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2015年北京海淀区高三数学一模(理科)试题及答案


高三数学(理)试题答案

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海淀区高三年级第二学期期中练习

数学(理)答案及评分参考
一、

选择题(共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分)
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2015.4

(1)A (5)A

(2)C (6)D

(3)D (7)C

(4)B (8)A

二、填空题(共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。有两空的小题,第一空 2 分,第二空 3 分) (9) 2 (12) (10) 4 (13) 24 (11) 16,16 (14) (??,0)

π 5π 或 12 12

(1, ??)

三、解答题(共 6 小题,共 80 分) (15) (共 13 分)

? 1 ? cos 2( x ? ) 4 解: (Ⅰ )因为 f ( x) ? 2 1 ? sin 2 x ? . 2 2π ? π. 所以 T ? 2 π kπ π ? ( k ? Z) . 令 2 x ? kπ ? ( k ? Z) ,得: x ? 2 2 4
所以 f ( x ) 的最小正周期为 π ,对称轴的方程为 x ?

………………2 分

………………4 分 ………………6 分

kπ π ? ( k ? Z) . 2 4

? sin 2( ? x) ? 1 ? 3 (Ⅱ ) f ( ? x) ? 3 2 1 2π 1 ? ? sin(2 x ? ) ? . 2 3 2 π 2π π ? 2kπ ? (k ? Z) , 令 2kπ ? ? 2 x ? 2 3 2 π 7π ? x ? kπ ? (k ? Z) . 得: kπ ? 12 12 π π 7π ](k ? Z) . 所以 f ( ? x ) 的单调递减区间为 [kπ ? , kπ ? 3 12 12
(16) (共 13 分) 解:(Ⅰ) a ? 0.015 ;

………………9 分

………………13 分

………………2 分 ………………4 分

s ?s
2 1

2 2.

(Ⅱ)设事件 A :在未来的某一天里,甲种酸奶的销售量不高于 20 箱; 事件 B :在未来的某一天里,乙种酸奶的销售量不高于 20 箱; 事件 C :在未来的某一天里,甲、乙两种酸奶的销售量恰好一个高于 20 箱且另一个 不高于 20 箱. 则

P( A) ? 0.20 ? 0.10 ? 0.3 , P( B) ? 0.10 ? 0.20 ? 0.3 .
所以 P(C) ? P( A) P( B) ? P( A) P( B) ? 0.42 .
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………………6 分 ………………8 分

(Ⅲ)由题意可知, X 的可能取值为 0,1,2,3.
0 P( X ? 0) ? C3 ? 0.30 ? 0.73 ? 0.343 , 1 1 2 P( X ? 1)? C ? 3 ? 0 . 3? 0 . 7

………………9 分

0, .441

2 P( X ? 2) ? C3 ? 0.32 ? 0.71 ? 0.189 , 3 P( X ? 3) ? C3 ? 0.33 ? 0.70 ? 0.027 .

所以 X 的分布列为

X
P

0 0.343

1 0.441

2 0.189

3 0.027 ………………11 分

所以 X 的数学期望 EX ? 0 ? 0.343 ? 1? 0.441 ? 2 ? 0.189 ? 3 ? 0.027 ? 0.9 . ………………13 分 另解:由题意可知 X ~ B(3,0.3) . 所以 X 的数学期望 EX ? 3 ? 0.3 ? 0.9 . (17)(共 14 分) 证明: (Ⅰ)证明:因为 四边形 ABE1 F 1 为正方形, 所以 BE1 ? AB . ………………13 分

BE1 ? 平 因为 平面 ABCD ? 平面 ABE 1F 1 ,平面 ABCD ? 平面 ABE 1F 1 ? AB ,
面 ABE1F 1, 所以 BE1 ? 平面 ABCD . 因为 DC ? 平面 ABCD , 所以 BE1 ? DC .
z

………………2 分

………………4 分
F1

E1

(Ⅱ)解:如图,以点 B 为坐标原点,分别以 BC, BE1 所 在的直线为 x , z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系

B ? xyz .
设 AD ? 1 ,则

C x D A

M B

B(0, 0, 0), C (2, 0, 0), E1 (0, 0, 2), M (1,1,

2 ). 2

y

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所以 BM ? (1,1,

2 2 ). ) , CE1 ? (?2, 0, 2) , E1 M ? (1,1, ? 2 2

………………6 分

设平面 CE1 M 的一个法向量为 n ? ( x, y, z) .

