当前位置:首页 >> 数学 >>

2016年福建省福州市高考数学模拟试卷(文科)(5月份)(解析版)


2016 年福建省福州市高考数学模拟试卷(文科) (5 月份)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.集合 A={x∈N|x≤4},B={x|x2﹣4<0},则 A∩B=( ) A.{x|0≤x<2} B.{x|﹣2<x<2} C.{0,1} D.{﹣2,0,1,2} 2.设复数 z

满足(1﹣i)z=1+i,则|z|=( ) A.0 B.1 C. D.2 3.已知条件 p:x≤0,条件 q: >0,则¬p 是 q 成立的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既非充分也非必要条件 4.函数 f(x)=Asin(x+φ) (A>0)在 x= A.f(x+ C.f(x﹣ )是奇函数 B.f(x+ 处取得最小值,则( ) )

)是偶函数 )是偶函数

)是奇函数 D.f(x﹣

5.从甲、乙两品种的棉花中各抽测了 10 根棉花的纤维长度(单位:mm) ,所得数据如图 茎叶图.记甲、乙两品种棉花的纤维长度的平均值分别为




,标准差分别为 s 甲,s

,则(



A. C.

< >

,s 甲>s 乙 ,s 甲>s 乙

B. D.

< >

,s 甲<s 乙 ,s 甲<s 乙

6.函数 f(x)=

的零点个数为(



A.3 B.2 C.1 D.0 7.在△ABC 中,∠C=90°,AC=2,点 M 满足 = ,则 ? =( ) A.1 B. C. D.2 8.在各项均为正数的等比数列{an}中,a5a6=4,则数列{log2an}的前 10 项和等于( A.20 B.10 C.5 D.2+log25 9.执行如图的程序框图,若输入 n 值为 4,则输出的结果为( )



第 1 页(共 22 页)

A.8 B.21 C.34 D.55 10.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为(



A.10

B.20

C.40 ﹣

D.60 =1(a>0,b>0)的左焦点 F 作一条渐近线的垂线,与 C 右支 )

11.过双曲线 C:

交于点 A,若|OF|=|OA|.则 C 的离心率为( A. B.2 C. D.5

12.已知 a∈R,函数 f(x)= x3﹣ax2+ax+2 的导函数 f′(x)在(﹣∞,1)内有最小值, 若函数 g(x)= ,则( )

A.g(x)在(1,+∞)上有最大值 B.g(x)在(1,+∞)上有最小值 C.g(x)在(1,+∞)上为减函数 D.g(x)在(1,+∞)上为增函数 二、填空题:本大题 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在答题卡相应位置. 13. 3) 在平面直角坐标系 xOy 中, 点P (﹣m2, 在抛物线 y2=mx 的准线上, 则实数 m=_______.
第 2 页(共 22 页)

14.若 x,y 满足约束条件

,则 2x﹣y 的最大值等于_______.

15.已知两个同底的正四棱锥的所有顶点都在同一球面上,它们的底面边长为 2,体积的比 值为 ,则该球的表面积为_______. 16.如图,在△ABC 中,B= ,AC= ,D 为 BC 边上一点.若 AB=AD,则△ADC 的

周长的取值范围为_______

三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1= ,Sn2﹣anSn+an=0(n≥2) . (Ⅰ)求证:数列{ }是等差数列;

(Ⅱ)求 S1+ S2+ S3+…+ Sn. 18.某媒体为调查喜欢娱乐节目 A 是否与观众性别有关,随机抽取了 30 名男性和 30 名女 性观众,抽查结果用等高条形图表示如图: (Ⅰ)根据该等高条形图,完成下列 2×2 列联表,并用独立性检验的方法分析,能否在犯 错误的概率不超过 0.05 的前提下认为喜欢娱乐节目 A 与观众性别有关? 喜欢节目 A 不喜欢节目 A 总计 _______ _______ _______ 男性观众 _______ _______ _______ 女性观众 _______ _______ 60 总计 (Ⅱ)从男性观众中按喜欢节目 A 与否,用分层抽样的方法抽取 5 名做进一步调查.从这 5 名中任选 2 名,求恰有 1 名喜欢节目 A 和 1 名不喜欢节目 A 的概率. 附: P(K2≥k) k K2= 0.100 2.706 0.050 3.841 . 0.010 6.635 0.001 10.828

第 3 页(共 22 页)

19.如图所示,四棱锥 P﹣ABCD 的底面是梯形,且 AB∥CD,AB⊥平面 PAD,E 是 PB 中 点,CD=PD=AD= AB. (Ⅰ)求证:CE⊥AB; (Ⅱ)若 CE= ,AB=4,求三棱锥 A﹣PCD 的高.

