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2013-2014学年高中数学人教A版必修五同步辅导与检测:2.3.2等差数列的前n项和(习题课)


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数 列

2.3.2

等差数列的前n项和(习题课)

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1.熟练应用等差数列的前n项和公式与通项公式
解决一些应用问题. 2.会求与等差数列相关的一些简单最值问题.

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基础梳理 ?Sn? 1.(1)若Sn为等差数列{an}的前n项和,则 ? n ?也是 ? ? _____. (2)已知等差数列{an}的通项公式为:an=2n-1,则= ______,是__________. 2.(1)已知等差数列{an},a1>0,d<0.则Sn存在_____; a1<0,d>0,则Sn存在________.(选择“最大值”, “最小值”填空) (2)已知等差数列{an}的通项公式为:an=-2n+8,则 等差数列的前n项和Sn=______,Sn的最大值为:____.

答案:1.等差数列 2.最大值 最小值
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n 等差数列 n(7-n) 12
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3.(1)项数为2n的等差数列{an},公差为d,有S2n= _____________,S偶-S奇=______. (2)已知等差数列{an}共有100项,其通项公式为:an =-3n+2,等差数列的前n项和为Sn,则S偶-S奇=______. 4.项数为2n-1的等差数列{an},有S2n-1= _______________,S奇-S偶=________.

练习4:已知等差数列{an}共有201项,其通项公式为: an=3n-2,等差数列的前n项和为Sn,则S奇-S偶= ____________________. 答案:3.n(an+an+1) nd 练习3:-150
4.(2n-1)an(an为中间项) an 练习4:a101=301 金品质?高追求 我们让你更放心!

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自测自评 1.已知等差数列{an}满足a2+a4=4,a3+a5=10,

则它的前10项的和S10=(
A.138 B.135

)
C.95 D.23

解析:∵(a3+a5)-(a2+a4)=2d=6, ∴d=3,a1=-4, 10×?10-1?d ∴S10=10a1+ =95. 2 答案:C

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2.等差数列{an}中,d=2,an=11,Sn=35,则 a1等于( )

A.5或7
C.7或-1

B.3或5
D.3或-1

n?a1+11? 解析:Sn= =35. 2 ∴na1+11n=70.① an=a1+(n-1)×2=11. ∴a1+2n=13.② 由①②得 a1=3 或 a1=-1. 答案:D
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3.一个有 11 项的等差数列,奇数项之和为 30,则它的 中间项为( D ) A.8 B .7 C.6 D.5

6×5 解析:S 奇=6a1+ ×2d=30,a1+5d=5,S 偶=5a2 2 5×4 + ×2d=5(a1+5d)=25,a 中=S 奇-S 偶=30-25=5. 2

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裂项法求和
1 1 1 (1)1+ + +?+ ; 1+2 1+2+3 1+2+3+?+n (2)(1002-992)+(982-972)+?+(42-32)+(22-12).
1 解析:(1)an= 1+2+3+?+n 1 1 ? 2 ? - = =2 , n?n+1? ?n n+1? 1 1 ?? 1? ?1 1? ? ? ? - 1 - - Sn=2? + +?+ n n+1 ? ? ?? ?? 2? ?2 3? 1 ? 2n ? 1 - =2 = . ? n+1? n+1 (2)(1002-992)+(982-972)+?+(42-32)+(22-12) ?199+3? =199+195+?+7+3= ×50 2 =101×50=5050.

求和:

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跟踪训练 1.Sn是等差数列{an}的前n项和,bn= 1 ,且a3b3= Sn 1 S3+a15=21.求数列{bn}的前n项和Tn的通项公式.
2



分析:因为Tn←bn←Sn←an←a1,d,所以应确定 {an}的首项及公差. 解析:设{an}的首项为a,公差为d, 则a3=a+2d,a15=a+14d, 1 S3=3a+3d,b3= ,由已知得 3a+3d
1 1 ? ??a+2d?×3a+3d=2, ? ? ??3a+3d?+?a+14d?=21.

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? ?a=1, 解得? 所以 an=n, ? ?d=1.