??2 x ? 2 z ? 0, ? ? ?n ? CE1 ? 0, 由? 得? 2 z ? 0. ? ?n ? E1 M ? 0, ? x ? y ? ? 2
令 x ? 1 ,得 z ? 2, y ? 0 ,所以 n ? (1, 0, 2) . 设 BM 与平面 CE1 M 所成角为 ? , ………………8 分

则 sin ? ? cos ? BM , n ? ?

BM ? n BM n

?

1? 0 ?1 5 ? 3 2
2 30 . 15

?

2 30 . 15

所以 BM 与平面 CE1 M 所成角的正弦值为

………………10 分

(Ⅲ)解:直线 DM 与直线 CE1 平行. 理由如下: 由题意得, D(2,1, 0), DM ? (?1, 0, 所以 CE1 ? 2DM . 所以 CE1 / / DM . 因为 DM , CE1 不重合, 所以 DM / / CE1 . 另解:直线 DM 与直线 CE1 平行. 理由如下: 取 BC 的中点 P , CE1 的中点 Q ,连接 AP , PQ , QM . 所以 PQ / / BE1 且 PQ ?

………………11 分

2 ), CE1 ? (?2, 0, 2) . 2

………………13 分

………………14 分

1 BE1 . 2

因为 M 为 AF1 的中点,四边形 ABE1 F 1 是正方形,

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所以 AM / / BE1 且 AM ?

1 BE1 . 2
E1 F1 Q M P D A B

所以 PQ / / AM 且 PQ ? AM . 所以 APQM 为平行四边形. 所以 MQ / / AP 且 MQ ? AP . 因为 四边形 ABCD 为梯形, BC ? 2 AD , 所以 AD / / PC 且 AD ? PC . 所以 四边形 APCD 为平行四边形. 所以 CD / / AP 且 CD ? AP . 所以 CD / / MQ 且 CD ? MQ . 所以 CDMQ 是平行四边形. 所以 DM / / CQ , 即 DM / / CE1 . (18) (共 13 分) 解: (Ⅰ) f '( x ) ?

C

………………14 分

a 1 ax ? 1 ? ? 2 ( x ? 0) . x x2 x

………………2 分

(ⅰ)当 a ? 0 时, f '( x) ? 0 ,则函数 f ( x ) 的单调递减区间是 (0, ??) . ………………3 分

1 (ⅱ)当 a ? 0 时,令 f '( x) ? 0 ,得 x ? . a
当 x 变化时, f '( x) , f ( x ) 的变化情况如下表

x
f '( x)
f ( x)

1 (0, ) a

1 a
0
极小值

1 ( , ??) a

?


?


所以 f ( x ) 的单调递减区间是 (0, ) , 单调递增区间是 ( , ??) . ………………5 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知: 当 a ? 0 时,函数 f ( x ) 在区间 (0, ??) 内是减函数,所以,函数 f ( x ) 至多存在一个 零点,不符合题意. ………………6 分

1 a

1 a

1 1 当 a ? 0 时,因为 f ( x ) 在 (0, ) 内是减函数,在 ( , ??) 内是增函数,所以 要使 a a
高三数学(理)试题答案 第 8 页 共 11 页

1 1 {x f ( x) ? 0} ? [b, c] ,必须 f ( ) ? 0 ,即 a ln ? a ? 0 . a a 所以 a ? e . ………………7 分 1 1 2 2 当 a ? e 时, f ( 2 ) ? a ln( 2 ) ? a ? ?2a ln a ? a ? a ? (a ? 2 ln a) . a a 2 x?2 ( x ? e) . 令 g ( x) ? x ? 2ln x( x ? e) ,则 g '( x) ? 1 ? ? x x
当 x ? e 时, g '( x) ? 0 ,所以, g ( x) 在 [e, ??) 上是增函数. 所以 当 a ? e 时, g (a) ? a ? 2ln a ? g (e) ? e ? 2 ? 0 .

1 ) ?0. ………………9 分 a2 1 1 1 因为 2 ? ? 1 , f ( ) ? 0 , f (1) ? 1 ? 0 , a a a 1 1 1 所以 f ( x ) 在 ( 2 , ) 内存在一个零点,不妨记为 b ,在 ( ,1) 内存在一个零点,不 a a a
所以 f ( 妨记为 c . ………………11 分

1 1 因为 f ( x ) 在 (0, ) 内是减函数,在 ( , ??) 内是增函数, a a
所以 {x f ( x) ? 0} ? [b, c] . 综上所述,a 的取值范围是 (e, +?) . 因为 b ? ( ………………12 分

1 1 1 , ) , c ? ( ,1) , 2 a a a
………………13 分

所以 [b, c] ? (0,1) . (19) (共 13 分)

?b ? 1, ? 6 ?c , 解: (Ⅰ)由题意得: ? ? 3 ?a ?a 2 ? b 2 ? c 2 . ?
2 ? ? a ? 3, 解得: ? 2 ? ?b ? 1.