20.已知椭圆 E:

+

=1(a>b>0)的焦距为 2

,直线 y=k(x﹣1) (k≠0)经过 E

的长轴的一个四等分点,且与 E 交于 P,Q 两点. (Ⅰ)求 E 的方程; (Ⅱ)记线段 PQ 为直径的圆为⊙M,判断点 A(2,0)与⊙M 的位置关系,说明理由. 21.已知 a∈R,函数 f(x)=ex﹣a(x+1)的图象与 x 轴相切. (Ⅰ)求 f(x)的单调区间; (Ⅱ)若 x>0 时,f(x)>mx2,求实数 m 的取值范围. 四.请考生在第(22) 、 (23) 、 (24)三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计 分,作答时请写清题号.[选修 4-1:几何证明选讲] 22.如图所示,△ABC 内接于圆 O,D 是 的中点,∠BAC 的平分线分别交 BC 和圆 O 于点 E,F. (Ⅰ)求证:BF 是△ABE 外接圆的切线; (Ⅱ)若 AB=3,AC=2,求 DB2﹣DA2 的值.

[选修 4-4:坐标系与参数方程]

第 4 页(共 22 页)

23.在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为 x 轴正半轴为极轴,并取相同的单位长度建立极坐标系. (Ⅰ)写出 C1 的极坐标方程; (Ⅱ)设曲线 C2: +y2=1 经伸缩变换

(α 为参数) .以 O 为极点,

后得到曲线 C3,射线 θ=

(ρ>0)分

别与 C1 和 C3 交于 A,B 两点,求|AB|. [选修 4-5:不等式选讲] 24.已知不等式|x+3|<2x+1 的解集为{x|x>m}. (Ⅰ)求 m 的值; (Ⅱ)设关于 x 的方程|x﹣t|+|x+ |=m(t≠0)有实数根,求实数 t 的值.

第 5 页(共 22 页)

2016 年福建省福州市高考数学模拟试卷 (文科) (5 月份)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.集合 A={x∈N|x≤4},B={x|x2﹣4<0},则 A∩B=( ) A.{x|0≤x<2} B.{x|﹣2<x<2} C.{0,1} D.{﹣2,0,1,2} 【考点】交集及其运算. 【分析】先化简集合 A,B,再根据交集的运算即可. 【解答】解:集合 A={x∈N|x≤4}={0,1,2,3,4}, 由集合 B 中的不等式 x2﹣4<0, 因式分解得: (x+2) (x﹣2)<0, 解得:﹣2<x<2, 所以集合 B=(﹣2,2) ; 则集合 A∩B={0,1}. 故选:C. 2.设复数 z 满足(1﹣i)z=1+i,则|z|=( A.0 B.1 C. D.2 )

【考点】复数代数形式的乘除运算;复数求模. 【分析】由题意可得 z= ,再由|z|= 求出结果.

【解答】解:∵复数 z 满足(1﹣i)z=1+i, ∴z= ∴|z|= 故选 B. , = =1,

3.已知条件 p:x≤0,条件 q: >0,则¬p 是 q 成立的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既非充分也非必要条件 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断. 【分析】分别化简命题 p,q,¬p,即可判断出关系. 【解答】解:条件 p:x≤0,可得:¬p:x>0. 条件 q: >0,可得 x>0. 则¬p 是 q 成立的充要条件. 故选:C.



第 6 页(共 22 页)

4.函数 f(x)=Asin(x+φ) (A>0)在 x= A.f(x+ C.f(x﹣ )是奇函数 B.f(x+

处取得最小值,则(



)是偶函数 )是偶函数

)是奇函数 D.f(x﹣

【考点】正弦函数的图象. 【分析】由 f( 左平移 )=fmin(x)可知直线 x= 是 f(x)的一条对称轴.故将 f(x)图象向

个单位后关于 y 轴对称. 处取得最小值,

【解答】解:∵f(x)在 x= ∴直线 x=

是 f(x)的一条对称轴. 个单位后关于 y 轴对称,

∴将 f(x)的函数图象向左平移 ∴f(x+ 故选 B. )是偶函数.

