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2015年高考数学专题复习之转化与化归思想(有答案)


转化与化归思想 【思想方法诠释】 数学问题的解答离不开转化与化归,它既是一种数学思想,又是一种数学能力,是高考重点考查的最 重要的思想方法.在高中数学的学习中,它无个不在,比如:处理立体几何问题时,将空间问题转化到一 个平面上解决; 在解析几何中, 通过建立坐标系将几何问题化归为代数问题; 复数问题化归为实数问题等. 1.转化与化归的原则 (1)目标简单化原则:将复杂的问题向简单的问题转化. (2)和谐统一性原则:即化归应朝着使待解决问题在表现形式上趋于和谐,在量、形关系上趋于统 一的方向进行,使问题的条件和结论更均匀和恰当. (3)具体化原则:即化归言论自由应由抽象到具体. (4)低层次原则:即将高维空间问题化归成低维空间问题. (5)正难则反原则:即当问题正面讨论遇到困难时,可考虑问题的反面,设法从问题的反面去探求, 使问题获解. 2.转化与化归常用到的方法 (1)直接转化法:把问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题. (2)换元法:运用“换元”把超越式转化为有理式或使整式降幂等,把较复杂的函数、方程、不等 式问题转化为易于解决的基本问题. (3)数形结合法:研究原问题中数量关系(解析式)与空间形式(图形)关系,通过互相变换获得 转化途径. (4)构造法: “构造”一个合适的数学模型,把问题变为易于解决的问题. (5)坐标法:以坐标系为工具,用计算方法解决几何问题,是转化方法的一个重要途径. (6)类比法:运用类比推理,猜测问题的结论,易于确定转化途径. (7)特殊化方法:把原问题的形式向特殊化形式转化,并证明特殊化后的结论适合原问题. (8)等价问题法:把原问题转化为一个易于解决的等价命题,达到转化目的. (9)加强命题法:在证明不等式时,原命题难以得证,往往把命题的结论加强,即命题的结论加强 为原命题的充分条件,反而能将原命题转化为一个较易证明的命题,比如在证明不等式时:原命题往往难 以得证,这时常把结论加强,使之成为原命题的充分条件,从而易证. (10)补集法:如果下面解决原问题有困难,可把原问题结果看作集合 A,而包含该问题的整体问题 的结果类比为全集 U,通过解决全集 U 及补集 使原问题得以解决. 2015 高考数学专题复习(成都七中内部资料) 第 1 页 共 10 页 【核心要点突破】 核心考点 1:函数、方程、不等式之间的转化 例 1:已知函数 f(x)=x2+2x+alnx.函数 f(x)在区间(0,1]上为单调增函数,求实数 a 的取值范围. 思路精析:单调增函数→不等式恒成立→分离参数→求函数最值→实数 a 的范围 解析: 2 ∵f(x)在区间(0,1]上为单调增函数.∴f ’(x)≥0 在(0,1]上恒成立. 亦即:a≥-(2x +2x) 在(0,1]上恒成立, 又 在(0,1]上为单调递减, ∴当 a≥0 时,f(x)在区间(0,1]上为单调增函数 注:函数与方程、不等式就像“一胞三兄弟” ,解决方程、不等式的问题需要函数帮助,解决函数的 问题 需要方程,不等式的帮助,因此借助于函数与方程、不等式进行转化与化归可以将问题化繁为简,一 般可将不等关系化为最值(值域)问题,从而求出参变量的范围. 变式训练 1: (1)已知函数α ,β 满足 ? ? 3? ? 5? ? 1, 3 2 2 ? 3 ? 3? 2 ? 5? ? 5 ,求 a ? ? 的值; 3 (2)关于 x 的方程 sin x ? cos x ? a ? 0 在[0,π ]内有解,求 a 的取值范围。 解析: (1)构造函数 f (

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