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高中数学竞赛辅导讲义 第六章 三角函数【讲义】


第六章
一、基础知识 定义 1

三角函数

角,一条射线绕着它的端点旋转得到的图形叫做角。若旋转

方向为逆时针方向,则角为正角,若旋转方向为顺时针方向,则角为 负角,若不旋转则为零角。角的大小是任意的。 定义 2 角度制,把一周角 360 等分,每一等价为一度,弧度制:把

等于半径长的

圆弧所对的圆心角叫做一弧度。360 度=2π 弧度。若圆 心角的弧长为 L,则其弧度数的绝对值|α|= ,其中 r 是圆的半径。 定义 3 三角函数,在直角坐标平面内,把角α的顶点放在原点,始
L r

边与 x 轴的正半轴重合, 在角的终边上任意取一个不同于原点的点 P, 设它的坐标为(x,y) ,到原点的距离为 r,则正弦函数 sinα= ,余弦函 数 cosα= ,正切函数 tanα= ,余切函数 cotα= ,正割函数 secα = ,余割函数 cscα= .
1 ,sinα cot a r x r y x r y x x y y r

定理 1 =

同角三角函数的基本关系式,倒数关系:tanα=

1 1 sin a cos a ,cosα= ;商数关系:tanα= , cot a = ;乘积关系: csc a sec a cos a sin a

tanα×cosα=sinα,cotα×sinα=cosα;平方关系:sin2α+cos2α=1, tan2α+1=sec2α, cot2α+1=csc2α. 定理 2 诱导公式(Ⅰ)sin(α+π)=-sinα, cos(π+α)=-cosα, tan(π+

α)=tanα, cot(π+α)=cotα; Ⅱ) ( sin(-α)=-sinα, cos(-α)=cosα, tan(α)=-tanα, cot(-α)=cotα; (Ⅲ)sin(π-α)=sinα, cos(π-α)=-cosα, tan=(π-α)=-tanα, cot(π-α)=-cotα; (Ⅳ)sin ? - a ? =cosα, ? ÷
?

p è2

cos ? - a ? =sinα, tan ? - a ? =cotα(奇变偶不变,符号看象限) 。 ? ÷ ? ÷
? ?

p è2

p è2

定理 3

正弦函数的性质,根据图象可得 y=sinx(x∈R)的性质如下。
? 2 2?

p p 单调区间:在区间 é2kp - ,2kp + ù 上为增函数,在区间 ê ú p 3 ù é ê2kp + 2 ,2kp + 2 p ú 上为减函数,最小正周期为 2 p . 奇偶数. 有界性: ? ?

当且仅当 x=2kx+ 时,y 取最大值 1,当且仅当 x=3k p - 时, y 取最小 值-1。对称性:直线 x=k p + 均为其对称轴,点(k p , 0)均为其对称 中心,值域为[-1,1]。这里 k∈Z. 定理 4 余弦函数的性质,根据图象可得 y=cosx(x∈R)的性质。单调
p 2

p 2

p 2

区间: 在区间[2kπ, 2kπ+π]上单调递减, 在区间[2kπ-π, 2kπ]上单调递增。 最小正周期为 2π。奇偶性:偶函数。对称性:直线 x=kπ 均为其对称 轴,点 ? kp + ,0 ? 均为其对称中心。有界性:当且仅当 x=2kπ 时,y 取 ? ÷
è ?

p 2

最大值 1;当且仅当 x=2kπ-π 时,y 取最小值-1。值域为[-1,1]。这里 k∈Z. 定理 5 正切函数的性质:由图象知奇函数 y=tanx(x ? kπ+ )在开区间 (kπ- , kπ+ )上为增函数, 最小正周期为 π,值域为(-∞,+∞) ,点
p 2 p 2 p 2

