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2014年北京市海淀区高三数学二模参考答案(文科)


海淀区高三年级第二学期期末练习参考答案 数 学 (文科) 2014.5

阅卷须知: 1.评分参考中所注分数,表示考生正确做到此步应得的累加分数。 2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.
1.C 2.B 3.D 4.B 5.A 6.A 7.D 8.B

/>
二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.
9. 5 10.2 11.8 12.①② 13.2,0 14.5,3.6

{第 13,14 题的第一空 3 分,第二空 2 分}

三、解答题: 本大题共 6 小题,共 80 分.
15.解: (Ⅰ) f ( x) ? 3sin2 x ? cos2 x ? a ? 1 --------------------------4 分

3 1 sin 2 x ? cos 2 x ) ? a ? 1 2 2 π ? 2sin(2 x ? ) ? a ? 1 6 ? 2(

---------------------------6 分 ----------------------------7 分 ------------------------------8 分 --------------------------------9 分 ---------------------------------11 分 --------------------------------12 分 -----------------------------13 分

2π ? π. 2 π (Ⅱ)令 f ( x) ? 0 ,即 2sin(2 x ? ) ? a ? 1=0 , 6 π 则 a=1 ? 2sin(2 x ? ) , 6 π 因为 ?1 ? sin(2 x ? ) ? 1 , 6 π 所以 ?1 ? 1 ? 2sin(2 x ? ) ? 3 , 6
∴周期 T ?

所以,若 f ( x) 有零点,则实数 a 的取值范围是 [ ?1,3] . 16.解:

(Ⅰ)上半年的鲜疏价格的月平均值大于下半年的鲜疏价格的月平均值.--------------------4 分 (Ⅱ)从 2012 年 2 月到 2013 年 1 月的 12 个月中价格指数环比下降的月份有 4 月、5 月、6 月、9 月、10 月. ------------------------------------------6 分

设“所选两个月的价格指数均环比下降”为事件 A, --------------------------------------7 分
1

在这 12 个月份中任取连续两个月共有 11 种不同的取法,------------------------------8 分 其中事件 A 有(4 月,5 月) , (5 月,6 月) , (9 月,10 月) ,共 3 种情况. ---------9 分 ∴ P( A) ?

3 . 11

-----------------------------------------10 分

(Ⅲ)从 2012 年 11 月开始,2012 年 11 月,12 月,2013 年 1 月这连续 3 个月的价格指数方差最大. -----------------------------------------13 分 17.解: (I)

A1 A ? 底面 ABC ,
-------------------------2 分 --------------------------4 分 面 ABC1 ? AB , C1 ---------------------------7 分 ---------------------------8 分
B1 F D E B

? A1 A ? AB , A B? A C , A1 A AC ? A , ? AB ? 面 A1 ACC1 . (II) 面 DEF //面 ABC1 ,面 ABC

面 DEF ? DE ,面 ABC

? AB // DE , 在 ?ABC 中 E 是棱 BC 的中点, ? D 是线段 AC 的中点. (III) 三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中 A1 A ? AC

A1

?侧面 A1 ACC1 是菱形,
? AC ? AC1 , 1 由(1)可得 AB ? A1C , A B A 1C ? , A ? AC ? 面 ABC1 , 1 ? AC ? BC1 . 1 又 E , F 分别为棱 BC, CC1 的中点, ?EF // BC1 , ? E F ? A 1C .

C

A

--------------------------------9 分

--------------------------------11 分 -------------------------------12 分 ------------------------------13 分 ------------------------------14 分

18. 解: (Ⅰ)由已知可得 f '( x) ? x 2 ? 2ax ? 4 .
? f ' ( 0? ) , 4 又 f (0) ? b ? f ( x ) 在 x ? 0 处的切线方程为 y ? 4 x ? b .

---------------------------------1 分 ---------------------------------2 分 ---------------------------------4 分

1 令 x3 ? ax2 ? 4 x ? b ? 4 x ? b ,整理得 ( x ? 3a) x2 ? 0 . 3 ? x ? 0 或 x ? ?3a , -----------------------------------5 分 a?0 ??3a ? 0 , ----------------------------------------6 分 ? f ( x ) 与切线有两个不同的公共点. ----------------------------------------7 分 (Ⅱ) f ( x ) 在 ( ?1,1) 上有且仅有一个极值点,
2 ? x ? 2a x ?在 4 ( ?1,1) 上有且仅有一个异号零点, ? f ' (x )

---------------------------9 分

2

由二次函数图象性质可得 f '( ?1) f '(1) ? 0 ,

-------------------------------------10 分 ----------------------------12 分 -------------------------------13 分

5 5 或a ? ? , 2 2 5 5 综上, a 的取值范围是 (??, ? ) ( , ??) . 2 2
即 (5 ? 2a )(5 ? 2a ) ? 0 ,解得 a ? 19.解: (Ⅰ)由已知可设椭圆 G 的方程为: 由e ?

