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2013绵阳市高三三诊数学试题及答案B版(文科)


1

绵阳市 2013 届高中毕业班第三次诊断性考试 数学(文科)
第 I 卷(选择题,共 50 分)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有 一项是符合题目要求的.

1. 设 集 合 U={l,2, 3, 4}, M={l, 2, 3}, N={2, 3, 4},则 A. {1, 2} C.{2, 4}
2

CU (M ? N ) 等 于

B. {2, 3} D. {1, 4}

2.抛物线 x =-4y 的准线方程是 A. x=-1 B. x=2 C.y=1 D. y=-2 (i 为 虚 数 单 位 ),则 复 数 z= D. -1+i

3. 若 复 数 z 满 足 z*i=1+i A. 1+i B. -1-I

C. 1-I

4. 设数列{an}是等比数列,则“a1<a2 广是“数列{an}是递增数列”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 5. 平 面 向 量 a 与 b 的 夹 角 为 60 ,a=(2, 0), b =(cosa, sina),则 |a+2b|= A. C. 4 6. 函 数 f(x)=
0

3

B.2 3 D. 12

1 x-sinx 的 大 致 图 象 可 能 是 2

2 7. 执行如图所示的程序框图,若输出结果为 26,则 M 处的 条件为 A. k ? 31 C. k>3l B. k ? 15 D. k>l5

8. 己知函数. f ( x) ? 2 sin(2 x ? ? )(|? |? ? ) , 若函数 f(x) 在区间 ( A B C D

) 上单调递增,则 0 的取值范围是 8 ? 7? [ , ] 3 8 5? 3? ,? [? ] 6 4 ? 2? ( ? ? ,? ] ? [ ? ,? ) 8 3 ? 7? ,? ) (??, ]? [ 3 8 6 ,

? 5?

9. 已知椭圆

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 与离心率为 2 的双曲线 a2 b2

x2 y2 ? ? 1(m ? 0, n ? 0) 的公共焦点 是 F1 F2,点 P 是两曲线的一个公共点,若 m2 n2
cos ?F1 PF2 ?
A.

1 ,则椭圆的离心率为 3
B.

2 4

2 2
x

C.

10 10

D.

10 5

10. 已知函数 f(x)=ln(e +a)(e 是自然对数的底数,a 为常数)是实数集 R 上的奇函数, 若 函数 f(x)=lnx-f(x)(x -2ex+m)在(0, +∞)上有两个零点,则实数 m 的取值范围是 A. ( , e ? )
2
2

1 e

1 e

B. (0, e ? )
2

1 e

C. (e ?
2

1 ,?? ) e

D. ( ?? , e ? )
2

1 e

第 II 卷(非选择题,共 100 分) 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11. 若直线 x+(a-1)y=4 与直线 x=1 平行,则实数 a 的值是 ____ 12. 如图所示, 一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长 为 4 的正方形,俯视图是一个直径为 4 的圆,则这个几何体的侧 面积是____

3

?y ? x ? 13. 设变量 x、y 满足约束条件: ? x ? y ? 1 ,则目标函数 z=2x+y 的最大值是_______ ? y ? ?1 ?
14. 己知 sin(a ?

?
3

) ? sin a ? ?

? ? 4 3 ,且 ? ? a ? ? 则 cosa=______ 2 3 5

15. 定义在区间[a, b]上的函数 y=f(x), f ?(x) 是函数 f(x)的导数,如果 ?? ? [a, b] , 使得 f(b)-f(a)= f ?(? )(b ? a) ,则称 ? 为[a,b]上的“中值点”.下列函数: ① f(x)=2x+l, ③ f(x)=lnx+l, ② f(x)=x2-x+l, ④ f ( x) ? ( x ? ) ,
3

1 2

其中在区间[0, 1]上的“中值点”多于一个的函数是______(请写出你认为正确的所有 结论的序号) 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 从高三学生中抽取 n 名学生参加数学竞赛,成 绩(单位:分)的分组及各数据绘制的频 率分布 直方图如图所示,已知成绩的范围是 区间[40, 100),且成绩在区间[70, 90)的学 生人数是 27 人. (I) 求 n 的 值 ; (II)试估计这 n 名学生的平均成绩; (III)若从数学成绩(单位:分)在[40,60)的 学生中随机选取 2 人进行成绩分析,求至少有 1 人成绩在[40, 50)内的概率.