(kπ,0)(kπ+ ,0)均为其对称中心。 , 定理 6 两角和与差的基本关系式: cos(α ± β)=cosαcosβ m sinαsin
(tan a ± tan b ) . (1 m tan a tan b )

p 2

β,sin(α ± β)=sinαcosβ ± cosαsinβ; tan(α ± β)=

定理 7

和差化积与积化和差公式:
a +b? ?a - b ? ÷ cos ? ÷ ,sinα-sinβ è 2 ? è 2 ?

sinα+sinβ=2sin ? ? =2sin ? ?

a +b? ?a - b ? ÷ cos ? ÷, è 2 ? è 2 ? a +b? ?a - b ? ÷ cos ? ÷ , cosα-cosβ è 2 ? è 2 ?

cosα+cosβ=2cos ? ? =-2sin ? ?

a +b? ?a - b ? ÷ sin ? ÷, è 2 ? è 2 ?
1 2 1 2

sinαcosβ= [sin(α+β)+sin(α-β)],cosαsinβ= [sin(α+β)-sin(α -β)], cosαcosβ= [cos(α+β)+cos(α-β)],sinαsinβ=- [cos(α+ β)-cos(α-β)]. 定理 8 倍角公式:sin2α=2sinαcosα, cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α
1 2 1 2

-1=1-2sin2α,

tan2α=

2 tan a . (1 - tan 2 a )

定理 9

(1 - cos a ) (1 + cos a ) a a 半角公式:sin ? ? = ± ,cos ? ? = ± , ? ÷ ? ÷ è2? 2 è2? 2

a (1 - cos a ) tan ? ? = ± = ? ÷
è2? (1 + cos a )

sin a (1 - cos a ) = . (1 + cos a ) sin a

定理 10

?a ? ?a ? 2 tan? ÷ 1 - tan 2 ? ÷ è 2 ? , cos a = è2?, 万能公式: sin a = ?a ? ?a ? 1 + tan 2 ? ÷ 1 + tan 2 ? ÷ è2? è2?

?a ? 2 tan? ÷ è2? . tan a = ?a ? 1 - tan 2 ? ÷ è2?

定理 11

辅助角公式:如果 a, b 是实数且 a2+b2 ? 0,则取始边在 x 轴
b a2 + b2

正半轴,终边经过点(a, b)的一个角为β,则 sinβ= =
a a2 + b2

,cosβ

,对任意的角α.

asinα+bcosα= (a 2 + b 2 ) sin(α+β). 定理 12 正弦定理:在任意△ABC 中有
a b c = = = 2 R ,其中 sin A sin B sin C

a, b, c 分别是角 A,B,C 的对边,R 为△ABC 外接圆半径。 定理 13 余弦定理:在任意△ABC 中有 a2=b2+c2-2bcosA,其中 a,b,c

分别是角 A,B,C 的对边。

定理 14

图象之间的关系:y=sinx 的图象经上下平移得 y=sinx+k 的

图象;经左右平移得 y=sin(x+ j )的图象(相位变换) ;纵坐标不变, 横坐标变为原来的 ,得到 y=sin wx ( w > 0 )的图象(周期变换) ;横坐 标不变,纵坐标变为原来的 A 倍,得到 y=Asinx 的图象(振幅变换) ; y=Asin( w x+ j )( w >0)的图象(周期变换) ;横坐标不变,纵坐标变为 原来的 A 倍,得到 y=Asinx 的图象(振幅变换) ;y=Asin( w x+ j )( w ,
j >0)(|A|叫作振幅)的图象向右平移 j 个单位得到 y=Asin w x 的图象。 w
1 w

定义 4

函数 y=sinx ? x ? é- , ù ÷ 的反函数叫反正弦函数,记作 ? ê 2 2 ú÷ ? ?
è ?

?

p p ?

y=arcsinx(x∈[-1, 1]),函数 y=cosx(x∈[0, π]) 的反函数叫反余弦函数, 记作 y=arccosx(x∈[-1, 1]). 函数 y=tanx ? x ? é- , ù ÷ 的反函数叫反正 ? ê 2 2 ú÷ ? ?? è 切函数。 记作 y=arctanx(x∈[-∞, +∞]). y=cosx(x∈[0, π])的反函数称为 反余切函数,记作 y=arccotx(x∈[-∞, +∞]). 定理 15 三角方程的解集,如果 a∈(-1,1),方程 sinx=a 的解集是
?

p p ?