5.从甲、乙两品种的棉花中各抽测了 10 根棉花的纤维长度(单位:mm) ,所得数据如图 茎叶图.记甲、乙两品种棉花的纤维长度的平均值分别为




,标准差分别为 s 甲,s

,则(



A. C.

< >

,s 甲>s 乙 ,s 甲>s 乙

B. D.

< >

,s 甲<s 乙 ,s 甲<s 乙

【考点】极差、方差与标准差. 【分析】根据茎叶图,从茎叶图上可以看出甲的成绩比较集中,甲的成绩比较整齐,结合方 差的意义即可得出 S 甲,S 乙的大小关系. 【解答】解:由茎叶图可知,分别为 甲的数据波动比乙大, 所以 s 甲>s 乙, 故选:A. < ,且甲的极差大于乙的极差,

第 7 页(共 22 页)

6.函数 f(x)= A.3 B.2 C.1 D.0

的零点个数为(



【考点】根的存在性及根的个数判断. 【分析】按分段函数分类讨论,从而利用函数的零点的判定定理及函数与方程的关系求解. 【解答】解:当 x≤0 时,f(x)=2x﹣1+x, 易知 f(x)在(﹣∞,0]上是增函数且连续, 而 f(﹣1)= ﹣1<0,f(0)= >0; 故 f(x)在(﹣∞,0]上有且只有一个零点; 当 x>0 时,f(x)=﹣1+lnx=0, 则 x=e; 综上所述, 函数 f(x)= 故选 B. 7.在△ABC 中,∠C=90°,AC=2,点 M 满足 A.1 B. C. D.2 = ,则 ? =( ) 有两个零点,

【考点】平面向量数量积的运算. 【分析】根据条件即可得出点 M 为边 AB 的中点,且 BC⊥AC,从而有 ,再由 AC=2,进行向量数量积的运算即可求出 【解答】解:∵ ∴ ∵∠ACB=90°; ∴BC⊥AC; ∴ ; ∴ = =2+0 =2. 故选:D. = ; ,∴M 为边 AB 的中点,如图所示: 的值.

第 8 页(共 22 页)

8.在各项均为正数的等比数列{an}中,a5a6=4,则数列{log2an}的前 10 项和等于( ) A.20 B.10 C.5 D.2+log25 【考点】等比数列的前 n 项和;等差数列的前 n 项和. 【分析】由等比数列{an}的性质可得:a1a10=…=a5a6=4,再利用对数的运算性质即可得出. 【解答】解:由等比数列{an}的性质可得:a1a10=…=a5a6=4, 则数列{log2an}的前 10 项和=log2(a1a2…a10)= 故选:B. 9.执行如图的程序框图,若输入 n 值为 4,则输出的结果为( ) = =10,

A.8

B.21

C.34

D.55

【考点】程序框图. 【分析】执行程序框图,依次写出每次循环得到的 s,t,i 的值,当 n=4 时不满足条件 i<4, 退出循环,输出 s+t 的值为 21,从而得解. 【解答】解:模拟执行程序框图,可得 n=4,s=1,t=1,i=1 满足条件 i<4,执行循环体,可得:s=2,t=3,i=2 满足条件 i<4,执行循环体,可得:s=4,t=7,i=3 满足条件 i<4,执行循环体,可得:s=7,t=14,i=4 不满足条件 i<4,退出循环,输出 s+t 的值为 21. 故选:B. 10.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )

第 9 页(共 22 页)

A.10

B.20

C.40

D.60

【考点】由三视图求面积、体积. 【分析】 由已知的三视图可得: 该几何体是一个以俯视图为底面的三棱柱截去一个同底等高 的三棱锥后,所得的组合体,分别代入棱锥和棱柱体积公式,可得答案. 【解答】解:由已知的三视图可得:该几何体是一个以俯视图为底面的三棱柱截去一个同底 等高的三棱锥的组合体,

故几何体的体积 V=(1﹣ )Sh= × ×3×4×5=20, 故选:B

11.过双曲线 C:



=1(a>0,b>0)的左焦点 F 作一条渐近线的垂线,与 C 右支 )

交于点 A,若|OF|=|OA|.则 C 的离心率为( A. B.2 C. D.5 【考点】双曲线的简单性质.

【分析】设 F(﹣c,0) ,渐近线方程为 y= x,由题意可得△AOF 为等腰三角形,即有 F 关于渐近线的对称点对称点为 A(m,n) ,运用中点坐标公式和两直线垂直的条件:斜率之 积为﹣1,求出对称点的坐标,代入双曲线的方程,由离心率公式计算即可得到所求值. 【解答】解:设 F(﹣c,0) ,渐近线方程为 y= x, 过左焦点 F 作一条渐近线的垂线,与 C 右支交于点 A,若|OF|=|OA|, 可得△AOF 为等腰三角形, 即有 F 关于渐近线的对称点为 A(m,n) ,
第 10 页(共 22 页)

即有

=﹣ , ,

且 ?n= ?

