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第八章第2讲空间几何体的表面积与体积


第 2 讲 空间几何体的表面积与体积

1.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式 圆柱 圆锥 侧面 展开图 侧面 积公式 S 圆柱侧= 2πrl S 圆锥侧= πrl

圆台

S 圆台侧 =π(r+r′)l

2.空间几何体的表面积与体积公式 名称 表面积 几何体 柱体 S 表面积=S 侧+2S

底 (棱柱和圆柱) 锥体 S 表面积=S 侧+S 底 (棱锥和圆锥) 台体 (棱台和圆台) 球 S 表面积=S 侧 +S 上+S 下 S=4πR
2

体积 V =S 底 h 1 V= S 底 h 3 1 V= (S 上+S 下 3 + S上S下)h 4 V= πR3 3

1.求空间几何体体积的常用方法 (1)公式法:直接根据相关的体积公式计算. (2)等积法:根据体积计算公式,通过转换空间几何体的底面和高使得体积计算更容易, 或是求出一些体积比等. (3)割补法:把不能直接计算体积的空间几何体进行适当的分割或补形,转化为可计算 体积的几何体. 2.几个与球有关的切、接常用结论 (1)正方体的棱长为 a,球的半径为 R, ①正方体的外接球,则 2R= 3a; ②正方体的内切球,则 2R=a; ③球与正方体的各棱相切,则 2R= 2a. (2)长方体的同一顶点的三条棱长分别为 a, b, c, 外接球的半径为 R, 则 2R= a2+b2+c2. (3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为 3∶1. 3.利用三视图求解几何体时的两个技巧 (1)计算体积时,有时可直接寻找底面积(俯视图)与高(正视图或侧视图). (2)在长方体内对应寻找三视图回归的几何体的直观图.

1.(必修 2 P24 内文改编)以长为 a,宽为 b 的矩形的一边所在的直线为轴旋转一周所得 圆柱的侧面积为( ) A.ab B.πab C.2πab D.2ab 解析:选 C.若以长边所在的直线为轴旋转,则 S 侧=2πab,若以短边所在的直线为轴旋 转,则 S 侧=2πba. ∴S 圆柱侧=2πab,故选 C. 2.(必修 2 P27 例 4 改编)圆柱的底面直径与高都等于球的直径,则球的体积与圆柱的体 积比 V 球∶V 柱为( ) A.1∶2 B.2∶3 C.3∶4 D.1∶3 解析:选 B.设球的半径为 R. 4 3 πR 3 V球 2 则 = 2 = ,故选 B. V柱 πR ×2R 3 3.(必修 2 P15 练习 T4 改编)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )

A.6 B .3 3 C.2 3 D.3 解析:选 B.由三视图可知,该几何体是一个直三棱柱,其底面为侧视图,该侧视图是 底边为 2, 高为 3的三角形, 正视图的长为三棱柱的高, 故 h=3, 所以几何体的体积 V=S· h 1 ? =? ?2×2× 3?×3=3 3. 4.(必修 2 P27 练习 T1 改编)已知圆锥的侧面积为 a m2,且它的侧面展开图为半圆,则圆 锥的体积为________m3. 解析:圆锥的直观图与侧面展开图如图所示.

设圆锥的底面半径为 r,母线为 l 则 πrl=a,① 2πr=πl,② a a 联立①②解得 r= ,l=2 , 2π 2π a 1 1 a 3a a 3a ∴OO1= l2-r2= 3· ,∴圆锥的体积 V= πr2· OO1= π· · = . 2π 3 3 2π 2π 6 2π a 3a 答案: 6 2π 5.(必修 2 P32 球体的体积改编)已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为

________.

解析:由三视图可知,该几何体是一个圆柱挖去了一个圆锥,其体积为 π×22×2- 16 π×22×2= π. 3 16 答案: π 3

1 3

空间几何体的表面积

(2015· 高考陕西卷)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( A.3π B.4π C.2π+4 D.3π+4 [解析] 由几何体的三视图可知,该几何体为半圆柱,直观图如图所示.

