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《数列》小结与复习


高中数学必修5第二章 《数列》

知识结构
数列的概念 递推公式 定义 等差数列 数列 等比数列 性质 前n项和公式 定义 性质 前n项和公式 通项公式 通项公式 通项公式 数 列






数列求和

数列 小结 数 定义

差、等比数列的有关概念
列 等 差 数 列 等 比 数 列

an+1-an=d an= a1+(n-1)d an=am+(n-m)d

通项公式 变通公式 前n项和公 式 中项

an=a1qn-1

an ?1 ?q an

na1 (q ? 1) (a1 ? an? ) sn ? ?或 Sn 2? ? a1 (1 ? q n ) a1 ? an q n(n ? 1)d ? 1 ? q ? 1 ? q (q ? 1) sn ? na1 ? ?2 若a,A,b成等差 若a,A,b成等比数 数列,则 A=(a+b)/2. 列,则A2=ab
?an ?等差 ??b a ? 等比
n

an=amqn-m

关系

正项等比?a n ? ?

?loga a n ?等差

[等差(比)数列的性质]

性质 性质1 性质2 性质3

















若n+m=p+q 则am+an=ap+aq

?a ? 等差
kn

?kn?成为等差数列

若n+m=p+q 则aman=apaq

?a ? 等比
kn

Sn , S2n ? Sn , S3n ? S2n ,? ? ?
等 差

等 比
若{dn}是公比为q′的等比,则 {bn?dn}是公比为q·q′的等比

性质4 若{cn}是公差为d′的等差,则
{an+cn}是公差为d+d′的等差

{an}为等差数列? an+1- an=d(常数) 2an+1=an+2+an an=an+b a、b为常数 Sn=an2+bn

{an}为等比数列? an+1/an=q(非零常数) (an+1)2=an+2an an=cqn Sn=k(1-qn) a、b、c成等比数列? b2= ac

a、b、c成等差数列?
2b= a+c

等差(比)数列的增减性: 1.等差数列 (前多少项和最大或最小) (1)d>0,递增数列, (2)d<0,递减数列 (3)d=0,常数列 2.等比数列 (1)q<0,摆动数列 (2)q=1,常数列 (3) a1 ? 0 ,0<q<1,递减数列 (4) a1 ? 0 ,q>1, 递增数列 (5) a1 ? 0 ,0<q<1,递增数列 (6) a1 ? 0 ,q>1, 递减数列

D

C

1 3.等差数列{an}中,已知a 1= ,a 2 + a 5 =4 3

a n = 33,则n是( C ) A.48 B.49

C.50

D.51

B

5.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若a4=18-a5,则S8 等于( D ) A.18 B.36 C.54 D.72

6.在等比数列 {an } 中, a3a4a5 ? 3, a6a7a8 ? 24, 则 a9a10a11 ? D
A. 48 B. 72 C. 144 D. 192

7.在等差数列{an}中,若a4+a6+a8+a10+a12=120, 则2a10-a12的值为 ( C A.20 B.22 C.24 D.28
解题分析:看清下标关系,妙用性质求解.

)

解:a4+a6+a8 +a10+ a12 =(a4+a12)+(a6+a10)+a8 =5a8 =120 a8 =24 ∵a8 , a10, a12,成等差数列 ∴2a10 - a12=a8=24 2a10 =a8+a12

8.在等比数列{an}中,a5,a9是方程7x2+18x+7=0的两个根,则 a7
A. -1 解析: B. 1 C. ±1 A ( ) D.以上都不正确

18 a5 ? a9 ? ? ? 0 7 a 5 ? a 9 ? 1, a 5 ? 0, a 9 ? 0

a ? a 5 ? a 9 ? 1, ? a 7 ? ?1
2 7

? a 5 ? a1 ? q 4 ? 0,? a1 ? 0 ? a 7 ? a1 ? q ? ?1
6

9.在等差数列{an }中,
24 (1)若a15 ? 8, a60 ? 20, 则a75 ? _____;

(2)若a1 ? a4 ? a7 ? 39, a2 ? a5 ? a8 ? 33, 则 27 a3 ? a6 ? a9 ? ______

10.若关于x的方程x2 - x+a= 0和x2 - x+b= 0(a≠b)的 31 1 四个根可组成首项为 的等差数列,则a+b的值是 72 . 4

11. 设{an}是等比数列,且a5a6=81,

20 则log3a1+ log3a2+ …+log3a10=__________. 12. 设{an}是等比数列,且a1+a2=30,a3+a4=120,
480 则a5+a6=________