x2 ? y 2 ? 1( a ? 1) --------------------------------------------1 分 a2

a2 ? 1 1 2 ? ,----------------------------------------------------------------3 分 ,可得 e 2 ? a2 2 2 2 解得 a ? 2 , -----------------------------------------------------------4 分 2 x ? y2 ? 1 . 所以椭圆的标准方程为 ----------------------------------------------------5 分 2 (Ⅱ)法一:
设 C ( x0 , y0 ), 则 D( ? x0 , y0 ), x0 ? 0 因为 A(0,1), B(0, ?1) , 所以直线 BC 的方程为 y ? ------------------------------------------------------6 分

y0 ? 1 x ?1, x0

------------------------------------------------------7 分

令 y ? 0 ,得 xM ?

x0 x ,所以 M ( 0 ,0) . y0 ? 1 y0 ? 1

----------------------------------------------8 分

所以 AM ? (

x0 , ?1), AD ? (? x0 , y0 ? 1), y0 ? 1

-------------------------------------------9 分

所以 AM ? AD ?

? x0 2 ? y0 ? 1 , y0 ? 1

---------------------------------------------10 分

又因为

x0 2 y0 2 2( y0 2 ? 1) ? ? 1 ,代入得 AM ? AD ? ? 1 ? y0 ? y0 ? 1 2 1 y0 ? 1

--------------------11 分

因为 ?1 ? y0 ? 1 ,所以 AM ? AD ? 0 .

-----------------------------------------------------------12 分

所以 ?MAN ? 90 , -------------------------------------------------------13 分 所以点 A 不在以线段 MN 为直径的圆上. ---------------------------------------------14 分 法二:设直线 BC 的方程为 y ? kx ? 1 ,则 M ( ,0) .

1 k

------------------------------------------------6 分

? x2 ? 2 y 2 ? 2 ? 0, 由? 化简得到 x2 ? 2(kx ? 1)2 ? 2 ? 0 , ? y ? kx ? 1,
所以 (1 ? 2k 2 ) x2 ? 4kx ? 0 ,所以 x1 ? 0, x2 ?

4k , -------------------------------------8 分 2k 2 ? 1

3

4k 2k 2 ? 1 ? 1 ? , 2k 2 ? 1 2k 2 ? 1 4k 2k 2 ? 1 ?4 k 2 k 2 ? 1 , 2 ) ,所以 D ( 2 , ) ----------------------------------------9 分 所以 C ( 2 2k ? 1 2k ? 1 2k ? 1 2k 2 ? 1 1 ?4k 2k 2 ? 1 , ? 1), ---------------------------------------------10 分 所以 AM ? ( , ?1), AD ? ( 2 k 2k ? 1 2k 2 ? 1 ?4 2k 2 ? 1 ?2 ? 2 ?1 ? 2 ? 0 , --------------------------------------12 分 所以 AM ? AD ? 2 2k ? 1 2k ? 1 2k ? 1 所以 ?MAN ? 90 , ---------------------------------------13 分 MN 所以点 A 不在以线段 为直径的圆上. ------------------------------------14 分 20.解: S 13 (Ⅰ)①因为 5 ? ? 5 ,数列 ?1,3,5, 2, 4 不是“ ? 数列”, ---------------------------------2 分 5 ?1 4 3 32 33 S 111 3 3 ②因为 3 ? ? ,又 是数列 , 2 , 3 中的最大项 4 4 4 3 ? 1 128 4 4 2 3 3 3 3 所以数列 , 2 , 3 是“ ? 数列”. ----------------------------------------------4 分 4 4 4 (Ⅱ)反证法证明:
所以 y2 ? kx2 ? 1 ? k 假设存在某项 ai ? 0 ,则

a1 ? a2 ?

? ai ?1 ? ai ?1 ?

? ak ?1 ? ak ? Sk ? ai ? Sk .

设 a j ? max{a1 , a2 ,

, ai ?1, ai ?1,

, ak ?1, ak } ,则 ? ak ?1 ? ak ≤(k -1) aj ,

Sk ? ai ? a1 ? a2 ?

? ai ?1 ? ai ?1 ?
Sk , k ?1

所以 (k ?1)a j ? Sk ,即 a j ?

这与“ ? 数列”定义矛盾,所以原结论正确. (Ⅲ)由(Ⅱ)问可知 b1 ? 0, d ? 0 . ①当 d ? 0 时, b1 ? b2 ? ②当 d ? 0 时, b1 ? b2 ?

--------------------------8 分

? bm ?

Sm S ? m ,符合题设; m m ?1

---------------------9 分

? bm
Sm 1 ,即 (m ? 1)[b1 ? (m ? 1)d ] ? mb1 ? m(m ? 1)d m ?1 2

由“ ? 数列”的定义可知 bm ?

整理得 (m ? 1)(m ? 2)d ? 2b1 (*) 显然当 m ? 2b1 ? 3 时,上述不等式(*)就不成立 所以 d ? 0 时,对任意正整数 m ? 3 , (m ? 1)(m ? 2)d ? 2b1 不可能都成立. 综上讨论可知 {bn } 的公差 d ? 0 . --------------------------------------------------13 分
4


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