解得 m=

,n=﹣



将 A(

,﹣

) ,即(

,﹣

) ,

代入双曲线的方程可得



=1,

化简可得

﹣4=1,即有 e2=5,

解得 e= . 故选:C. 12.已知 a∈R,函数 f(x)= x3﹣ax2+ax+2 的导函数 f′(x)在(﹣∞,1)内有最小值, 若函数 g(x)= ,则( )

A.g(x)在(1,+∞)上有最大值 B.g(x)在(1,+∞)上有最小值 C.g(x)在(1,+∞)上为减函数 D.g(x)在(1,+∞)上为增函数 【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用. 【分析】利用导函数的最小值求出 a 的范围,然后求解新函数的导数,判断函数的单调性与 最值. 【解答】解:函数 f(x)= x3﹣ax2+ax+2 的导函数 f′(x)=x2﹣2ax+a.对称轴为:x=a, 导函数 f′(x)在(﹣∞,1)内有最小值, 令 x2﹣2ax+a=0,可得方程在(﹣∞,1)有两个根,可得

,解得:a<0

函数 g(x)= g′(x)=1﹣ ,

=x+ ﹣2a.

x∈(1,+∞) , 1﹣



,∴g′(x)>0,

g(x)在在(1,+∞)上为增函数.
第 11 页(共 22 页)

故选:D. 二、填空题:本大题 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在答题卡相应位置. 13.在平面直角坐标系 xOy 中,点 P(﹣m2,3)在抛物线 y2=mx 的准线上,则实数 m= . 【考点】抛物线的简单性质. 【分析】求出抛物线的准线方程,列出方程求解即可. 【解答】解:抛物线 y2=mx 的准线方程为:x=﹣ , ∵点 P(﹣m2,3)在抛物线 y2=mx 的准线上, ∴﹣m2= 解得 m= . 故答案为: . ,

14.若 x,y 满足约束条件

,则 2x﹣y 的最大值等于﹣1.

【考点】简单线性规划. 【分析】作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义,利用数形结合确定 z 的最大值. 【解答】解:作出不等式组对应的平面区域如图: (阴影部分) . 由 z=2x﹣y 得 y=2x﹣z, 平移直线 y=2x﹣z 由图象可知当直线 y=2x﹣z 经过点 A(﹣1,﹣1)时,直线 y=2x﹣z 的截距最小,此时 z 最大. 代入目标函数 z=2x﹣y, 得 z=﹣2+1=﹣1.即 z=2x﹣y 的最大值为﹣1. 故答案为:﹣1.

第 12 页(共 22 页)

15.已知两个同底的正四棱锥的所有顶点都在同一球面上,它们的底面边长为 2,体积的比 值为 ,则该球的表面积为 9π. 【考点】球内接多面体;球的体积和表面积. 【分析】 根据两个正四棱锥有公共底面, 可得棱锥高之和即为球的直径, 结合底面边长为 2, 则底面截球所得圆的半径为 2,结合勾股定理求出球半径可得球的面积. 【解答】解:∵两个正四棱锥有公共底面且两个正四棱锥的体积之比为 , ∴两个正四棱锥的高的比也为 . 设两个棱锥的高分别为 X,2X,球的半径为 R 则 X+2X=3X=2R 即 R= 球心到那个公共底面距离是 , 又∵底面边长为 2 ∴R2=( 解得 X=1 ∴R= 该球的表面积 S=4πR2=9π 故答案为:9π. )2=( )2+( )2,

16.如图,在△ABC 中,B=

,AC=

,D 为 BC 边上一点.若 AB=AD,则△ADC 的

周长的取值范围为 2

<l≤2+

【考点】正弦定理的应用. 【分析】由正弦定理可得 AB=2sinC,BC=2sinA,由 AD=AB,B=60°可知 A>60°,结合图 形可知周长 l=AD+AC+DC=2sinA+ ,结合正弦函数的性质可求. 【解答】解:∵AD=AB,B=60°, ∴A>60°. ∵B= ,AC= ,

∴A+C=120°即 A=120°﹣C 由正弦定理可得 AB=2sinC,BC=2sinA ∴CD=2sinA﹣2sinC 周长 l=AD+AC+DC=2sinA+ , ∵60°<A<120°

