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Matlab机械原理第一次作业


2010

平面连杆结构分析
机械原理课程设计

小组成员:
72085-08 72085-09 72085-10 72085-11 72085-12 魏金鹏 李昌平 贺 鑫 王 健 胡绍益 20081000950 20081001126 20081001164 20081001321 20081001519


已知:rAE=70mm,rAB=40mm,rEF=60mm,rDE=35mm,rCD=75mm,rBC=50mm,原动件以 等角速度 w1=10rad/s 回转。试以图解法求在θ 1=50°时 C 点的速度 VC 和加速度

对机构进行位置分析: 由封闭形 ABCDEA 与 AEFA 有:

r1+r2=r6+r3+r4 r7=r6+r8
即 r2-r3-r4=-r1+r6 -r8+r7=r6

(1)位置方程

r2cosθ 2-r3cosθ 3-r4cos(θ 4+180°)=-r1cos(θ 1+180°)+r6 r2sinθ 2-r3sinθ 3-r4sin(θ 4+180°)=-r1sin(θ 1+180°) -r8cosθ 4+ r7cosθ 1=r6 - r8sinθ 4+ r7sinθ 1=0 Xc=r1cos(θ 1+180°)+r2cosθ
2 2

Yc= r1sin(θ 1+180°) +r2 sinθ
(2)速度方程

-r2sinθ r2cosθ 0 0

2
2

r3sinθ

3
3

r4cos(θ 4+180°) -r4cos(θ 4+180°) r8sinθ
4 4

0 0 cosθ sinθ
1 1

w2 w3 w4 r7

-r3cosθ 0 0

-r8cosθ

r1sin(θ 1+180°) = -r1cos(θ 1+180°) r7 sinθ -r7cosθ
1 1

Vcx= -r1w1sin(θ 1+180°)-w2 r2sinθ Vcy=rw2cos(θ 1+180°)+ w2 r2cosθ
(3)加速度方程

2 2

-r2sinθ r2cosθ 0 0

2
2

r3sinθ

3
3

- r4sinθ r4cosθ r8sinθ
-

4 4 4 4

0 0 cosθ sinθ
1 1

a2 a3 a4 r’7

-r3cosθ 0 0

r8cosθ

- w2 r2cosθ = -w2 r2sinθ 0 0
2

2

w3 r3cosθ
- w3 3sinθ 3

3

-

w4r4cosθ

4

0 0
4 -w1sinθ 1

r

-w4 4sinθ 4

r

0 0

w4r8cosθ w4r8sinθ

4

-w1cosθ

1

w2
w3

w1r1cosθ w1r1 sinθ

1

1

w4 r7

+

w1

w1r7cosθ w1r7 sinθ

1

+v sinθ

1

1

+v cosθ

1

acx= w12r1cosθ acy= w12r1 sinθ

1

- w2 r2cosθ 2 - a2r2sinθ
2 2

2

1

- w2 r2 sinθ 2 +a2 r2cosθ

2

根据位置方程式编制如下 rrrposi.m 函数:
function y=rrrposi(x) % %script used to implement Newton-Raphson mechod for %solving nonlinear position of RRR bar group % %Input parameters %x(1)=theta-1 %x(2)=theta-2 guess value %x(3)=theta-3 guess value %x(4)=theta-4 guess value %x(5)=l1 %x(6)=l2 %x(7)=l3 %x(8)=l4 %x(9)=l6 %x(10)=lA guess value %x(11)=lB % %Output parameters % %y(1)=lA %y(2)=theta-2 %y(3)=theta-3 %y(4)=theta-4 % theta2=x(2); theta3=x(3); theta4=x(4); lA=x(10) % epsilon=1.0E-6; % f=[x(6)*cos(theta2)-x(7)*cos(theta3)-x(8)*cos(pi+theta4)+ x(5)*cos(x(1)+pi)-x(9); x(6)*sin(theta2)-x(7)*sin(theta3)-x(8)*sin(theta4+pi)+x(5 )*sin(x(1)+pi); -x(11)*cos(theta4)+lA*cos(x(1))-x(9); -x(11)*sin(theta4)+lA*sin(x(1))]; % while norm(f)>epsilon J=[0 -x(6)*sin(theta2) x(7)*sin(theta3)

