2 ,公差为 2 . sn s1 a1
1 1 1 1 . ? ? 2(n ? 1) ? ? 2(n ? 1) , ? sn ? 2n sn s1 a1

……………6 分

(2)

……………8 分

当 n ? 2 时, an ? sn ? sn ?1 ? ? 当 n ? 1 时, a1 ? s1 ?

1 , 2n(n ? 1)

……………10 分

1 不适合上式, 2

……………12 分



?1 , ( n ? 1, n ? N ? ) ? ?2 an ? ? 1 ?? , ( n ? 2, n ? N ? ) ? ? 2n(n ? 1)

……………15 分

18.解(1)证明:因为点 O 是菱形 ABCD 的对角线的交点, 所以 O 是 AC 的中点.又点 M 是棱 BC 的中点, 所以 OM 是 ?ABC 的中位线, OM // AB . ……2 分 因为 OM ? 平面 ABD , AB ? 平面 ABD ,………4 分 所以 OM // 平面 ABD . 由题意, OM ? OD ? 3 , 因为 DM ? 3 2 ,所以 ?DOM ? 90 , OD ? OM . 又因为菱形 ABCD ,所以 OD ? AC . 因为 OM …………8 分 …………9 分 …………10 分 ……………11 分 ……………6 分 ……………7 分

(2)三棱锥 M ? ABD 的体积等于三棱锥 D ? ABM 的体积.

AC ? O ,所以 OD ? 平面 ABC ,即 OD ? 平面 ABM

所以 OD ? 3 为三棱锥 D ? ABM 的高.

?ABM 的面积为 S ?ABM =

1 1 3 9 3 ,……13 分 BA ? BM ? sin120 ? ? 6 ? 3 ? ? 2 2 2 2 1 9 3 ? S ? OD ? ? ABM ?3 2 .

所求体积等于 19.解(1) b ?

VM ? ABD =VD ? ABM

……………15 分

3 2 10 6

…………4 分

S ?AOB ?
(2) a ? ?

…………8 分

? 42 6 ? , ? 2 ? ? 6

…………15 分

20.解: (Ⅰ) x ? 1 …………3 分 (Ⅱ)当 f ? x ? ? ?
2 ? ?? x ? ax ? 1 2 ? ? x ? ax ? 1

? x ? a ? ,作出示意图,注意到几个关键点的值: ? x ? a?

a a2 f ( x) ? 2 f (0) ? f (a)=1, f ( ) ? 1 ? , 最大值在 f (1), f ? 2? , f ? a ? 中取. 2 4
当 0 ? a ? 1时, f ? x ? 在?1,2?上递减,故f ? x ?max ? f ?1? ? a ; 当 1 ? a ? 2时, f ? x ? 在?1, a?上递增, ?a,2?上递减,故f ? x?max ? f ? a ? ? 1 ;

a ? a? ?a ? 当2 ? a ? 3时, f ? x ? 在 ?1, ? 上递减, , 2? 上递增,且x= 是函数的对称轴, ? 2 ? 2? ?2 ? a? ?a ? ? 由于 ? 2 ? ? ? ? ? 1? ? 3 ? a ? 0, 表明:f ? x ?max ? f ? 2 ? ? 5 ? 2a 2? ?2 ? ?
(0 ? a ? 1) ?a ? (1 ? a ? 2) …………9 分 综上: f ? x ? ? ? 1 ?5 ? 2a (2 ? a ? 3) ?
(Ⅲ)

当x ?? 0, ??? 时, f ( x)max ? 1 ,故问题只需在给定区间内 f ? x ? ? ?2恒成立 ,

由 f ( ) ? 1? 当1 ?

a 2

a2 4

,分两种情况讨论:

a2 ? ?2 时, M ? a ? 是方程 x2 ? ax ? 1 ? ?2 的较小根 4

a ? a 2 ? 12 6 即 a ? 2 3 时, M ? a ? ? ? ? 0, 3 ? ? 2 2 a ? a ? 12

?

当1 ?

a2 ? ?2 时, M ? a ? 是方程 ? x2 ? ax ? 1 ? ?2 的较大根 4

即 0 ? a ? 2 3 时, M ? a ? ?

a ? a 2 ? 12 ? 2

?
?

3, 3 ? 6

?
? ?

? a ? a 2 ? 12 a?2 3 ? ? 2 M a ? 综上 ? ? ? ? a ? a 2 ? 12 0?a?2 3 ? ? 2

?

?

?

, 且M ? a ? ? 0, 3 ? 6 . …………14 分


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