第 13 页(共 22 页)



<sinA≤1

∴2 <l≤2+ . 故答案为:2 <l≤2+



三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1= ,Sn2﹣anSn+an=0(n≥2) . (Ⅰ)求证:数列{ }是等差数列;

(Ⅱ)求 S1+ S2+ S3+…+ Sn. 【考点】数列的求和. 【分析】 (I)利用递推关系、等差数列的定义即可证明; (II)利用等差数列的通项公式、“裂项求和”方法即可得出. 【解答】证明: (Ⅰ)∵Sn2﹣anSn+an=0(n≥2) . ∴当 n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1, 可得: ﹣(Sn﹣Sn﹣1)Sn+Sn﹣Sn﹣1=0,

化为:Sn﹣1Sn+Sn﹣Sn﹣1=0, ∴ ﹣ =1, =2.

∴数列

是以 2 为首项,以 1 为公差的等差数列. =2+(n﹣1)=n+1,

解: (Ⅱ)由(Ⅰ)可得: ∴Sn= ∴ = . .

∴S1+ S2+ S3+…+ Sn= =1﹣ = .

+

+…+

18.某媒体为调查喜欢娱乐节目 A 是否与观众性别有关,随机抽取了 30 名男性和 30 名女 性观众,抽查结果用等高条形图表示如图: (Ⅰ)根据该等高条形图,完成下列 2×2 列联表,并用独立性检验的方法分析,能否在犯 错误的概率不超过 0.05 的前提下认为喜欢娱乐节目 A 与观众性别有关? 喜欢节目 A 不喜欢节目 A 总计 24 6 30 男性观众 15 15 30 女性观众
第 14 页(共 22 页)

39 21 60 总计 (Ⅱ)从男性观众中按喜欢节目 A 与否,用分层抽样的方法抽取 5 名做进一步调查.从这 5 名中任选 2 名,求恰有 1 名喜欢节目 A 和 1 名不喜欢节目 A 的概率. 附: P(K2≥k) 0.100 0.050 0.010 0.001 k 2.706 3.841 6.635 10.828 K2= .

【考点】独立性检验;频率分布直方图;古典概型及其概率计算公式. 【分析】 (Ⅰ)由题意和条形图易得列联表,计算可得则 K2 的观测值 k≈5.934>3.841,可 得有关; (Ⅱ)利用分层抽样在男性观众 30 名中抽取 5 名,其中喜欢娱乐节目 A 的人数为 4,记为 a,b,c,d,不喜欢节目 A 的人数为 1,记为 1,列举可得总的方法种数,找出符合题意的 方法种数,由概率公式可得. 【解答】解: (Ⅰ)由题意得列联表如下: 喜欢节目 A 不喜欢节目 A 总计 24 6 30 男性观众 15 15 30 女性观众 39 21 60 总计 计算可得则 K2 的观测值 k= = ≈5.934>3.841

∴能在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下认为喜欢娱乐节目 A 与观众性别有关; (Ⅱ) 利用分层抽样在男性观众 30 名中抽取 5 名, 其中喜欢娱乐节目 A 的人数为 24× 记为 a,b,c,d,不喜欢节目 A 的人数为 6× =1,记为 1. =4,

则从 5 名中任选 2 人的所有可能的结果为: (a,b) (a,c) (a,d) (a,1) (b,c) (b,d) (b,1) (c,d) (c,1) (d,1)共有 10 种. 其中恰有 1 名喜欢节目 A 和 1 名不喜欢节目 A 的有: (a,1) (b,1) (c,1) (d,1)共 4 种. ∴所抽取的观众中恰有 1 名喜欢节目 A 和 1 名不喜欢节目 A 的观众的概率是: =

第 15 页(共 22 页)

19.如图所示,四棱锥 P﹣ABCD 的底面是梯形,且 AB∥CD,AB⊥平面 PAD,E 是 PB 中 点,CD=PD=AD= AB. (Ⅰ)求证:CE⊥AB; (Ⅱ)若 CE= ,AB=4,求三棱锥 A﹣PCD 的高.

【考点】点、线、面间的距离计算;空间中直线与平面之间的位置关系. 【分析】 (Ⅰ)取 AP 的中点 F,连结 DF,EF,证明四边形 EFDC 为平行四边形,推出 CE ∥DF,利用 AB⊥平面 PAD,证明 CE⊥AB. (Ⅱ)设点 O 为 PD 的中点,连结 AO,如图所示,证明△ADP 为正三角形,推出 AD⊥PD, 求出 AD= ,证明 AO⊥平面 PCD.然后求出三棱锥 A﹣PCD 的高. 【解答】 (Ⅰ)证明:取 AP 的中点 F,连结 DF,EF,如图所示. 因为点 E 是 PB 中点, 所以 EF∥AB 且 EF= .