-x(8)*sin(theta4); 0 x(6)*cos(theta2) -x(7)*cos(theta3) x(8)*cos(theta4); cos(x(1)) 0 0 x(11)*sin(theta4); sin(x(1)) 0 0 -x(11)*cos(theta4)]; dth=inv(J)*(-1.0*f); lA=lA+dth(1); theta2=theta2+dth(2); theta3=theta3+dth(3); theta4=theta4+dth(4); f=[x(6)*cos(theta2)-x(7)*cos(theta3)-x(8)*cos(pi+theta4)+ x(5)*cos(x(1)+pi)-x(9); x(6)*sin(theta2)-x(7)*sin(theta3)-x(8)*sin(theta4+pi)+ x(5)*sin(x(1)+pi); -x(11)*cos(theta4)+lA*cos(x(1))-x(9); -x(11)*sin(theta4)+lA*sin(x(1))]; norm(f); end; y(1)=lA; y(2)=theta2; y(3)=theta3; y(4)=theta4;

再进行数据输入,运行程序进行运算。根据上面分析的θ 的范围为 40°~55°并均分成 15 个元素: x1=linspace(40*pi/180,55*pi/180,15); x=zeros(length(x1),11); for n=1:15 x(n,:)=[x1(:,n) pi/6 8*pi/9 2*pi/3 40 50 75 35 70 75 60]; end p=zeros(length(x1),4); for k=1:15 y= rrrposi(x(k,:)); p(k,:)=y; end >> p p= 93.3149 0.7163 2.5455 1.5461 91.3071 0.7045 2.5617 1.5902 89.2387 0.6929 2.5786 1.6347

1

的极限位置取θ

1

87.1076 84.9113 82.6463 80.3086 77.8931 75.3930 72.7998 70.1019 67.2833 64.3217 61.1835 57.8153

0.6815 0.6703 0.6592 0.6482 0.6372 0.6263 0.6154 0.6043 0.5930 0.5812 0.5687 0.5551

2.5963 2.6147 2.6339 2.6539 2.6747 2.6965 2.7192 2.7431 2.7683 2.7950 2.8237 2.8549

1.6796 1.7250 1.7709 1.8174 1.8646 1.9126 1.9616 2.0118 2.0635 2.1169 2.1728 2.2319

输出的 P、矩阵的第二列到第四列分别是θ AF 杆的长度 r1’。

2

θ

3

、4

θ

4

的值,第一列是

第二步根据速度方程式编写如下 rrrvel.m 函数:
function y=rrrvel(x) % %Input parameters % %x(1)=theta-1 %x(2)=theta-2 %x(3)=theta-3 %x(4)=theta-4 %x(5)=dtheta-1 %x(6)=l1 %x(7)=l2 %x(8)=l3 %x(9)=l4 %x(10)=l6 %x(11)=lA %x(12)=lB % %Outout parameters % %y(1)=V %y(2)=dtheta-2 %y(3)=dtheta-3 %y(4)=dtheta-4 % A=[-x(7)*sin(x(2)) x(8)*sin(x(3)) x(9)*sin(pi+x(4)) 0;

x(7)*cos(x(2)) -x(8)*cos(x(3)) -x(9)*cos(x(4)+pi) 0; 0 0 x(12)*sin(x(4)) cos(x(1)); 0 0 -x(12)*cos(x(4)) sin(x(1))]; B=[x(6)*sin(x(1)+pi);-x(6)*cos(x(1)+pi);x(11)*sin(x(1));x(11)*cos(x(1))]*x(5); y=inv(A)*B; 根据第一步得到的数据进行数据输入,运行程序计算各速度值。程序如下: x2=[x1' p(:,2) p(:,3) p(:,4) 10*ones(15,1) 40*ones(15,1) 50*ones(15,1)... 75*ones(15,1) 35*ones(15,1) 70*ones(15,1) p(:,1) 60*ones(15,1)]; q=zeros(4,15); for m=1:15 y2=rrrvel(x2(m,:)); q(:,m)=y2; end q = 1.0e+003 * Columns 1 through 8 -0.0064 -0.0062 -0.0061 -0.0061 -0.0060 -0.0059 -0.0059 -0.0058 0.0085 0.0089 0.0092 0.0096 0.0101 0.0105 0.0109 0.0114 0.0235 0.0237 0.0239 0.0241 0.0244 0.0247 0.0250 0.0255 -1.0578 -1.0897 -1.1226 -1.1568 -1.1926 -1.2302 -1.2704 -1.3137 Columns 9 through 15 -0.0058 -0.0059 -0.0060 -0.0062 -0.0065 -0.0069 -0.0078 0.0119 0.0125 0.0131 0.0139 0.0148 0.0159 0.0175 0.0259 0.0265 0.0272 0.0281 0.0292 0.0306 0.0327 -1.3610 -1.4136 -1.4734 -1.5431 -1.6273 -1.7337 -1.8767 程序运行得到 q 矩阵,第一行到第三行分别是 a2、a3、a4 的值,第四行是杆 AF 上 滑块运动的速度,即 F 点的速度。