{x|x=nπ+(-1)narcsina, n∈Z}。方程 cosx=a 的解集是{x|x=2kx ± arccosa, k∈Z}. 如果 a∈R,方程 tanx=a 的解集是{x|x=kπ+arctana, k∈Z}。恒 等式:arcsina+arccosa= ;arctana+arccota= .
p 若 x ? ? 0, ? ,则 sinx<x<tanx. ? ÷
è 2?

p 2

p 2

定理 16

二、方法与例题

1.结合图象解题。 例1 求方程 sinx=lg|x|的解的个数。

【解】在同一坐标系内画出函数 y=sinx 与 y=lg|x|的图象(见图) ,由 图象可知两者有 6 个交点,故方程有 6 个解。 2.三角函数性质的应用。 例2 设 x∈(0, π), 试比较 cos(sinx)与 sin(cosx)的大小。 若 x ? é , p ? ,则 cosx≤1 且 cosx>-1,所以 cos x ? ? - ,0ù , ? ê2 ÷ ? ? è 2 ú ?
p p

【解】

所以 sin(cosx) ≤0,又 0<sinx≤1, 所以 cos(sinx)>0, 所以 cos(sinx)>sin(cosx).
p 若 x ? ? 0,- ù ,则因为 ? ú
è 2?

sinx+cosx= 2 ? sin x + cos x ÷ = 2 (sinxcos +sin cosx)= 2 sin(x+ ÷ ? 2 2 4 4 ? è
p p )≤ 2 < , 4 2

? 2

2

?

p

p

所以 0<sinx< -cosx< , 所以 cos(sinx)>cos( -cosx)=sin(cosx). 综上,当 x∈(0,π)时,总有 cos(sinx)<sin(cosx).
p 2

p 2

p 2

例3

已知α,β为锐角,且 x· (α+β- )>0,求证:
x x

p 2

? cos a ? ? cos b ? ? ÷ ? sin b ÷ + ? sin a ÷ < 2. ? ? è è

则 由α> -β>0 得 cosα<cos( -β)=sin 【证明】 若α+β> , x>0, β,
cos a p cos b <1,又 sinα>sin( -β)=cosβ, 所以 0< <1, sin b 2 sin a

p 2

p 2

p 2

所以 0<

? cos a ? ? cos b ? ? cos a ? ? cos b ? 所以 ? ? sin b ÷ + ? sin a ÷ < ? sin b ÷ + ? sin a ÷ = 2. ? ÷ ÷ ? ? è è ? è ? è

x

x

0

0

若α+β< ,则 x<0,由 0<α< -β< 得 cosα>cos( -β)=sinβ>0,
p cos b cos a >1, >1。又 0<sinα<sin( -β)=cosβ,所以 sin b 2 sin a
x 0

p 2

p 2

p 2

p 2

所以

? cos a ? ? cos b ? ? cos a ? ? cos b ? 所以 ? ? sin b ÷ + ? sin a ÷ < ? sin b ÷ + ? sin a ÷ = 2 ,得证。 ÷ ? ÷ ? ? è ? è è ? è

x

0

注:以上两例用到了三角函数的单调性和有界性及辅助角公式,值得 注意的是角的讨论。 3.最小正周期的确定。 例4 求函数 y=sin(2cos|x|)的最小正周期。

【解】 首先,T=2π 是函数的周期(事实上,因为 cos(-x)=cosx,所

以 co|x|=cosx) ;其次,当且仅当 x=kπ+ 时,y=0(因为|2cosx|≤2<π), 所以若最小正周期为 T0,则 T0=mπ, m∈N+,又 sin(2cos0)=sin2 ? sin(2cosπ),所以 T0=2π。 4.三角最值问题。 例5 已知函数 y=sinx+ 1 + cos 2 x ,求函数的最大值与最小值。 令 sinx= 2 cos q , 1 + cos 2 x = 2 sin q ? ? 0 ? p ? , ? ÷
3 4 ?

