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高中数学易做易错题精选:集合部分 教师版


高考冲刺 2014

高中数学易做易错题精选:集合部分
集合是高中数学的基础,初学者往往不能深刻理解集合的有关概念和集合间的基本关系及运算, 在解决集合问题时,导致出现种种错误。下面剖析易错点,形成备忘录,供同学们参考。 一、忽视符号的含义 集合中的符号语言极具抽象性,准确理解集合中符合的含义是解决问题的关键。对于某些新定义 的集合问题,需要准确把握

即时定义,理解定义中新符号的含义,力求恰到好处地解决问题,避免失 误。 1. 如图所示,A、B 是两个非空集合,定义 A ? B ? ?x| x ?A且x ? B? ,则 A ? (A ? B) 是下图中的 ( ) A. I B. II C. III D. I ? II ? III

错解:因 A ? B ? ?x| x ?A且x ? B?,所以A ? (A ? B) ? ?x| x ?A且x ? B? ,应选 C。 辨析:上述解法对新定义符号“-”的理解不当,致使 A ? (A ? B) 在迁移运用时出现错误。

A ? (A ? B) 的正确理解应是 ?x| x ?A且x ?(A ? B)? ,而 A ? B 为图中的区域 I,故 A ? (A ? B) 应为
图中的区域 II,应选 B。 二、忽视空集 空集是任何集合的子集,它不含任何元素,与任何集合的交集为空集,与任何集合的并集仍为这 个集合。当题目中隐含有空集参与的集合关系时,若忽视空集,则往往造成错解。 2. 已知集合 A ? ??1,2?,B ? ?x| mx ? 1 ? 0? ,若 A ? B ? A ,求实数 m 的值。 错解:由 A ? B ? A,得B ? A 当 x ? ?1 时,得 m ? 1 当 x ? 2 时,得 m ? ? 故 m 的值为 1 或 ?

1 2

1 2

辨析:当 B 为空集时也符合题意,此时 m=0。

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故 m ? 0 或 m ? 1或 m ? ? 三、忽视代表元素 构成集合的元素是有明确意义的。若对描述法表示的数集、点集中的代表元素的含义理解不透, 则可致错。 3. 已知集合 A ? y| y ? x 2 ? 2 x ? 1 ,B ? x| y ? x 2 ? 2 x ,求 A ? B 。 错解 1:集合 A 与 B 的代表元素形式不同,不能进行交集运算。 辨析:集合 A、B 是同一种对象的集合,只是代表元素字母不同,但要清楚这两个集合中代表元 素的实际含义——都是数集。因此可以进行运算,故正确答案为 A ? B ? ?y| y ? 0? 。 错解 2:由 y ? x 2 ? 2 x ? 1 ? ( x ? 1) 2 ? 0,y ? x 2 ? 2 x ? ( x ? 1) 2 ? 1 ? ?1 得 A ? B ? A ? ?y| y ? 0? 辨析: 集合 A、 都是数集, A 中代表元素为 y, B 且 实际上是函数 y ? x 2 ? 2 x ? 1 的值域, y ? 0 。 即 B 中代表元素为 x,应是函数 y ? x 2 ? 2 x 的定义域,即 x ?R 。上述解法把集合 B 中的代表元素也看 作函数的值域,故解答过程错误。虽答案正确,但纯属巧合。

1 2

?

?

?

?

1 ? ?y ? x 2 ? 2 x ? 1 ?x ? ? 4 ? ? 错解 3:由 ? 得? 2 ?y ? x ? 2 x ?y ? 9 ? ? 16 ?
?? 1 9 ?? 故 A ? B ? ?? ? , ? ? ? 4 16 ? ? ?
辨析:集合 A、B 都是数集而不是点集,错解 3 误认为是求两个曲线的交点,故解答错误。

四、忽视元素(或参数)特性 集合中的元素具有确定性、互异性、无序性。在解含有参数的集合问题时,忽视元素(或参数) 的特性,往往容易出现错误。 4. 已知 1 ? a ? 2 , (a ? 1) 2 ,a 2 ? 3a ? 3 ,求实数 a 的值。 错解:由题意 a ? 2 ? 1,或(a ? 1) 2 ? 1,或a 2 ? 3a ? 3 ? 1 解得 a ? ?1,或a ? ?2,或a ? 0 辨析:上述解法没有考虑元素的特性而得到 a 的值,因此应代入检验。

?

?

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当 a ? ?2 时, (a ? 1) 2 ? a 2 ? 3a ? 3 ? 1,不符合元素互异性这一特点 故 a ? ?2 。 同理 a ? ?1 。 故只有 a ? 0 。 五、忽视隐含条件 集合是一种具有深刻含义的数学语言,它的内容丰富,需要表达准确。某些题目的条件中往往隐 含着一些特定的内容,解题时若不能深挖隐含条件,往往会掉进陷阱,导致错误。 5. 设全集 U ? 2 , 3,a 2 ? 2a ? 3 ,A ? ?|2a ? 1| , 2?,C U A ? ?5? ,求实数 a 的值。 错解:由 C U A ? ?5?,得5 ? U且5 ?A

?

?

∴a 2 ? 2a ? 3 ? 5且|2a ? 1| ? 5
解得 a ? 2,或a ? ?4 辨析:因为集合 U 为全集,因此本题隐含着集合 A 中的所有元素都在集合 U 中。当 a ? ?4 时,集 合 A ? ?9 , 2?,U ? ?2 , 3,5? ,显然不符合题意。故 a ? 2 。 另外,若注意到隐含条件,可跳出陷阱。

?|2a ? 1| ? 3 由题意得 ? 2 ?a ? 2a ? 3 ? 5
解得 a ? 2 六、忽视等价转化 对于用集合语言叙述的问题,求解时往往需转化为代数语言或几何语言,如果转化不等价,就会 导致错误。

? y ?1 ? ? 1?,N ? ?( x,y)|(a ? 1) x ? y ? 0? ,且 M ? N ? ? ,求实数 a 的值。 6. 设集合 M ? ?( x,y) x ?1 ? ?
错解:集合 M 表示直线 y ? x ? 2 上的点的集合,集合 N 表示直线 y ? (1 ? a) x 上的点的集合。又 ,故 1 ? a ? 1 ,即 a ? 0 。 M ? N ? ? (即两直线平行时) 辨析:将集合 M 转化为直线 y ? x ? 2 上的点的集合是不等价的,它应除去点(1,-1) 。当集合 N 表示的直线过这个点时,也符合 M ? N ? ? ,把点 (1,?1) 代入直线 y ? (1 ? a) x ,解得 a ? 2 。 故 a ? 0或a ? 2

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练一练:

? ? n 已知集合 A ? x| x ? n,n ? N * ,B ? ?x x ? ? 1,n ? N * ? ,求 A ? B 。 2 ? ?

?

?

答案: x| x ? n ? 1,n ? N *

?

?
4 ? 1? 3, 2

提示:集合中的元素是没有顺序的,集合中参数取值可以是任意的,即集合 A、B 中 n 的值并非 相等。当集合 A 中 n 取 3 时,A 中含有元素 3;集合 B 中 n 取 4 时,B 中也含有元素 x ?

即 n 的取值可以不同,但元素是相同的。集合 B 中,当 n 为偶数时,设 n ? 2 k,k ? N * ,此时

B ? x| x ? k ? 1,k ? N *

?

?

; 当

n

为 奇 数 时 , 设

n ? 2 k ? 1,k ? N *

, 此 时

? ? 1 B ? ?x x ? k ? 1 ? ,k ? N * ? 。故 A ? B ? x| x ? n ? 1,n ? N * 2 ? ?

?

?


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