又因为 AB∥CD 且 CD=



所以 EF∥CD 且 EF=CD, 所以四边形 EFDC 为平行四边形,

所以 CE∥DF,

因为 AB⊥平面 PAD,DF? 平面 PAD, 所以 AB⊥DF. 所以 CE⊥AB. (Ⅱ)解:设点 O 为 PD 的中点,连结 AO,如图所示, 因为 BC= ,AB=4, 由(Ⅰ)知,DF= , 又因为 AB=4,所以 PD=AD=2, 所以 AP=2AF=2 =2 =2,

所以△ADP 为正三角形, 所以 AD⊥PD,且 AD= . 因为 AB⊥平面 PAD,AB∥CD,
第 16 页(共 22 页)

所以 CD⊥平面 PAD. 因为 AD? 平面 PAD, 所以 CD⊥AO, 又因为 PD∩CD=D,所以 AO⊥平面 PCD. 所以三棱锥 A﹣PCD 的高为 .

20.已知椭圆 E:

+

=1(a>b>0)的焦距为 2

,直线 y=k(x﹣1) (k≠0)经过 E

的长轴的一个四等分点,且与 E 交于 P,Q 两点. (Ⅰ)求 E 的方程; (Ⅱ)记线段 PQ 为直径的圆为⊙M,判断点 A(2,0)与⊙M 的位置关系,说明理由. 【考点】直线与圆锥曲线的关系;点与圆的位置关系. 【分析】 (Ⅰ)由题意可知,2c=2 ,2a=4,b2=a2﹣c2,即可求得 a 和 b 的值,写出椭圆的 方程; (Ⅱ)将直线方程代入椭圆方程,求得关于 x 的一元二次方程,利用根与系数的关系求得 x1+x2 和 x1?x2,并代入直线方程求得 y1?y2,表示出 和 ,利用向量数量积的坐标表示求 得 ? >0,因此点 A 在⊙M 外. 【解答】解: (Ⅰ)依题意得,2c=2 ,2a=4,即 c= ,a= , 2 2 2 b =a c =1 ∴ ﹣ , 所以 E 的方程为 .

(Ⅱ)点 A 在⊙M 外.理由如下: 设 P(x1,y1) ,Q(x2,y2) , 由 得(1+4k2)x2﹣8k2x+4k2﹣4=0,

所以,△=(﹣8k2)2﹣4(1+4k2) (4k2﹣4)=48k2+16>0, 所以 x1+x2= ,x1?x2= .

因为 =(x1﹣2,y1) , =(x2﹣2,y2) , 所以 ? =(x1﹣2) (x2﹣2)+y1?y2, 2 =(1+k )x1?x2﹣(2+k2) (x1+x2)+4+k2, = ﹣ +4+k2,

=



因为 k≠0, 所以 ? >0. ∴cos∠PAQ>0, ∴∠PAQ 为锐角,
第 17 页(共 22 页)

所以点 A 在⊙M 外. 21.已知 a∈R,函数 f(x)=ex﹣a(x+1)的图象与 x 轴相切. (Ⅰ)求 f(x)的单调区间; (Ⅱ)若 x>0 时,f(x)>mx2,求实数 m 的取值范围. 【考点】利用导数研究函数的单调性;利用导数研究曲线上某点切线方程. 【分析】 (Ⅰ)求出 f(x)的导数,设出切点的坐标,得到方程组,求出 a 的值,从而求出 函数的单调区间即可; (Ⅱ)构造 g(x)=f(x)﹣mx2,求出 g(x)的导数,通过讨论 m 的范围,结合函数的单 调性求出 m 的具体范围即可. 【解答】解: (Ⅰ)f′(x)=ex﹣a,依题意,设切点为(b,0) , 则 即 ,