p 2

【解法一】

p è4

则有 y= 2 cos q + 2 sin q = 2 sin(q + ). 因为
p 3 p p ? 0 ? p ,所以 ? q + ? p , 4 4 2 4 p 4

p 4

所以 0 ? sin(q + ) ≤1, 所以当 q = p ,即 x=2kπ- (k∈Z)时,ymin=0,
3 4

p 2

当q =

p p ,即 x=2kπ+ (k∈Z)时,ymax=2. 4 2

【解法二】

因为 y=sinx+ 1 + cos 2 x ? 2(sin 2 x + 1 + cos 2 x) ,

=2(因为(a+b)2≤2(a2+b2)) , 且|sinx|≤1≤ 1 + cos 2 x ,所以 0≤sinx+ 1 + cos 2 x ≤2,

所以当 1 + cos 2 x =sinx,即 x=2kπ+ (k∈Z)时, ymax=2, 当 1 + cos 2 x =-sinx,即 x=2kπ- (k∈Z)时, ymin=0。 例6 设 0< q <π,求 sin (1 + cos q ) 的最大值。
q p q q < ,所以 sin >0, cos >0. 2 2 2 2 q 2 q 2 q 2 q ≤ 2 q 2 p 2

p 2

【解】因为 0< q <π,所以 0 <
q 2 q 2

所以 sin (1+cos q )=2sin ·cos2 = 2 × 2 sin 2 × cos 2 × cos 2
q q? ? 2 q × cos 2 × cos 2 ÷ ? 2 sin 2 2 2 ÷ = 16 = 4 3 . 2?? 27 9 3 ? ÷ ? ÷ è ?
3

当且仅当 2sin2 =cos2 , 即 tan = sin (1+cos q )取得最大值
q 2
4 3 。 9

q 2

q 2

q 2

2 2 , q =2arctan 时, 2 2

例7 值。

若 A,B,C 为△ABC 三个内角,试求 sinA+sinB+sinC 的最大

【解】

因为 sinA+sinB=2sin
C+

A+ B A- B A+ B cos ? 2 sin , ① 2 2 2

p sinC+sin = 2 sin 3

p p p CC+ 3 cos 3 ? 2 sin 3 , 2 2 2



A+ B 又因为 sin + sin 2

C+

p p p A+ B+C + A+ B-C 3 = 2 sin 3 cos 3 ? 2 sin p , ③ 2 4 4 3 p 3 p 3

由①,②,③得 sinA+sinB+sinC+sin ≤4sin ,
p 3
3 3 , 2

所以 sinA+sinB+sinC≤3sin =

当 A=B=C= 时, (sinA+sinB+sinC)max=

p 3

3 3 . 2

注:三角函数的有界性、|sinx|≤1、|cosx|≤1、和差化积与积化和差 公式、均值不等式、柯西不等式、函数的单调性等是解三角最值的常 用手段。 5.换元法的使用。 例8 求y=
sin x cos x 的值域。 1 + sin x + cos x ? 2 2 ?

【解】

设 t=sinx+cosx= 2 ? sin x + cos x ÷ = 2 sin( x + ). ? 2 ÷ 2 4 ? è
p 4

p

因为 - 1 ? sin( x + ) ? 1, 所以 - 2 ? t ? 2 . 又因为 t2=1+2sinxcosx,
x2 -1 t 2 -1 t -1 所以 sinxcosx= ,所以 y = 2 = , 2 1+ t 2

所以

- 2 -1 ? y? 2

2 -1 . 2 t -1 ? -1 ,所以 y ? -1. 2 é ? 2 +1 ? ? 2 - 1ù ,-1÷ U ? - 1, ú. ÷ ? 2 2 ? ? è