17. (本小题满分 12 分) 已知{an}是等差数列,a1=3, Sn 是其前 n 项和,在各项均为正数的等比数列{bn}中, b1=1 且 b2+S2=1O, S5 =5b3+3a2. (I )求数列{an}, {bn}的通项公式; (II)设 c n ?

2 3 ,数列{cn}的前 n 项和为 Tn,求证 Tn ? Sn 2

4

18. (本小题满分 12 分) 如图,ABCD 是边长为 2 的正方形,ED 丄平面 ABCD,ED=1, EF//BD 且 EF= BD.

(I)求 证 : BF//平 面 ACE (II)求 证 : 平 面 EAC 丄 平 面 BDEF; (III)求几何体 ABCDEF 的体积.

19. (本 小 题 满 分 12 分 ) 函数 f ( x) ? sin(?x ? ? )(? ? 0, | ? |? 移

?
2

) 的部分图象如图示,将 y=f(x)的图象向右平

? 个单位后得到函数 y=f(x)的 图象 4
(I )求函数 y=g(x)的解析式;

(II)已知 ΔABC 中三个内角 A, B, C 的 对 边 分 别 为 a, b,c,且 满 足

g(

A ? B ? ? ? ) + g ( ? ) =2 6 sinAsinaB,且 C= ,c=3, 求 2 12 2 12 3

ΔABC 的 面 积 .

20. (本小题满分 13 分)

x2 y2 已知椭圆 C: ? ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 a2 b2

3 ,以原点为圆心,椭圆 c 的短半轴长为半径的圆与直 2
线 x ? y ? 2 ? 0 相切.A、 是椭圆的左右顶点, B 直线 l 过 B 点且与 x 轴垂直,如图. (I )求椭圆的标准方程; (II)设 G 是椭圆上异于 A、B 的任意一点,GH 丄 x 轴,H 为垂足,延长 HG 到点 Q 使得 HG=GQ,连接 AQ 并延长交直线 l 于点 M,点 N 为 MB 的中点,判定直线 QN 与以 AB 为直径的圆 O 的位置关系,并证明你的结论.

5

21. (本小题满分 14 分) 已 知 函 数 f(x)=e -ax(e 为 自 然 对 数 的 底 数 ). (I )求函数 f(x)的单调区间; (II)如果对任意 x ? [2,??] ,都有不等式 f(x)> x + x 成立,求实数 a 的取值范围;
2 x

(III)设 n ? N * ,证 明 : ( ) + ( ) + ( ) +?+ ( ) <
n n n n

1 n

2 n

3 n

n n

e e ?1

6

绵阳市高中 2013 级第三次诊断性考试
数学(文)参考解答及评分标准
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. DCCBB AABDD 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.

3 3?4 15.①④ 10 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.解: (Ⅰ)成绩在区间 ?70, ? 的频率是: 90 1 ? (0.02+0.016+0.006+0.004)×10=0.54, 27 ∴ n? ? 50 人. ???????????????????????3 分 0.54 (Ⅱ)成绩在区间 ?80, ? 的频率是: 90
11.1 12.16π 13.3 14.

1 ? (0.02+0.016+0.006+0.004+0.03) ? 10=0.24, 利用组中值估计这 50 名学生的数学平均成绩是: 45×0.04+55×0.06+65×0.2+75×0.3+85×0.24+95×0.16=76.2. ?????3 分 (Ⅲ)成绩在区间 ? 40, ? 的学生人数是:50×0.04=2 人, 50 成绩在区间 ?50, ? 的学生人数是:50×0.06=3 人, 60 设成绩在区间 ? 40, ? 的学生分别是 A1,A2,成绩在区间 ?50, ? 的学生分别是 B1,B2, 50 60

60 从成绩在 ?40, ? 的学生中随机选取 2 人的所有结果有:(A1,A2),(A1,B1), (A1,B2),(A1,B3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(B1,B2),(B1,B3),(B2,B3)共 10 种情况. 50 至少有 1 人成绩在 ?40, ? 内的结果有:(A1,A2),(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A2, B1),(A2,B2),(A2,B3)共 7 种情况.

