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2015年秋高二人教版数学选修2-2课件:2.1.1 合情推理


2.1.1 合情推理 研题型 学方法 题型一 数,式中的归纳推理 根据下列条件, 写出数列中的前 4 项, 并归纳猜想它的通项公 式. (1)a1=3,an+1=2an+1; 1 (2)a1=a,an+1= . 2-an 解析:(1)由已知有 a1=3=22-1, a2=2a1+1=2×3+1=7=23-1, a3=2a2+1=2×7+1=15=24-1, a4=2

a3+1=2×15+1=31=25-1. 猜测出 an=2n+1-1,n∈N*. (2)由已知有 a1=a, a2= a3= 1 1 = , 2-a1 2-a 2-a 1 = , 2-a2 3-2a 3-2a 1 a4= = . 2-a3 4-3a 猜测出 an= (n-1)-(n-2)a ,n∈N*. n-(n-1)a 规律方法:进行数、式中的归纳推理的一般规律 (1)已知等式或不等式进行归纳推理的方法 ①要特别注意所给几个等式(或不等式)中项数和次数等方面的 变化规律; ②要特别注意所给几个等式(或不等式)中结构形式的特征; ③提炼出等式(或不等式)的综合特点; ④运用归纳推理得出一般结论. (2)数列中的归纳推理 在数列问题中,常常用到归纳推理猜测数列的通项公式 或前n项和. ①通过已知条件求出数列的前几项或前n项和; ②根据数列中的前几项或前n项和与对应序号之间的关 系求解; ③运用归纳推理写出数列的通项公式或前n项和公式. ?变式训练 1.试根据以下给出的几个不等式: 1 1 1 > = , 12 1×2 2 1 1 1 1 2 + > + = , 12 22 1×2 2×3 3 1 1 1 1 1 1 3 + + > + + = ,? 12 22 32 1×2 2×3 3×4 4 写出一个具有一般性结论的不等式,并证明. 解析: 通过观察已经给出的 3 个式子, 可以发现这些式子中蕴涵 1 1 了一个基本规律,这个基本规律可用如下式子来表示,即: 2+ 2+ 1 2 1 1 n + ? + > (n∈N*). 2 2 3 n n+1 证明如下: 1 1 1 1 1 1 1 + + + ? + > + + +?+ 12 22 32 n2 1×2 2×3 3×4 ?1 1 ? ? 1? ?1 1? ?1 1? 1 1 = ?1-2? + ?2-3? + ?3-4? + ? + ?n-n+1? = 1 - = n(n+1) ? n + 1 ? ? ? ? ? ? ? n . n+1 题型二 几何中的归纳推理 根据下图中线段的排列规则,试猜想第8个图形中线段的条 数为________. 解析:分别求出前4个图形中线段的数目,并加以归纳, 发现规律,得出猜想.图形①~④中线段的条数分别为1, 5,13,29. 因为1=4-3=22-3, 5=8-3=23-3, 13=16-3=24-3, 29=32-3=25-3. 因此可以猜想第8个图形中线段的条数应为28+1-3=509. 答案:509 规律方法:图形中归纳推理的特点及思路 (1)从图形的数量规律入手,找到数值变化与数量的关 系. (2)从图形的结构变化规律入手,找到图形的结构每发 生一次变化后,与上一次比较,数值发生了怎样的变 化. ?变式训练 2.在平面内观察:凸四边形有 2 条对角线,凸五边形有 5 条对 角线,凸六边形有 9 条对角线,?.由此猜想凸 n(n≥4 且 n∈N*)边形 有几条对角线? 解析:凸四边形有 2 条对角线,凸五边形有 5 条对角线,比凸

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