因为 t ? -1,所以

所以函数值域为 y ? ê-

例9

已知 a0=1, an=

1 + a n -1 2 - 1 a n -1

(n∈N+),求证:an>

p . 2 n+2

p 【证明】 由题设 an>0,令 an=tanan, an∈ ? 0, ? ,则 ? ÷
è 2?

an=

1 + tan 2 a n -1 - 1 tan a n -1

=

sec a n -1 - 1 1 - cos a n -1 a = = tan n -1 = tan a n . 2 tan a n -1 sin a n -1
n

a p 1 1 因为 n -1 ,an∈ ? 0, ? ,所以 an= a n -1 ,所以 an= ? ? a0 . ? ÷ ? ÷ 2 2 è 2? è2?

p 1 p 又因为 a0=tana1=1,所以 a0= ,所以 a n = ? ? · 。 ? ÷ 4 4 è2?

n

又因为当 0<x< 时,tanx>x,所以 a n = tan

p 2

p p > n+2 . n+2 2 2

注:换元法的关键是保持换元前后变量取值范围的一致性。
p 另外当 x∈ ? 0, ? 时,有 tanx>x>sinx,这是个熟知的结论,暂时不证 ? ÷
è 2?

明,学完导数后,证明是很容易的。

6.图象变换:y=sinx(x∈R)与 y=Asin( w x+ j )(A, w , j >0). 由 y=sinx 的图象向左平移 j 个单位,然后保持横坐标不变,纵坐标变 为原来的 A 倍,然后再保持纵坐标不变,横坐标变为原来的 ,得到 y=Asin( w x+ j )的图象;也可以由 y=sinx 的图象先保持横坐标不变, 纵坐标变为原来的 A 倍,再保持纵坐标不变,横坐标变为原来的 , 最后向左平移 个单位,得到 y=Asin( w x+ j )的图象。 例 10 例 10 已知 f(x)=sin( w x+ j )( w >0, 0≤ j ≤π)是 R 上的偶函数,
3p ? é pù ,0 ÷ 对称,且在区间 ê0, ú 上是单调函数,求 j 和 w ? 2? è 4 ? 1 w 1 w

j w

其图象关于点 M ? ? 的值。

【解】 由 f(x)是偶函数,所以 f(-x)=f(x),所以 sin( w + j )=sin(- w x+ j ), 所以 cos j sinx=0,对任意 x∈R 成立。 又 0≤ j ≤π,解得 j = , 因为 f(x)图象关于 M ? ?
3p ? 3 3 ,0 ÷ 对称,所以 f ( p - x) + f ( p + x) =0。 4 4 è 4 ? 3p p? w + ÷ = 0. 2? è 4

p 2

取 x=0,得 f ( p ) =0,所以 sin ? ?
3 4

所以

3p p 2 w = kp + (k∈Z),即 w = (2k+1) (k∈Z). 4 2 3

又 w >0,取 k=0 时,此时 f(x)=sin(2x+ )在[0, ]上是减函数;

p 2

p 2

取 k=1 时, w =2,此时 f(x)=sin(2x+ )在[0, ]上是减函数; 取 k=2 时, w ≥
2 3 10 p p ,此时 f(x)=sin( w x+ )在[0, ]上不是单调函数, 3 2 2

p 2

p 2

综上, w = 或 2。 7.三角公式的应用。
5 5 p ,sin(α+β)=,且 α-β∈ ? , p ? , ? ÷ 13 13 è2 ?

例 11 α+β∈ ? ?

已知 sin(α-β)=

3p ? ,2p ÷ ,求 sin2α,cos2β 的值。 è 2 ?

【解】

因为 α-β∈ ? , p ? ,所以 cos(α-β)=- 1 - sin 2 (a - b ) = ? ÷
?

p è2

12 . 13

又因为 α+β∈ ? ?