?1+n?n Sn= , 2 1 1 ? 2 ? bn= =2 - , n?n+1? ?n n+1? Tn=b1+b2+b3+?+bn 1 1? 1 1? ?1 1? ? ? - =2 1 2 +2 2-3 +2 3-4 +?+ ? ? ? ? ? ? 1 1? ?1 1 ? ? - - 2 n-1 n +2 n n+1 ? ? ? ? 1 ? 2n ? 1 - =2 = . ? n+1? n+1

点评:本题中的条件较多,通过分析找出基本量, 简化条件,同时明确解题方向.求数列{bn}的前n项和Tn 使用的是裂项法. 金品质?高追求 我们让你更放心!

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求数列通项公式 已知a1=3且an=Sn-1+2n(n≥2),求an及Sn.
解析:∵an=Sn-Sn-1,an=Sn-1+2n,(n≥2)(n∈N*), Sn Sn-1 ∴Sn-2Sn-1=2n,∴ n- n-1=1(n≥2 且 n∈N*). 2 2 Sn 设 bn= n,则{bn}是公差为 1 的等差数列, 2 ∴bn=b1+n-1. S1 a1 3 又∵b1= = = , 2 2 2 Sn 1 - ∴ n=n+ ,∴Sn=(2n+1)2n 1. 2 2 - 当 n≥2 时 an=Sn-Sn-1=(2n+3)2n 2, ? ?n=1? ?3 ∴an=? , n-2 ? 2 ?n≥2? ??2n+3?· - Sn=(2n+1)2n 1.

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跟踪训练 2.设数列{an}中,a1=2,an+1=an+n+1,则通项an= ________.
解析:an=a1+(a2-a1)+?+(an-an-1) n?n+1? =2+2+3?+n= +1 2 n?n+1? 答案: +1 2

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一、选择填空题 1.一个等差数列共有2n+1项,其奇数项的和为512, 偶数项的和为480,则中间项为( ) A.30 B.31 C.32 D.33

解析:中间项为 an+1. ?a1+a2n+1? S 奇= · (n+1)=(n+1)an+1=512. 2 a2+a2n S 偶= · n=n· an+1=480. 2 ∴an+1=S 奇-S 偶=512-480=32.故选 C. 答案:C

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2.等差数列{an}的公差d=且S100=145,则

a1+a3+a5+…+a99的值为(
A.52.5 B.72.5

)
C.60 D.85

解析:设a1+a3+a5+…+a99=x,a2+a4+…+ a100=y,

则x+y=S100=145,y-x=50d=25.
解得x=60,y=85.故选C. 答案:C

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1.等差数列的前n项和的性质 (1)等差数列的依次k项之和,Sk,S2k-Sk,S3k- S2k,…,组成公差为k2d的等差数列.

(2)数列{an}是等差数列?Sn=an2+bn(a,b为常数).
(3)若等差数列的项数为2n,则S2n=n(an+an+1)且S偶 S 偶 a n +1 -S奇=nd, = , S奇 an 若等差数列的项数为2n-1,则S2n-1=(2n-1)an且S奇
S偶 n-1 . -S偶=an, = S奇 n

(4)若Sn为数列{an}的前n项和,则{an}为等差数列等价 ?Sn? 于? n ? 为等差数列.
? ?

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◆数学?必修5?(配人教A版)◆ 2.求等差数列的前n项和Sn的最值有两种方法:
(1)由二次函数的最值特征得解. n?n-1? d 2 ? d? Sn=na1+ d= n + a1-2 n 2 2 ? ? ?a1-d?2 d 2? ? d? a1- ? ? ? 2 2 = - 2?n+ 2d ? d ? ? d? ?1 a1??2 d?1 a1?2 = n- 2- d - 2- d . 2? ? ?? 2? ? 由二次函数的最大值、最小值知识及n∈N*知,当n取 1 a1 最接近 2- d 的正整数时,Sn取到最大值(或最小值).值得 1 a 注意的是最接近 - 1 的正整数有时1个有时2个. 2 d (2)根据项的正负来定. 若a1>0,d<0,则数列的所有正数项之和最大; 若a1<0,d>0,则数列的所有负数项之和最小. 返回 金品质?高追求 我们让你更放心!

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