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1.2.1-1.2.2充分条,必要条件,充要条件


判断下列命题是真命题还是假命题:
(1)若 x ? a 2 ? b2 ,则 x ? 2ab ;



x ? a 2 ? b 2 ? x ? 2ab
(2)若ab ? 0 ,则 a ? 0 ;



(3)全等三角形的面积相等; 真

两三角形全等 ? 两

三角形面积相等 (4)对角线互相垂直的四边形是菱形; 假
ax 2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 有两个不等的实数解, (5)若方程

则b2 ? 4ac ? 0 .



方程有 ax 2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 两个不等的实数解 ? b 2 ? 4ac ? 0 2 2 (6)若 x ? y ,则 x ? y ; 假

充分条件与必要条件:一般地,如果已知 p ? q那 么就说,p 是q 的充分条件,q 是p 的必要条件.

例如:
x ? a 2 ? b 2 ? x ? 2ab
x ? a 2 ? b2是x ? 2ab的充分条件

x ? 2ab是x ? a 2 ? b2的必要条件
两三角形全等 ? 两三角形面积相等

两三角形全等是两三角形面积相等的充分条件. 两三角形面积相等是两三角形全等的必要条件.

例1:下列“若p,则q”形式的命题中,哪些命题中的 p是q 的充分条件? (1)若x ? 1,则x 2 ? 4 x ? 3 ? 0; (2)若f ( x) ? x,则 f ( x)为增函数; (3)若x为无理数,则x 2为无理数.

解 : 命题(1)(2) 是真命题, 命题(3)是假命题. 所以, 命题(1)(2)中的p是q的充分条件.
如果“若p,则q”为假命题,那么由p推不出q,记作 p ?? q.此时,我们就说p不是q的充分条件,q不是p的必 要条件.

例2:下列“若p,则q”形式的命题中,哪些命题中的 q是p的必要条件? (1)若x ? y,则x 2 ? y 2 ; (2)若两个三角形全等,则这两个三角形的面积相等; (3) 若a ? b,则ac ? bc.

解 : 命题(1)(2) 是真命题, 命题(3)是假命题. 所以, 命题(1)(2)中的q是p的必要条件.

思考: “若 p , 则 q ” 的逆命题成立, p 是 q 的什么条件?

p 是 q 的必要条件.

就是说:由 p ? q 可知 p 是 q 的必要条件, q 是 p 的充分条件.

通俗地说,就是“ p 被 q 推出”判断为 “ p 是 q 必要条件”.

练习: 课本P10 1,2,3,4

课堂小结

(1)理解充分条件、必要条件的概念. (2)会判断“若p,则q”命题中,条件p 是q的什么条件.

回顾

若p, 则(真) q 1 p ? q, p是q的充分条件, )
q是p的必要条件

若q, 则(真) p
2 q? p )
q是p的充分条件,
p是q的必要条件

思考:“若 p , 则 q ”的原命题与逆命题均 是真命题, p 是 q 的什么条件? q 是 p 的什 么条件?
如果“若 p , 则 q ”是真命题,且它的逆命题也 是真命题即 p ? q 且 p ? q , 我们就说, p 是 q 的充分必要条件,简称充要条件.记为 p ? q . 显然,如果 p 是 q 的充要条件,那么 q 也是 p 的 充要条件.概括地说,如果 p ? q ,那么 p 与 q 互为充要 条件. 注:1.“ p 是 q 的充要条件”也说成“ p 与 q 等价” 、 “ p 当且仅当 q ”等.

2.充要条件是非常好的一种条件,因为可以相互等 价转化.

已知p : 整数a是6的倍数,q:整数a 是2和3的倍数.那么p是q的什么条件? q又是p的什么条件?

如果p ? q,那么p与q互为充要条件.
练习:p:三角形的三条边相等; q:三角形的 三个角相等.

学习小结 : “?” 表示: “充分”的意义; “?” 表示: “必要”的意义; : 你会发现有四种类型的条件

⑴充分不必要条件; ⑵必要不充分条件; ⑶既不充分也不必要条件; ⑷既是充分又是必要条件.

例3:下列各题中,哪些p是q的充要条件? (1)p : b ? 0,q : 函数f ( x ) ? ax 2 ? bx ? c是偶函数; (2)p : x ? 0,y ? 0,q : xy ? 0; (3) p : a ? b,q : a ? c ? b ? c .
解 : 在(1)(3)中,p ? q,所以(1)(3)中的p是q的充要条件.在 (2)中,q ?? p,所以(2)中的p不是q的充要条件.

练习:设p是q的充分不必要条件,则 ? p是 ? q 的 必要不充分条件.

例4:已知: O的半径为r,圆心O到直线l的距离为d . ⊙ 求证:d ? r是直线l与⊙O相切的充要条件.

O

P

Q

练习: 课本P12 练习1、2

补充练习 1.设集合M={x|0<x≤3},N={x|0<x≤2},那么“a∈M”是 “a∈N”的____________________条件. 2.x>2的一个必要而不充分条件是_____________.

3.条件p:“直线l在y轴上的截距是在x轴上截距的2倍”, 条件q:“直线l的斜率为-2”,则p是q的_____________ 条件. 3 5? 4.cos? ? ? ” 是 “ ? 2k? ? “ ? , k ? Z”的___________ 2 6 条件.

5.设A、B、C三个命题,若A是B的充要条件,C是B的 充分不必要条件,则C是A的________条件.

课堂小结

(1)理解充分条件、必要条件、充要条件的概念.
(2)会判断“若p,则q”命题中,条件p是q的什 么 条件. 充要条件判断:

如果p ? q,那么p与q互为充要条件.

课后练习
课本P12 习题1.2 A组第2、3题 B组第1题

上节课我们研究了两个符号:“?”“?” 、
“?” 表示: “充分”的意义; “?” 表示: “必要”的意义.

对于命题“若 p , 则 q”来说,
⑴“若 p , 则 q ”是真命题记为“ p ? q ” , (“有 p 就可推出 q ”之意) 我们说 p 是 q 的充分条件; ⑵“若 p , 则 q ”的逆命题是真命题记为“ p ? q ” , 我们说 p 是 q 的必要条件; (“没有 p 就推不出 q ”之意)

命题的4种情况:

p、q分别表示某条件

1 p ? q且q ? p )
则称条件p是条件q的充分不必要条件

2 p ? q且q ? p )
则称条件p是条件q的必要不充分条件

3 p ? q且q ? p )

则称条件p是条件q的充要条件

4 p ? q且q ? p )
则称条件p是条件q的既充分也不必要条件

1、填表
p y是有理数
x?5

q y是实数
x?3

p是q的什么条 q是p的什么条 件 件
充分 充分 充分 必要 充分 必要 充分 必要 必要 必要 必要 充分 必要 必要 充分 充分

m,n是奇数
a?b

m+n是偶数
a?b

x ? A且x ? B
ab ? 0

x? A? B

a?0 ( x ? 1)( y ? 2) ? 0 x ? ?1且y ? 2

2.“ a ? 1 ”是“函数 f ( x) ?| x ? a | 在区间 [1,??) 上 为增函数”的( ) (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 2 2 3. 已 知 P ? x ? x ? 2 x ? 3 ? 0 , Q = x x ? (a ? 1) x ? a ? 0 且

?

?

?

?

x ? P 是 x ? Q 的充要条件,求实数 a 的取值范围.

4、a∈R,|a|<3成立的一个必要不充分条件是( ) A.a<3 B.|a|<2 C.a2<9 D.0<a<2

5 若关于 x 的方程 4 x ? a ? 2 x ? 4 ? 0 有 实 数解 ,则 实数 a 的 取 值范围是 ___________.

{a|a≤-4}

注: 这里求取值范围问题 就是 求充要条 件的问题.

6.方程 ax ? bx ? c ? 0(a ? 0) 有实数根是 必要不充分 ac ? 0 的_________条件.
2

? x ? y ? 4 ? x ? 2 必要不充分 7. ? 是? 的_________条件. ? xy ? 4 ?y ? 2

1 ?0, 8.已知 p : ? x ? 3x ? 2 ? 0 , q : 2 x ? x?6
2

必要不充分 则 p 是 q 的________条件, ? p 是 ? q 的________条件.

充分不必要

9.设p、r都是q的充分条件,s是q的充分必要条 件,t是s的必要条件,t是r的充分条件,那么p是
充要 充分 t的_______条件,r是t的________条件.

10.求证:△ABC是等边三角形的充要条 件是: a2+b2+c2=ab+ac+bc (这里a,b,c是△ABC的三条边) 11.求证:关于x的方程ax2+bx+c=0有一 根为1的充要条件是a+b+c=0.

12.求圆(x-a)2+(y-b)2=r2经过原点的充要条件.


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