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修改版:离散型随机变量的分布列(2)


高二数学 选修2-3

离散型随机变量的

分布列

一、复习引入:
1. 随机变量
如果随机试验的结果可以用一个变量来表示, (或随着试验结果变化而变化的变量),那么这样的

变量叫做随机变量.
随机变量常用希腊字母X、Y、ξ、η等表示。

2、离

散型随机变量
所有取值可以一一列出的随机变量,称为离 散型随机变量。 如果随机变量可能取的值是某个区间的一切 值,这样的随机变量叫做连续型随机变量.

注1:随机变量分为离散型随机变量和连续型 随机变量。 注2:某些随机试验的结果不具备数量性质, 但仍可以用数量来表示它。 注3:若 ? 是随机变量,则 ? ? a? ? b (其中a、b是常数,a不为零)也是随机变量 . 3、古典概型:
①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个; ②每个基本事件出现的可能性相等。

m P( A) ? n

引 例
抛掷一枚骰子,所得的点数 ? 有哪些值? ? 取每个 值的概率是多少? 解: ? 的取值有1、2、3、4、5、6 则
1 6 1 P(? ? 4) ? 6

P(? ? 1) ?

P(? ? 2) ?

1 6 1 P(? ? 5) ? 6

1 6 1 P(? ? 6) ? 6

P(? ? 3) ?

?

1
1 6

2
1 6

3
1 6

4
1 6

5
1 6

6
1 6

P

⑴列出了随机变量? 的所有取值. ⑵求出了 ? 的每一个取值的概率.

二、离散型随机变量的分布列
1、设随机变量 ? 的所有可能的取值为 x1 , x2 , x3 , ???, xi , ???, xn ? 的每一个取值 x i (i ? 1, 2, ???, n) 的概率为 P(? ? xi ) ? pi,则称表格

?

x1
p1

x2
p2

· · ·
· · ·

xi
pi

· · ·
· · ·

P

为随机变量 ? 的概率分布,简称 ? 的分布列.

注: 1、分布列的构成
⑴列出了随机变量 ? 的所有取值. (至少两个) ⑵求出了 ? 的每一个取值的概率. 2、分布列的性质 ⑴ pi ? 0, i ? 1,2,? ? ? ⑵ p1 ? p2 ? ? ? ? ? 1

有时为了表达简单,也用等式 P(? ? xi ) ? pi , i ? 1, 2,3,..., n
表示

?

的分布列

2.概率分布还经常用图象来表示. 可以看出 ? 的取值范 p 围是 {1,2,3,4,5,6} ,它 0.2 取每一个值的概率都 1 0.1 是6 。
O 1 2 3 4 5 6 7 8

?

1、离散型随机变量的分布列完全描述了由这个随机 变量所刻画的随机现象。
2、函数可以用解析式、表格或图象表示,离散型随机变量 可以用分布列、等式或图象来表示。

例如:抛掷两枚骰子,点数之和为ξ,则ξ可 能取的值有:2,3,4,……,12. ξ的概率分布为:
ξ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 1 p 36 36 36 36 36 36 36 36 36 36 36

例1:某一射手射击所得环数ξ
ξ P 4
0.02

的分布列如下:

5
0.04

6
0.06

7
0.09

8
0.28

9
0.29

10
0.22

求此射手”射击一次命中环数≥7”的概率. 分析: ”射击一次命中环数≥7”是指互斥事件 “ξ=7”, “ξ=8”, “ξ=9”, “ξ=10” 的和. P(ξ ≥7)=0.88

例2.随机变量ξ的分布列为
ξ -1 0 1 2 3

p

0.16

a/10

a2

a/5

0.3

(1)求常数a;(2)求P(1<ξ<4)

一袋中装有6个同样大小的小球,编号为1、2、3、4、5、 例3 :

6,现从中随机取出3个小球,以 ? 表示取出球的最大号码, 求 ? 的分布列.
“? ? 3” 表示其中一个球号码等于
1 2 C1 C2 1 ? ∴ P(? ? 3) ? 3 20 C6 “3”,另两个都比“3”小, 1 2 C1 C3 3 “? ? 4” 表示其中一个球号码等于“4”, ? P(? ? 4) ? ∴ 3 20 另两个都比“4”小, C6

解:? 的所有取值为:3、4、5、6.

