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河南省八市重点高中2016届高三数学4月质量检测考试试题 理(扫描版)


河南省八市重点高中 2016 届高三数学 4 月质量检测考试试题 理 (扫 描版)

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河南省八市重点高中质量检测试题 理科数学参考答案 评分说明: 1. 本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题 的主要考查内容比照评分

参考制定相应的评分细则. 2. 对解答题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的 内容和难度, 可视影响的程度决定后继部分的给分, 但不得超过该部分正确解答应得分数的 一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分. 3. 解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4. 只给整数分数.选择题不给中间分. 一、选择题(每小题 5 分) 1. C 2. A 3. D 4. B 5. C 6. C 7. B 8. D 9. C 10. A 二、填空题(每小题 5 分) 13. 0 14. ? x |0 ? x ? 11. B 12. D

? ?

1 ? 或x ? 100? 10 ?

15.

3?1

16. a<ln4-3

三、解答题 17. (Ⅰ)证明:

an ?1 a ?3 1 1 1 1 ? ? ? ? n ?1 = an ? 3 an ?1 ? 3 3an ?1 ? 9 an ?1 ? 3 3an ?1 ? 9 3 (n≥2).

? 1 ? ? 是等差数列.…………………………………………………………6 分 ∴数列 ? ? an ? 3 ? 1 1 1 n = + (n-1)= . (Ⅱ)∵ a1 =6,由(Ⅰ)知 an ? 3 a1 ? 3 3 3
? an ? 3 (n ? 1 ) ( n ? N*). , ( n ? N*), ? lg an ? lg(n ? 1) ? lg n ? lg 3, n

∴数列 ?lg an ? 的前 999 项和 S=999lg3+(lg2-lg1+lg3-lg2+…+lg1000-lg999) =999lg3 + lg1000=3+999lg3. …………………………………………………12 分 18. 解: (Ⅰ)证明:取 AD 的中点 E ,连接 PE,EM,AC. ? PA ? PD ,? PE ? AD .

? 底面 ABCD 为菱形,? BD ? AC ,
又 EM∥AC,? EM ? BD . 又 BD ? PM ,? BD ? 平面 PEM , 则 BD ? PE .? PE ? 平面 ABCD . 又 PE ? 平面 PAD ,

? 平面 PAD ? 平面 ABCD .…………………………………………………………… 4
分 (Ⅱ)解:设 PA ? PD ? 2a ,由 ?APD ? 60? 可得 AD ? 2a , PE ? 3a .

5

可建立如图空间直角坐标系 E ? xyz ,

? 3 ? 3 A ( a , 0, 0), P (0, 0, 3 a ), M ? a , a , 0 ? ? 则 ? 2 2 ? , B (0, 3a, 0) . ? ?

???? ? ? 3 ? 3 ??? ? PM ? ? a , a , ? 3 a ? ? ? AB ? (?a, 3a,0) , ? 2 ?, 2 ? ? ??? ? PB ? (0, 3a, ? 3a) .
设 n ? ( x, y, z ) 为平面 PBM 的法向量,

??? ? ? 3 ? n ? PB ? 0, ?? 3 ax ? 3 ay ? 3az ? 0, ? ? z, ?x ? ? 则 ? ???? 即? 2 ? 2 ? 3 ? ? n ? PM ? 0, ? ? y ? z, 3ay ? 3az ? 0, ? ?
取 z ? 3 ,可得 n ? (?1, 3, 3) 为平面 PBM 的一个法向量. 又 cos n, AB ?

??? ?

a ? 3a 2 7 . ? 7 2 7a
2 7 . 7
…………………………………… 12

则 AB 与平面 PBM 所成角的正弦值为 分

19





: (





2 C1 3 1 ? C3 P( A) ? = 3 3 C10 C10



C3 1 P( B) ? 33 = 3 C10 C10



1 1 1 2 C( ) 36 6 C1C3 ? C3 P(C) ? = 3 3 C10 C10



P( D) ?

2 1 1 C( ) 60 6 C1 ? C3 = 3 3 C10 C10

P( E) ? ;

C3 20 6 = 3 3 C10 C10

;

∵P(B)< P(A)< P(E)< P(C)< P(D), ∴中一至四等奖分别对应的类别是 B,A,E,C. …………………………………4 分 (Ⅱ)设顾客进行一次游戏经营者可盈利 X 元,则 X P - (a-2) -8 -3 1 2

1 3 C10

3 3 C10

20 3 C10

36 3 C10

60 3 C10



1 3 ( -a +2-24-60+36+120)≥0. C10

∴a≤74.即 a 的最大值为 74 元.……………………………………………………8 分

6

P? (Ⅲ)此时中一等奖的概率 1

C2 1 2 = C2 C2 9 9

P? ;中二等奖的概率 2

1 C1 2 2 ? C1 = C2 C2 9 9



中三等奖的概率 P3=

1 1 2 C( ) 18 6 C2 ? C2 P ? = 2; 2 0;中四等奖的概率 4 C9 C9



1 50 ? 38 22 ? 元. 2 (50×1+10×2+0+1×18)= C9 36 9

即此时顾客领取的奖金的平均值为 分 20.解:设点 A( x1 , y1 ), C ( x2 , y2 ).