B3,

7 . ???????????6 分 10 17.解: (Ⅰ)设等差数列{an}的公差为 d,等比数列{bn}的公比为 q, ? b1 ? q ? 2a1 ? d ? 10, ? 由题意可得: ? 5? 4 2 ?5a1 ? 2 ? d ? 5b1q ? 3(a1 ? d ), ? 17 解得 q=2 或 q= ? (舍),d=2. 5 ∴ 数列{an}的通项公式是 an=2n+1,数列{bn}的通项公式是 bn ? 2n?1 . ?7 分 2 1 1 n(3 ? 2n ? 1) ? ? (Ⅱ)由(Ⅰ)知 Sn ? , ? n2 ? 2n ,于是 cn ? Sn n n ? 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ∴ Tn ? 1 ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ?1? ? ? 3 2 4 3 5 n n?2 2 n ?1 n ? 2 3 1 1 3 < . ????12 分 ? ? ? 2 n ?1 n ? 2 2 E 18.解: (Ⅰ)如图,记 AC 与 BD 的交点为 O,连接 EO,于是 DO=OB. F 1 ∵ EF∥BD 且 EF= BD, 2 D ∴ EF OB, ∴ 四边形 EFBO 是平行四边形, O ∴ BF∥EO. A B

50 ∴ 至少有 1 人成绩在 ?40, ? 内的概率 P=

C

而 BF ? 平面 ACE,EO ? 平面 ACE, ∴ BF∥平面 ACE.??????????4 分 (Ⅱ)∵ ED⊥平面 ABCD,AC ? 平面 ABCD, ∴ ED⊥AC. ∵ ABCD 是正方形, ∴ BD⊥AC, ∴ AC⊥平面 BDEF. 又 AC?平面 EAC,故平面 EAC⊥平面 BDEF. ???????????8 分 (Ⅲ)连结 FO,∵ EF DO, ∴ 四边形 EFOD 是平行四边形. 由 ED⊥平面 ABCD 可得 ED⊥DO, ∴ 四边形 EFOD 是矩形. ∵ 平面 EAC⊥平面 BDEF. ∴ 点 F 到平面 ACE 的距离等于就是 Rt△EFO 斜边 EO 上的高,

7

6 EF ? FO 1 ? 2 ? = . 3 OE 3 ∴几何体 ABCDEF 的体积 V ? V三棱锥E ? ACD ? V三棱锥F ? ACE ? V三棱锥F ? ABC
且高 h=

1 1 1 1 6 1 1 + ? ? 2 ? 2 ?1 = ? ? 2 ? 2 ? 1+ ? ? 2 2 ? 3 ? 3 2 3 2 3 3 2 =2.?????????????????12 分
19.解: (Ⅰ)由图知: 再由 f ( 得

2?

?

?
6

12

) ? sin(2 ?

?

,解得 ω=2. =4 ( + ) ? 12 6

?

?

? ? ? 2k? ?

?
2

12

? ?) ? 1 ,

(k ? Z) ,即 ? ? 2k? ?

?
3

(k ? Z) .

由?

?
2

?? ?

?
2

,得 ? ?

?
3



∴ f ( x) ? sin(2 x ?

?
3

).

∴ f ( x ? ) ? sin[2( x ? ) ?

?

?

?

4

4

] ? sin(2x ? ) , 3 6

?

) .????????????6 分 6 (Ⅱ)由已知化简得: sin A ? sin B ? 2 6 sin Asin B . a b c 3 ∵ ? ? ? ? 2 R (R 为△ABC 的外接圆半径), sin A sin B sin C sin ? 3 ∴ 2R ? 2 3 , a b ∴ sinA= ,sinB= . 2R 2R a b a b ∴ ,即 a ? b ? 2ab . ① ? ?2 6? ? 2R 2R 2R 2R 2 2 2 由余弦定理,c =a +b -2abcosC, 2 2 2 即 9=a +b -ab=(a+b) -3ab. ② 3 2 联立①②可得:2(ab) -3ab-9=0,解得:ab=3 或 ab= ? (舍去), 2 1 3 3 故△ABC 的面积 S△ABC= ab sin C ? .?????????????12 分 2 4

即函数 y=g(x)的解析式为 g(x)= sin(2 x ?

?