3p 12 ? ,2p ÷ ,所以 cos(α+β)= 1 - sin 2 (a + b ) = . 13 è 2 ? 120 , 169

所以 sin2α=sin[(α+β)+(α-β)]=sin(α+β)cos(α-β)+cos(α+β)sin(α-β)= cos2β=cos[(α+β)-(α-β)]=cos(α+β)cos(α-β)+sin(α+β)sin(α-β)=-1. 例 12 已知△ABC 的三个内角 A,B,C 成等差数列,且

1 1 2 A-C + =,试求 cos 的值。 cos A cos C cos B 2

【解】

因为 A=1200-C,所以 cos

A-C =cos(600-C), 2

又由于

1 1 1 1 cos(120 0 - C ) + cos C + = + = cos A cos C cos(120 0 - C ) cos C cos C cos(120 0 - C )

=

2 cos 60 0 cos(60 0 - C ) 1 [cos120 0 + cos(120 0 - 2C )] 2

=

2 cos(60 0 - C ) cos(120 0 - 2C ) 1 2

= -2 2 ,

所以 4 2 cos 2

A-C A-C + 2 cos - 3 2 =0。 2 2

解得 cos

A-C 2 A-C 3 2 = 或 cos =。 2 2 2 8

又 cos

A-C A-C 2 >0,所以 cos = 。 2 2 2

例 13

求证:tan20 ° +4cos70 ° .
sin 20 ° +4sin20 ° tan20 +4cos70 = ° cos 20
° °

【解】

=

sin 20 ° + 4 sin 20 ° cos 20 ° sin 20 ° + 2 sin 40 ° = cos 20 ° cos 20 °

=

sin 20 ° + sin 40 ° + sin 40 ° 2 sin 30 ° cos10 ° + sin 40 ° = cos 20 ° cos 20 °

=

sin 80 ° + sin 40 ° 2 sin 60 ° cos 20 ° = = 3. cos 20 ° cos 20 °

三、基础训练题

1.已知锐角 x 的终边上一点 A 的坐标为(2sin3, -2cos3),则 x 的弧度 数为___________。
1 + cos x 1 - cos x + = -2cscx 的角的集合为___________。 1 - cos x 1 + cos x

2.适合

3.给出下列命题: (1)若 α ? β,则 sinα ? sinβ; (2)若 sinα ? sinβ,则 (3)若 sinα>0,则 α 为第一或第二象限角; (4)若 α 为第一或 α ? β; 第二象限角,则 sinα>0. 上述四个命题中,正确的命题有__________ 个。 4.已知 sinx+cosx= (x∈(0, π)),则 cotx=___________。
p p 5. 简谐振动 x1=Asin ? wt + ? 和 x2=Bsin ? wt - ? 叠加后得到的合振动是 ? ÷ ? ÷
è 3? è 6? 1 5

x=___________。 6. 已知 3sinx-4cosx=5sin(x+ q 1)=5sin(x- q 2)=5cos(x+ q 3)=5cos(x- q 4), 则
q 1, q 2, q 3, q 4 分别是第________象限角。

7.满足 sin(sinx+x)=cos(cosx-x)的锐角 x 共有________个。
3 2 1 1 1 1 + + cos x =___________。 2 2 2 2

8.已知 p < x < 2p ,则

9.

cos 40 ° + sin 50 ° (1 + 3 tan 10 ° ) sin 70 ° 1 + cos 40 °

=___________。

10.cot15 ° cos25 ° cot35 ° cot85 ° =___________。

11.已知 α,β∈(0, π), tan

a 1 5 = , sin(α+β)= ,求 cosβ 的值。 2 2 13

12.已知函数 f(x)= 取值范围。

m - 2 sin x p 在区间 ? 0, ? 上单调递减,试求实数 m 的 ? ÷ cos x è 2?