第三步编写加速度计算函数 rrra.m:
function y=rrra(x) % %Input parameters % %x(1)=th1 %x(2)=th2 %x(3)=th3 %x(4)=th4 %x(5)=dth1 %x(6)=dth2 %x(7)=dth3

%x(8)=dth4 %x(9)=r1 %x(11)=r3 %x(12)=r4 %x(13)=r6 %x(14)=lA %x(15)=lB %x(16)=V % %y(1)=ddth2 %y(2)=ddth3 %y(3)=ddth4 %y(4)=a %

A=[-x(10)*sin(x(2)) x(11)*sin(x(3)) -x(14)*sin(x(4)) 0; x(10)*cos(x(2)) -x(11)*cos(x(3)) x(14)*cos(x(4)) 0; 0 0 x(15)*sin(x(4)) cos(x(1)); 0 0 -x(15)*cos(x(4)) sin(x(1))]; B=[-x(10)*x(6)*cos(x(2)) x(11)*x(7)*cos(x(3)) -x(12)*x(8)*cos(x(4)) 0; -x(10)*x(6)*sin(x(2)) -x(11)*x(7)*sin(x(3)) -x(12)*x(8)*sin(x(4)) 0; 0 0 x(15)*x(8)*cos(x(4)) -x(5)*sin(x(1)); 0 0 x(15)*x(8)*sin(x(4)) x(5)*cos(x(1))]; C=[x(6);x(7);x(8);x(16)]; D=[x(9)*x(5)*cos(x(1));x(9)*x(5)*sin(x(1));x(14)*x(5)*cos (x(1))+x(16)*sin(x(1));x(14)*x(5)*sin(x(1))-x(16)*cos(x(1 ))]; y=inv(A)*D-inv(A)*B*C;

根据第一步和第二步输入数据,运行程序得到各加速度的值: x3=[x1' p(:,2) p(:,3) p(:,4) 10*ones(15,1) q(1,:)' q(2,:)' q(3,:)' ... 40*ones(15,1) 50*ones(15,1) 75*ones(15,1) 35*ones(15,1) 70*ones(15,1) p(:,1) ... 60*ones(15,1) q(4,:)']; f=zeros(4,15); for m=1:15 y3=rrra(x3(m,:)); f(:,m)=y3; end

>> f f =1.0e+005 * Columns 1 through 8 -0.0038 -0.0040 -0.0042 -0.0044 -0.0047 -0.0050 -0.0054 -0.0058 0.0060 0.0064 0.0068 0.0072 0.0077 0.0083 0.0089 0.0097 0.0033 0.0036 0.0039 0.0042 0.0046 0.0050 0.0056 0.0062 -0.3601 -0.3723 -0.3866 -0.4033 -0.4231 -0.4468 -0.4755 -0.5107 Columns 9 through 15 -0.0064 -0.0071 -0.0081 -0.0094 -0.0112 -0.0139 -0.0185 0.0106 0.0117 0.0131 0.0150 0.0176 0.0214 0.0276 0.0070 0.0080 0.0093 0.0110 0.0134 0.0171 0.0231 -0.5548 -0.6111 -0.6851 -0.7857 -0.9290 -1.1462 -1.5071

一、计算 C 点在θ

1

=55°,w 1 =10rad/s 时的速度,加速度:

Vx=40*10*sin(55)-50*q(1,10)*sin(p(10,2)); Vy=40*10*cos(55)+50*q(1,10)*cos(p(10,2)); ax=100*40*cos(50)-q(1,10)^2*50*cos(p(10,2))-f(1,10)*50*si n(p(10,2)); ay=100*40*cos(50)-q(1,10)^2*50*cos(p(10,2))-f(1,10)*50*si n(p(10,2)); 输出结果: Vx= -230.2208;Vy=-231.1533; ax= 2.3069e+004;ay= 2.3069e+004;

表 1 各构件的位置、速度和加速度
θ 1 θ 2
rad 0.6981 0.7168 0.7355 0.7542 0.7729 0.7916 0.8103 0.7163 0.7045 0.6929 0.6815 0.6703 0.6592 0.6482 2.5455 2.5617 2.5786 2.5963 2.6147 2.6339 2.6539 1.5461 1.5902 1.6347 1.6796 1.7250 1.7709 1.8174