“? ? 5” 表示其中一个球号码等于“5”,

1 2 C1 C4 3 P(? ? 5) ? ? ∴ 3 另两个都比“5”小, 10 C6 1 2 C1 C5 1 “? ? 6” 表示其中一个球号码等于“3”, ? P(? ? 6) ? ∴ 3 另两个都比“3”小, 2 C6

∴ 随机变量? 的分布列为:

?

3
1 20

4
3 20

5
3 10

6
1 2

P

说明:在写出ξ的分布列后,要及时检查所有的概率之和是否为1.

课堂练习:
1、下列A、B、C、D四个表,其中能成为随机变量 ? 的 分布列的是( B )

A

?
P

0
0.6

1
0.3

B

?
P

0
0.9025

1
0.095

2
0.0025

C

?

0 1 2 … n
2 1 1 4 8

D

?

0 -0.4
i

1 1.4

P 1



1 2 n ?1

P

?1? 2、设随机变量 ? 的分布列为 P(? ? i ) ? a? ? , i ? 1,2,3 27 ? 3? 则 的值为 . 13

a

课堂练习:
3、袋中有7个球,其中3个黑球,4个红球,从袋中 任取个3球,求取出的红球数 ? 的分布列。

例4: 已知随机变量?
?

的分布列如下:

-2
1 12

-1
1 4
1

0
1 3

1
1 12

2
1 6

3
1 12

P

分别求出随机变量⑴ ?1 ? ? ;⑵ ? 2 ? ? 2 的分布列. 2 1 1 3 1 ? ? 1 ? 、0、 、1、 ⑴由 ?1 ? ? 可得 1 的取值为 、 解: 2 2 2 2 且相应取值的概率没有变化 ∴ ? 1 的分布列为:

?1

-1
1 12

1 ? 2
1 4

0
1 3

1 2
1 12

1
1 6

3 2
1 12

P

例4: 已知随机变量?
?

的分布列如下:

-2
1 12

-1
1 4
1 2

0
1 3

1
1 12

2
1 6

3
1 12

P

分别求出随机变量⑴ ?1 ? ? ;⑵ ? 2 ? ? 2 的分布列.

解:⑵由 ?2 ? ? 2 可得?2 的取值为0、1、4、9
P(?2 ? 0) ? P(? ? 0) ?

P(?2 ? 4) ? P(? ? ?2) ? P(? ? 2) ? 1 ? 1 ? 1

1 3

P(?2 ? 1) ? P(? ? ?1) ? P(? ? 1) ?
1 12
12 6

1 1 ? ? 4 12

1 3

P(?2 ? 9) ? P(? ? 3) ?
∴ ?2 的分布列为:

4

?2

0
1 3

1
1 3

4
1 4

9
1 12

P

例 5、在掷一枚图钉的随机试验中,令
?1, 针尖向上 X ?? ?0, 针尖向下
如果针尖向上的概率为p,试写出随机变量X的分布列 解:根据分布列的性质,针尖向下的概率是(1—p),于是, 随机变量X的分布列是:

X P 3、两点分布列

0 1—p

1 p

象上面这样的分布列称为两点分布列。(也叫0-1分布,伯努 利分布)如果随机变量X的分布列为两点分布列,就称X服从 两点分布,而称p=P(X=1)为成功概率。

练习:
1、在射击的随机试验中,令X=

?

0,射中, 1,未射中



果射中的概率为0.8,求随机变量X的分布列。 2、设某项试验的成功率是失败率的2倍,用随机 变量 ? 去描述1次试验的成功次数,则失败率p等 于( C ) A.0

1 B. 2

C.

1 3

D.

2 3

备用课件

超几何分布 2课时

例6:在含有5件次品的100件产品中,任取3件,试求:
(1)取到的次品数X的分布列; (2)至少取到1件次品的概率.
解:(1)从100件产品中任取3件结果数为C100 ,
3

P(X ≥ 1)=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=0.144

从100件产品中任取3件,其中恰有K件次品的结果为 k 3? k C5 ? C 95 那么从100件产品中任取3件, 其中恰 k 3? k C ? C 好有K件次品的概率为 p( X ? k ) ? 5 95 , k ? 0,1, 2, 3 3 C100

X

0
3 C50C95 3 C100
1 5

1
CC 3 C100
2 95
2 5

2
CC 3 C100
1 95

3
3 0 C5 C95 3 C100

P

2、超几何分布
一般地,在含有M件次品的N件产品中,任取n 件,其中恰有X件产品数,则事件{X=k}发生的概 率为 k n?k

CM ? C N ?M P( X ? k ) ? , k ? 0,1, 2,? , m n CN

其中m ? min{ M , n}, 且n ? N , M ? N , n, M , N ? N *
称分布列为 超几何分布
X P 0 1




m
m n ?m CM CN ?M n CN

1 n ?1 0 n ?0 C C CM CN M N ?M ?M n n C CN N

则称随机变量 X 服从超几何分布. 记为:x ? H(n,M,N),

例7:在某年级的联欢会上设计了一个摸奖游戏,在
一个口袋中装有10个红球和个20白球,这些球除颜 色外完全相同。一次从中摸出5个球,至少摸到3个 红球就中奖。求中奖的概率。
若要将游戏的中奖率控制在55以内,应该如何设计游戏规则?

变式:袋中有个5红球,4个黑球,从袋中随机取
球,设取到一个红球得1分,取到一个黑球得0分, 现从袋中随机摸4个球,求所得分数X的概率分布列。

练习1:
盒中装有一打(12个)乒乓球,其中9个新的,3 个旧的,从盒中任取3个来用,用完后装回盒中,此 时盒中旧球个数X是一个随机变量。求X的分布列。

练习2:在一次英语口语考试中,有备选的10道
试题,已知某考生能答对其中的8道试题,规定每 次考试都从备选题中任选3道题进行测试,至少答 对2道题才算合格,求该考生答对试题数X的分布 列,并求该考生及格的概率。

例8:袋中装有黑球和白球共 7个,从中任取2个 1

球都是白球的概率为 。现有甲、乙两人从袋中 7 轮流摸取1球,甲先取,乙后取,然后甲再取…… 取后不放回,直到两人中有一人取到白球时即终 止,每个球在每一次被取到的机会是等可能的, 用 ? 表示取球终止时所需要的取球次数。

(1)求袋中原有白球的个数; (3)求甲取到白球的概率。

(2)求随机变量 ? 的概率分布;

练习

从1~10这10个数字中随机取出5个数字,令 X为取出的5个数字中的最大值.试求X的分布列.

求分布列一定要说 8,9,10. 并且 解: X 的可能取值为 5,6,7, 明 k 的取值范围!

P?X ? k?

=——

4 Ck ?1

C

5 10

k ? 5, 6, ?, 10.

具体写出,即可得 X 的分布列:

X P

5
1 252

6
5 252

7
15 252

8
35 252

9
70 252

10
126 252

例 9、从一批有10个合格品与3个次品的产品中,一
件一件的抽取产品,设各个产品被抽到的可能性相 同,在下列两种情况下,分别求出取到合格品为止 时所需抽取次数 ? 的分布列。 (1)每次取出的产品都不放回该产品中; (2)每次取出的产品都立即放回该批产品中,然后 再取另一件产品。

变式引申:
1、某射手射击目标的概率为0.9,求从开始射击到击中目标 所需的射击次数 ? 的概率分布。
2、数字1,2,3,4任意排成一列,如果数字k 恰好在第k个 位置上,则称有一个巧合,求巧合数 ? 的分布列。

例10、一盒中放有大小相同的红色、绿色、黄色三种 小球,已知红球的个数是绿球个数的两倍,黄球个数 是绿球个数的一半,现从该盒中随机取出一球,若取 出红球得1分,取出绿 球得0分,取出黄球得-1分, 试写出从该盒内随机取出一球所得分数ξ的分布列. 解:设黄球的个数为 n,由题意知
绿球个数为 2n, 红球个数为 4n, 盒中的总数为 7n.
n 1 2n 2 4n 4 P(? ? 0) ? ? , P (? ? ?1) ? ? . ∴ P(? ? 1) ? 7n ? 7 , 7n 7 7n 7

所以从该盒中随机取出一球所得分数 ξ 的分布列为

? P

1
4 7

0
1 7

-1
2 7

思考1.一个口袋里有5只球,编号为1,2,3,4,5,在袋中 同时取出3只,以ξ表示取出的3个球中的最小号码,试 写出ξ的分布列.

思考2.将一枚骰子掷2次,求下列随机变量的概率分布. (1)两次掷出的最大点数ξ; (2)第一次掷出的点数减去第二次掷出的点数之差η .

研究性问题
设一部机器在一天发生故障的概率为0.2,机 器发生故障时全天停止工作,若一周5个工作日 里无故障可获利润10万元,发生一次故障可获利 5万元,若发生两次故障所获利润0万元,发生三 次或三次以上就亏损2万元.试写出一周所获利 润可能的取值及每个值的概率.


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