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跃响应曲线的系统传递函数辨识方法


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基于阶跃响应曲线的系统传递函数辨识方法
张东宝t张庚云2
(1.长安大学工程机械学院陕西西安710064: 2.煤炭科学研究总院太原研究院 山西太原030006)

[摘要]介绍了一种利用拉式变换极限定理,由试验阶跃响应曲线辨识系统传递函数的方法,并以二阶系统为仿真实例,在MATLAB环境下编写M文件,运行 得到系统模型结构和参数结果。结果表明,该方法误差小,对于低阶系统模型是一种有效的辨识方法. [关键词]阶跃响应 中图分类号:TUl92 拉式变换 参数辨识MATLAB 文献标识码:A 文章编号:1009—914X(2009)36—0207—02

1引曹 系统是由相互联系、相互制约、相互作用的各部分组成,是具有一定整 体功能和综合行为的统一体。系统的数学模型是系统本质特征的数学抽象, 即研究系统内部因素(状态参数)之间以及系统与外部因素(外作用)之间的比 较准确的定量关系,以便更深刻地了解系统的内在规律和特性,这些定量关系 就是系统的数学模型。 建立系统模型的方法有两种:理论法和实验法。理论方法是从已知的定 律、定理和原理出发,通过机理分析找出系统内在的运动规律,推导出系统中

根据前述的Laplace变换的极限定理有:

墨=ihJjO)=liIn Gl(s) ‘f*‘ 3--¨o‘
由Laplace变换的积分性质和(5)式,可得

HM(f)】=三l J:k一们kl :三『墨一型]

各状态参数和外作用之间的解析关系式——数学模型,也称之为理论建模。
因为这类问题的基本规律是已知的,又称为“白箱”问题。实验方法是直 接从系统运行和试验数据(外作用(输入)和系统响应(输出)数据),应用辨识方 法,建立系统的数学模型,也称“辨识”建模。这种方法适用于系统的客观 规律不清楚的情况,又称为“黑箱”问题。 本文利用Laplace极限定理法由单位阶跃响应曲线辨识常用的二阶定常 数线性系统的传递函数,并在MATLAB提供的M文件编辑器中编写源程序,确定 传递函数的参数。通过MATLAB仿真可以看出,对于低阶系统模型,该方法误 差小,程序简单,是一种有效的辨识方法。


甜∽:锱:磐1
=aK—G(D】
由式(7)和式(9)可得:

(8)

(9)

Laplace变换极限定理法原理 假设被辨识的线性定常系统传递函数的结构形式为

墨2粤q(,)-l—im三,[Kn—G∞】
2%q 进一步设置一个系统,如图1(c)所示,并定义和存在: 00)

∞净孑at瓦≥?r-I}丽

当这个系统的输入为单位阶跃函数l(f)时,其输出为单位阶跃响应函数 y(O,如图1(a)所示。

ydt)=n五一yl(f)坼 局=ff墨一M(r)Fr
使用Laplace变换的极限定理得:

(11) (12)

(a)1p)—一Go)卜—一y(t)

@lp)—一鱼盟卜一咒(f)

(c)lp)—1百万卜苁(f)

畅=蜀q一蜀呜
下面研究一般情况,考虑系统q p),如图l(d),定义其输出为:

(13)

(r)lp)—1互p

--)∞ J--tO

只o)=n墨。一Y,-l(f)F7(14)
K(f)

图1应用拉式变换极限定理的系统示意图 根据Lapl 8ce变换的终值定理可知:

K=f【墨。一只。(r)V7
同样,采用前述的Laplace变换的极限定理,并用数学归纳法可得:

(15)

lit.J《r)=lim毋’(D z)1( …
根据传递函数的定义,在此情况下系统的传递函数为:

墨=墨一lq—K.2锡+…+(一1)’1%q
这样,可得到一线性方程组: 蜀=K 五=%q %=Kq—K呜

㈣=锱=半
所以,】,(J):!G(s)
将(2)式代入(1)式中,得到 (2)

【墨=墨。q—K一,吗+…+(-1)’1Kq
(3)