………………3 分

所以 椭圆 M 的方程为

x2 ? y 2 ? 1. 3

………………4 分 ………………5 分

(Ⅱ)不存在满足题意的菱形 ABCD ,理由如下: 假设存在满足题意的菱形 ABCD .

设直线 BD 的方程为 y ? x ? m , B( x1 , y1 ) , D( x2 , y2 ) ,线段 BD 的中点 Q( x0 , y0 ) ,点
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A(t , 2) .

………………6 分

? x 2 ? 3 y 2 ? 3, 由? 得 4 y 2 ? 2my ? m2 ? 3 ? 0 . ?y ? x ? m
2 由 ? ? ? 2m ? ? 16 m ? 3 ? 0 , 解得 ?2 ? m ? 2 . 2

………………8 分

?

?

………………9 分

m , 2 y ? y2 m ? . 所以 y0 ? 1 2 4
因为 y1 ? y2 ? 因为 四边形 ABCD 为菱形, 所以 Q 是 AC 的中点. 所以 C 点的纵坐标 yC ? 2 y0 ? 2 ? 因为 点 C 在椭圆 M 上, 所以 yC ? ?1 .这与 yC ? ?1 矛盾. 所以 不存在满足题意的菱形 ABCD . (20) (共 14 分) 解: (Ⅰ)由①,得 2 ? a ? 6 .

………………11 分

m ? 2 ? ?1 . 2

………………12 分

………………13 分

由②,当 i ? 2 , j ? 3 , k ? 4 时. 2 a , 6 a , 12 中至少有一个是数列 1 , 2 , a , 6 中的项,但 6a ? 6 , 12 ? 6 ,故 2a ? 6 ,解得 a ? 3 . 经检验,当 a ? 3 时,符合题意. ………………3 分

(Ⅱ)假设 2,3,5 是数列 An 中的项,由②可知:6,10,15 中至少有一个是数列 An 中的 项,则有限数列 An 的最后一项 an ? 5 ,且 n ? 4 . 由①,an ? an?1 ? an?2 ? an?3 ? 1. ………………4 分

对于数 an?2 , an?1 , an ,由②可知: an?2 an?1 ? an ;对于数 an?3 , an?1 , an ,由②可知:

an?3an?1 ? an .
所以 an?2 ? an?3 ,这与①矛盾. 所以 2,3,5 不可能是数列 An 中的项. (Ⅲ) n 的最大值为 9 ,证明如下:

………………6 分

………………7 分 ………………8 分

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1, ? , ? ,0, ,1,2 (1)令 A9 : ?4, ?2, ?

1 2

1 4

1 2

,则 A9 符合①、②.

………………11 分

(2)设 An : a1 , a2 , ???, an (n ? 3) 符合①、②,则: (ⅰ) An 中至多有三项,其绝对值大于 1. 假设 An 中至少有四项,其绝对值大于 1,不妨设 ai , a j , ak , al 是 An 中绝 对值最大的四项,其中 1 ?| ai |?| a j |?| ak |?| al | . 则对 ai , ak , al 有 | ai al | ?| al | , | ak al | ?| al | ,故 ai al , ak al 均不是数列 An 中的项, 即 ai ak 是数列 An 中的项. 同理: a j ak 也是数列 An 中的项. 但 | ai ak | ? | ak | , | a j ak | ? | ak | . 所以 ai ak ? a j ak ? al . 所以 ai ? a j ,这与①矛盾. (ⅱ) An 中至多有三项,其绝对值大于 0 且小于 1. 假设 An 中至少有四项,其绝对值大于 0 且小于 1,类似(ⅰ)得出矛盾. (ⅲ) An 中至多有两项绝对值等于 1. (ⅳ) An 中至多有一项等于 0. 综合(ⅰ) , (ⅱ) , (ⅲ) , (ⅳ)可知 An 中至多有 9 项. ………………14 分 由(1) , (2)可得, n 的最大值为 9.

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