四、高考水平训练题 1.已知一扇形中心角是 a,所在圆半径为 R,若其周长为定值 c(c>0), 当扇形面积最大时,a=__________. 2. 函数 f(x)=2sinx(sinx+cosx)的单调递减区间是__________. 3. 函数 y =
2 - sin x 的值域为__________. 2 - cos x

p 4. 方程 2 sin ? 2 x + ? - lg x =0 的实根个数为__________. ? ÷
è 6?

p p 5. 若 sina+cosa=tana, a ? ? 0, ? ,则 __________a(填大小关系). ? ÷
è 2? 3

6. (1+tan1 ° )(1+tan2 ° )…(1+tan44 ° )(1+tan45 ° )=__________. 7. 若 0<y≤x< 且 tanx=3tany,则 x-y 的最大值为__________.
sin 7 ° + cos15 ° + sin 8 ° =__________. cos 7 ° - sin 15 ° sin 8 °

p 2

8.

9. cos

p 2 3 4 5 ·cos p ·cos p ·cos p ·cos p =__________. 11 11 11 11 11

10. cos271 ° +cos71 ° cos49 ° +cos249 ° =__________. 11. 解方程:sinx+2sin2x=3+sin3x. 12. 求满足 sin(x+sinx)=cos(x-cosx)的所有锐角 x.
1 13. 已知 f(x)= ? ? ? ÷ è2?
?k p ? A sin ? x + ÷ è5 3?

(kA ? 0, k∈Z, 且 A∈R), (1)试求 f(x)的最大

值和最小值; (2)若 A>0, k=-1,求 f(x)的单调区间; (3)试求最小正 整数 k,使得当 x 在任意两个整数(包括整数本身)间变化时,函数 f(x)至少取得一次最大值和一次最小值。

五、联赛一试水平训练题(一) 1.若 x, y∈R,则 z=cosx2+cosy2-cosxy 的取值范围是____________. 2. 已知圆 x2+y2=k2 至少盖住函数 f(x)= 3 sin
px 的一个最大值点与一个 k

最小值点,则实数 k 的取值范围是____________. 3.f( q )=5+8cos q +4cos2 q +cos3 q 的最小值为____________. 4.方程 sinx+ 3 cosx+a=0 在(0,2π)内有相异两实根 α,β,则 α+β=____________. 5.函数 f(x)=|tanx|+|cotx|的单调递增区间是____________.

6.设 sina>0>cosa, 且 sin >cos ,则 的取值范围是____________. 7.方程 tan5x+tan3x=0 在[0,π]中有__________个解. 8.若 x, y∈R, 则 M=cosx+cosy+2cos(x+y)的最小值为____________. 9.若 0< q < , m∈N+, 比较大小: (2m+1)sinm q (1-sin q )__________1-sin2m+1 q . 10.cot70 ° +4cos70 ° =____________.
ìsin x + sin y = a 11. 在方程组 ?cos x + cos y = b 中消去 x, y,求出关于 a, b, c 的关系式。 í ?cot x × cot y = c ?

a 3

a 3

a 3

p 2

p 12.已知 α,β,γ ? ? 0, ? ,且 cos2α+cos2β+cos2γ=1,求 tanαtanβtanγ ? ÷
è 2?

的最小值。
ì x sin 3a + y sin a = a 13. 关于 x, y 的方程组 ? x sin 3b + y sin b = a 有唯一一组解, sinα, sinβ, 且 í ? x sin 3g + y sin g = a ?

sinγ 互不相等,求 sinα+sinβ+sinγ 的值。
p 14.求满足等式 sinxy=sinx+siny 的所有实数对(x, y), x, y ? ? 0, ? . ? ÷
è 2?