22 元. 9

……………………………… 12

(Ⅰ)若四边形 ABCD 为平行四边形,则四边形 ABCD 为菱形, ∴AC 与 BD 在点 F 处互相平分,又 F 的坐标为(1,0) . ∴y1+y2 =0,由椭圆的对称性知 AC 垂直于 x 轴,则 BD 垂直于 y 轴, 显然这时 ABCD 不是平行四边形. ∴四边形 ABCD 不可能成为平行四边形.………………………………………………4 分 (Ⅱ) 当直线 AC 的斜率存在且不为零时,设直线 AC 的方程为 y=k(x-1),(k≠0)

? y =k ( x ? 1), ? 2 2 由?x 消去 y 得,(2k +1)x -4k x+2k -2=0, ? ? y ? 1, ?2
2 2 2 2

4k 2 2k 2 ? 2 ,x1 · x2 = . ∴ x1 ? x2 ? 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2


2 2 (k 2 + 1) AC = . 2k 2 ? 1









BD ?

2 2 (k 2 ? 1) .…………………………………8 分 k2 ? 2

(k 2 ? 1)2 AC ? BD ? 6 2 ? ∴ (2k 2 ? 1)(k 2 ? 2) ,
6 2t 2 8 2 ? 令 k +1=t,则 S ? 2 . 2t ? t ? 1 3
2

当直线 AC 的斜率不存在时,则|AC|= 2,|BD|=2 2,∴|AC|+|BD|=3 2. 当直线 AC 的斜率为零时,则|AC|=2 2,|BD|= 2,∴|AC|+|BD|=3 2. ∵3 2> 分 8 2 8 2 ,∴|AC|+|BD|的最小值为 .………………………………………………12 3 3

7

21.解:(I)当 a=-1,f(x)=ln(x -1)-x,x>1. f ?( x) ?

1 1? x ?1 2 ? x ? 1= ? . x ?1 x ?1 x ?1

当 1<x<2 时, f ?( x ) >0,f(x)单调递增;当 x>2 时, f ?( x ) <0,f(x)单调递减. 综上, f(x)的单调递增区间为(1,2); 单调递减区间为(2,+∞). ………………………… 4分 (Ⅱ) 由题意得, x ? 1 时, x ? a >0 恒成立,可得 a ? ?1 .……① 由题意得,不等式

a 2 x?a x ? x ? 1 ? 0 对于任意的 x ? 1 恒成立. 2 e

设 g ( x) ?

a 2 x?a a ex x ? x ? 1 ? a x ? x ? 1 , x ? 1 . g '( x) ? . 2 e ex 2?a 1 2 ? 1 ? a(2 ? 2 ) ? 1 ? 2 ? 0 ,不满足题意; 2 e e e
f ( x)

当 a ? 0 时, g (2) ? 2a ?

当 a ? 0 时,要使 x ? 1 时,不等式 e 须 g (1) ? 8分 当a ?

?

a 2 x ? 1 成立, 2

a 1? a 1 1 1 2 ( e1 )? ? ? 1 ? a( ? ) ? 1 ? ? 0 , 即a ? ; ………………………… 2 e 2 e e e? 2

2(e ? 1) 2(e? 1) x x x (e x ? 1) ? 1 ? x , 时, a e x ? x ? 1 ? a ? a (e x ? 1) ? 1 ? x ? e?2 e? 2

设 h( x ) ?

2(e? 1) x 2(e? 1) x 2(e? 1) x (e x ? 1) ? 1 ? x, x ? 1 , h '( x) ? e x? e ? 1, x ? 1 . e? 2 e? 2 e? 2

显然 h '( x ) 在 (1, ??) 上单调递增,所以 h '( x) ? h '(1) ?

4 e2 ? 5e? 2 ? 0. e? 2

所以 h( x) 在 (1, ??) 上单调递增, h( x) ? h(1) ? 即 a e x x ? x ? 1 ? a ? 0 . ……② 由①②可知 a ?

2(e? 1)2 ?0. e? 2

2(e? 1) 时,满足题意. e? 2

………………………………………12 分

选做题 22.证明: (Ⅰ)如图,连结 BE. ∵DB·DA=DE·DC.

8



DB DE ? . DC DA

又∵DC=2DB, ∴DA=2DE. ……………………………………………………………………………5 分 (Ⅱ)∵AC=DC, ∴∠D=∠A. ∵∠BED=∠A, ∴∠BED=∠D. ∴BD=BE. 分 23. 解:(Ⅰ)设 P(?,?),Q(? ?,?),则 ?? ?= 2, 又 ? ?cos ? ? + ………………………………………………………………………… 10

? ?

??

2 2 ? ?? ,∴ cos ? ? + ? =1. ? =1,? ?= 4? ? ? ? 4?

∴?= 2 cos ? ? + 5分

? ?

??

? =cos??sin? 为所求 C1 的极坐标方程.…………………………… 4?

1 (Ⅱ)C2 的极坐标方程为 ?(cos?+sin?)= , 2 2? 3 1 把 ?= 代入 C2 得 ?1= + , 3 2 2 3 1 ? 把 ?=- 代入 C1 得 ?2= + , 3 2 2 ∴|EF|=?1+?2= 3+1.………………………………………………………………10 分 24. ( Ⅰ ) 证 明 : f(x)=|x - 1| + |x + 1| = |1 - x| + |x + 1|≥|1 - x + x + 1|=2.……………………5 分 (Ⅱ)解:令 g(b)=

| 2b ? 1| ? |1 ? b | , |b|

则 g(b)=

| 2b ? 1| ? |1 ? b | | 2b ? 1 ? 1 ? b | ≤ =3, |b| |b|

∴f(x)≥3,即|x-1|+|x+1|≥3. 化简得 ?

? x ? ?1, ??1 ? x ? 1, ? x ? 1, 或? 或? ??2 x ? 3, ?2 ? 3, ?2 x ? 3,
9

解得 x≤- 分

3 3 或 x≥ ,即为所求.……………………………………………………10 2 2

10


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