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2014-2015学年点拨高中数学必修5(R-A版)过关测试卷:第一章+解三角形+过关测试卷


第一章过关测试卷 (100 分,45 分钟) 一、选择题(每题 6 分,共 36 分) 1.在△ABC 中, A=60°,且最大边长和最小边长是方程 x 2 ? 7 x ? 11 ? 0 的两个根,则第三边的长为( A.2 B.3 ) C.4
3 , 则 2

D.5

2.在△ABC 中, A=60°,AB=2,且△ABC 的面积为 ( A. )
3

BC 的长为

B.3

C.

7

D.7

3.已知在△ABC 中,三个内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若△ABC 的面 积为 S,且 2S ? ?a ? b?2 ? c 2 ,则 tanC 等于( A.
3 4


4 3

B.

4 3

C. ?

D. ?

3 4

4.△ABC 的周长等于 20,面积是 10 3 , A=60°,则角 A 的对边长为 ( A.5 ) B.6 C.7 D.8

5.在△ABC 中, a, b, c 分别为 A,B,C 的对边, 如果 2b ? a ? c ,B=30°, △ABC 的面积为 ,那么 b 等于( A.
1? 3 2
3 2

) C.
2? 3 2

B. 1 ? 3

D. 2 ? 3

6.为了竖一块广告牌,要制造三角形支架,如图 1,要求∠ACB= 60°,BC 的长度大于 1 m,且 AC 比 BA 长 0.5 m,为了稳固广告牌, 要求 AC 越短越好,AC 最短为( )

? 3? ?m A. ? ?1 ? ? ? 2 ?

B. (1 ? 3) m

C.(2+ 3 )m

D.2 m

图1 二、填空题(每题 5 分,共 20 分)

图2

7.如图 2,用同样高度的两个测角仪 AB 和 CD 同时望见气球 E 在它们 的正西方向的上空,分别测得气球的仰角是 ? 和 ? ,已知 B,D 间的 距离为 a,测角仪的高度是 b,则气球的高度为 .

8.在 Rt△ABC 中, C =90°, 且 A, B, C 所对的边 a, b, c 满足 a ? b ? cx , 则实数 x 的取值范围是 . .

9.若在△ABC 中,AB=2,AC= 2 BC,则 S△ABC 的最大值是

10.在正三角形 ABC 的边 AB,AC 上分别取 D,E 两点,使沿线段 DE 折 叠三角形时,顶点 A 正好落在边 BC 上,在这种情况下,若要使 AD 最 小,则
AD ? AB



三、解答题(13 题 16 分,其余每题 14 分,共 44 分) 11.在△ABC 中, 内角 A, B, C 所对的边分别是 a, b, c, 已知 bsinA=3csinB, a=3, cos B ? . (1)求 b 的值;
π? (2)求 sin ? ? 2 B ? ? 的值. ? 3?
2 3

12.在△ABC 中,tanA= ,tanB= . (1)求角 C 的大小; (2)若△ABC 最大边的长为 17 ,求最小的边长.

1 4

3 5

13.已知在△ABC 中, 角 A, B, C 所对的边分别是 a,b,c, 设向量 m=(a,b), n=(sinB,sinA),p ? ?b ? 2, a ? 2? . (1)若 m∥n,求证:△ABC 为等腰三角形; (2)若 m⊥p, c=2, C ?
π ,求△ABC 的面积 S. 3

参考答案及点拨 一、1.C 点拨:由 A=60°,不妨设△ABC 中最大边长和最小边长分

别为 b,c,故 b+c=7,bc=11. 由余弦定理得 ∴a=4. 2.A 点拨:S△ABC ? AB ? AC ? sin 60? ? ? 2 ?
1 2 1 2 3 3 ,所以 AC=1,所 ? AC ? 2 2

a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bccos60? ? (b ? c) 2 ? 3bc ? 7 2 ? 3 ?11 ? 16 ,

以 BC 2 ? AB2 ? AC 2 ? 2 AB ? AC ? cos60? ? 3 ,所以 BC ? 3 . 3.C 点 拨 : 由 2S ? (a ? b) 2 ? c 2 得 2S ? a 2 ? b 2 ? 2ab ? c 2 , 即