8 20.解: (Ⅰ)由题可得:e=

c 3 ? . a 2 ∵ 以原点为圆心,椭圆 C 的短半轴长为半径的圆与直线 x+y+ 2 =0 相切,
=b,解得 b=1. 12 ? 12 2 2 2 再由 a =b +c ,可解得:a=2. x2 ? y 2 ? 1 .?????????????????5 分 ∴ 椭圆的标准方程: 4 (Ⅱ)由(Ⅰ)可知:A(-2,0),B(2,0),直线 l 的方程为:x=2. 设 G(x0,y0)(y0≠0),于是 H(x0,0),Q(x0,2y0), x2 2 2 且有 0 ? y0 2 ? 1 ,即 4y0 =4-x0 . 4 设直线 AQ 与直线 BQ 的斜率分别为:kAQ,kBQ, 2 y0 2 y0 4y 2 4?x 2 ∵ k AQ ? k BQ ? ? ? 2 0 ? 2 0 ? ?1 ,即 AQ⊥BQ, x0 ? 2 x0 ? 2 x0 ? 4 x0 ? 4 ∴ 点 Q 在以 AB 为直径的圆上. 2 y0 ( x ? 2) , ∵ 直线 AQ 的方程为: y ? x0 ? 2 ∴

0?0? 2

2 y0 ? ? x ? 2, ( x ? 2), 8y ?y ? ? x0 ? 2 由? 解得: ? 8 y0 即 M (2, 0 ) , y? , x0 ? 2 ? x ? 2, ? x0 ? 2 ? ? 4y ∴ N (2, 0 ) . x0 ? 2 4 y0 ? 2 y0 x0 ? 2 ?2 x0 y0 ?2 x0 y0 ? x0 ? ? ? ∴ 直线 QN 的斜率为: kQN ? , 2 ? x0 4 ? x0 2 4 y0 2 2 y0
2 y0 ? x0 ? ? ?1 ,于是直线 OQ 与直线 QN 垂直, x0 2 y0 ∴ 直线 QN 与以 AB 为直径的圆 O 相切. ?????????????13 分 21.解: (Ⅰ)∵ f ?( x) ? e x ? a , 当 a≤0 时 f ?( x) ? 0 ,得函数 f (x)在(-∞,+∞)上是增函数. 当 a>0 时, 若 x∈(lna,+∞), f ?( x) ? 0 ,得函数 f ( x) 在(lna,+∞)上是增函数; 若 x∈(-∞,lna), f ?( x) ? 0 ,得函数 f ( x) 在(-∞,lna)上是减函数. 综上所述,当 a≤0 时,函数 f (x)的单调递增区间是(-∞,+∞); a>0 时, 当 函数 f (x) 的单调递增区间是(lna,+∞),单调递减区间是(-∞,lna).?5 分 x 2 ? (Ⅱ)由题知:不等式 e -ax>x+x 对任意 x ?[2, ?) 成立,
∴ kOQ ? kQN ?

ex ? x2 ? x ? 对任意 x ?[2, ?) 成立. x ex ? x2 ? x ( x ? 1)e x ? x 2 设 g ( x) ? (x≥2),于是 g ?( x ) ? . x x2 再设 h( x) ? ( x ? 1)e x ? x2 ,得 h?( x) ? x(e x ? 2) . ? 由 x≥2,得 h?( x) ? 0 ,即 h( x) 在 [2, ?) 上单调递增, h( x) 2 ∴ h(x)≥h(2)=e -4>0,进而 g ?( x) ? 2 ? 0 , x ? ∴ g(x)在 [2, ?) 上单调递增,
即不等式 a ?

9 ∴ [ g ( x)]min ? g (2) ? ∴ a?

e ?3, 2

2

e2 e2 ? 3 ,即实数 a 的取值范围是 ( ??, ? 3) .?????????10 分 2 2 (Ⅲ)由(Ⅰ)知, 当 a=1 时,函数 f (x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增. x x ∴ f (x)≥f (0)=1,即 e -x≥1,整理得 1+x≤e . i ? i i i 令 x ? ? (n∈N*,i=1,2,?,n-1),则 0 ? 1 ? ≤ e n ,即 (1 ? )n ≤ e ? i , n n n n ?1 n n?2 n n?3 n 1 n ∴( ) ≤ e ?1 , ( ) ≤ e ?2 , ( ) ≤ e ?3 ,?, ( ) ≤ e ? ( n ?1) , n n n n n 显然 ( )n ≤ e 0 , n n n n ?1 n n ? 2 n n ? 3 n 1 ∴ ( ) ?( ) ?( ) ?( ) ? ??? ? ( )n n n n n n ≤ e0 ? e?1 ? e?2 ? e?3 ? ??? ? e? ( n ?1) 1 ? e ? n e(1 ? e ? n ) e ? ? ? , ?1 1? e e ?1 e ?1 1 2 3 n n e 故不等式 ( )n ? ( )n ? ( )n ? …+( ) ? (n∈N*)成立.?????4 分 n n n n e ?1


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