燃川)2炽G(,)
此即为Laplace变换的极限定理。 为了表示上方便(与下面比较),则有

由此方程组,可递推算出墨,q,q,……。 3仿真实例 idATLAB是一个功能强大的编程工具软件,同时它又是一种高效的编程语 言,M文件是用MATLAB语言编写的程序代码文件。用Laplace极限定理法由 单位阶跃响应曲线辨识常用的二阶定常数线性系统的传递函数,假设给定的二 阶系统为:

:。。3<02%2l。i。mG(j)=K
数,传递函数为q0),它的输出为儿(,),定义为:

(4)

现在,假设存在(设置)一个如图1(b)所示的系统,它的输入为单位阶跃函

H(f)=£【K一3(:)J4r
这时系统qO)的放大倍数为:

(5)

郦)=志=蕊73s"4s
哟s‘+嚷s+l


+l

(其中,q=4,吒=3,K=7.) 其单位阶跃响应函数为: (6) y(f)=3.Sx(2+e-t一3e-P)

墨=嫩jj(,)=I:'tK0一如)科r
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在MATLAB提供的M文件编辑器中编写代码如下
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两个因素:1)数值积分的方法:2)采样间隔的大小。本文采用梯形法求积分, 采样间隔时间At=1秒,采样总长度N=18。 结语 根据系统阶跃响应曲线及试验数据,利用Laplace变换的极限定理,借助 MATLAB强大的M文件编程功能,能够自动实现模型的传递函数和相关参数的求 取,以及所需曲线的自动生成。该方法克服了传统试探法的不足,但当i>2 时,参数K的计算将比较复杂,还由于积分会造成较大的误差,但对于低阶模 型的辨识,仍是一种有效的辨识方法。工程中类似的问题,都可以借鉴本文的 方法解决。 参考文献 [1]吴广玉.系统辨识与自适应控制[M].哈尔滨:哈尔滨工业大学出版社,
1987.

t=l:18;

y=7+3.5*exp(t)一i0.5*exp(一1/3*t):
K0=7:K1-0:

K1=(KO+KO—y(1))/2:
for i=2:18


KI=KI+(KO—y(i)+K0一Y(i-1))/2:
end

yl(1)=(K0+K0一y(1))/2:
for

j=2:18

yl(j)=yl(j-1)+(KO—Y(j)+KO—y(j-1))/2:
end

K2=(KI+K1 yl(1))/2:
for

[2]楼顺天等.TvIATLAB5.X程序设计语言[M].西安:西安电子科技大学出 版社,2000.

k=2:18 K2=K2+(K1

yl(k)+KI—yl(k-1))/2:

end K1 K2

al=K1/KO

a2=(Kl*al—K2)/KO Y=tf([5],[2 3 1]): YY=tf([KO],[a2,al,1]);
step(Y):hold
on:

step(YY):
grid

legend(’给定系统阶跃响应曲线’,’辨识系统阶跃响应曲线’)
a=step(V): b=step(YY):
for

i=l:100

e(i)=a(i): d(i)=b(i):
end

R-corrcoef(c,d) 运行M文件,自动生成系统模型结构和参数结果

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图2给定系统与辨识系统的阶跃响应 数值积分参数:

墨=27.9254,Ks=90.5004
参数估计:
K=7,aa=3.9893,a2=2.9862

辨识结果:


G(3)2孬磁F去丽


相关系数:R=0.9999 从仿真结果(图2)可以看出,用极限定理法由单位阶跃响应辨识二阶定常 线性系统的传递函数时,误差不大,最大相对误差(在t=2s)只有(1~2)%。造 成辨识误差的主要原因是计算K(i=l,Z3?。●数值积分引起的误差。主要有 208

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基于阶跃响应曲线的系统传递函数辨识方法
作者: 作者单位: 刊名: 英文刊名: 年,卷(期): 被引用次数: 张东宝, 张庚云 张东宝(长安大学工程机械学院,陕西,西安,710064), 张庚云(煤炭科学研究总院太原研究 院,山西,太原,030006) 中国科技博览 CHINA SCIENCE AND TECHNOLOGY REVIEW 2009,(36) 0次

参考文献(2条) 1.楼顺天 MATLAB5.X程序设计语言 2000 2.吴广玉 系统辨识与自适应控制 1987

本文链接:http://d.wanfangdata.com.cn/Periodical_zgbzkjbl200936193.aspx 授权使用:山东大学(sddx),授权号:87401759-2df0-4eb6-8a05-9ef700a5c8e0 下载时间:2011年6月3日


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