联赛一试水平训练题(二) 1.在平面直角坐标系中,函数 f(x)=asinax+cosax(a>0)在一个最小正

周期长的区间上的图象与函数 g(x)= a 2 + 1 的图象所围成的封闭图形 的面积是__________. 2.若 x ? éê
5p p ù 2p ? p? p? ? ? ? ,- ú ,则 y=tan ? x + ÷ -tan ? x + ÷ +cos ? x + ÷ 的最大值 3 ? 6? 6? ? 12 3 ? è è è

是__________. 3.在△ABC 中,记 BC=a, CA=b, AB=c, 若 9a2+9b2-19c2=0,则
cot C =__________. cot A + cot B 1 5 1 5 4.设 f(x)=x2-πx, α=arcsin , β=arctan , γ=arccos ? - ? , δ=arccot ? - ? , ? ÷ ? ÷ 3 4 è 3? è 4?

将 f(α), f(β), f(γ), f(δ)从小到大排列为__________. 5.logsin1cos1=a, logsin1tan1=b, logcos1sin1=c, logcos1tan1=d。将 a, b, c, d 从小到大排列为__________. 6.在锐角△ABC 中,cosA=cosαsinβ, cosB=cosβsinγ, cosC=cosγsinα, 则 tanα·tanβ·tanγ=__________. 且对任何 x∈R, 7. 已知矩形的两边长分别为 tan 和 1+cos q (0< q <π), f(x)=sin q ·x2+ 4 3 ·x+cos q ≥0,则此矩形面积的取值范围是 __________. 8.在锐角△ABC 中,sinA+sinB+sinC 的取值范围是__________. 9.已知当 x∈[0, 1],不等式 x2cos q -x(1-x)+(1-x)2sin q >0 恒成立,则 q
q 2

的取值范围是__________. 10.已知 sinx+siny+sinz=cosx+cosy+cosz=0,则 cos2x+ cos2y+ cos2z=__________. 11.已知 a1, a2, …,an 是 n 个实常数,考虑关于 x 的函数: f(x)=cos(a1+x)+ cos(a2+x) +…+
1 2 1 2 n -1

cos(an+x)。求证:若实数 x1, x2 满

足 f(x1)=f(x2)=0,则存在整数 m,使得 x2-x1=mπ. 12.在△ABC 中,已知 一个内角为 。 13. 求证: 对任意自然数 n, 均有|sin1|+|sin2|+…+|sin(3n-1)|+|sin3n|>
8n . 5 sin A + sin B + sin C = 3 ,求证:此三角形中有 cos A + cos B + cos C

p 3

六、联赛二试水平训练题 1. 已知 x>0, y>0, 且 x+y<π, 求证: w(w-1)sin(x+y)+w(sinx-siny)+siny>0 ①(w∈R).
+1 1 ? 1 2. 已知 a 为锐角, n≥2, n∈N , 求证: n - 1?? n - 1? ≥2n-2 2 +1. ? ÷? ÷ è sin a ?è cos a ? n

+

2 3. 设 x1, x2,…, xn,…, y1, y2,…, yn,…满足 x1=y1= 3 , xn+1=xn+ 1 + x n ,

yn+1=

yn
2 1 + 1 + yn

,求证:2<xnyn<3(n≥2).

4. 已知 α, γ 为锐角, cos2α+cos2β+cos2γ=1, β, 且 求证; π<α+β+γ<π.
p 5.求实数 a 的取值范围,使得对任意实数 x 和任意 q ? é0, ù ,恒有 ê ú
? 2?

3 4

(x+3+2sin q cos q )2+(x+asin q +asin q )2≥ .
p 6. 设 n, m 都是正整数,并且 n>m,求证:对一切 x ? ? 0, ? 都有 ? ÷
è 2?

1 8

2|sinnx-cosnx|≤3|sinnx-cosnx|. 7.在△ABC 中,求 sinA+sinB+sinC-cosA-cosB-cosC 的最大值。 8.求的有的实数 a, 使 cosa, cos2a, cos4a, …, cos2na, …中的每一项 均为负数。
p 9.已知 q i ? ? 0, ? ,tan q 1tan q 2…tan q n=2 2 , n∈N+, 若对任意一组满足 ? ÷
è 2?
n

上述条件的
q 1, q 2,…, q n 都有 cos q 1+cos q 2+…+cos q n≤λ,求 λ 的最小值。


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