θ 3

θ 4

r1
mm 93.3149 91.3071 89.2387 87.1076 84.9113 82.6463 80.3086

W2

W3
rad/s

W4

V
mm/s x10^3

a2

a2
rad/s^2 x10^3

a2

al
mm/s^2 x10^5

-6.3578 -6.2487 -6.1469 -6.0541 -5.9726 -5.9054 -5.8561

8.4725 8.8575 9.2469 9.6433 10.0502 10.4720 10.9145

23.5099 23.6948 23.9018 24.1350 24.3994 24.7013 25.0491

-1.0578 -1.0897 -1.1226 -1.1568 -1.1926 -1.2302 -1.2704

-0.3790 -0.3960 -0.4156 -0.4386 -0.4656 -0.4976 -0.5361

0.6037 0.6395 0.6788 0.7225 0.7715 0.8274 0.8919

0.3334 0.3590 0.3879 0.4210 0.4592 0.5038 0.5567

-0.3601 -0.3723 -0.3866 -0.4033 -0.4231 -0.4468 -0.4755

0.8290 0.8477 0.8664 0.8851 0.9038 0.9225 0.9412 0.9599

0.6372 0.6263 0.6154 0.6043 0.5930 0.5812 0.5687 0.5551

2.6747 2.6965 2.7192 2.7431 2.7683 2.7950 2.8237 2.8549

1.8646 1.9126 1.9616 2.0118 2.0635 2.1169 2.1728 2.2319

77.8931 75.3930 72.7998 70.1019 67.2833 64.3217 61.1835 57.8153

-5.8299 -5.8340 -5.8786 -5.9789 -6.1587 -6.4572 -6.9440 -7.7555

11.3856 11.8957 12.4601 13.1005 13.8507 14.7646 15.9364 17.5470

25.4538 25.9305 26.5003 27.1937 28.0569 29.1637 30.6408 32.7288

-1.3137 -1.3610 -1.4136 -1.4734 -1.5431 -1.6273 -1.7337 -1.8767

-0.5829 -0.6409 -0.7144 -0.8099 -0.9386 -1.1206 -1.3948 -1.8491

0.9677 1.0587 1.1707 1.3128 1.4999 1.7586 2.1406 2.7600

0.6205 0.6989 0.7976 0.9255 1.0976 1.3402 1.7052 2.3084

-0.5107 -0.5548 -0.6111 -0.6851 -0.7857 -0.9290 -1.1462 -1.5071

二、输出图像:
角位置图像,程序如下 plot(x1,p(:,2),'--',x1,p(:,3),':',x1,p(:,4),'*') title('角位置'); xlabel('\theta1/rad'); ylabel('\theta2、\theta3、\theta4/rad'); 输出图像如图:

AF 长度图像,程序如下: plot(x1,p(:,1)) xlabel('\theta1/rad'); ylabel('r1''/mm'); 输出图像如下:

角速度: plot(x1,q(1,:),'--',x1,q(2,:),':',x1,q(3,:),'*') xlabel('W1 rad/s'); ylabel('W2、W3、W4 rad/S'); title('角速度');

F 点速度: plot(x1,q(4,:)) xlabel('W1 rad/s'); ylabel('V mm/s'); title('F 点速度');

角加速度: plot(x1,f(1,:),'--',x1,f(2,:),':',x1,f(3,:),'*') xlabel('W1 rad/s'); ylabel('\alpha2、\alpha3、\alpha4 rad/S^2'); title('角加速度');

F 点的加速度: plot(x1,f(4,:)) xlabel('W1 rad/s'); ylabel('a mm/s^2');

title('F 点的加速度');

参考文献
【1】 【2】 孙恒,陈作模. 机械原理【M】.7版.北京:高等教育出版社,2006 曲秀全.基于MATLAB/Simulink平面连杆机构的动态仿真.黑龙江:哈尔滨工业大 学出版社,2007 Edward B. Magrab Shapour Azarm 社 ,第二版 2006 MATLAB原理与工程应用 电子工业出版

【3】

【4】 【5】

王宏.MATLAB6.5及其在信号处理中的应用.北京:清华大学出版社,2004 雷培,刘云霞.基于MATLAB的四连杆机构运动分析 .机械工程与自动化.2009年4 月,第2期 董长虹,余海啸.MATLAB接口技术与应用.北京:国防工业出版社,2004

【6】


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