解得 所以 f′(x)=ex﹣1, 所以,当 x<0 时,f′(x)<0;当 x>0 时,f′(x)>0. 所以,f(x)的单调递减区间为(﹣∞,0) ,单调递增区间为(0,+∞) . 2 g x =f x mx (Ⅱ)令 ( ) ( )﹣ , 则 g′(x)=ex﹣2mx﹣1, 令 h(x)=g′(x) ,则 h′(x)=ex﹣2m, (ⅰ)若 m≤ , 因为当 x>0 时,ex>1,所以 h′(x)>0, 所以 h(x)即 g′(x)在(0,+∞)上单调递增. 又因为 g′(0)=0,所以当 x>0 时,g′(x)>g′(0)=0, 从而 g(x)在(0,+∞)上单调递增, 而 g(0)=0,所以 g(x)>g(0)=0,即 f(x)>mx2 成立. (ⅱ)若 m> , 令 h′(x)=0,解得 x=ln(2m)>0, 当 x∈(0,ln(2m) ) ,h′(x)<0,所以 h(x)即 g′(x)在(0,ln(2m) )上单调递减, 又因为 g′(0)=0,所以当 x∈(0,ln(2m) )时,g′(x)<0, 从而 g(x)在(0,ln(2m) )上单调递减, 而 g(0)=0,所以当 x∈(0,ln(2m) ) ,时,g(x)<g(0)=0,即 f(x)>mx2 不成立. 综上所述,m 的取值范围是(﹣∞, ].

四.请考生在第(22) 、 (23) 、 (24)三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计 分,作答时请写清题号.[选修 4-1:几何证明选讲] 22.如图所示,△ABC 内接于圆 O,D 是 的中点,∠BAC 的平分线分别交 BC 和圆 O 于点 E,F. (Ⅰ)求证:BF 是△ABE 外接圆的切线;
第 18 页(共 22 页)

(Ⅱ)若 AB=3,AC=2,求 DB2﹣DA2 的值.

【考点】圆周角定理;平行截割定理. 【分析】 (Ⅰ)设△ABE 外接圆的圆心为 O′,连结 BO′并延长交圆 O′于 G 点,连结 GE,则 BEG=90 °,∠BAE=∠BGE,可证∠FBE=∠BAE,进而证明∠FBG=90°,即可得证 BF 是 ∠ △ABE 外接圆的切线. (Ⅱ)连接 DF,则 DF⊥BC,由勾股定理可得 BD2﹣DA2=AF2﹣BF2,利用相似三角形的 性质可得 AB?AC=AE?AF=(AF﹣EF)?AF,由△FBE∽△FAB,从而 BF2=FE?FA,得 AB ﹣AC=AF2﹣BF2,进而可求 BD2﹣DA2=AB?AC=6. 【解答】 (本题满分为 10 分) . 解: (Ⅰ)设△ABE 外接圆的圆心为 O′,连结 BO′并延长交圆 O′于 G 点,连结 GE, 则∠BEG=90°,∠BAE=∠BGE. 因为 AF 平分∠BAC, 所以 , FBE= 所以∠ ∠BAE, 所以∠FBG=∠FBE+∠EBG=∠BGE+∠EBG=180°﹣∠BEG=90°, 所以 O′B⊥BF, 所以 BF 是△ABE 外接圆的切线… (Ⅱ)连接 DF,则 DF⊥BC, 所以 DF 是圆 O 的直径, 因为 BD2+BF2=DF2,DA2+AF2=DF2, 所以 BD2﹣DA2=AF2﹣BF2. 因为 AF 平分∠BAC, 所以△ABF∽△AEC, 所以 = ,

所以 AB?AC=AE?AF=(AF﹣EF)?AF, 因为∠FBE=∠BAE, 所以△FBE∽△FAB,从而 BF2=FE?FA, 所以 AB﹣AC=AF2﹣BF2, 所以 BD2﹣DA2=AB?AC=6…

[选修 4-4:坐标系与参数方程]
第 19 页(共 22 页)

23.在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为 x 轴正半轴为极轴,并取相同的单位长度建立极坐标系. (Ⅰ)写出 C1 的极坐标方程; (Ⅱ)设曲线 C2: +y2=1 经伸缩变换

(α 为参数) .以 O 为极点,

后得到曲线 C3,射线 θ=

(ρ>0)分

别与 C1 和 C3 交于 A,B 两点,求|AB|. 【考点】简单曲线的极坐标方程;平面直角坐标轴中的伸缩变换;参数方程化成普通方程. 【分析】 (Ⅰ)根据题意,消去参数,即可解得方程 C1 的极坐标方程; (Ⅱ)求得 C3 的方程,即可由 OA,OB 的长解得 AB 的长. 【解答】解: (Ⅰ)将
2

(α 为参数) .消去参数 α,化为普通方程为(x﹣2)

