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中点弦问题


能力要求、椭圆与直线的关系(点差法、设而不求、对称等解析几何问题) 中点弦问题
1、 过椭圆

x2 y 2 ? ? 1 内一点 M(2,1)引一条弦,使得弦被点 M 平分,求这条弦所在的 16 4

直线方程

变式 1:椭圆

x2 y 2 ? ? 1 过点 P(1,1)的弦恰好被 P

点平分,求该弦所在的直线方程 4 2

变式 2: 椭圆 C: C 上,

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的两个焦点为 F1,F2,点 P 在椭圆 a 2 b2
4 14 ,| PF2 |? . (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; 3 3

且 PF1 ? F1 F2 ,| PF1 |?

(Ⅱ)若直线 l 过点 M ?- 2, 1? ,交椭圆 C 于 A, B 两点,且 M 恰是 A,B 中点,求直线 l 的方程.

变式 3:设椭圆

3 x2 y 2 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0) )过点(0,4) ,e ? 2 5 a b

(1) 求椭圆的方程; (2)求过点(3,0)且斜率为

4 的直线被椭圆截得的线段的中点。 5

1

弦长公式 2、 设 AB 是过椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点的弦,若 AB 得倾斜角为 600 ,求 AB 5 4

变式 4:过椭圆 x 2 ? 2 y 2 ? 2 的右焦点 F2 做倾斜角为 120 的直线 l ,直线 l 被椭圆截得的
0

弦为 AB, (1)求 AB ;(2)若 0 是原点,求 ?AOB 的面积。

3、 直线 l : y ? x ? m 与椭圆 x ?
2

y2 ? 1相交于 A,B 两点,若以 A , B 为直径的圆恰好经过 3

原点,求 m

在平面直角坐标系 xOy 中,点 P 到两点 (0, ? 3) ,(0,3) 的距离之 和等于 4,设点 P 的轨迹为 C . 变式 5:(2008 辽宁) (Ⅰ) 写出 C 的方程; (Ⅱ) 设直线 y ? kx ? 1 与 C 交于 A, B 两点. k 为何值时 OA ? OB ?

2

对称问题

x2 y 2 b) ,原点 O 到直线 FA 的距离为 4、已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的左焦点 F 及点 A(0, a b 2 b. 2
[来源:Zxxk.C om]

(1)求椭圆 C 的离心率 e ;

(2) 若点 F 关于直线 l : 2 x ? y ? 0 的对称点 P 在圆 O : x2 ? y 2 ? 4 上, 求椭圆 C 的方程及点 P 的坐标.

类型一:求轨迹方程(1、定义法;2、直译法;3、相关点法; 4 、交轨法) ★ 1、 (相关点法)在圆 x 2 ? y 2 ? 4 上任取一点 P ,过点 P 做 x 轴的垂线段 PD , D 为 垂足,当点 P 在圆上运动时,线段 PD 的中点 M 的轨迹方程是什么?并且求出来。

( ? 5, 0) (5, 0) 2、 (直译法)设点 A、B 的坐标分别为 , ,直线 AM , BM 相交于点 M ,且它
们的斜率之积是 ? 么?

4 4 4 , (1)求点 M 的轨迹方程; (2)如果把 ? 改为 ,轨迹方程又是什 9 9 9

★3、 (定义法)已知 A, B 两地相距 800 m ,在 A 地听到炮弹爆炸声比在 B 地晚 2 s ,且声速 为 340 m / s ,求炮弹爆炸点的轨迹方程。

类型二:求曲线方程(椭圆、双曲线、抛物线)及直线与圆锥曲线的综合题

3

4 、已知椭圆 E 的焦点在 x 轴上,长轴为 4 ,离心率为 程

3 , (1) 、求椭圆 E 的标准方 2

(0, 1 ) (2)、 已知点 和 直 线 l : y ? x ? m, 线 段 AB 是 椭 圆 E 的 一 条 弦 且 直 线 垂 直 平 分 弦
AB ,求实数 m 的值。

5、 (2010 辽宁) 设 F 1 , F2 分别为椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的左、右焦点,过 F2 的 a 2 b2

直线 l 与椭圆 C 相交于 A , B 两点,直线 l 的倾斜角为 60 , F 1 到直线 l 的距离为 2 3 . (Ⅰ)求椭圆 C 的焦距; (Ⅱ)如果 AF2 ? 2F2 B ,求椭圆 C 的方程.

6、 (2010 北京)已知椭圆 C 的左、右焦点坐标分别是 (? 2,0) , ( 2, 0) ,离心率是 直线 y=t 椭圆 C 交与不同的两点 M,N,以线段为直径作圆 P,圆心为 P。 (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)若圆 P 与 x 轴相切,求圆心 P 的坐标; (Ⅲ)设 Q(x,y)是圆 P 上的动点,当 t 变化时,求 y 的最大值。 7、 (2010 福建)已知抛物线 C: y ? 2 px( p ? 0) 过点 A (1 , -2) 。
2

6 , 3

(I)求抛物线 C 的方程,并求其准线方程; (II) 是否存在平行于 OA (O 为坐标原点) 的直线 L,使得直线 L 与抛物线 C 有公共点, 且直线 OA 与 L 的距离等于

5 ?若存在,求直线 L 的方程;若不存在,说明理由。 5
4


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