1 2 ? ab sin C ? a 2 ? b 2 ? 2ab ? c 2 ,所以 absinC ? 2ab ? a 2 ? b 2 ? c 2 , 2

又 cosC ?

sinC a 2 ? b 2 ? c 2 absinC ? 2ab sinC ? ? ? 1 ,所以 cos C ? 1 ? ,即 2 2ab 2ab 2

C C C C C 2 ? 2? 2 ? ? 4 . 2cos 2 ? sin cos ,所以 tan ? 2 ,即 tanC ? C 1 ? 22 2 2 2 2 3 1 ? tan2 2 2tan

4.C 点拨: ∵a+b+c=20, ∴ b ? c ? 20 ? a , 即 b 2 ? c 2 ? 2bc ? 400? 40a ? a 2 , ∴ b 2 ? c 2 ? a 2 ? 400? 40a ? 2bc .①又 cosA ?
1 2

b2 ? c2 ? a2 1 ? , 2bc 2

∴ b 2 ? c 2 ? a 2 ? bc .②又 S△ABC ? bc ? sinA ? 10 3 ,∴bc=40.③ 由①②③可知 a=7. 5.B 点拨:由 2b=a+c,得 a 2 ? c 2 ? 4b 2 ? 2ac .又 S△ABC ? 且 B ? 30? , ∴S△ABC ? acsinB ? acsin 30? ? 由余弦定理得 cosB ?
1 2 1 2 ac 3 ? ,得 ac=6,∴ a 2 ? c 2 ? 4b 2 ? 12 . 4 2 3 2

a2 ? c2 ? b2 b2 ? 4 3 ? ? ,又 b>0,解得 b=1+ 3 . 2ac 4 2

6.C 点拨: 设 BC=a m(a>1), AB=c m, AC=b m, 则 b ? c ? ,在△ABC
1 1? 2 2 中,c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2abcos60? .将 c ? b ? 代入上式得 ? ? b ? ? ? a ? b ? ab , 2
2

1 2

?

2?

1 1 4 , 令 化 简 得 , b?a ? 1? ? a 2 ? .∵a > 1,∴ a ? 1 ? 0 .∴ b ? 4 a ?1 3 ?t ? 1?2 ? 1 t 2 ? 2t ? 3 4? 4 ?t? 4 ?2 , 则 b? , 设 a ? 1 ? t ?t ? 0? t t t m f ?x ? ? x ? ?m ? 0, x ? 0? ,由函数知识可得,当 x∈[ m, ? ? )时,f(x)为 x a2 ?

增 函 数 , 当 x ? ?0, m ? 时 , f(x) 为 减 函 数 , ∴ 当 t ?
a ?1 ?

3 ,即 2

3 3 , a ? 1 ? 时,b 有最小值为 2 ? 3 .因此 AC 最短为 m. (2 ? 3) 2 2
asin?sin? ?ACE ? ? , ?AEC ? ? ? ? , ? b 点拨: 在△ACE 中, AC=BD=a, sin ?? ? ? ? a sin ? . 在 sin ?? ? ? ?

二、 7.

根 据 正 弦 定 理 , 得 AE ?
EG ? AE s i? n ?

Rt△AEG

中 ,

a s i? n s i? n a sin ? sin ? ?b. .所以 EF ? s i??n? ? ? sin ?? ? ? ?
a ? b sinA ? sinB π ? ? sinA ? cos A ? 2sin ( A ? ) . 又 c sin C 4

8. ?1,2 ?

点 拨 : x?

π π 3 π 2 π? ? π? ? ,∴ A ? ? 0, ? ,∴ ? A ? ? ? sin? A ? ? ? 1,即 x ? 1, 2 . 4 4 4 2 4? ? 2? ?

?

?

9.

2 2 点拨:设 BC=x,则 AC= 2 x ,根据面积公式得
1 2 1 2

S△ABC ? AB ? BC sinB ? ? 2 x 1 ? cos 2 B ,①
根据余弦定理得
2 AB2 ? BC 2 ? AC 2 4 ? x 2 ? ( 2 x) 4 ? x2 cosB ? ? ? ,将其代入①式得 2 AB ? BC 4x 4x

S△ABC

? 4 ? x2 ? 128? x 2 ? 12 ? x 1? ? ? 4x ? ? ? 16 ? ?
? 2 x ? x ? 2, ? x ? 2 ? 2 x.

2

?

?

2



由三角形三边关系有 ?

解得 2 2 ? 2 ? x ? 2 2 ? 2 ,

故当 x ? 2 3 时,S△ABC 取得最大值 2 2 . 10.
2 3 ?3

点拨: 如答图 1, 设折叠后 A 点落在边 BC 上的点 P 处,

连接 AP, 显然 A, P 两点关于直线 DE 对称, 设∠BAP=θ, ∴∠DPA=θ, ∠BDP=2θ , 再 设 AB=a , AD=x , ∴DP=x. 在 △ABP 中 ,
?APB ? 180 ? ? ?ABP ? ?BAP ? 120 ? ? ?

,













BP AB ? sin ?BAP sin?APB

,∴ ,

BP ?

a sin ? sin ?120? ? ? ?

. 在 △PBD

中 ,

DP BP ? sin?DBP sin?B

D

P

∴ BP ? ∴x ?

x sin 2? asin? xsin2? ? ,从而 , sin 60 ? sin ?120? ? ? ? sin60?

a sin ? ? sin 60? 3a . ? sin 2? ? sin(120? ? ? ) 2sin (60? ? 2? ) ? 3

∵0°<θ <60°,∴60°<60°+2θ <180°. ∴当 60°+2θ =90°,即 θ =15°时,sin(60°+2θ )=1, 此时 x 取得最小值 此时
AD ? 2 3 ?3. AB

3a 2? 3

? 2 3 ? 3 a ,即 AD 最小,

?

?

答图 1

三、 11.解: (1) 在△ABC 中, 由正弦定理得

a b ? , 即 bsinA=asinB, sin A sin B

又由 bsinA=3csinB,可得,a=3c,又 a=3,故 c=1,由 b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B , 且 cos B ? ,可得 b ? 6 . (2)由 cos B ? ,得 sin B ?
sin 2 B ? 2 sin B cos B ? 4 5 . 9
2 3 1 5 ,进而得到 cos 2 B ? 2 cos 2 B ? 1 ? ? , 9 3

2 3

π? π π 4 5 1 1 3 4 5? 3 所以 sin? . ? ? ? ? ? 2B ? ? ? sin 2B cos ? cos2B sin ? ? 3? 3 3 9 2 9 2 18

点拨: (1)根据正弦定理及 bsinA=3csinB,a=3 求出 a,c 的值,再由余弦定 理求出 b 的值.(2)根据同角三角函数的基本关系式及二倍角公式求 出 cos2B,sin2B,再由两角差的正弦公式求值. 12.解:(1)∵C ?π-(A+B) ,
1 3 ? π 4 5 ? ?1 .又∵0<C<π ,∴ C ? 3 ∴ tanC ? ? tan? A ? B ? ? ? . 1 3 4 1? ? 4 5 3 π (2)∵ C ? ,∴AB 边最大,即 AB ? 17 . 4
π? 又∵tanA<tanB,A,B∈ ? ? 0, ? ,∴角 A 最小,BC 边为最小边. ? 2?

sin A 1 ? ? , 17 ? tan A ? ? π? 由? . cos A 4 且 A ? ? 0, ? ,得 sin A ? 17 2? ? 2 2 ? ?sin A ? cos A ? 1,
AB BC sin A ? ? 2 .∴最小边 BC=2. 得, BC ? AB ? sin C sin A sin C a b 13.(1)证明:∵m∥n,∴asinA=bsinB,即 a ? ? b ? ,其中 R 是三角形 2R 2R



ABC 外接圆半径,∴a=b.∴△ABC 为等腰三角形. (2)解:由题意可知 m ? p =0,即 a(b ? 2) ? b(a ? 2) ? 0 .

∴a+b=ab,由余弦定理可知, 4 ? a 2 ? b 2 ? ab ? (a ? b) 2 ? 3ab , 即 ?ab?2 ? 3ab ? 4 ? 0 .∴ab=4 或 ab ? ?1 (舍去). ∴ S ? ab sin C ? ? 4 ? sin
1 2 1 2 π ? 3. 3


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