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5.5三角函数的诱导公式


§5.5 三角函数的诱导公式

(一)复习提问,引入新课 思考 如何求 cos150??
150 ?
y

30?
想到150 ?的三角函数值与 30? 角的三角函数值可能存在一定 x 的关系 为了使讨论具有一般性,我们来 研究任意角 ? 的三角函数值的求 法.

O

> (二)新课讲授
由三角函数的定义我们可以知道:

终边相同的角的同一三角函数值相同
sin(? ? 2k? ) ? sin?   ? Z) (k cos(? ? 2k? ) ? cos? (k ? Z) tan(? ? 2k? ) ? tan? (k ? Z)

(公式一)

我们来研究角 ? 与? ? 的三角函数值之间的关系 y P(x,y)
M

因为r=1,所以我们得到:
y x sin ? ? ______, cos? ? ______, -y x sin(?? ) ? _____, cos(?? ) ? ____, 由同角三角函数关系得 sin(?? ) ? sin? tan(?? ) ? ? ? ? tan? cos(?? ) cos?

O

x

P ' ( x , ? y)

??

sin(?? ) ? ? sin ? cos(?? ) ? cos? tan(?? ) ? ? tan?

(公式二)

思考
? ??
P ' ( ? x , y)

同学们能够根据我们刚才的研究方法,自己得出 任意角 ? 与角 ? ??的三角函数值之间的关系吗? y P(x,y)

sin ? ? y

M'

O

M

x

cos( ? ? ) ? ? x ? ? cos? ? sin(? ? ? ) tan(? ? ? ) ? ? ? tan? cos( ? ? ) ?
sin(? ? ? ) ? sin ? cos( ? ? ) ? ? cos? ? tan(? ? ? ) ? ? tan?

cos? ? x sin(? ? ? ) ? y ? sin?

(公式三)

思考

任意角
y

? 与角 ? ? ?的三角函数值之间的关系呢? sin ? ? y cos? ? x

sin(? ? ? ) ? ? y ? ? sin?
P(x,y)
M'

cos(? ? ? ) ? ?x ? ?cos?
sin(? ? ? ) tan(? ? ? ) ? ? tan? cos( ? ? ) ?
sin(? ? ? ) ? ? sin ? cos(? ? ? ) ? ? cos? tan(? ? ? ) ? tan?

O

M

x

? ??

P ' (?x,? y)

(公式四)

sin(? ? 2k? ) ? sin?   ? Z) (k cos(? ? 2k? ) ? cos? (k ? Z) tan(? ? 2k? ) ? tan? (k ? Z)

sin(?? ) ? ? sin ? cos(?? ) ? cos? tan(?? ) ? ? tan?

(公式一)
sin(? ? ? ) ? sin ? cos( ? ? ) ? ? cos? ? tan(? ? ? ) ? ? tan?

(公式二)
sin(? ? ? ) ? ? sin ? cos( ? ? ) ? ? cos? ? tan(? ? ? ) ? tan?

(公式三)

(公式四)

这四组公式都叫做三角函数的诱导公式

(三)例题
例1:求下列三角函数值:

cos150?
sin330?

5? sin 4
tan(?1560 )
?

思 考

设 ? 是一个锐角, ? 则 ( , ? ) 的角可以表示为 2 3 (? , ? ) 的角可以表示为 则 2
3 则 ( ? ,2? ) 的角可以表示为 2

? ??
? ??
2? ? ?

? ??

y

?
x

o

? ??

2? ? ?

讨 论

观察我们学过的四组诱导公式它们能否通 过一句话概括出来呢?

? 2k? ? ? (k ? Z)、 ?、 ? ? ?
的三角函数值,等于 ? 的同名三角函数值前面 加上把 ? 看作锐角时原函数值的符号。 简记为“函数名不变,符号看象限”

例2 化简: (1) (2)

sin(?1071 ?) ? sin(?171 ?)
2

1 ? sin(? ? 2? ) ? sin(? ? ? ) ? 2cos (?? )

练习 p113 1 例3 判断下列函数的奇偶性:
(1)

f ( x) ? 1 ? cos x g ( x) ? x ? sin x
练习 p113 2

(2)

(四)、反馈练习
1、口答下列各题

s in(?

?
3

)

cos(?45 )
sin 210
?

?

2? tan 3

5? s in 4

cos120

?

2、求下列三角函数的值

11? cos 4

sin(?

17? ) 3

(五)小结
三角函数的诱导公式可以简记为

“函数名不变,符号看象限”。
求任意角的三角函数值的一般程序: 负角变正角,大角变小角,一直变到 0? ~ 之间的角.
作业:p113 1(1,3,5)2

90?


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