13. 若a,b,c成等比数列,则函数f(x)=ax2+bx+c的
0 图象与x轴的交点个数为_______。

14. 某个单位某年十二月份的产值是同年一月份
产值的m倍,那么该单位此年的月平均增长

m? 率是______ 1
11

15. 等差数列{an}中,a1=13,S3=S11,求Sn
解法一:由S 3 ? S11,得a4 ? a5 ? ? ? a11 ? 0, ? a4 ? a11 ? 0,由a1 ? 13,解得d ? ?2 ? S n ? ? n 2 ? 14n

解法二: ∵{an }是等差数列, 设S n ? An 2 ? Bn ? ? A ? B ? 13 由a1 ? S1 ? 13,S 3 ? S11,代入得? ?9 A ? 3 B ? 121A ? 11B 解得A ? ?1,B ? 14, S n ? ? n 2 ? 14n ?

16.设数列?an? 的前n项和为S,若S1 =1,S2 =2, n Sn+1 -3Sn +2Sn-1 =0(n≥2)求an a n ?1 ? 1 n ?1 ? (n ? 2) 2 a n ? ? n ?2 an 2 n?2

?

22 42 (2n)2 17 求Sn ? ? ??? 1? 3 3 ? 5 (2n ? 1)(2n ? 1)
1 1? 1 1 ? 解 : (1)an ? 1 ? ? 1? ? ? (2n ? 1)(2n ? 1) 2 ? 2n ? 1 2 n ? 1 ? ?

1? 1 1 1 1 1 1 1 ? S n ? n ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2? 3 3 5 5 7 2n ? 1 2n ? 1 ? ? 1 ? 1 ? 2n( n ? 1) ? n ? ? ?1 ? ?? 2 ? 2n ? 1 ? 2n ? 1

18. 函数f ( x) ? a1x ? a2 x2 ? a3 x3 ??? an xn (n ? N ? ) 2 且 a1 , a2 ,?, an 构成一个数列,又 f (1) ? n . (1)求数列 {an } 的通项公式; 1 (2)比较f ( ) 与1的大小. 3
解(1)f(1)=a1+a2+a3+…+an=n2 ∴ an=n2-(n-1)2=2n-1

18. 函数f ( x) ? a1x ? a2 x ? a3 x ??? an x (n ? N ) 2 且 a1 , a2 ,?, an 构成一个数列,又 f (1) ? n . 1 与1的大小. (2)比较 f ( ) 31 1 1 1 1
2 3 n

?

(2) f ( ) ? 1 ? ? 3 ? ( )2 ? 5 ? ( )3 ? … ? (2n ? 1) ? ( )n 3 3 3 3 3 1 1 1 2 1 3 1 n 1 n?1 ? f ( ) ? 1 ? ( ) ? 3 ? ( ) ? … ? (2n ? 3) ? ( ) ? (2n ? 1) ? ( ) 3 3 3 3 3 3 2 1 1 1 2 1 3 1 n 1 n ?1 ? f ( ) ? 1 ? ? 2 ? ( ) ? 2 ? ( ) ? … ? 2 ? ( ) ? (2n ? 1) ? ( ) 3 3 3 3 3 3 3 2 1 n?1 ? ? 2n ? ( ) 3 3 1 1 n ?1 ? f ( ) ? 1 ? 3n ? ( ) ? 1 3 3

小结
1.等差数列的基本公式在数列中占用重要的地位,应 用要从公式的正向、逆向、变式等多角度去思考. 2.等比数列的前n项和公式要分两种情况,公比等于1 和公比不等于1,而公比等于1的情况最容易忽略.

3.等差数列和等比数列中,经常要根据条件列方程(组)
求解,注意用方程的思想、消元的思想及整体代换思 想分析问题和解决问题. 4.数列的渗透力很强,它和函数、方程、三角、不等 式等知识相互联系,优化组合.解题是必须深刻体会 蕴藏在数列概念和方法中的数学思想,如函数与方程、 数形结合、分类讨论、等价转化等.


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