)

1 表面积为 2×2+2× ×π×12+π×1×2=4+3π. 2 [答案] D 多面体的表面积的求法: 求解有关多面体表面积的问题,关键是找到其特征几何图形,如棱柱中的矩形,棱台中 的直角梯形,棱锥中的直角三角形,它们是联系高与斜高、边长等几何元素的桥梁,从而架 起侧面积公式中的未知量与条件中已知几何元素的联系. 1.一个三棱锥的三条侧棱 OA、OB、OC 两两互相垂直,且 OA=3、OB=4、OC=2, 则该三棱锥的外接球的表面积为( ) A.29π B.30π 29π C. D.216 2

解析:选 A.把三棱锥补形为一个长、宽、高分别为 3、2、4 的长方体,则长方体和三 棱锥有相同的外接球,长方体的体对角线长为球的直径,即 2R= 42+22+32= 29(R 为球 29 的半径),球的半径为 . 2 29 2 故该三棱锥的外接球的表面积为 4×π×( ) =29π,故选 A. 2 2.如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多 面体的各面中,最大的面的面积为( )

A.8 C.12

B .4 5 D.6 2

解析:选 C.根据三视图可知, 该多面体是棱长为 4 的正方体内的四面体 D1ECC1(其中 E 为棱 BB1 的中点),易得 S△ECC1=S△D1CC1=8,S△D1C1E=4 5, S△D1EC=12,故选 C. 3.某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的表面积是( )

A.28+6 5 B.30+6 5 C.56+12 5 D.60+12 5 解析:选 B.由几何体的三视图可知,该三棱锥的直观图如图所示,

其中 AE⊥平面 BCD,CD⊥BD,且 CD=4,BD=5,BE=2,ED=3,AE=4. ∵AE=4,ED=3,∴AD=5. 又 CD⊥BD,CD⊥AE,

则 CD⊥平面 ABD,故 CD⊥AD,所以 AC= 41且 S△ACD=10. 在 Rt△ABE 中,AE=4,BE=2,故 AB=2 5. 在 Rt△BCD 中,BD=5,CD=4, 故 S△BCD=10,且 BC= 41. 在△ABD 中,AE=4,BD=5,故 S△ABD=10. 在△ABC 中,AB=2 5,BC=AC= 41, 则 AB 边上的高 h=6, 1 故 S△ABC= ×2 5×6=6 5. 2 因此,该三棱锥的表面积为 S=30+6 5. 空间几何体的体积

(2015· 高考全国卷Ⅱ)一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如 图,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( ) 1 1 A. B. 8 7 1 1 C. D. 6 5 [ 解析 ] 由已知三视图知该几何体是由一个正方体截去了一个 “ 大角 ” 后剩余的部 1 1 分,如图所示,截去部分是一个三棱锥.设正方体的棱长为 1,则三棱锥的体积为 V1= × 3 2 1 ×1×1×1= , 6

1 5 剩余部分的体积 V2=13- = . 6 6 1 V1 6 1 所以 = = ,故选 D. V2 5 5 6 [答案] D 求空间几何体体积的解题策略 ①求简单几何体的体积. 若所给的几何体为柱体、 锥体或台体, 则可直接利用公式求解. ②求组合体的体积.若所给定的几何体是组合体,不能直接利用公式求解,则常用转换 法、分割法、补形法等进行求解. ③求以三视图为背景的几何体的体积. 应先根据三视图得到几何体的直观图, 然后根据 条件求解. 1.已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )

8π A. B.3π 3 10π C. D.6π 3 解析:选 B.由三视图可知,此几何体是底面半径为 1,高为 4 的圆柱被从母线的中点处 1 3 截去了圆柱的 ,根据对称性,可补全此圆柱如图,故体积 V= ×π×12×4=3π. 4 4

2.某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则此几何体的体积是(

)

A.72 cm3 B.78 cm3 3 C.84 cm D.90 cm3 解析:选 D.该几何体如图所示,长方体的长、宽、高分别为 6 cm,4 cm,3 cm,直三棱柱 1 的底面是直角三角形,边长分别为 3 cm,4 cm,5 cm,所以体积 V=4×3× ×3+6×4×3= 2 90(cm3)

空间几何体面积与体积的关系 (2015· 高考全国卷Ⅱ)已知 A,B 是球 O 的球面上两点,∠AOB=90° ,C 为该球面 上的动点.若三棱锥 OABC 体积的最大值为 36,则球 O 的表面积为( ) A.36π B.64π C.144π D.256π [解析] 如图,设球的半径为 R,

∵∠AOB=90° , 1 2 ∴S△AOB= R . 2 ∵VO ABC=VCAOB,而△AOB 面积为定值, ∴当点 C 到平面 AOB 的距离最大时,VO ABC 最大, 1 1 ∴当 C 为与球的大圆面 AOB 垂直的直径的端点时,体积 VO ABC 最大为 × R2×R= 3 2 36,∴R=6,

∴球 O 的表面积为 4πR2=4π×62 =144π.故选 C. [答案] C 空间几何体的面积与体积关系的求解策略: ①找出面积与体积的相关元素; ②根据元素之间的关系列出其面积和体积表达式; ③根据问题所求目标将面积和体积利用已知条件进行转化,化简求解. 1.设甲、乙两个圆柱的底面积分别为 S1,S2,体积分别为 V1,V2,若它们的侧面积相 S1 9 V1 等,且 = ,则 的值是( ) S2 4 V2 4 A.2 B. 3 3 9 C. D. 2 4 S1 9 πr2 9 1 解析:选 C.设两个圆柱的底面半径和高分别为 r1,r2 和 h1,h2,由 = ,得 2= ,则 S2 4 πr2 4 r1 3 = . r2 2 由圆柱的侧面积相等,得 2πr1h1=2πr2h2,即 r1h1=r2h2, h1 2 V1 πr2 1h1 3 则 = ,所以 = 2 = . h2 3 V2 πr2h2 2 2.一个六棱锥的体积为 2 3,其底面是边长为 2 的正六边形,侧棱长都相等,则该六 棱锥的侧面积为( ) A.6 B .8 C.12 D.24 解析:选 C.设正六棱锥的高为 h,侧面的斜高为 h′. 1 1 由题意,得 ×6× ×2× 3×h=2 3, 3 2 ∴h=1, ∴斜高 h′= 12+? 3?2=2, 1 ∴S 侧=6× ×2×2=12.故选 C. 2 3. 底面为矩形的四棱锥 PABCD 的所有顶点都在球 O 的球面上, 且 AB=2 3, AD=2, 16 它的最大体积为 3,则球 O 的表面积为( ) 3 A.10π B.15π

C.20π D.25π 解析:选 D.如图所示,矩形 ABCD 的对角线的交点为 O1,当点 P 在 O1O 的延长线上, 并在球面上时,四棱锥 PABCD 的体积最大,

1 16 则有 ×2 3×2×PO1= 3, 3 3 ∴PO1=4, 连接 OA,设球 O 的半径为 R, 则 PO=OA=R,OO1=4-R, 1 O1A= AB2+AD2=2, 2 2 2 在 Rt△AO1O 中,OO2 1+O1A =AO , 2 2 2 即(4-R) +2 =R , 5 ∴R= . 2 5?2 则 S 球=4πR2=4π×? ?2? =25π.故选 D.

一、选择题

1.(必修 2 P30B 组 T3 改编)已知等腰直角三角形的直角边的长为 2,将该三角形绕其斜 边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( ) 2 2π 4 2π A. B. 3 3 C.2 2π D.4 2π 解析:选 B.绕等腰直角三角形的斜边所在的直线旋转一周形成的曲面围成的几何体为 两个底面重合,等体积的圆锥,如图所示.每一个圆锥的底面半径和高都为 2,故所求几 1 4 2π 何体的体积 V=2× ×2π× 2= . 3 3

2. (必修 2 P37B 组 T2 改编)如图, 有一个水平放置的透明无盖的正方体容器, 容器高 8 cm, 将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为 6 cm,如果不 计容器厚度,则球的体积为( )

500π 866π A. cm3 B. cm3 3 3 1 372π 2 048π C. cm3 D. cm3 3 3 解析:选 A.如图,作出球的一个截面,则 MC=8-6=2(cm),

1 1 BM= AB= ×8=4(cm). 2 2 4 500π 设球的半径为 R cm,则 R2=OM2+MB2=(R-2)2+42,∴R=5,∴V 球= π×53= 3 3 3 (cm ). 3.(必修 2 P35A 组 T5 改编)已知圆柱内接于半径为 1 的球,则圆柱的侧面积的最大值为 ( ) A.π B.2π C.3π D.4π 解析:选 B.如图所示,该圆柱上、下底面圆心连线的中点 M 即为外接球的球心,设 AB 为下底面圆的一条直径,

设∠MAO=α,∵MA=1,∴MO=sin α,AO=cos α,∴OO′=2sin α,∴该圆柱侧面 π 积 S=2πAO· OO′,∴S=2π·2sin αcos α=2πsin 2α,∴当 α= 时,Smax=2π. 4 二、填空题 4.(必修 2 P36B 组 T1 改编)由八个面围成的几何体,每一个面都是正三角形,并且有四 个顶点 A、B、C、D 在同一个平面内,ABCD 是边长为 1 的正方形,则该几何体的体积为 ________. 解析:该几何体的六个顶点分别是正方体的六个面的中心,如图,P 到平面 ABCD 的距 1 离为 h= PA2-? AC?2 2 22 2 ?= . 2 2 1 2 2 ∴该几何体体积 V= ×12× ×2= . 3 2 3 = 12-?

2 3 5.(必修 2 P28A 组 T3 改编)在长方体 ABCDA1B1C1D1 中,AB=BC=2,过 A1,C1,B 三点的平面截去长方体的一个角后,得到如图所示的几何体 ABCDA1C1D1,这个几何体的 40 体积为 ,则经过 A1,C1,B,D 四点的球的表面积为________. 3 答案:

1 1 40 则 VABCDA1C1D1=VABCDA1B1C1D1-VBA1B1C1=2×2×x- × ×2×2×x= ,则 3 2 3 x=4. 因为 A1,C1,B,D 是长方体的四个顶点,所以经过 A1,C1,B,D 四点的球的球心为 长方体 ABCDA1B1C1D1 的体对角线的中点,且长方体的体对角线为球的直径,所以球的半 2 2 2 +2 +42 径 R= = 6,所以球的表面积为 24π. 2 答案:24π 三、解答题 6.(必修 2 P37B 组 T4 改编)一块边长为 a cm 的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下, 然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥(底面是正方形,从顶点向底面作 垂线,垂足是底面中心的四棱锥)形容器,若正四棱锥底面边长为 x.

解析:设 AA1=x,

(1)求容器的容积 V(x); (2)求 V(x)的最大值; (3)求当 V(x)取最大值时正四棱锥的全面积. x a 解:(1)如图,AB=x,OF= ,EF= ,(0<x<a) 2 2

∴EO= EF2-OF2 1 = a2-x2. 2 1 1 ∴V(x)= S 正方形 ABCD· EO= x2 a2-x2. 3 6 1 (2)V(x)= a2x4-x6, 6

令 y=a2x4-x6(0<x<a), 则 y′=4a2x3-6x5=2x3(2a2-3x2). 6 当 y′=0 时,x= a. 3 6 6 当 y′<0 时, a<x<a,y′>0 时,0<x< a. 3 3 6 ∴y=a2x4-x6(0<x<a)在(0, a)上是增函数, 3 6 6 ? 6a?4-? 6a?6= 4 a6, 在( a,a)上是减函数,∴当 x= a 时,ymax=a2· 3 3 ? 3 ? ? 3 ? 27 1 4 6 3 3 即 V(x)max= a= a. 6 27 27 6 1 (3)当 V(x)取最大值时,x= a,此时正四棱锥的全面积为 S=AB2+4× BC×EF=x2 3 2 2+ 6 2 2 6 +ax= a2+ a2= a. 3 3 3

一、选择题 1. 在具有如图所示的正视图和俯视图的几何体中, 体积最大的几何体的表面积为(

)

A.3 B.7+3 2 7 C. π D.14 2 [导学号 03350589] 解析:选 D.由正视图和俯视图可知,该几何体可能是四棱柱,或 水平放置的三棱柱,或水平放置的圆柱,易知四棱柱的体积最大,且四棱柱的高为 1,底面 边长分别是 1,3,所以其表面积为 2(1×3+1×1+3×1)=14,故选 D. 2.

把边长为 1 的正方形 ABCD 沿对角线 BD 折起,形成的三棱锥 ABCD 的正视图与俯视 图如图所示,则其侧视图的面积为( ) 1 1 A. B. 4 2 3 C. D.1 4 [导学号 03350590] 解析:选 A.由正视图与俯视图可知三棱锥 ABCD 的一个侧面与底

面垂直, 故其侧视图是直角三角形, 且两直角边长均为

2 1 2 2 , 所以侧视图的面积 S= × × 2 2 2 2

1 = ,故选 A. 4 3.平面 α 截球 O 的球面所得圆的半径为 1,球心 O 到平面 α 的距离为 2,则此球的体 积为( ) A. 6π B.4 3π C.4 6π D.6 3π [导学号 03350591] 解析:选 B.如图,设平面 α 截球 O 所得圆的圆心为 O1,则|OO1| = 2,|O1A|=1,∴球的半径 R=|OA|= 2+1= 3.

4 ∴球的体积 V= πR3=4 3π,故选 B. 3 4.已知某几何体的三视图如图所示,该几何体的体积为 92,则 a=(

)

5 A. B .3 2 7 C. D.4 2 [导学号 03350592] 解析:选 C.由三视图可知此几何体是一个底面边长分别为 a+2 和 3,高为 6 的长方体截去一个三棱锥,且截去的三棱锥的三条侧棱长分别为 3,4,a,故该几 1 1 7 何体的体积为 6×(a+2)×3- ×3× ×4×a=92,解得 a= ,故选 C. 3 2 2 5.如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗实线为某多面体的三视图,则该多面体的 体积为( )

8 16 A. B. 3 3 32 64 C. D. 3 3 [导学号 03350593] 解析:选 C.该三视图对应的几何体为正八面体,棱长为 2 2,它

1 32 的体积为两个同底同高的正四棱锥体积之和,∴该多面体的体积为 2× ×(2 2)2×2= , 3 3 故选 C. 6.某三棱锥的侧视图、俯视图如图所示,则该三棱锥的体积是( )

A.3 B .2 C. 3 D.1 [导学号 03350594] 解析:选 D.由三棱锥的侧视图和俯视图可知该三棱锥的底面是边 长为 2 的正三角形,故其底面积为 3;其侧视图也是边长为 2 的正三角形,故侧视图中三 1 角形的高即为三棱锥的高,可求出为 3,所以三棱锥的体积 V= × 3× 3=1. 3 7.如图所示是某一几何体的三视图,则它的体积为( )

A.32+12π B.64+12π C.36+12π D.64+16π [导学号 03350595] 解析:选 B.由三视图知,该几何体是圆柱与正四棱锥的组合体, 圆柱的高为 3,底面直径为 4, ∴圆柱的体积为 π×22×3=12π;正四棱锥的高为 3,侧面上的斜高为 5, ∴正四棱锥的底面边长为 2× 52-32=8, 1 ∴四棱锥的体积为 ×82×3=64, 3 故几何体的体积 V=64+12π.故选 B. 8.已知某空间几何体的三视图如图所示,则( )

A.该几何体的表面积为 4+2π 1 B.该几何体的体积为 π 3 C.该几何体的表面积为 4+4π D.该几何体的体积为 π [导学号 03350596] 解析:选 C.由三视图可知,该几何体的上半部分为直径为 1 的球, π 其表面积为 π,体积为 ,下半部分是底面半径为 1,高为 2 的圆柱的一半,其表面积为 2×2 6

1 1 +π×1×2+ ×π×12×2=4+3π,体积为 π×12×2=π.故该几何体的表面积为 4+4π,体 2 2 7 积为 π,故选 C. 6 9 . (2015· 高考浙江卷 ) 某几何体的三视图如图所示 ( 单位: cm) ,则该几何体的体积是 ( )

A.8 cm3 B.12 cm3 32 40 C. cm3 D. cm3 3 3 [导学号 03350597] 解析:选 C.由三视图可知,该几何体是由一个正方体和一个正四 棱锥构成的组合体.下面是棱长为 2 cm 的正方体,体积 V1=2×2×2=8(cm3);上面是底 1 8 面边长为 2 cm,高为 2 cm 的正四棱锥,体积 V2= ×2×2×2= (cm3),所以该几何体的体 3 3 32 积 V=V1+V2= (cm3). 3 10.某几何体的三视图如图所示,当 xy 最大时,该几何体的体积为( )

A.8 7 B.8 14 C.16 7 D.9 14 [导学号 03350598] 解析:选 C.由三视图可知,该几何体为三棱锥,作出三棱锥的直 观图 PABC,如图所示.由直观图可知 PA2=102-y2=x2-(2 7)2,∴x2+y2=128,又 x2+ y2=128≥2xy,

当且仅当 x=y=8 时取等号, 1 1 1 此时 PA=6,∴V= S△ABC· PA= × ×2 7×8×6=16 7,故选 C. 3 3 2 二、填空题 11.某几何体的三视图如图所示,且该几何体的体积是 3,则正视图中的 x 的值是 ________.

[导学号 03350599] 解析:依题意,由三视图还原出原几何体的直观图如图所示,原几 1 1 何体为四棱锥,且其底面积为 ×2×(1+2)=3,高为 x,所以其体积 V= ×3x=3,所以 x 2 3 =3.

答案:3 12.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为________.

[导学号 03350600] 解析:由三视图可知,该几何体是一个五面体,五个面中一个是边 长为 2 的正方形;一个是边长为 2 的正三角形;两个是直角梯形,其上底是 1,下底是 2, 1 高是 2;一个是底边长为 2,腰长为 5的等腰三角形,故该五面体的表面积为 22+2× ×(1 2 1 3 1 +2)×2+ ×2×2× + ×2×2=12+ 3. 2 2 2 答案:12+ 3 13. 正三棱柱 ABCA1B1C1 的底面边长为 2, 侧棱长为 3, D 为 BC 中点, 则三棱锥 AB1DC1 的体积为________. [导学号 03350601] 解析:在正三棱柱 ABCA1B1C1 中,

∵AD⊥BC,AD⊥BB1,BB1∩BC=B,∴AD⊥平面 B1DC1. 1 ∴VAB1DC1= S△B1DC1· AD 3

1 1 = × ×2× 3× 3=1. 3 2 答案:1 14.已知四棱锥 PABCD 的三视图如图所示,则四棱锥 PABCD 的四个侧面中面积的 最大值是________.

[导学号 03350602] 解析: 四棱锥 PABCD 如图所示, 则 PC=PD=3, CD=4, BC=2, 四边形 ABCD 为矩形,设 M 为 CD 的中点,连接 PM,则 PM⊥平面 ABCD,所以 PM= 5, 1 1 S△PBC=S△PAD= ×2×3=3,S△PCD= ×4× 5=2 5, 2 2

1 易知 PA=PB= 13, 设 AB 的中点为 N, 连接 PN, MN, 则 PN=3, 所以 S△PAB= ×4×3 2 =6,所以四棱锥 PABCD 的四个侧面中面积的最大值为 6. 答案:6 三、解答题 15.如图,在△ABC 中,∠ABC=90° ,∠A=30° ,斜边 AC 上的中线 BD=2,现沿 BD 将△BCD 折起成三棱锥 CABD, 已知 G 是线段 BD 的中点, 若棱 AC= 10, 求三棱锥 ABCD 的体积.

[导学号 03350603] 解:在△ADG 中,∠ADB=120° ,AD=2,DG=1,由余弦定理得 2 2 AG =2 +1 -2×2×1×cos 120° =7, 在△BCD 中,∠BDC=∠BCD=60° ,∴△BCD 是等边三角形,又 BD=2,G 为 BD 的 2 中点,∴CG=DG· tan 60° = 3,则 CG =3,又 AC2=10, 2 2 2 ∴AC =AG +CG ,即 CG⊥AG,又 CG⊥BD,AG∩BD=G,∴CG⊥平面 ABD. 1 1 1 ∴VAS△ABD· CG= × ×2×2×sin 120° × 3=1. BCD=VCABD= · 3 3 2 1 16.如图(1),在直角梯形 ABCD 中,∠ADC=90° ,CD∥AB,AD=CD= AB=2,点 E 2 为 AC 中点.将△ADC 沿 AC 折起,使平面 ADC⊥平面 ABC,得到几何体 DABC,如图(2) 所示. (1)在 CD 上找一点 F,使 AD∥平面 EFB; (2)求点 C 到平面 ABD 的距离.
2

[导学号 03350604] 解:(1)取 CD 的中点 F,连结 EF,BF, 在△ACD 中,∵E,F 分别为 AC,DC 的中点, ∴EF 为△ACD 的中位线,

∴AD∥EF,∵EF?平面 EFB,AD?平面 EFB, ∴AD∥平面 EFB. (2)设点 C 到平面 ABD 的距离为 h, 在 Rt△ADC 中,AD=CD=2, ∴AC= AD2+CD2=2 2,易求得 BC=2 2, ∵AB=4,∴AC2+BC2=AB2,∴AC⊥BC, ∵平面 ADC⊥平面 ABC,平面 ADC∩平面 ABC=AC,且 BC?平面 ABC, ∴BC⊥平面 ADC, ∴BC 是三棱锥 BADC 的高,BC⊥AD, 又 AD⊥DC,DC∩BC=C,∴AD⊥平面 BCD,∴AD⊥BD,∴S△ADB=2 3, 1 1 1 1 2 6 由 VC h= S△ACD· BC,即 ×2 3h= ×2×2 2,解得 h= . ABD=VBACD,得 S△ABD· 3 3 3 3 3 2 6 ∴点 C 到平面 ABD 的距离为 . 3


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