+y2=4, 即 C1:x2+y2﹣4x=0, 将 代入 C1:x2+y2﹣4x=0,得 ρ2=4ρcosθ,

所以 C1 的极坐标方程为 ρ=4cosθ. (Ⅱ)将 代入 C2 得 x′2+y′2=1,

所以 C3 的方程为 x2+y2=1. C3 的极坐标方程为 ρ=1,所以|OB=1|. 又|OA|=4cos =2,

所以|AB|=|OA|﹣|OB|=1. [选修 4-5:不等式选讲] 24.已知不等式|x+3|<2x+1 的解集为{x|x>m}. (Ⅰ)求 m 的值; (Ⅱ)设关于 x 的方程|x﹣t|+|x+ |=m(t≠0)有实数根,求实数 t 的值. 【考点】绝对值不等式的解法;不等式的证明. 【分析】 (Ⅰ)通过讨论 x 的范围,去掉绝对值号,得到关于 x 的不等式组,求出 m 的值即 可; (Ⅱ)根据基本不等式的性质得到关于 t 的方程,解出即可. 【解答】解: (Ⅰ)由|x+3|<2x+1 得, 或 解得 x>2, 依题意 m=2. (Ⅱ)∵|x﹣t|+|x+ |≥|x﹣t﹣x﹣ |=|t|+ , ,

第 20 页(共 22 页)

当且仅当(x﹣t) (x+ )≥0 时取等号, 因为关于 x 的方程|x﹣t|+|x+ |=2 有实数根, 所以|t|+ 所以|=|t|+ ≤2,另一方面|t|+ =2, ≥2,

所以 t=1 或 t=﹣1.

第 21 页(共 22 页)

2016 年 9 月 8 日

第 22 页(共 22 页)


相关文章:
2016年福建省福州市高考数学模拟试卷(理科)(解析版)
(共 22 页) 2016 年福建省福州市高考数学模拟试卷(理科)参考答案与试题解析 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题所给的四个...
...市高考数学模拟试卷(文科)(5月份)(解析版)
2016届福建省漳州市高考数学模拟试卷(文科)(5月份)(解析版)_高三数学_数学_高中教育_教育专区。2016 年福建省漳州市高考数学模拟试卷(文科) (5 月份)一、选择...
2016年福建省福州市高考数学模拟试卷(理科)(解析版)
2016年福建省福州市高考数学模拟试卷(理科)(解析版)_高考_高中教育_教育专区。...在视力 4.2~4.4 和 5.0~5.2 的学 生中抽取 9 人,并且在这 9 人中任...
...市高考数学模拟试卷(文科)(5月份)(解析版)
2016年湖北省武汉市高考数学模拟试卷(文科)(5月份)(解析版)_数学_高中教育_教育专区。2016 年湖北省武汉市高考数学模拟试卷(文科) (5 月份)一、选择题:本大题...
...市高考数学模拟试卷(理科)(5月份)(解析版)
2016年福建省宁德市高考数学模拟试卷(理科)(5月份)(解析版)_数学_高中教育_教育专区。2016 年福建省宁德市高考数学模拟试卷(理科) (5 月份)一、选择题:本大题...
2016届浙江省高考数学考前模拟试卷(文科)(5月份)(解析版)
2016届浙江省高考数学考前模拟试卷(文科)(5月份)(解析版)_高三数学_数学_高中教育_教育专区。2016 年浙江省高考数学考前模拟试卷(文科) (5 月份)一、选择题(共...
2016年福建省厦门市高考数学一模试卷(文科)(解析版)
(共 20 页) 2016 年福建省厦门市高考数学一模试卷(文科)参考答案与试题解析 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个...
...市高考数学模拟试卷(文科)(5月份)(解析版)
2016年山西省晋中市高考数学模拟试卷(文科)(5月份)(解析版)_数学_高中教育_...2016年福建省福州市高考... 暂无评价 22页 1下载券 2016年湖北省天门市高考...
...市高考数学模拟试卷(文科)(5月份)(解析版)
2016年广西桂林、百色、崇左、来宾、贺州五市高考数学模拟试卷(文科)(5月份)(解析版)_数学_高中教育_教育专区。2016 年广西桂林、百色、崇左、来宾、贺州五市高考...
...市高考数学模拟试卷(文科)(5月份)(解析版)
2016年湖北省天门市高考数学模拟试卷(文科)(5月份)(解析版)_数学_高中教育_教育专区。2016 年湖北省天门市高考数学模拟试卷(文科) (5 月份)一、选择题:本大题...
更多相关标签: