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【名师一号届高考数学大一轮总复习第五章数列计时双基练数列求和文北师大版-课件


计时双基练三十二

数列求和

A 组 基础必做
?1? 1.已知{an}是首项为 1 的等比数列,Sn 是{an}的前 n 项和,且 9S3=S6,则数列? ?的前 ?an?

5 项和为( A. C. 15 或5 8 31 16

) B. D. 31 或5 16 15 8
3

6

9?1-q ? 1-q 3 解析 设{an}的公比为 q,显然 q≠1,由题意得 = ,所以 1+q =9,得 1-q 1-q

?1?5 1-? ? ?1? 1 ?2? 31 q=2,所以? ?是首项为 1,公比为 的等比数列,前 5 项和为 = 。 a n 2 1 16 ? ? 1- 2
答案 C 2.若数列{an}的通项公式是 an=(-1) ·(3n-2),则 a1+a2+?+a10=( A.15 C.-12 B.12 D.-15
n

)

解析 记 bn=3n-2,则数列{bn}是以 1 为首项,3 为公差的等差数列,所以 a1+a2+? +a9+a10=(-b1)+b2+?+(-b9)+b10=(b2-b1)+(b4-b3)+?+(b10-b9)=5d=5×3= 15。 答案 A 1 1 2 1 2 3 1 2 3 9 1 3.已知数列{an}: , + , + + ,?, + + +?+ ,?,若 bn= , 2 3 3 4 4 4 10 10 10 10 anan+1 那么数列{bn}的前 n 项和 Sn 为( A. C. ) B. D. 4n n+1 5n n+1

n n+1
3n n+1

1+2+3+?+n n 解析 an= = , n+1 2 ∴bn= 1

anan+1



1 ? 4 ?1 =4? - ?, n?n+1? ?n n+1?

1 ?? ?? 1? ?1 1? ?1 ∴Sn=4??1- ?+? - ?+?+? - ?? ?? 2? ?2 3? ?n n+1??

1

=4?1-

? ?

1 ? 4n = 。 n+1? ? n+1

答案 B 1 1 2 4. 已知数列{an}满足 an+1= + an-an, 且 a1= , 则该数列的前 2 016 项的和等于( 2 2 A.1 509 C.1 512 1 1 2 解析 因为 a1= ,又 an+1= + an-an, 2 2 1 ? ? ,n=2k-1?k∈N*?, 1 所以 a2=1,从而 a3= ,a4=1,即得 an=?2 2 ? ?1,n=2k?k∈N*?, B.3 018 D.2 016 )

故数列的前 2

? 1? 016 项的和等于 S2 016=1 008×?1+ ?=1 512。 ? 2?
答案 C 5.已知数列{an}的前 n 项和 Sn=n -6n,则{|an|}的前 n 项和 Tn=( A.6n-n
2 2

)

B.n -6n+18
? ?6n-n D.? 2 ?n -6n ?
2

2

? ?6n-n ?1≤n≤3? C.? 2 ?n -6n+18?n>3? ?
2

2

?1≤n≤3? ?n>3?

解析 ∵由 Sn=n -6n 得数列{an}是等差数列,且首项为-5,公差为 2。 ∴an=-5+(n-1)×2=2n-7, ∴n≤3 时,an<0,n>3 时,an>0,
? ?6n-n ?1≤n≤3?, ∴Tn=? 2 ?n -6n+18?n>3?。 ?
2

答案 C 6.数列 1,1+2,1+2+4,?,1+2+2 +?+2 的最小值是( A.7 C.9 解析 an=1+2+2 +?+2
1 2 2 2

n-1

,?的前 n 项和 Sn>1 020,那么 n

) B.8 D.10
n-1

=2 -1。
n

n

∴Sn=(2 -1)+(2 -1)+?+(2 -1) =(2 +2 +?+2 )-n =2
n+1
1 2

n

-n-2。

∴S9=1 013<1 020,S10=2 036>1 020。 ∴Sn>1 020,n 的最小值是 10。
2

答案 D 7.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 an=n·2 ,则 Sn=________。 解析 ∵Sn=1×2+2×2 +3×2 +?+n·2 ,① ∴2Sn=1×2 +2×2 +?+(n-1)·2 +n·2 ∴①-②得-Sn=2+2 +2 +?+2 -n·2
n
2 3 2 3 2 3

n

n

n

n+1

,②

n

n+1

2?1-2 ? n+1 n+1 n+1 = -n·2 =2 -n·2 -2, 1-2 ∴Sn=(n-1)·2
n+1

+2。 +2

答案 (n-1)·2
x

n+1

4 ? 1 ?+f? 2 ?+?+f?2 015?,则 S=________。 8.设 f(x)= x ,若 S=f? ? ? ? ?2 016? 4 +2 ?2 016? ?2 016? ? ? 解析 ∵f(x)= 4 , x 4 +2
x

4 2 ∴f(1-x)= 1-x = x, 4 +2 2+4 ∴f(x)+f(1-x)= 4 2 + x=1。 4 +2 2+4
x x

1-x

S=f? S=f?

? 1 ?+f? 2 ?+?+f?2 015?, ① ? ? ? ?2 016? ?2 016? ?2 016? ? ? ?2 015?+f?2 014?+?+f? 1 ?, ② ? ? ? ?2 016? ?2 016? ?2 016? ? ?

? ? 1 ?+f?2 015?? ①+②得,2S=?f? ? ? ?? ? ?2 016? ?2 016?? ? ? 2 ?+f?2 014??+? +?f? ? ? ?? ? ?2 016? ?2 016?? ? ?2 015?+f? 1 ??=2 015, +?f? ? ? ?? ? ?2 016? ?2 016??
2 015 ∴S= =1 007.5 2 答案 1 007.5 9.对于数列{an},定义数列{an+1-an}为数列{an}的“差数列”,若 a1=2,{an}的“差 数列”的通项公式为 2 ,则数列{an}的前 n 项和 Sn=________。 解析 ∵an+1-an=2 , ∴an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+?+(a2-a1)+a1=2 +2=2 -2+2=2 。 2-2 n+1 ∴Sn= =2 -2。 1-2
3
n+1 n n n-1 n n

+2

n-2

2-2 +?+2 +2+2= 1-2
2

n

答案 2

n+1

-2

10. (2015—2016 学年度上学期衡水中学高三年级期中考试)正项数列{an}的前 n 项和为

Sn,且 Sn=?

?an+1?2(n∈N*)。 ? ? 2 ?
1 1 ,数列{cn}的前 n 项和为 Tn,证明: ≤Tn< 。 anan+1 3 2
2, 2

(1)证明数列{an}为等差数列并求其通项公式; (2)设 cn= 解 1

(1)由题意得,4Sn=(an+1) 4Sn-1=(an-1+1) ,
2 2

作差得 an-an-1-2(an+an-1)=0, 即(an+an-1)(an-an-1-2)=0。 由正项数列知 an+an-1>0, ∴an-an-1=2。 ∴数列{an}是等差数列,其中 a1=1, ∴an=2n-1。 1 ? 1 1? 1 - (2)∵cn= = ? ?, ?2n-1??2n+1? 2?2n-1 2n+1? 1 ? 1 1? ∴Tn= ?1- < , 2n+1? 2? ? 2 又∵Tn 是单调递增数列, 1 1 1 ∴Tn≥T1= ,∴ ≤Tn< 。 3 3 2 11.数列{an}满足 a1=1,nan+1=(n+1)an+n(n+1),n∈N+。 (1)证明:数列? ?是等差数列;
?n? ?an?

(2)设 bn=3 · an,求数列{bn}的前 n 项和 Sn。 解 (1)证明:由已知可得
?an?

n

an+1 an an+1 an = +1,即 - =1。 n+1 n n+ 1 n

所以数列? ?是以 =1 为首项,1 为公差的等差数列。 1 ?n? (2)由(1)得 =1+(n-1)·1=n,所以 an=n 。 从而 bn=n·3 。
n

a1

an n

2

Sn=1·31+2·32+3·33+?+n·3n,①
3Sn=1·3 +2·3 +?+(n-1)·3 +n·3 ①-②得,-2Sn=3 +3 +?+3 -n·3
n
1 2 2 3

n

n+1

。②

n

n+1

3·?1-3 ? ?1-2n?·3 n+1 = -n·3 = 1-3 2

n+1

-3 ,
4

?2n-1?·3 所以 Sn= 4

n+1

+3 。 B 组 培优演练

1. 设 bn= A. C. 31 33 31 66

(其中 an=2 ?an+1??an+1+1?

an

n-1

), 数列{bn}的前 n 项和为 Tn, 则 T5=( B. D. 32 33 16 33

)

解析

bn =

?2

n-1

n-1 1 ? 2 1 1 ? 1 = n-1 - n , 所 以 Tn = ? 0 - 1 ? + n +1??2 +1? 2 +1 2 +1 ?2 +1 2 +1?

? 1 1 - 2 1 ?+?+ 1 - 1 =1- 1 , ?2 +1 2 +1? n-1 n n 2 +1 2 +1 2 2 +1 ? ?
1 1 31 所以 T5= - = 。 2 33 66 答案 C 2.(2016·长沙模拟)已知函数 f(n)=n cos(nπ ),且 an=f(n)+f(n+1),则 a1+a2 +a3+?+a100=( A.-100 C.100 ) B.0 D.10 200
2 2 2

解析 若 n 为偶数, 则 an=f(n)+f(n+1)=n -(n+1) =-(2n+1), 为首项为 a2=- 5,公差为-4 的等差数列;若 n 为奇数,则 an=f(n)+f(n+1)=-n +(n+1) =2n+1, 为首项为 a1=3,公差为 4 的等差数列。 50×49 所以 a1+a2+a3+?+a100=(a1+a3+?+a99)+(a2+a4+?+a100)=50×3+ ×4 2 50×49 +50×(-5)- ×4=-100。 2 答案 A 3.对于每一个正整数 n,设曲线 y=x
n+1
2 2

在点(1,1)处的切线与 x 轴的交点的横坐标为

xn,令 an=ln xn,则 a1+a2+?+a99=________。
解析 对 y=x 1)·(x-1), 令 y=0,得 xn=
n+1

求导得 y′=(n+1)x ,则曲线在点(1,1)处的切线方程为 y-1=(n+

n

n , n+1 n , n+1

则 an=lg xn=lg

所以 a1+a2+?+a99
5

99 ? 1 ?1 2 =lg? × ×?× ?=lg =-2。 100? 100 ?2 3 答案 -2 4.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn=3 ,数列{bn}满足 b1=-1,bn+1=bn+(2n-1)(n∈N


n

)。 (1)求数列{an}的通项公式 an; (2)求数列{bn}的通项公式 bn; (3)若 cn= 解

an·bn ,求数列{cn}的前 n 项和 Tn。 n
n n-1

(1)∵Sn=3 ,∴Sn-1=3
n n-1

(n≥2),
n-1

∴an=Sn-Sn-1=3 -3 当 n=1 时,2×3
1-1

=2×3

(n≥2)。

=2≠S1=a1=3,

? ?3,n=1, ∴an=? n-1 ?2×3 ,n≥2。 ?

(2)∵bn+1=bn+(2n-1), ∴b2-b1=1,b3-b2=3,b4-b3=5,?,bn-bn-1=2n-3。 以上各式相加得

bn-b1=1+3+5+?+(2n-3)
= ?n-1??1+2n-3? 2 =(n-1) 。 2
2

∵b1=-1,∴bn=n -2n。
?-3,n=1, ? (3)由题意得 cn=? n-1 ? ?2?n-2?×3 ,n≥2。

当 n≥2 时,Tn=-3+2×0×3 +2×1×3 +2×2×3 +?+2(n-2)×3 ∴3Tn=-9+2×0×3 +2×1×3 +2×2×3 +?+2(n-2)×3 , ∴相减得-2Tn=6+2×3 +2×3 +?+2×3 ∴Tn=(n-2)×3 -(3+3 +3 +?+3
n n n
2 3 2 3 2 3 4

1

2

3

n-1



n

n-1

-2(n-2)×3 。

n

n-1

)

3 -3 ?2n-5?3 +3 n =(n-2)×3 - = 。 2 2 -3,n=1, ? ? ∴Tn=??2n-5?3n+3 ,n≥2。 ? 2 ?

6


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